Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán cổ này thật là hay và dí dỏm, nhưng nếu các vị thần trả lời theo các phương án “khôn ngoan” nhất thì có cách nào để xác định được 3 vị thần sau 1 số ít nhất câu hỏi được không[r]
(1)LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƯ-SEP
Các bạn làm quen với bất đẳng thức Cơ si, Bunhiacơpski khơng bạn chưa biết bất đẳng thức Trê - bư - sép Con đường đến bất đẳng thức thật giản dị, gần gũi với kiến thức bạn bậc THCS
Các bạn thấy : Nếu a1 ≤ a2 b1 ≤ b2 (a2 - a1) (b2 - b1) ≥ Khai
triển vế trái bất đẳng thức ta có :
a1b1 + a2b2 - a1b2 - a2b1 ≥
=> : a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1
Nếu cộng thêm a1b1 + a2b2 vào hai vế ta :
2 (a1b1 + a2b2) ≥ a1 (b1 + b2) + a2 (b1 + b2)
=> : (a1b1 + a2b2) ≥ (a1 + a2) (b1 + b2) (*)
Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = Nếu thay đổi giả thiết, cho a1 ≤ a2 b1 ≥ b2 tất bất đẳng thức đổi chiều ta có
:
2 (a1b1 + a2b2) ≤ (a1 + a2) (b1 + b2) (**)
Các bất đẳng thức (*) (**) trở thành đẳng thức a1 = a2
b1 = b2
Làm theo đường tới (*) (**), bạn giải nhiều toán thú vị
Bài toán : Biết x + y = Chứng minh x2003 + y2003 ≤ x2004 + y2004
Lời giải : Do vai trị bình đẳng x y nên giả sử x ≤ y Từ => : x2003
≤ y2003
Do (y2003 - x2003).(y - x) ≥
=> : x2004 + y2004 ≥ x.y2003 + y.x2003
Cộng thêm x2004 + y2004 vào hai vế ta có : 2.(x2004 + y2004) ≥ (x+y) (x2003 + y2003) = 2.
(x2003 + y2003)
=> : x2004 + y2004 ≥ x2003 + y2003 (đpcm)
Để ý : Bất đẳng thức vừa chứng minh trở thành đẳng thức x = y = ; bạn có lời giải toán sau :
Bài toán : Giải hệ phương trình :
Nếu bạn quan tâm tới yếu tố tam giác vận dụng bất đẳng thức (*) (**) dẫn đến nhiều toán
Bài toán : Cho tam giác ABC có diện tích AH BK đường cao tam giác
Chứng minh : (BC + CA).(AH + BK) ≥
Lời giải : Ta có AH x BC = BK x CA = Do vai trị bình đẳng BC CA nên giả sử BC ≤ CA => 2/BC ≥ 2/CA => AH ≥ BK
Do (CA - BC).(BK - AH) ≤
=> : CA x BK + BC x AH ≤ BC x BK + CA x AH Cộng thêm CA x BK + BC x AH vào vế ta có : 2.(CA x BK + BC x AH) ≤ (BC + CA) (AH + BK) => : (BC + CA).(AH + BK) ≥
Đẳng thức xảy BC = CA BK = AH tương đương với BC = CA hay tam giác ABC tam giác cân đỉnh C
(2)với S diện tích tam giác ABC
Lời giải : Do vai trị bình đẳng cạnh tam giác nên giả sử rằng a ≤ b ≤ c
=> : 2S/a ≥ 2S/b ≥ 2S/c => ≥ hb ≥ hc
Làm lời giải tốn ta có : (a + b).(ha + hb) ≥ 8S
=> : 1/(ha + hb) ≤ (a + b)/(8S) (1)
Tương tự ta :
1/(hb + hb) ≤ (b + c)/(8S) (2)
1/(hc + ha) ≤ (c + a)/(8S) (3)
Cộng vế (1), (2), (3) dẫn đến :
Bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời trở thành đẳng thức tương đương với a = b = c hay tam giác ABC tam giác
Bây bạn thử giải tập sau :
1) Biết x2 + y2 = Tìm giá trị lớn F = (x4 + y4) / (x6 + y6)
2) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh :
3) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c độ dài đường phân giác thuộc cạnh la, lb, lc Chứng minh :
4) Hãy dự đoán chứng minh bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = Từ sáng tạo toán Nếu bạn thấy thú vị với khám phá tập này, gửi gấp viết cho chuyên mục EUREKA TTT2
TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN THÚ VỊ
Khi giải phương trình bậc hai, bạn đặt câu hỏi, chẳng hạn phương trình x2 + 6x - = có nghiệm thì có nghiệm là
?
Ban đầu tơi giải thích điều kì lạ định lí Viét sau q trình suy nghĩ, tìm tịi tơi phát bí ẩn tuyệt vời đằng sau điều kì lạ Trước hết ta xét toán :
Bài toán :
Chứng minh : Nếu phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ, có nghiệm vơ tỉ (m ; n thuộc Q) có nghiệm
Chứng minh : Có cách để chứng minh toán Cách : (sử dụng hệ thức Viét)
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (*) (a ≠ 0) có nghiệm
Gọi x1, x2 hai nghiệm (*) x1 =
(3)Cách :
Khi chứng minh cách 2am + b = => 2am + b = = am2 + an + bm + c
Khi : Cách : Xét :
= (x - m)2 - n = x2 - 2mx + m2 - n
Chia đa thức ax2 + bx + c cho g(x) ta có :
ax2 + bx + c = a(x - )(x - ) + (b + 2ma)x + (an + c - m2a)
Khi x1 = => ax2 + bx + c =
=> : (b + 2ma)( ) + an + c =
Do vô tỉ ; m, n, a, b, c thuộc Q nên => : b + 2ma = an + c - m2a =
=> ax2 + bx + c = a(x - )(x - )
=> nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (đpcm)
Sau thử nghiệm số trường hợp, tơi tổng qt tốn sau : Bài toán :
Chứng minh : Nếu phương trình bậc n (n ≥ 2) có hệ số hữu tỉ nghiệm vô tỉ (m, n thuộc Q) nghiệm phương trình
Chứng minh : Đến có lẽ bạn đọc thấy bất lực cách ; (bài toán 1) toán Tuy nhiên sử dụng cách giải toán ta chứng minh toán
Thật : Xét phương trình P(x) = với P(x) đa thức bậc n hệ số hữu tỉ Xét :
= x2 - 2mx + m2 - n
Chia P(x) cho G(x) thương Q(x) dư B(x) + C (B,C thuộc Q) Vì x0 = nghiệm P(x) =
=> : P(x0) = Q(x0) = => Bx0 + C =
=> : B( ) + C =
Do vô tỉ ; B, C hữu tỉ => B = C = => P(x) = Q(x).(x - )(x - )
=> nghiệm phương trình P(x) = : (đpcm)
Bây xét đến toán tốn quen thuộc phương trình bậc hai
(4)Chứng minh : Một phương trình bậc hai khơng thể có nghiệm hữu tỉ hệ số lẻ
Chứng minh : Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c thuộc Z, lẻ) có
nghiệm hữu tỉ (p, q thuộc Z, q ≠ 0, (p, q) = 1) => : a.(p/q)2 + b.(p/q) + c =
=> : ap2 + bpq + cq2 = (2)
Từ phương trình (2) ta có ap2 chia hết cho q mà (p,q) = => a chia hết cho q => q
lẻ (vì a lẻ)
Tương tự c chia hết cho p => p lẻ (vì c lẻ)
Do a, b, c, p, q lẻ => vế trái (2) lẻ khác (vơ lí) => : Phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ (đpcm)
Để tổng qt tốn có lẽ số bạn mắc sai lầm quy phương trình bậc n Điều khơng với n lẻ, chẳng hạn n = ta có phương trình :
x3 + 3x2 + 3x + = có nghiệm -1
Bài toán :
Chứng minh : Một phương trình bậc n chẵn, khơng thể có nghiệm hữu tỉ hệ số lẻ
Chứng minh : Dựa vào chứng minh toán ta có :
Xét P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = phương trình bậc n (với n chẵn ;
nguyên lẻ, i = 0, ,n ) có nghiệm hữu tỉ p/q (p, q thuộc Z, q ≠ 0, (p, q) = 1) Ta có :
an(p/q)n + an - 1(p/q)n - + + a1(p/q) + a0 =
Tương đương với : anpn + an - 1pn - 1q + + a1pqn - + a0qn = (3)
=> anpn chia hết cho q a0qn chia hết cho p , mà (p, q) = => an chia hết cho q
a0 chia hết cho p => p, q lẻ (vì a0, an lẻ)
Do (i = 0, ,n) , p, q lẻ, n chẵn => vế trái (3) số lẻ khác (vơ lí)
=> : Phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ (đpcm)
Các bạn thấy đấy, phức tạp bắt đầu đơn giản Từ chút kì lạ nhỏ thơi chịu đào sâu suy nghĩ khám phá nhiều điều thú vị Đó nguyên tắc hàng đầu sáng tạo tốn học Chúc bạn thành cơng đường tìm vẻ đẹp tốn học
MỘT PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ
Trong trình học tốn bậc THCS, có lẽ hấp dẫn khó khăn việc vượt qua tốn hình học, mà để giải chúng cần phải vẽ thêm đường phụ Trong báo này, xin nêu phương pháp thường dùng để tìm đường phụ cần thiết giải tốn hình học : Xét vị trí đặc biệt yếu tố hình học có tốn cần giải
(5)Suy luận : Vị trí đặc biệt CD CD đối xứng với AB qua Oz, phân giác góc xOy
Gọi C1 D1 điểm đối xứng A B qua Oz ; E F giao điểm
của AC1 BD1 với Oz Khi E F trung điểm AC1 BD1, vị
trí MN EF Vì ta cần chứng minh MN // EF đủ (xem hình 1) Thật vậy, AB = CD (gt), AB = C1D1 (tính chất đối xứng) nên CD = C1D1 Mặt
khác ME NF đường trung bình tam giác ACC1 BDD1 nên NF //
DD1, NF = 1/2DD1 , ME // CC1 , ME = 1/2 CC1 => ME // NF NE = 1/2 NF =>
tứ giác MEFN hình bình hành => MN // EF => đpcm
Bài tốn có nhiều biến dạng” thú vị, sau vài biến dạng nó, đề nghị bạn giải xem tập nhỏ ; sau đề xuất “biến dạng” tương tự
Bài toán : Cho tam giác ABC Trên AB CD có hai điểm D E chuyển động cho BD = CE Đường thẳng qua trung điểm BC DE cắt AB AC I J Chứng minh ΔAIJ cân
Bài toán : Cho tam giác ABC, AB ≠ AC AD AE phân giác trung tuyến tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB AC M N Gọi F trung điểm MN Chứng minh AD // EF
Trong việc giải toán chứa điểm di động, việc xét vị trí đặc biệt tỏ hữu ích, đặc biệt tốn “tìm tập hợp điểm”
Bài tốn : Cho nửa đường trịn đường kính AB cố định điểm C chuyển động nửa đường trịn Dựng hình vng BCDE Tìm tập hợp C, D tâm hình vng
Ta xét trường hợp hình vng BCDE “nằm ngồi” nửa đường trịn cho (trường hợp hình vng BCDE nằm đường trịn cho xét tương tự, đề nghị bạn tự làm lấy xem tập)
Suy luận : Xét trường hợp C trùng với B Khi hình vng BCDE thu lại điểm B điểm I, D, E trùng với B, I tâm hình vng BCDE Vậy B điểm thuộc tập hợp cần tìm
Xét trường hợp C trùng với A Dựng hình vng BAD1E1 D trùng với D1,
E trùng với E1 I trùng với I1 (trung điểm cung AB ) Trước hết, ta tìm tập
hợp E Vì B E1 thuộc tập hợp cần tìm nên ta nghĩ đến việc thử chứng
minh Đ BEE1 khơng đổi Điều khơng khó Đ ACB = 90o (góc nội tiếp chắn
nửa đường trịn) ΔBEE1 = ΔBCA (c g c) => Đ BEE1 = Đ BCA = 90o => E nằm
trên nửa đường trịn đường kính BE1 (1/2 đường trịn 1/2 đường trịn
(6)Vì Đ DEB = Đ E1EB = 90o nên D nằm EE1 (xem hình 2)
=> Đ ADE1 = 90o = Đ ABE1 => D nằm đường tròn đường kính AE1,
ABE1D1 hình vng nên đường trịn đường kính AE1 đường trịn đường
kính BD1 Chú ý B D1 vị trí giới hạn tập hợp cần tìm, ta => tập
hợp D nửa đường tròn đường kính BD1 (nửa đường trịn điểm A hai
nửa mặt phẳng khác với bờ đường thẳng BD1)
Cuối cùng, để tìm tập hợp I, ta cần ý II1 đường trung bình ΔBDD1 nên
II1 // DD1 => Đ BII1 = 90 => tập hợp I nửa đường trịn đường kính BI1 (đường
trịn A hai nửa mặt phẳng khác với bờ BD1)
Để kết thúc, xin mời bạn giải toán sau :
Bài toán : Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB cố định điểm C chuyển động nửa đường trịn Kẻ CH vng góc với AB Trên đoạn thẳng OC lấy điểm M cho OM = CH Tìm tập hợp M
XOAY QUANH MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC
Bài tốn : Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy hai điểm D, E cho BD = CE Chứng minh Đ BAD = Đ CAE tam giác ABC tam giác cân
Cách : (Vũ Cao Ân)
Từ D vẽ DF // AC, từ E vẽ EG // AB ta chứng minh DF/EG = AC/AB (1) ; ΔADF đồng dạng với ΔAEG (g g) => DF/EG = AD/AE (2)
Từ (1) (2) có AC/AB = AD/AE => ΔADC đồng dạng với ΔAEB (c g c) => Đ ABC = Đ ACB
(7)Giả sử Đ B > Đ C => AC > AB => AC/AB > Vẽ M thuộc AD cho Đ ABM = Đ ACE
Có Đ M1 = góc E1 => Đ M2 = Đ E2 ; góc D1 > Đ E2 = Đ M2 => BM > BD => BD/BM
< (1)
ΔABM đồng dạng với ΔACE => AB/AC = BM/EC => EC/BM = BD/BM = AC/AB > (2)
(1) (2) mâu thuẫn Từ ta có đpcm Cách : (Nguyễn Quang Hùng)
Từ D E vẽ DF vng góc với AB ; EG vng góc với AC BD = CE => SABD = SACE => AB.DF = AC.EG => DF/EG = AC/AB (1)
ΔADF đồng dạng với ΔAEG => DF/EG = AD/AE (2)
Từ (1) (2) => AC/AB = AD/AE , cho ta ΔABE đồng dạng với ΔACD => Đ ABE = Đ ACD
Cách : (Minh Quân)
Vẽ hình bình hành ABEF => BE = AF Chứng minh tứ giác ADCF hình bình hành => Đ EFC = Đ BAD = Đ EAC (gt)
(8)Từ (1) (2) có EG = GC cân G => ΔGEC cân G => Đ FEC = Đ ACE => Đ ABC = Đ ACB
Cách : (Đỗ Đăng Trí)
Vẽ BH, CK đường cao tam giác ABD, ACE BD = CE => SABD =
SACE => BH/CK = AE/AD
ΔABH đồng dạng với ΔACK => BH/CK = AB/AC
ΔABE đồng dạng với ΔACD ( Đ BAE = Đ CAD , AB/AC = AE/AD) => Đ ABE = Đ ACD => Δ ABC cân A
Cách : (Bảo Linh)
Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD M, qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt AE N
ΔABM đồng dạng với ΔACN (g g) => AB/AC = BM/CN (1) ΔADC có BM // AC => AC/BM = BE/BD
ΔABE có CN // AB => AB/CN = BE/EC
Do có AB/AC = CN/BM (2) Từ (1) (2) có AB/AC.AB/AC = BM/CN.CN/BM
=> AB2/AC2 = => AB = AC
Các bạn cịn tìm thêm cách giải ? SỬ DỤNG DIỆN TÍCH
TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Có nhiều tốn hình học tưởng khơng liên quan đến diện tích, ta sử dụng diện tích lại dễ dàng tìm lời giải tốn
(9)Phân tích toán (h.1)
Để so sánh DC DB, so sánh diện tích hai tam giác ADC ADB có chung đường cao kẻ từ A Ta so sánh diện tích hai tam giác chúng có đường cao kẻ từ D nhau, AC = AB theo đề cho
Giải : Kẻ DI vng góc với AB, DK vng góc với AC Xét ΔADC ΔADB : đường cao DI = DK, đáy AC = AB nên SADC = SADB
Vẫn xét hai tam giác có chung đường cao kẻ từ A đến BC, SADC = SADB
nên DC = DB
Giải tương tự trên, ta chứng minh toán tổng quát : Nếu AD phân giác ΔABC DB/DC = AB/AC
Bài tốn : Cho hình thang ABCD (AB // CD), đường chéo cắt O Qua O, kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh bên AC BC theo thứ tự E F
Chứng minh OE = OF
Giải :
Cách : (h.2) Kẻ AH, BK, CM, DN vng góc với EF Đặt AH = BK = h1, CM =
DN = h2
Ta có :
(10)Do OE = OF
Cách : (h.3) Kí hiệu hình vẽ Ta có SADC = SBDC
Cùng trừ S5 :
S1 + S2 = S3 + S4 (1)
Giả sử OE > OF S1 > S3 S2 > S4 nên S1 + S2 > S3 + S4, trái với (1)
Giả sử OE < OF S1 < S3 S2 < S4 nên S1 + S2 < S3 + S4, trái với (1)
Vậy OE = OF
Bài tốn : Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC cho AN = CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác góc AKC
Giải : (h.4) Kẻ DH vng góc với KA, DI vng góc với KC Ta có :
DH AN = SADN (1)
DI CM = SCDM (2)
Ta lại có SADN = 1/2.SABCD (tam giác hình bình hành có chung đáy AD, đường
cao tương ứng nhau), SCDM = 1/2.SABCD nên SADN = SCDM (3)
Từ (1), (2), (3) => DH AN = DI CM
Do AN = CM nên DH = DI Do KI tia phân giác góc AKC
Như xét quan hệ độ dài đoạn thẳng, ta nên xét quan hệ diện tích tam giác mà cạnh đoạn thẳng Điều nhiều giúp đến lời giải tốn
Bạn sử dụng diện tích để giải toán sau :
(11)Hướng dẫn : Hãy ý đến
SAMB + SAMC = SABC
2 Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M tam giác ABC đến ba cạnh tam giác khơng phụ thuộc vị trí M
Hướng dẫn : Hãy ý đến
SMBC + SMAC + SMAB = SABC
3 Cho tam giác ABC cân A Điểm M thuộc tia đối tia BC Chứng minh hiệu khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AC AB đường cao ứng với cạnh bên tam giác ABC
Hướng dẫn : Hãy ý đến
SMAC - SMAB = SABC
4 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Các đường thẳng AD BC cắt O Gọi F trung điểm CD, E giao điểm OF AB Chứng minh AE = EB
Hướng dẫn : Dùng phương pháp phản chứng. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số biểu thức dạng toán bạn thường gặp kì thi, khơng bậc THCS mà sau bạn gặp bậc THPT Tất nhiên bậc học, toán đặt với mức độ khác viết xin bước đầu trao đổi với bạn chút kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức để giải loại toán
Kiến thức cần biết để sử dụng : * Với a, b ≥ :
và đẳng thức xảy a = b Đây bất đẳng thức Cơsi trường hợp số Các bạn suy từ bất đẳng thức hiển nhiên :
* Với a, b |a| + |b| ≥ |a + b| (**) đẳng thức xảy ab ≥ Các bạn cần bình phương hai vế để có bất đẳng thức tương đương hiển nhiên
* Với số a, b, c, d tùy ý ta có :
(a2 + b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 (***) đẳng thức xảy ad = bc
Đây bất đẳng thức Bunhiacơpski hai cặp số Các bạn suy bất đẳng thức dựa vào đẳng thức :
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2
* Cho a ≠ 0,
(12)- Nếu a > f(x) ≥ (4ac - b2)/(4a) với x đẳng thức xảy x
= - b/(2a)
- Nếu a < f(x) ≤ (4ac - b2)/(4a) với x đẳng thức xảy x
= - b/(2a)
Bây bạn theo dõi thí dụ :
Thí dụ : Tìm giá trị nhỏ hàm số :
Lời giải : Thực phép chia tử thức cho mẫu thức ta viết :
áp dụng bất đẳng thức (*) ta có :
với x Đẳng thức xảy
Vậy y đạt giá trị nhỏ x = Thí dụ : Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = |x - 2003| + |x + 2003|
Lời giải : áp dụng bất đẳng thức (**) với a = x + 2003 b = 2003 - x ta có : y = |x - 2003| + |x + 2003| = |2003 - x| + |x + 2003|
≥ |(2003 - x) + (x + 2003)| = 2006
Đẳng thức xảy (2003 - x)(x + 2003) ≥ Tương đương - 2003 ≤ x ≤ 2003
Do y đạt giá trị nhỏ 4006 - 2003 ≤ x ≤ 2003
Chú ý : Nhiều bạn lại áp dụng với a = x + 2003 b = x - 2003 chưa Bởi ta có :
y ≥ |(x - 20003) + (x + 2003)| = |2x| = 2|x|
Vì 2|x| khơng phải số nên dù đẳng thức có xảy khơng kết luận giá trị nhỏ y
Thí dụ : Tìm giá trị lớn hàm số : y = - 2001 x2 + 2002 x - 2003
Lời giải : Như phần kiến thức trình bày trên, ta viết :
với x
(13)Chú ý : Khi gặp đa thức nhiều ẩn, bạn tạm coi đa thức ẩn với ẩn thực cách biến đổi tương tự giải tốn
Thí dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x2 + y2 - xy - x + y +
Lời giải : Ta viết :
Từ ta có giá trị nhỏ P 2/3 Chú ý : Nhiều bạn có “sáng kiến” viết : P = 1/2.(2x2 + 2y2 - 2xy - 2x + 2y + 2)
= 1/2.[ (x - y)2 + (x - 1)2 + (y + 102 ] ≥ với x, y
Tuy nhiên bất đẳng thức trở thành đẳng thức Ta khơng gì, ngồi việc biết giá trị nhỏ P, tồn số dương (!) Các bạn thấy bất đẳng thức không trở thành đẳng thức mà vội vàng “liều lĩnh” kết luận : P khơng có giá trị nhỏ (?)
Thí dụ : Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : Lời giải : Tập xác định hàm số ≤ x ≤
Ta có :
với x thuộc tập xác định Vì y ≥ nên từ y2 ≥ => y ≥
(14)Do GTLN y
Mức độ khó hơn, bạn tham khảo tốn : Thí dụ : Tìm giá trị nhỏ hàm số :
y = x4 - 4x3 + 8x
Lời giải : Ta có :
y = (x4 - 4x3 + 4x2) - 4(x2 - 2x)
= (x2 - 2x)2 - 4(x2 - 2x)
= [ (x2 - 2x) - 2]2 - ≥ - với x
Đẳng thức xảy :
Do giá trị nhỏ y -4,
Thí dụ : Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : Lời giải : Căn thức có nghĩa - x2 ≥ 0
Tương đương với x2 ≥ hay |x| ≤
Tương đương - ≤ x ≤ Ta có :
áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x2 b = - x2 ta có
Từ (1) (2) ta có |y| ≤ => - ≤ y ≤ GTLN y
GTNN y -2
Các bạn tự luyện tập thêm qua tốn : 1 Tìm giá trị nhỏ hàm số
(15)3 Tìm giá trị nhỏ P = x2 + 2y2 - 2xy + 2(x - 2y + 1)
4 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số
TƠI ĐÃ TÌM RA
NGƯỜI ANH EM SONG SINH
Ai biết tính chất đường phân giác tam giác, thể qua toán sau
Bài toán : Cho tam giác ABC, phân giác AD Chứng minh DB/DC = AB/AC
Bài toán sau mở rộng toán
Bài toán : Cho tam giác ABC Các điểm M, N thuộc đoạn BC thỏa mãn điều kiệnĐ BAM = Đ CAN Chứng minh :
Có toán khác liên quan đến đường phân giác tam giác ln với tốn hai anh em sinh đơi
Bài tốn : Cho tam giác ABC, phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC - DB DC
Tôi biết toán 1, 2, từ thuở học lớp từ lúc tơi ln nghĩ tốn phải có người anh em sinh đơi Nhưng người anh em tốn tơi khơng hình dung mặt mũi Cứ sau năm quan tâm tìm kiếm tơi tìm thấy nó, người anh em sinh đơi “thân thiết” toán
(16)Lời giải : Lấy P, Q giao điểm thứ hai AM, AN với đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Ta có : Đ BCP = Đ BAP = Đ CAQ = Đ CPQ
=> PQ // BC => AM/MP = AN/NQ (định lí Ta-lét) AM/MP NQ/AN = (1) Ta dễ dàng chứng minh số cặp tam giác đồng dạng dẫn đến số đẳng thức sau :
ΔAMC đồng dạng với ΔBMP => AM MP = BM CM (2) ΔANB đồng dạng với ΔCNQ => AN NQ = BN CN (3) ΔAMB đồng dạng với ΔACQ => AM AQ = AB AC (4) Từ => :
Vậy ta chứng minh xong toán
Mở rộng toán : Cho M, N thuộc tia đối tia BC cho Đ BAM + Đ CAN = 180o
Khi :
(Lời giải toán gần tương tự toán đầu tiên)
Các tốn 1, 2, 3, có nhiều ứng dụng việc giải toán khác Tuy nhiên khn khổ có hạn báo xin dừng lại
Lương Thế Vinh (Lớp 10A1, Khối PTCTT, ĐHSPHN) TỪ MỘT BÀI TỐN TÍNH TỔNG
Chúng ta tốn tính tổng quen thuộc sau : Bài toán A :
Tính tổng : Lời giải :
Vì = ; = ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có tốn khó chút xíu
(17)Và tất nhiên ta nghĩ đến toán ngược Bài : Tìm x thuộc N biết :
Hơn ta có : ta có tốn
Bài : Chứng minh :
Do vậy, cho ta tốn “tưởng khó” Bài : Chứng tỏ tổng :
không phải số nguyên
Chúng ta nhận a1 ; a2 ; ; a44 số tự nhiên lớn
khác
Giúp ta đến với tốn Hay Khó sau :
Bài : Tìm số tự nhiên khác a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 cho
Ta cịn có toán “gần gũi” với toán sau : Bài : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn
Chứng minh rằng, 44 số này, tồn hai số
Bài : Tìm số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < < a44 <
a45
Các bạn cịn phát điều thú vị ? BÀN LUẬN VỀ BÀI TOÁN "BA VỊ THẦN"
Chúng ta biết toán thú vị : “Ba vị thần” sau :
Ngày xưa, ngơi đền cổ có vị thần giống hệt Thần thật (TT) ln ln nói thật, thần dối trá (DT) ln ln nói dối thần khơn ngoan (KN) lúc nói thật lúc nói dối Các vị thần trả lời câu hỏi khách đến lễ đền khơng xác định xác vị thần Một hơm có nhà hiền triết từ xa đến thăm đền Để xác định vị thần, ông hỏi thần bên trái : - Ai ngồi cạnh ngài ?
(18)- Ta thần KN (2)
Sau ông hỏi thần bên phải : - Ai ngồi cạnh ngài ?
- Đó thần DT (3) Nhà hiền triết lên :
- Tôi xác định vị thần
Hỏi nhà hiền triết suy luận ?
Lời giải : Gọi vị thần theo thứ tự từ trái sang phải : A, B, C Từ câu trả lời (1) => A thần TT
Từ câu trả lời (2) => B thần TT
Vậy C thần TT Theo (3) đ B thần DT đ A thần KN
Nhận xét : Cả câu hỏi tập trung xác định thần B, phải cách hỏi “thơng minh” nhà hiền triết để tìm vị thần ?
Câu trả lời không phải, mà nhà hiền triết gặp may vị thần trả lời câu hỏi không “khôn ngoan” !
Nếu vị thần trả lời “khôn ngoan” mà đảm bảo tính chất vị thần sau câu hỏi, nhà hiền triết xác định vị thần Ta thấy rõ qua phân tích sau cách hỏi nhà hiền triết :
1 Hỏi thần X : - Ngài ?
Có khả trả lời sau :
- Ta thần TT => không xác định X (Cách trả lời khôn nhất) - Ta thần KN => X thần KN DT
- Ta thần DT => X KN Hỏi thần X :
- Ai ngồi cạnh ngài ?
Cũng có khả trả lời sau :
- Đó thần TT => thần X khác thần TT
- Đó thần KN => không xác định X (cách trả lời khơn nhất) - Đó thần DT => khơng xác định X (cách trả lời khôn nhất)
Trong cách hỏi nhà hiền triết có cách trả lời khiến nhà hiền triết khơng có thơng tin ba vị thần mà xác định vị thần Nếu gặp may (do trả lời ngờ nghệch) cần sau câu hỏi nhà hiền triết đủ để xác định vị thần Các bạn tự tìm xem trường hợp câu trả lời vị thần
Bài toán cổ thật hay dí dỏm, vị thần trả lời theo phương án “khôn ngoan” có cách để xác định vị thần sau số câu hỏi không ?
Rõ ràng đặt câu hỏi nhà hiền triết Phải hỏi để thu nhiều thông tin ? Bây ta đặt vấn đề sau :
Mỗi lần hỏi hỏi vị thần vị trả lời Cần hỏi để sau số câu hỏi ta xác định vị thần Bài toán rõ ràng không dễ chút nào, tin bạn tìm nhiều phương án tối ưu ! Sau phương án
Hỏi thần A :
- Ngài thần KN ? - Nhận câu trả lời Hỏi thần B :
(19)Sau tơi cần hỏi thêm câu xác định xác vị thần Như số câu hỏi nhiều
Các bạn rút số câu hỏi xuống không ?
Xin mời bạn giải trí tốn phương án tuyệt vời (Nhớ hỏi thần vị trả lời)
Xin chào tạm biệt