Giới thiệu một số mô hình kinh tế áp dụng lý thuyết phương trình vi phân trong việc giảng dạy cho sinh viên khối ngành kinh tế tại Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí

Bài viết này tổng hợp các mô hình Toán kinh tế áp dụng phương trình vi phân tuyến tính cấp một và phương trình vi phân tuyến tính cấp hai. Hơn nữa, chúng tôi còn khảo sát thêm một số mô hình kinh tế và xây dựng một số hệ thống thực trong kinh tế dẫn đến phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh GIỚI THIỆU MỘT SỐ MƠ HÌNH KINH TẾ ÁP DỤNG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG VIỆC GIẢNG DẠY CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH AN INTRODUCTION TO SOME MATHEMATICAL ECONOMIC MODELS WHICH APPLY THEORY OF DIFFERENTIAL EQUATION IN TEACHING FOR ECONOMICS STUDENTS AT HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF TECHNOLOGY AND EDUCATION Nguyễn Quang Huy Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp.Hồ Chí Minh, Việt Nam Ngày tồ soạn nhận 13/8/2020, ngày phản biện đánh giá 28/8/2020, ngày chấp nhận đăng 5/10/2020 TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi tổng hợp mơ hình Tốn kinh tế áp dụng phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Hơn nữa, chúng tơi cịn khảo sát thêm số mơ hình kinh tế xây dựng số hệ thống thực kinh tế dẫn đến phương trình vi phân Ngồi việc giải nghiệm, chúng tơi cịn đánh giá tính ổn định nghiệm phương trình Đây việc cần thiết Qua đó, báo sử dụng tài liệu tham khảo hữu ích cho giảng viên dạy mơn Tốn kinh tế sinh viên khối ngành kinh tế trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học khác Từ khóa: phương trình vi phân; phương trình vi phân tuyến tính cấp một; phương trình vi phân tuyến tính cấp hai; mơ hình Tốn Kinh tế; phương pháp Tốn kinh tế ABSTRACT In this article, we synthesize some mathematical models which apply first-order and second-order differential equations Moreover, we consider other economics models and construct some real economics systems which lead to differential equations Besides solving the solutions, we evaluate the stability of the solutions of those equations This is a necessary work Thereby, this article can be used as a useful referential material for lecturers of mathematical economics and economics students at Ho Chi Minh City University of Technology and Education and other universities Keywords: differential equation; first-order linear differential equation; second-order linear differential equation; mathematical economics models; mathematical economics methods PHẦN MỞ ĐẦU Toán học ứng dụng nhiều lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, y học, sinh học, tự động hoá, khí, cơng nghệ in, cơng nghệ thơng tin, kinh tế, tài chính…Tốn học cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho việc phân tích giải tốn cách logic Khi mơ hình kinh tế thiết lập dạng mơ hình tốn học cụ thể việc vận dụng tốn học để phân tích mơ hình kinh tế kiểm nghiệm kết đạt vấn đề cấp thiết chuyên gia kinh tế giảng viên, sinh viên Hiện nay, môn học trang bị kiến thức Toán học áp dụng kiến thức vào việc phân tích mơ hình kinh tế đưa vào giảng dạy nhiều trường Đại Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh học ngồi nước Tại trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TpHCM, sinh viên khối ngành kinh tế học hai học phần Toán Kinh tế Toán Kinh tế với tổng số tín Trong đó, phương trình vi phân giảng dạy mơn Tốn Kinh tế Học kỳ năm ([1]) Việc áp dụng lý thuyết phương trình vi phân vào mơ hình kinh tế quan trọng sinh viên khối ngành kinh tế Trong báo này, tổng hợp mơ hình kinh tế áp dụng phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp nhiều nhà toán học quan tâm xác định hàm mục tiêu từ hàm biên tế ([2]), xác định hàm cầu từ hệ số co giãn cầu theo giá ([2]), mơ hình tự điều chỉnh giá ([3]), mơ hình tăng trưởng Domar([3]), mơ hình thị trường với kỳ vọng giá ([4]), mơ hình tăng trưởng Solow ([4]), mơ hình lạm phát thất nghiệp ([5]), mơ hình tăng trưởng GDP ([6]), mơ hình thu nhập quốc dân ([7])…Ngồi ra, chúng tơi giới thiệu thêm số mơ mơ hình Cob – Web, mơ hình tự điều chỉnh sản lượng, mơ hình tiền tệ, mơ hình thị trường với hàng tồn kho, số toán toán giá trị bán lại, toán khai thác dầu… Khi viết báo này, mong muốn sinh viên nắm vững cách sâu rộng lý thuyết phương trình vi phân ứng dụng mơ hình kinh tế Hơn nữa, sinh viên mơ hình hóa số tốn kinh tế Qua sinh viên học tốt mơn Tốn Kinh tế mơn chun ngành Điều giúp báo trở nên thiết thực giảng viên sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật trường Đại học khác PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2.1 Xác định hàm tổng từ hàm giá trị biên tế ([2]) 2.1.1 Xác định quỹ vốn theo lượng đầu tư Giả sử lượng đầu tư ròng cho dK  I (t )  t Biết quỹ vốn thời hàm dt điểm ban đầu K (0)  100 Xác định quỹ vốn thời điểm t Giải: Ta có dK  I (t )dt   dK   I (t )dt  K (t )   tdt  2t  K K (0)  100  K  100  K (t )  2t  100 (1) 2.1.2 Xác định hàm chi phí từ hàm chi phí biên tế Giả sử chi phí biên tế mức sản dC  3e0,25Q chi phí cố lượng Q MC  dQ định FC  50 Tìm hàm chi phí sản xuất Giải: Ta có dC  3e0,25Q dQ  C (Q )   3e 0,25Q dQ  12e 0,25Q  C0 FC  50  C (0)  12  C0  C0  38  C (Q )  12e 0,25Q  38 (2) 2.1.3 Xác định hàm doanh thu từ doanh thu biên tế Giả sử doanh thu biên tế mức sản dR   2Q  3Q Tìm lượng Q MR  dQ hàm doanh thu hàm cầu ngược Giải: Ta có dR  (4  2Q  3Q )dQ  R(Q)   (4  2Q)dQ  4Q  Q  Q  C R(0)   C   R(Q)  4Q  Q  Q Suy hàm cầu ngược P  P(Q)  R(Q)   Q  Q2 Q (3) 2.1.4 Xác định hàm lợi nhuận từ lợi nhuận biên tế Giả sử lợi nhuận biên tế mức sản d  2Q  Biết lượng Q M   dQ Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh cơng ty bán 100 sản phẩm lời triệu đồng Tìm hàm lợi nhuận d  (2Q  1)dQ   (Q)  Q  Q  C  (100)  2.000.000  C  1989900 Giải: Ta có (4) 2.1.5 Xác định hàm tiết kiệm từ xu hướng tiết kiệm biên tế Cho biết xu hướng tiết kiệm biên tế phụ thuộc vào mức thu nhập Y dS 0, MS   0,3  Tìm hàm tiết kiệm dY Y S(Y) biết Y = 16 S = 10 Giải: Ta có (5) Cho tốc độ tiêu thụ loại hàng dQ  0, 05(500  Q) Tìm hàm tiêu hóa dt thụ Giải: Ta có dQ  dt 0, 05(500  Q) (7) Gọi f (t ) tổng sản phẩm nội địa (GDP) kinh tế Cho biết tốc độ thay đổi GDP f (t )  kf (t ) (k  const ) Tìm f (t ) Giải: Ta có df  kdt f (t ) df    kdt f (t )   ln | f (t ) | kt  C   ln 0, 05(500  Q)  t  C0 0, 05 f (t )  f (0)e kt (8) GDP gọi tăng trưởng k  suy giảm k   0, 05(500  Q)  e0,05t C Q(0)   C  25 2.5 Xác định hàm cầu từ hệ số co giãn cầu theo giá ([2]) (6) Ta có Q(t ) ổn định theo thời gian lim Q(t )  500 t   I (t )  10000e0,05t 2.4 Mơ hình tăng trưởng (suy giảm) tổng sản phẩm nội địa(GDP) ([6]) 2.2 Xác định hàm sản lượng từ tốc độ tiêu thụ ([6])  Q(t )  500  500e0,05t  I  Ce0,05t I (0)  10000  C  10000 t   S (Y )  0,3Y  0, Y  C S (16)  10  C  6,8  dI  0, 05I dt dI     0, 05dt I  ln | I |  0, 05t  C0 Ta có I (t ) ổn định theo thời gian lim I (t )  0,   dS   0,3   dY Y   S (Y )  0,3Y  0, Y  6,8 2.3 Xác định hàm đầu tư từ tốc độ đầu tư ([6]) Một khoản đầu tư tài I(t) giá liên tục với tỷ lệ 5% năm Cho biết giá trị khoản đầu tư thời điểm ban đầu $10000 Tìm hàm đầu tư Giải: Ta có   (Q)  Q  Q  1989900 Xác định lượng cầu mức giá P  15 biết hệ số co giãn cầu theo giá 5P  P   lượng cầu mức giá P  10 Q 500 4 Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Giải: Ta có phí biên tế, sản lượng thời điểm ban đầu Q = Tìm hàm sản lượng Q = Q(t) dQ P 5P  P  dP Q Q  dQ  (5  P)dP  Giải: Ta có dQ  Q dt 3   dQ   (5  P)dP Sản lượng cân  Q  5 P  P  C Q(10)  500  C  650  Q  5 P  P  650  Q(15)  350 Q*  Hàm sản lượng (9) 2.6 Mơ hình tự điều chỉnh giá ([3]) Giả sử mơ hình tự điều chỉnh giá theo thời gian (đơn vị: tháng) loại sản dP  (Qd  Qs ) Biết hàm cung phẩm dt hàm cầu Qd  11  P, Qs  1  P Tìm hàm giá P(t) biết giá ban đầu USD/sản phẩm Giải: Ta có Q(t )   (Q(0)  Q* )e Q(t )   e (11) Ta có phương trình vi phân cấp ổn định Khi sản lượng Q(t) hội tụ đến sản * lượng cân Q t   2.8 Mô hình Cob – Web Cho hàm cung cầu thị trường sau: dP Qd   P  , dt Qs  2  P dP  (11  P   P)   3P dt dP   3P (t )  dt Xác định giá P(t) thị trường cân Giá cân Giải: Ta có: P*  Thị trường cân  Qd  Qs Hàm giá P(t )  P*  ( P(0)  P* )e3t P(t )   e3t 3  t  t  (10) Phương trình vi phân cấp ổn định Khi giá P(t) hội tụ đến giá cân P* t   2.7 Mơ hình tự điều chỉnh sản lượng Giả sử mơ hình tự điều chỉnh sản lượng theo thời gian (đơn vị: tháng) loại dQ   P  MC (Q )  P sản phẩm dt =4 giá sản phẩm, MC(Q) = 2Q chi dP 10  P (t )  4 dt Giá cân P*  18 Hàm giá P(t )  18  18  10 t   P(0)   e  5 (12) Phương trình vi phân khơng ổn định Khi lim P(t )   t  Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Ta thấy mức giá không ổn định lim p(t )   2.9 Mơ hình thu nhập quốc dân ([7]) Cho mơ hình thu nhập quốc dân t  C  200  0, 75Y , E  C  I , I  80, dY  0,8( E  Y ), dt 2.11 Bài tốn giá trị bán lại Y tổng thu nhập quốc dân tại, E tổng phí tổn, C tiêu thụ hộ gia đình, I lượng đầu tư.Cho biết Y0 = 1250 Tìm Y(t) Giải: Ta có Giá trị bán lại R(t) (triệu đồng) loại máy sau t năm giảm với tốc độ tỷ lệ với hiệu số giá trị giá trị phế liệu Nghĩa S giá trị phế liệu máy dR   k  R  S  , k  số tỷ lệ dt Xác định giá trị máy sau năm biết giá mua 16 triệu đồng, sau năm giá trị triệu đồng giá trị phế liệu 500 ngàn đồng dY  0,8(280  0, 25Y ) dt dY   0, 2Y  224 dt Giải: Ta có: dR  kR  kS dt Tổng thu nhập cân Y *  1120 Giá trị bán lại cân Hàm tổng thu nhập là: Y (t )  1120  130e0,2t (13) Ta có Y(t) ổn định R*  S Hàm giá trị bán lại máy R(t )  S   R(0)  S  ekt  0,5  15,5ekt Khi lim Y (t )  1120 t   15  R (2)   k   ln    31  2.10Mơ hình tiền tệ Giả sử ta có phương trình R (t )  0,5  15,5e m(t )  p (t )    (t ), m(t) logarith tự nhiên lượng cung tiền, p(t) logarith tự nhiên mức giá  (t ) lạm phát kỳ vọng Giả sử dự đốn hồn hảo, nghĩa p(t )   (t ) Cho biết m(t) = 10, tìm p(t) Giải: Ta có (15) R(3)  0,5  15,5e  15  ln    31   5,717 (triệu đồng) Phương trình vi phân cấp ổn định Khi lim R(t )  0,5 t  Bài tốn đánh bắt thủy sản Gọi y trữ lượng cá cửa vịnh t thời gian cho mơ hình sau:  p(t )  p(t )  20 Ta dy  y (1  ky ) dt p  10 Do p(t )  10   p(0) 10 e2t Giá trị bán lại máy sau năm là: 2.12 p(t )  2 10  p(t )   15  ln   t  31  (14) Cho biết trữ lượng cá thời điểm ban đầu 0,5 sau năm (đơn vị tính 100000 tấn) Tính trữ lượng cá vào năm thứ t 6 Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Giải: Ta có dy  dt y (1  ky ) dy   dt y (1  ky )  y  ln  t  C1  ky  y k  Ce t  C   y (0)  0,5  y(0)  0,5   e1      1  e  y (1)   y (1)  k    e1  e1 (16)  y (t )   2e1  et Ta thấy trữ lượng cá ổn định  e1 lim y(t )  t   2e1 2.13 Bài toán gửi tiền ngân hàng Giả sử ban đầu gửi P triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm ngân hàng với lãi suất hàng năm r%, nhập lãi liên tục vào vốn Mỗi năm ta gửi thêm M triệu đồng vào tài khoản Gọi Y(t) lượng tiền sau t năm Tìm Y(t) Giải: Ta có dY  rY  M dt dY   dt 0, 01rY  M dY   dt 0, 01rY  M   ln(0, 01rY  M )  t  C 0, 01r  0, 01rY  M  C1e0,01rt Y  C1e0,01rt  M 0, 01r Khi t  , ta có Y  P Suy C1  0, 01rP  M Vậy ta Y (t )  (0, 01rP  M )e0,01rt  M 0, 01r (17) Ta có lượng tiền Y(t) không ổn định lim Y (t )   t  2.14 Bài toán khai thác dầu Một giếng dầu khai thác 300 thùng dầu thô ngày khai thác hết năm Người ta ước tính sau t ngày kể từ bây giờ, giá thùng dầu thô p(t )  60  0.3 t đôla Nếu dầu bán hết khai thác, tổng doanh thu R(t ) từ giếng dầu bao nhiêu? Giải: Ta có   dR  60  0,3 t 300 dt     dR   60  0,3 t 300dt    R  300  60t  0, 2t   R0   R (0)   R0  Do   R(t )  300  60t  0, 2t    (18) Tổng doanh thu từ giếng dầu R(1095)  21884064,52 (đôla) 2.15 Mơ hình tăng trưởng Domar ([3]) Mơ hình thiết lập dựa giả thiết sau K  const Ta xét hàm sản L xuất Q  f ( K , L)  f ( K ) 1) 2) Q   K (  const  0) 3) Thu nhập Y  Q 4) Đầu tư I  S  cY (0  c  1) tiết kiệm Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Giải: Ta có I (t )  m  dK dt dQ dK    I dt dt Từ 3) ta có dY dQ  dt dt 3) Đầu tư tiết dK  I (t )  S (t )  cY (t ) (0  c  1) dt 4) 4) Từ 4) ta có Suy dI  c I  dt I (t )  I (0)ec t , cLAm   L Do c  nên I(t) không ổn định I (t )   t   Ta có  K (0)  I (0) c (19) Y (t )   K (t )  dm  mnL dt I (0)ec t I (0)   K (0)  (20) c c Trên phương trình vi phân Béc – nu - li Để giải phương trình, ta chia hai vế phương trình cho m : m  1) Ta xét hàm sản xuất Q  f ( K , L) hàm bậc Chẳng hạn ta xét hàm sản xuất Q  AK  L1  Khi Cobb  Q K  AK  L   A    Am L L – Douglas dm  nm1   cA dt Ta đặt u  m1 Mơ hình tăng trưởng Solow ([4]) Mơ hình thiết lập dựa giả thiết sau đây: dm  mnL dt dm  nm  cAm  dt Ta có K(t) Y(t) không ổn định 2.16 dK  cQ  cLAm  dt Ta I(0) lượng đầu tư ban đầu I (0)e c dK dm dL L m dt dt dt Do cLAm   L Ta c t dL  nL (n  const  0) dt K  mL  dI I c dt Từ ta có kiệm 5) Giải: Ta có dI dS dY dY dI  c   dt dt dt dt c dt K (t )  K L 2) Thu nhập Y (t )  Q(t ) Từ 2) ta có Suy Khi du dm  (1   )m   dt dt Ta phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: dm  nm1   cA dt du  nu  cA   dt du  (1   )nu  (1   )cA dt m  Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh Ta có giá trị cân P(t )  20  (1   )cA cA u   (1   )n n * u (22) Nghiệm phương trình vi phân cấp là: Vì k  nên phương trình khơng ổn định Khi lim P(t )   cA  cA    u (0)   e(  1) nt n  n  3.2 Mơ hình thị trường với kỳ vọng giá ([4]) Do ta có Cho hàm cung cầu thị trường sau:  cA  cA   1  m(t )     m1  (0)   e(  1) nt  (21) n  n   Vì ( 1)n  nên phương trình ổn  cA  m(t )    định Khi tlim   n  19  t 11 2t e  e 3 1  PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 3.1 Xác định giá sản phẩm hàm số theo thời gian Tìm giá P  P(t ) loại sản phẩm biết giá thời điểm t thỏa phương trình vi phân P(t )  P(t )  P(t )  40; P(0)  30, P(0)  Giải: Ta có Giá cân P*  40  20 2 Giải phương trình đặc trưng k2  k   ta k1  1, k2  Nghiệm phương trình có dạng là: t P(t )  20  Ae  A2e2t Ta có 19  A1   20  A  A  30 P (0)  30        P(0)   A1  A2   A  11  Vậy ta có t  Qd  27  3P  8P  P, Qs  3  P  P  P Với P(0)  P(0)  , tìm quy luật biến động giá theo thời gian P(t) tính ổn định giá? Giải: Ta có Thị trường cân  Qd  Qs  P  P  10 P  30 Giá cân P*  30  10 Giải phương trình đặc trưng k  7k  10  ta k1  2, k2  5 Nghiệm phương trình có dạng là: 2t P(t )   Ae  A2e5t  A1   3  A1  A2   P(0)       1 1  P(0)  2 A1  A2   A   2 Vậy quy luật biến động giá là: P(t )   e 2t  e 5t 2 (23) Ta có k1  0, k2  nên giá ổn định Khi lim P (t )  t  Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh 3.3 Mơ hình tự điều chỉnh giá với lượng hàng tồn kho Trong mục 2.6, chúng tơi xét mơ hình tự điều chỉnh giá Trong mục này, chúng tơi tính đến lượng hàng tồn kho mơ hình tự điều chỉnh giá Giả sử mơ hình tự điều chỉnh giá theo thời gian (đơn vị: tháng) loại sản t dP 1  ( Q  Q )  Qs (s)  Qd (s)  ds s phẩm dt d 0 Biết hàm cung hàm cầu Qd  11  P, Qs   P Tìm hàm giá P(t) p tỷ lệ lạm phát thực sự, T hiệu suất lao động,  tỷ lệ lạm phát kỳ vọng, U tỷ lệ thất nghiệp m tỷ lệ tăng trưởng đồng tiền danh nghĩa Tìm biểu thức tỷ lệ lạm phát thực tỷ lệ thất nghiệp theo thời gian Giải: Ta tìm phương trình vi phân cấp sau: p(t )  20 2 p(t )  p(t )  m 3 Tỷ lệ lạm phát thực cân Giải: Ta có p*  m d P  dQd dQs        Qs (t )  Qd (t )  dt 2  dt dt  d 2P dP 10 4  P dt dt 3 Giá cân Phương trình đặc trưng k2  20 k   Suy k1  P  * k  4k   p(t )  m  A1e 20 20 , k2  2  ta k1  2  3 20  t    2  e 20  t  (24) 3.4 Mơ hình kinh tế vĩ mô lạm phát thất nghiệp ([5]) 1   p   4U   ,    (t )  ( p   ) ,   U (t )   (m  p ) ,   A2e 10 46 t (25) t  Mặt khác, ta tìm tỷ lệ thất nghiệp Ta có k2  nên giá khơng ổn định Khi P(t )   tlim  Ta xét mơ hình sau 10 46 t Vì k1  0, k2  nên tỷ lệ lạm phát thực ổn định Khi lim p(t )  m Vậy quy luật biến động giá là:  10  46 10  46 , k1  9 Do Giải phương trình đặc trưng  2 P(t )   A1e 10  1 U (t )   m  C1e 24 46 t  C2e 10  46 t (26) Vì k1  0, k2  nên tỷ lệ thất nghiệp ổn 1  m định Khi lim U (t )  t  24 KẾT LUẬN Trong báo này, khảo sát nghiệm đánh giá tính ổn định nhiều mơ hình ứng dụng phương trình vi phân cấp cấp hai kinh tế Ngồi ra, chúng tơi mở rộng việc khảo sát cho số mơ hình kinh tế Bài báo giúp cho giảng viên, sinh viên, học viên cao học hiểu sâu rộng mơ hình ứng dụng phương trình 10 Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh vi phân kinh tế vận dụng chúng vào tốn thực tiễn Trong thời gian tới, khảo sát thêm mơ hình ứng dụng phương trình vi phân hệ phương trình vi phân kinh tế Mặt khác, khảo sát mơ hình ứng dụng phương trình vi phân vật lý, kỹ thuật, sinh học, y học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] Michael Sampson, An introduction to mathematical economics part 2, Loglinear Publishing, 2001 Lê Đình Thúy, Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, Phần II: Giải tích tốn học, Nhà xuất Đại học Kinh tế Quốc dân, 2010 Lê Quang Hoàng Nhân, Hồng Đức Hải, Giáo trình Tốn cao cấp (phần Giải tích), Nhà xuất Thống kê, 2008 Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, McGraw - Hill, Inc Nguyễn Hải Thanh, Các phương pháp Toán Kinh tế, Hà Nội, 2008 Teresa Bradley, Paul Patton, Essential Mathematics for Economics and Business, Second Edition, John Wiley& Sons, LTD, 2002 Mike Rosser, Basic mathematics for economists, Second Edition, Routledge, 2003 Tác giả chịu trách nhiệm viết: Nguyễn Quang Huy Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp.Hồ Chí Minh Email: huynq@hcmute.edu.vn ... Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh học ngồi nước Tại trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TpHCM, sinh vi? ?n khối ngành kinh tế học hai học. .. số tốn kinh tế Qua sinh vi? ?n học tốt mơn Tốn Kinh tế mơn chun ngành Điều giúp báo trở nên thiết thực giảng vi? ?n sinh vi? ?n trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật trường Đại học khác PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN... giúp cho giảng vi? ?n, sinh vi? ?n, học vi? ?n cao học hiểu sâu rộng mơ hình ứng dụng phương trình 10 Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 63 (04/2021) Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh vi