Giao trinh Vat Ly thong ke

Những đại lượng nhiệt động của chất lỏng Hêli II... Hiện tượng siêu chảy của chất lỏng Hêli II..[r]

Khoa Vật Lý-Đại Học Sư Phạm Hà Nội

GIÁO TRÌNH

VẬT LÝ THỐNG KÊ

Người biên soạn: GS TS Nguyễn Hữu Mình

I Ma trận mật độ Phương trình chuyển động ma trận mật độ §1 Ma trận mật độ

Nếu hệ lượng tử cô lập hay hệ trường mà tương tác hệ

và trường biết xác trạng thái hệ lượng tử

mơ tả hàm sóng Trạng thái hệ lượng tử mô tả hàm sóng gọi trạng thái

Ta khảo sát hệ lượng tử mà trạng thái hệ mơ tả hàm sóng ( )x

Ψ x kí hiệu tập hợp biến sốđộng lực xác định trạng thái

của hệ Giả sử ˆA x toán t( ) biểu diễn đại lượng vật lí A x( ) đặc

trưng cho hệ Khi giá trị trung bình A trạng thái Ψ( )x xác định công thức:

( ) ( ) ( )

* ˆ

A= Ψ∫ x A x Ψ x dx (1)

Nếu hệ lượng tử không cô lập tương tác hệ với hệ xung quanh

khơng cho cách xác trạng thái hệ không mô tả

bằng hàm sóng Bởi tương tác hệ trường ngồi chưa biết

khơng thể giải phương trình Schrưdinger để xác định hàm sóng Để mơ tả hệ

lượng tử khuôn khổ học lượng tử, ta xét hệ xét (gọi hệ

con) hệ xung quanh tương tác với (gọi hệ lớn) làm thành hệ

kín Khi ta dùng khái niệm hàm sóng để mơ tả trạng thái hệ

kín Giả sử hệ lớn mô tả tập hợp biến số động lực q Hàm

sóng mơ tả trạng thái hệ kín hàm x q: (q, x)

Ψ = Ψ (2)

Ta chọn hàm sóng cho giá trị trung bình đại lượng A(x) hệ xác định hệ thức:

( ) ( ) ( )

* ˆ

Chú ý toán tử ˆA x ch( ) ỉ tác dụng lên biến x hệ Đặt:

( ) ( ) ( )

( ) *( ) ( )

ˆ

A x ', x x ' x A x

x ',x q,x ' q,x dq

= δ −

ρ = Ψ∫ Ψ (4)

Ta viết được:

( ) ( )

A=∫ ∫ A x ', x ρ x ',x dxdx '

Đại lượng ρ(x ', x) yếu tố ma trận mật độ ρ x-biểu diễn (trong

toạđộ biểu diễn) Dùng quy tắc nhân ma trận, ta viết được: [ ]x ' x ' ( )

A=∫ Aρ dx ' Sp A= ρ (5)

Biết ma trận mật độ ρ ta xác định A đặc trưng cho hệ Trạng

thái hệ mô tả ma trận mật độ ρ gọi trạng thái hỗn

hợp

Giả sử Ψn( )x hàm riêng toán tử đặc trưng cho hệ Ta khai

triển hàm sóng Ψ(q,x) theo hệ hàm trực giao chuẩn hoá Ψn( )x : ( ) n( ) ( )n

n

q,x C q x

Ψ =∑ Ψ (6)

Trong hệ số khai triển C qn( )≡C Fq( )n hàm sóng F-biểu diễn ứng với giá trị q cho Đặt (6) vào (3) ta được:

( )

mn nm m,n

A=∑A ρ =Sp Aρ (7)

Ởđây:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

*

nm n m

*

mn m n

C q C q dq ˆ

A x A x x dx

ρ =

= ψ ψ

∫

Ma trận mật độ x- biểu diễn có dạng:

( ) * ( ) ( )

nm m n n,m

x ', x x ' x

ρ =∑ρ ψ ψ (9)

Ma trận ρ ứng với yếu tố ρnm ma trận mật độ F-biểu diễn Từ hệ

thức (8) ta thấy ρ = ρnm *mn Ma trận mật độ có tính chất ma trận

Hermitic Đối với ma trận Hermitic ta ln chuyển dạng chéo nhờ

chọn hàm sóng ψn( )x thích hợp

Bây ta viết toán tử ma trận mật độ kí hiệu Dirac

Các kí hiệu Dirac:

( )

( ) ( )

( ) ( )

n n n n

*

* *

m m m m m

*

m n m n mn

n ; x x x n

m ; x x x m x

m n x x dx

ψ = ψ ≡ ψ = Ψ ≡

Ψ = Ψ ≡ Ψ = Ψ = Ψ =

Ψ Ψ = = Ψ∫ Ψ = δ

(10)

Ma trận mật độ x- biểu diễn viết lại:

( ) nm

m,n

x, x ' x x ' x n m x '

ρ = ρ =∑ ρ (11)

Toán tử ma trận mật độ có dạng:

nm m,n

n m

ρ =∑ ρ (12)

Dễ thấy rằng:

nm n ',n nm m ',m n 'm '

m,n m,n

n ' m'ρ =∑ n ' n ρ m m' =∑δ ρ δ = ρ

Hay

nm n m

ρ = ρ (13)

Công thức (13) yếu tố ma trận F-biểu diễn công thức (11) yếu

Nếu chọn m hàm riêng toán tử ρ tương ứng với giá trị riêng ρm, ta

có:

m

nm m m nm

m m

n m n m

ρ = ρ

ρ = ρ = ρ = ρ δ (14)

nm m nm

m,n m,n

m m

n m n m

m m

ρ = ρ = ρ δ

ρ = ρ

∑ ∑

∑ (15)

mn nm mn m nm

m,n m,n

mm m m

m m

A A A

A A m A m

= ρ = ρ δ

= ρ = ρ

∑ ∑

∑ ∑ (16)

Ở Amm = m A m giá trị trung bình đại lượng A trạng thái m và:

( )2 mm m Wm C q dqm

ρ = ρ = =∫ (17)

Là xác suất tìm thấy trạng thái hệ mô tả hàm sóng m hệ lớn trạng thái với q Đối với trạng thái

hỗn hợp, ta khơng biết xác trạng thái m mà biết trạng thái m

xuất với xác suất Wm

Đặt biểu thức ρ = ρ δ =nm m nm Wm nmδ vào (9) ta được:

( ) * ( ) ( )

m m m

m

x,x ' W x ' x

ρ =∑ Ψ Ψ (18)

Nếu Fˆ =H xˆ( ) toán tử Hamilton hệ Ψm( )x hàm riêng ˆH tương ứng với giá trị riêng Em Wm xác suất tìm thấy hệ trạng thái

( )

m x

§2 Các tính chất ma trận mật độ

a Ma trận mật độ ma trận Hermitic:

( ) *( ) *

nm mn

x,x ' x ', x ,

ρ = ρ ρ = ρ

b Nếu cho Aˆ =ˆI toán tử đơn vị từ (5) (7) suy ra: [ ]

Sp ρ =1 (19)

c Ma trận mật độ thoả mãn điều kiện Sp   ρ ≤2 Ta chứng minh tính

chất Ta biết:

nm m nm nm

0 n m ;

1 n m

 ≠



ρ = ρ δ δ = 

 =



Dễ thấy rằng:

( )

m m nm nm n n mn mn

m n mm nn nm mn

2

m n mm nn nm mn mm

m,n m n m,n m

Sp

ρ ≥ ρ δ = ρ ρ ≥ ρ δ = ρ

ρ ρ = ρ ρ ≥ ρ ρ

 

ρ ρ = ρ ρ ≥ ρ ρ = ρ =   ρ

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Vì mm nn [ ]

m n

Sp

ρ = ρ = ρ =

∑ ∑

Nên ta có Sp ρ ≤2 1

 

  (20)

d Ta chứng minh trạng thái Sp   ρ =2 Thật vậy, trường hợp hệ coi độc lập hàm sóng ψ(q,x) biểu

diễn tích hai hàm sóng mơ tả trạng thái hai phần cô lập với

(trong công thức (6) có số hạng): (q,x) C qn( ) ( )n x

ψ = Ψ (21)

( ) ( ) ( ) ( )

* *

n n

q,x q,x dxdq=1 q, x q, x dxdq=1

ψ ψ

ψ ψ

∫ ∫

Suy ra: *( ) ( )

n= C q C q dq 1n n

ρ ∫ = (22)

Trong trường hợp này, ta có:

mn n mn mn mn nm mn nm

m,n m,n

1

ρ = ρ δ = δ

ρ ρ = δ δ =

∑ ∑

Vậy trạng thái sạch, ta có: [ ]

2

mn nm m,n

Sp   ρ =∑ρ ρ =1;Sp ρ =1 (23)

2 n

n n n n ;

ρ = ρ = ρ = ρ

§3 Phương trình chuyển động ma trận mật độ

Ta biểu diễn ma trận mật độ phụ thuộc vào thời gian t sau lập phương

trình chuyển động ma trận mật độ Ở trạng thái hỗn hợp, trạng thái

sạch mơ tả hàm sóng Ψm( )x,t có xác suất ρ =m Wm xác định Ta khai triển hàm Ψm( )x,t theo hệ hàm riêng ϕS( )x trực giao

chuẩn hoá toán tử ˆG x( ) đặc trưng cho hệ: ( ) m( ) ( )

m S S

S

x, t a t x

ψ =∑ ϕ (24)

Nhân hai vế đẳng thức với ϕ*r( )x tích theo x, ta được: ( ) ( ) ( )

m *

r r m

a t = ϕ∫ x ψ x, t dx= r m, t (25) Dùng kí hiệu Dirac, ta viết được:

( ) ( )*

*m S

Hệ số khai triển a tmr ( ) hàm sóng G-biểu diễn Yếu tố ma trận ρrs

của ma trận mật độ G-biểu diễn có dạng: ( )

rs m

m

t r s r m,t m, t s

ρ = ρ =∑ ρ

Hay: ( ) m( ) ( )*m

rs m r s

m

t a t a t

ρ =∑ρ (27)

Nhân hai vế đẳng thức với i lấy đạo hàm theo thời gian ta được:

*m m

*m m

rs r s

m s r

m

a a

i i a a i

t t t

 

∂ρ = ρ  ∂ + ∂ 

 

∂ ∑  ∂ ∂ 

(28)

Gọi ˆH toán tử Hamilton hệ lượng tử, dùng phương trình Schrưdinger:

m m ˆ i H t ∂ψ = ψ ∂

Ta viết được:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

m

r * m

r *

r m

* m

r k k

k

a t x, t

i x i dx

t t

ˆ

x H x, t dx ˆ

x H a x dx

∂ ∂ψ = ϕ ∂ ∂ = ϕ ψ = ϕ ϕ ∫ ∫ ∑ ∫ ( ) m r m rk k k a t

i H a

t

∂

=

∂ ∑

(29)

Ởđây:

( ) ( )

*

rk r ˆ k

H = ϕ∫ x Hϕ x dx

Lấy liên hợp phức phương trình (29), ta có: ( )

*m

r * *m

rk k k

a t

i H a

t

∂

− =

∂ ∑

Vì tốn tử Hermitic nên Hrk =H*kr, ta có: ( )

*m

r * *m

kr k k

a t

i H a

t

∂

= −

∂ ∑

Hay: ( )

*m

s * *m

ls l l

a t

i H a

t

∂

= −

∂ ∑

(30)

Đặt (29) (30) vào (28) với ý (27), ta được: ( ) ( )

rs

rk ks rl ls rs rs

k l

i H H H H

t

∂ρ

= ρ − ρ = ρ − ρ

∂ ∑ ∑

(31)

Hay:

[ ]

i H H ,H

t

∂ρ== ρ − ρ = − ρ ∂

(32)

Đó phương trình chuyển động ma trận mật độ Giải phương trình (32)

với điều kiện biên cho ta tìm ρ Biết ρ ta tính giá trị trung

bình tất đại lượng vật lí đặc trưng cho hệ

Nếu G xˆ( )=H xˆ( ) toán tử Hamilton hệ ˆHϕ = ϕr Er r

rk k rk

H = δE , Hls = δEs ls Khi ta có: ( )

( ) ( )

rs

r s rs

t

i E E t

t

∂ρ

= − ρ

∂

(33)

Nghiệm phương trình (33) có dạng:

( ) ( ) ( )

rs rs r S

i

t exp E E t

ρ = ρ −

 

  (34)

Trong ρrs( )0 yếu tố ma trận thời điểm t=0

Xét trường hợp hệ trạng thái cân bằng:

rs 0

t

∂ρ =

∂ hay t

∂ρ=

∂ (35)

Khi giá trị trung bình đại lượng A đặc trưng cho hệ không

phụ thuộc vào thời gian Từ (33) ta thấy rs

t

∂ρ =

(Er −Es)ρ =rs Nếu r≠s ρ =rs Vậy yếu tố ma trận ρrs hệ

trạng thái cân có dạng:

rs rr rs r rs

ρ = ρ δ = ρ δ (36)

Trong đó:

2 m

rr r m r

m

a

ρ = ρ =∑ρ (37)

Trong lượng biểu diễn, đại lượng amr xác suất tìm lượng

bằng Er trạng thái m Đại lượng ρm amr xác suất đồng thời tìm

trạng thái lượng tử m mà trạng thái lượng có giá trị

r

E Đại lượng ρr xác suất tìm thấy hệ có lượng Er

trạng thái lượng tử m trạng thái lượng tử m khác bất kì,

nghĩa ρr xác suất tìm hệ có lượng Er Hàm ρr phụ thuộc vào

r

E toán tử ma trận mật độ ρ phụ thuộc vào H: ( )H

II Ma trận mật độ phân bố thống kê

§1 Ma trận mật độ cân Phân bố tắc Gibbs

Ma trận mật độ thoả mãn điều kiện:

t

∂ρ=

∂ hay ρ − ρ =H H (1.1)

gọi ρlà ma trận mật độ cân Từ hệ thức (1.1) ta thấy ρ hàm

H: ( ) m

m

H m m

ρ = ρ =∑ ρ (1.2)

Để tìm biểu thức ρ phụ thuộc vào H ta xét hệ trạng thái cân

cấu tạo từ hai hệ (1) (2) độc lập (tương tác hệ (1) (2) bỏ qua) Khi ta có:

1

1

1

1

1 m m1 m2

1 m m m ,m

1 m m 2 m ,m

m m m ; ;H H H

m m m m

m m m m

= ρ = ρ ρ = +

ρ = ρ ρ

ρ = ρ ρ = ρ ρ

∑ ∑

(1.3)

Biểu thức ρ phụ thuộc vào H phải thỏa mãn hệ thức sau: ( ) 1( )1 2( )2

1

ln H ln H ln H

H H H

ρ = ρ + ρ

= + (1.4)

Vi phân đẳng thức (1.4), ta có:

( )

1 2

1

d d

1 d 1

d H H dH dH

dH dH dH

ρ ρ

ρ + = +

ρ ρ ρ

Hay:

1

1

1 2

d d

1 d 1 d

dH dH

dH dH dH dH

 ρ ρ   ρ ρ 

 −  + −  =

   

   

ρ ρ ρ ρ

   

1

1 2

d d

1 d 1 d

0;

dH dH dH dH

 ρ ρ   ρ ρ 

 − =  − =

   

   

ρ ρ ρ ρ

   

Hay:

1

1 2

d d

1 d 1

dH dH dH

ρ ρ

ρ = = = β

ρ ρ ρ

Dễ thấy rằng: ( )

( ) ( )

1 1

2 2

1

ln H H

ln H H

ln H H,

ρ = α + β

ρ = α + β

ρ = α + β α = α + α

(1.5)

Ở α α β1, 2, số Hằng số β phải hệ

(1), hệ (2) hệ lớn cấu tạo từ hai hệ để thoả mãn hệ thức

(1.4) Ma trận mật độ cân phụ thuộc vào H có dạng: ( )H eα+βH AeβH

ρ = = (1.6)

Hằng số A=eα xác định từ điều kiện Sp( )ρ =1

[ ] H

H

Sp ASp e

1

A , Z Sp e

Z

β β

  ρ =  =

 

= =  

Ta tính Z:

( )

( ) m

m m

H H

m n H

n

n E

m n

E E

H

Z Sp e m e m

1

e m H m

n!

E m e m

n!

m e m e m m e

β β

β

β

β β

β

  =  =

= β

= β =

= =

∑ ∑ ∑

Vậy: Em

m

Ma trận mật độ bây giờđược viết lại sau:

H

e Z

β

ρ = (1.8)

Yếu tố chéo ma trận mật độ bằng:

H

mm m m

1

W m m m e m

Z

β

ρ = ρ = = ρ =

m

E m

e W

Z

β

= (1.9)

Đại lượng Wm xác suất tìm hệ trạng thái cân có lượng Em

Năng lượng trung bình hệ:

[ ] m

m m

m m m

E H Sp H m H m E m m

ln Z W E

= = ρ = ρ = ρ

∂

= =

∂β

∑ ∑

∑ (1.10)

Entropy S hệđược định nghĩa hệ thức:

[ ]

S k= σ = −klnρ = −kSp lnρ ρ (1.11)

Trong k số Boltzmann

Xét trường hợp ma trận mật độ trạng thái cân nhiệt có dạng (1.8)

Khi ta có:

( )

[ ] [ ]

ln ln Z H

S k kSp ln Z H

S k ln ZSp kSp H k ln Z k E

ρ = − + β

= σ = − ρ − + β 

= ρ − β ρ = − β

(1.12)

Kí hiệu T nhiệt độ tuyệt đối, θ =kT Nhiệt độ tuyệt đối T đại lượng đặc

trưng cho trạng thái cân nhiệt hệđược xác định hệ thức:

S

E T

∂ =

∂ hay

1 E

∂σ =

∂ θ (1.13)

S k

E T

∂

= = − β

∂ hay

1

kT

β = − = −

θ (1.14)

Đặt F= −θln Z hệ thức (1.8) (1.9) viết lại sau:

F H

e

− θ

ρ = (1.8’)

m

F E mm Wm e

− θ

ρ = = (1.9’)

Phân bốđược xác định hệ thức (1.9’) gọi phân bố tắc Gibbs Đại lượng Z gọi tổng thống kê phân bố tắc Gibbs đại

lượng F gọi lượng tự hệ Dùng hệ thức:

( ) m ( )

m nm nm

F E F H

lnρ = n ln mρ = n − m = − n m = ln W δ

θ θ

Ta viết lại biểu thức entropy hệ phân bố tắc Gibbs

sau:

[ ] mn( )nm mn( m) nm

m,n m,n

m m m

m

S kSp ln k ln k ln W

S k W ln W kln W

= − ρ ρ = − ρ ρ = − ρ δ

= − = −

∑ ∑

∑ (1.15)

Đặt ln Wm F Em

kT −

= vào (1.15) ta được:

m m

m

F E E F

S k W

kT T T

−

= − ∑ = − (1.16)

Hay: F E TS= −

Hệ thức nhận từ (1.12)

Dùng hệ thức:

2

ln Z ln Z T ln Z

F kTln Z; E kT

T T

F ln Z

k ln Z kT

T T

∂ ∂ ∂ ∂

= − = = =

∂β ∂ ∂β ∂

∂ ∂

= − −

∂ ∂

E F ln Z F

S kT k ln Z

T T T T

∂ ∂

= − = + = −

∂ ∂ (1.17)

Biết lượng tự F ta tính được:

F F

S ; E F TS F T

T T

∂ ∂

= − = + = −

∂ ∂ (1.18)

Vì lượng E hệ phụ thuộc vào điều kiện đặt lên hệ, nghĩa

là phụ thuộc vào thơng số ngoại ak (thí dụ a=V thể tích hệ) nên

các đại lượng Z, F, E, S hàm ak Trong cơng thức (1.17) ta tính đạo

hàm F theo T ak không đổi, nghĩa

k

a

F S

T ∂

 

= −  ∂

 

Đại lượng

k

E a ∂ −

∂ lực suy rộng tương ứng với toạ độ suy rộng thông số ngoại ak đại lượng:

m

k m

m

k k k k T

E E ln Z F

A W kT

a a a a

   

∂ ∂ ∂ ∂

= − = − = = − 

∂ ∑  ∂  ∂  ∂  (1.19)

Là lực suy rộng trung bình ứng với toạ độ suy rộng ak Trường hợp thông số

ngoại a thể tích V hệ lực suy rộng trung bình A áp suất P:

k k T

E F

P

a a

 

∂ ∂

= − = − 

∂  ∂  (1.20)

Vì F hàm ak T nên ta có:

k

k

k k T a

k k k

F F

dF da dT

a T

dF A da SdT

 ∂   ∂ 

=   + 

∂ ∂ 

 

= − −

∑

∑ (1.21)

Dễ thấy:

k k k

dE dF TdS SdT= + + = −∑A da +TdS (1.22)

Đại lượng Q TdSδ = nhiệt hệ nhận trình cân Khi

chỉ có thơng số ngồi thể tích V, ta có:

dF pdV SdT

dE pdV TdS

= − −

= − +

§2 Ma trận mật độ cân Phân bố tắc lớn

Ta xét hệ trạng thái cân có lượng số hạt biến đổi Gọi N1, N2

là số hạt hệ hệ 2, N số hạt hệ lớn cấu tạo từ hai hệ

con độc lập Khi ta có:

( ) 1( 1) 2( 2)

1

ln H, N ln H , N ln H , N

H H H

N N N

ρ = ρ + ρ

= +

= +

(2.1)

Các ma trận mật độ phụ thuộc vào toán tử lượng số hạt có dạng

giống phải thoả mãn điều kiện (2.1) khi:

( )

( )

( )

1 1 1

2 2 2

1

ln H , N H N

ln H , N H N

ln H, N H N;

ρ = α + β + γ

ρ = α + β + γ

ρ = α + β + γ α = α + α

(2.2)

Trong ,β γ phải hệ hệ lớn Toán tử ma trận

mật độ cân ρ có dạng:

H N H N

eα+β +γ Aeβ +γ

ρ = = (2.3)

Hệ số A e= α xác định từ điều kiện:

[ ] H N( ) N N m

Sp ∞ m, N m, N ASp eβ +γ

=

 

ρ =∑∑ ρ =  =

Đặt:

1

1

A ; ;

Z

µ

= β = − γ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m

H N N H N N

1

N m

n

N m n

n m

N m n

E N N N m

E N N N m

E N N

N m

Z Sp e m, N e m, N

H N N

1

Z m, N m, N

n!

E N N

1

m, N m, N

n!

m, N e m, N

e m, N m, N

Z e −µ ∞ −µ − − θ θ = ∞ ∞ = = ∞ ∞ = = −µ ∞ − θ = −µ ∞ − θ = −µ ∞ − θ =   =   =     − µ   = −  θ   − µ   = −  θ   = = = ∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑

∑∑ (2.4)

Đặt Ω = −θln Z1 ta viết lại hệ thức (2.3) sau:

( )

H N N

e

Ω− +µ θ

ρ = (2.4)

Yếu tố ρ có dạng:

( )

( )

m

E N N m

W N m, N m, N e

Ω− +µ

θ

= ρ = (2.5)

Đại lượng W Nm( ) xác suất tìm thấy hệ trạng thái có số hạt N, có

năng lượng Em(N)

Entropy hệ:

[ ] H N( ) N

S kSp ln kSp

kT E N S T  Ω − + µ  = − ρ ρ = − ρ       Ω − + µ = − (2.6)

Ở đây, E Sp H N= ρ ( ) N Sp N= [ρ ] lượng trung bình số hạt

trung bình hệ

E= Ω +TS+ µN

Hay: F E TS= − = Ω + µN (2.7)

Đại lượng E N

∂ µ =

∂ độ biến thiên lượng trung bình E số

hạt trung bình thay đổi đơn vị gọi hoá học Các đại lượng Z1

và Ω = −θln Z1 hàm nhiệt độ T, thơng số ngoại ak hố học Dễ

thấy rằng:

( ) m N m

N ∞ NW N

=

∂Ω

= = −

∂µ

∑∑ (2.8)

( ) ( )

( )

k m k

k m

N m

k k k

E N,a E N,a

A W N

a a a

∞ =

∂  ∂  ∂Ω

= − = −  = −

∂ ∑∑ ∂  ∂ (2.9)

E N

S kln

T T

Ω − + µ ∂Ω = − ρ = − = −

∂ (2.10)

Khi a=V thể tích hệ A=p áp suất

Các vi phân toàn phần:

k k

k k

a , k

a ,T ,T

d d dT da

T µ a

µ

  ∂Ω ∂Ω ∂Ω Ω =  µ +  +  

∂µ  ∂  ∂

  ∑ 

k k k

dΩ = −Ndµ −SdT−∑A da (2.11)

k k k

dE d TdS SdT dN Nd dE TdS A da dN

= Ω + + + µ + µ

= −∑ + µ (2.12)

k k k

dF d dN Nd

dF A da SdT dN

= Ω + µ + µ

= −∑ − + µ (2.13)

k k

a ,S a ,T

E E

N N

∂ ∂

   

µ =  = 

∂ ∂

    (2.14)

Ta tìm điều kiện cân phân bố tắc lớn Các ma trận

mật độ cân hệ hệ lớn có dạng:

( ) ( )

1 1

1

2 2

2

1 1 2 2

1

N H 1

N H 2

N H N H N N H H 2

A e A e

A A e Ae

µ − θ µ −

θ

µ − +µ − µ + − +

θ θ θ

ρ = ρ =

ρ = ρ ρ = =

(2.15)

Từ (2.15) suy điều kiện cân bằng:

1 ;

µ = µ = µ θ = θ = θ (2.16) Các hệ số A1, A2, A có dạng sau:

1 1 2

1

1

1

1 2

A e e , A e e

A A A e e ,

Ω Ω Ω Ω

θ θ θ θ

Ω +Ω Ω

θ θ

= = = =

= = = Ω = Ω + Ω

§3.Phân bố Fermi-Dirac phân bố Bose-Einstein

Trong phần ta áp dụng phân bố tắc lớn để tìm phân bố

Fermi-Dirac phân bố Bose-Einstein Hạt Fermi hạt có spin bán nguyên

trạng thái lượng tử bị chiếm hạt hạt Hạt Bose hạt có spin

nguyên, trạng thái lượng tử bị chiếm số hạt 0, 1, 2, 3…

Ta xét hệ N hạt đồng không tương tác với (khí lí tưởng) Đối

với hệ hạt đồng ta không cần quan tâm hạt cụ thể trạng thái lượng

tử mà trọng đặc biệt có hạt trạng thái lượng

tử Gọi nk số hạt trạng thái lượng tử có lượng εk Đối với

khí Fermi-Dirac nk=0,1 cịn khí Bose-Einstein nk=0, 1, 2, 3…

Ta tính giá trị trung bình theo tập hợp thống kê nk Ta biết phân bố

chính tắc lớn có dạng:

( ) ( )

( )

m

E N N

m m

W N N e

Ω− +µ

θ

= ρ = (3.1)

Đối với hệ hạt đồng ta có:

( )

m k k k

k k

E N =∑n ε ; N=∑n (3.2)

Đặt: k

k

Ω =∑Ω , ta viết được:

( ) ( ) ( )

k k k k

k

n n

m k k

k

W N W n ,n , n , e W n

Ω − ε +µ θ

∑

= = = ∏ (3.3)

Là xác suất tìm thấy hệ có nk hạt đồng trạng thái có lượng

bằng nk kε Từ điều kiện chuẩn hoá xác suất:

( )

k

k n

W n =1

∑

Ta có:

k

k k k

k

k k

n n n

k

n n

ln e ln e

µ−ε

 

µ− ε

 

θ

 

θ

Ω = −θ ∑ = −θ ∑ (3.5)

( ) k k k k

k k

n n

k

k k k k

n n

n n W n n e

Ω − ε +µ

θ ∂Ω

= = = −

∂µ

∑ ∑ (3.6)

Đối với khí Fermi-Dirac nk=0, nên ta có:

k

k

k

k k

ln e n e µ−ε θ ε −µ θ   Ω = −θ  +    ∂Ω = − = ∂µ + (3.7)

Đối với khí Bose-Einstein, ta có nk=0, 1, 2, 3, …

Đặt

k

q e

µ−ε θ

= dễ thấy rằng:

k k k k k k k k n n n n k k k 1 e q q e ln e

1 n e µ−ε θ µ−ε θ µ−ε θ ε −µ θ   = = =   −   −   Ω = θ  −    ∂Ω = − = ∂µ − ∑ ∑ (3.8)

Hàm phân bố:

( )

kT

1

f ,T n

e

ε−µ

ε = =

+

(3.9)

gọi hàm phân bố Fermi-Dirac hàm phân bố:

( )

kT

1

f ,T n

e

ε−µ

ε = =

−

(3.10)

gọi hàm phân bố Bose-Einstein

Xét trường hợp n1, nghĩa ekT

ε−µ

Khi phân bố Bose-Einstein

( ) kT kT kT

f ,T e Ae ; A e

µ−ε −ε µ

ε = = = (3.11)

§4 Ma trận mật độ cân Phân bố tắc đẳng áp

Xét hệ trạng thái cân cấu tạo từ hai hệ độc lập Gỉa thiết

số hạt hệ không thay đổi (N1=const, N2=const) thể

tích V1 V2 hệ thay đổi Khi ta có:

( ) 1( 1) 2( 2)

1

ln H,V ln H ,V ln H ,V

H H H

V V V

ρ = ρ + ρ

= +

= +

(4.1)

Các ma trận mật độ ρ ρ ρ1, ,2 cân phụ thuộc vào lượng thể tích

có dạng giống khi:

( )

( )

( )

1 1 1

2 2 2

1

ln H ,V H V

ln H ,V H V

ln H,V H V;

ρ = α + β + χ

ρ = α + β + χ

ρ = α + β + χ α = α + α

(4.2)

Trong hệ số ,β χ giống hệ hệ lớn Các hệ

thức (4.2) thoả mãn điều kiện (4.1)

Toán tử ma trận mật độ ρ phụ thuộc vào H V trạng thái cân có

dạng:

H V H V

eα+β +χ Aeβ +χ

ρ = = (4.3)

Hệ số A e= α xác định từ điều kiện:

[ ] H V

Sp ρ =ASp e β +χ =1

  (4.4)

Đặt

2

1 p

; ; A

Z

β = − χ = − =

( )

( )

( m )

H pV H pV

2

m

1 E V pV m

Z Sp e m,V e m,V dV

m,V e m,V dV

+

− − +

θ θ

− +

θ

 

=  =

 

=

∑ ∫

∑ ∫

Toán tử ma trận mật độ cân bây giờđược viết dạng:

H pV

H pV

e

e Z

+

− Φ− −

θ

θ

ρ = = (4.6)

Trong đó: Φ = −θln Z2 Hàm phụ thuộc Φ = Φ θ( ,p,ak) vào nhiệt độ T,

thông số ngoại ak ≠V (do H phụ thuộc ak) thông số p gọi

nhiệt động Gibbs

Entropy hệđược xác định hệ thức:

E pV E pV

S kln k

T

Φ − −  Φ − −

= − ρ = −  = − θ

  (4.7)

Hệ thức (4.7) viết lại sau:

E= Φ +TS pV− hay Φ =E TS pV F pV− + = + (4.8)

Đại lượng p E

V

∂ = −

∂ áp suất không đổi (đẳng áp) Yếu tố chéo ρcó

dạng: ( )

( )

m

E V pV m

W V m,V m,V e

Φ− −

θ

= ρ = (4.9)

Yếu tố chéo Wm(V) xác suất tìm hệ trạng thái cân có lượng

Em(V) thể tích V Dễ thấy rằng:

( )

k

m

m T,a

V dV VW V

p

∂Φ

= = 

∂

 

∑

∫ (4.10)

( ) ( ) ( )

m k m k

k m

m

k k k p,T

E V,a E V,a

A dV W V

a a a

∂ ∂   ∂Φ 

= − = −  = − 

k

p,a

pV E

S k ln

T T

Φ − − ∂Φ

= − ρ = − = − 

∂

  (4.12)

k k

p,a T,a

E TS pV T p

T p

 

∂Φ ∂Φ

 

= Φ + − = Φ −   −  

∂ ∂

    (4.13)

Trong công thức ak ≠V Tính Z2 ta tính đại lượng

( )

k k

V,A A ≠p , S, E

Ta tìm điều kiện cân hệ Các ma trận cân hệ

con hệ lớn có dạng:

( ) ( )

1 1

1

2 2

2

1 1 2 2

1

p V H 1

p V H 2

p V H p V H p V V H H

1 2

A e A e

A e A e Ae

+ −

θ + −

θ

+ + + + +

− − −

θ θ θ

ρ =

ρ =

ρ = ρ ρ = =

(4.14)

Từ (4.1) suy điều kiện cân bằng:

1 2

p =p =p;θ = θ = θ (4.15)

Các hệ số A1, A2, A có dạng:

1 1 2

1

1

1

1 2

A e e , A e e

A A A e e ;

Φ Φ Φ Φ

θ θ θ θ

Φ +Φ Φ

θ θ

= = = =

= = = Φ = Φ + Φ

(4.16)

Thế nhiệ động Gibbs đại lượng cộng Thế nhiệt động Φ hệ lớn

bằng tổng nhiệt động Φ Φ1, 2 hệ

Thế nhiệt động Gibbs đại lượng cộng nên viết dạng:

( k)

Nf p,T,a

Φ = với ak ≠V (4.17)

Ở f p,T,a( k) nhiệt độ Gibbs ứng với hạt N số hạt trung

Đối với hệ có số hạt biến thiên, ta có:

E TS N

F E TS N

F pV N pV

= + Ω + µ = − = Ω + µ Φ = + = Ω + µ +

(4.18)

Các biểu thức vi phân d ,dΩ Φ có dạng:

k k k

/

k k k

d Nd SdT A da

d Nd SdT pdV A da

Ω = − µ − −

Ω = − µ − − −

∑

∑ (4.19)

( ) /

k k k

dΦ =d Ω + µN pV+ = −SdT Vdp+ −∑ A da + µdN (4.20) Ở kí hiệu

k

'

∑ ứng với trường hợp ak ≠V Từ hệ thức (4.17)

(4.20) ta có:

( )

k

k T,p,a

f T,p,a N

∂Φ

 

µ =  = ∂

  (4.21)

N pV N

Φ = Ω + µ + = µ (4.22)

Từ hệ thức (4.22) suy ra: Ω = −pV (4.23)

§5 Chuyển từ thống kê lượng tử thống kê cổ điển

Ta khảo sát hệ cổđiển cấu tạo từ N hạt có s bậc tự Trong học

cổ điển, trạng thái vi mô hệ xác định s giá trị toạ độ

suy rộng q1, q2, qs vàs giá trị xung lượng suy rộng p1, p2, , ps Sự

thay đổi trạng thái vi mô hệ mô tả 2s phương trình tắc

Hamilton:

i i

i i

i i

dq H dp H

q ; p

dt p dt q

• ∂ • ∂

= = = = −

Trong H q ,q , q ,p ,p , p( 1 2 s 1 2 s) Hamilton hệ Đối với hệ bảo toàn

hàm H động T cộng với U hệ Giải hệ 2s phương

trình (5.1) ta tìm q ,pi i hàm thời gian t:

( )

( )

0 0 0 i i s s 0 0 0 i i s s

q q q ,q q ,p ,p p ,t

p p q ,q q ,p ,p p ,t i 1,2, s

=

= =

(5.2)

Trong q ,pi0 0i toạ độ suy rộng xung lượng suy rộng ban đầu Từ

(5.2) suy trạng thái vi mô hệ thời điểm t hồn tồn

xác định cách đơn giá trạng thái vi mô hệ ban đầu

Về mặt hình học, trạng thái vi mơ hệ biểu diễn điểm

trong không gian 2s chiều q ,q , q ,p ,p , p1 2 s 1 2 s Không gian 2s chiều

xác định gọi không gian pha kí hiệu chữ Γ Điểm

biểu diễn trạng thái vi mô hệ không gian pha gọi điểm

pha Theo thời gian, trạng thái vi mơ hệ thay đổi điểm pha vạch

trong không gian pha đường cong gọi quỹđạo pha

Nếu số bậc tự s hệ lớn (trong 1cm3 khơng khí có khoảng

19

2.69.10 phân tử s 10≈ 20) ta khơng thể xác định cách

xác điều kiện ban đầu khơng thể xác định q ,pi iở thời điểm t Vì toán chuyển động số lớn hạt thực tế không

giải phải dùng phương pháp thống kê để tìm xác suất xuất

các trạng thái vi mơ hệ tính giá trị trung bình đại lượng vĩ mơ đặc

trưng cho hệ

Gọi dN sốđiểm pha thể tích ngun tố khơng gian pha dΓ

s

1 2 s s i i i

d dq dp dq dp dq dp dq dp

=

Và N số điểm pha toàn phần hệ Trong vùng khơng gian pha mà hệ

có thể qua khoảng thời gian τ đủ lớn (τ → ∞) xác suất tìm

một trạng thái vi mơ hệ hay xác suất tìm điểm pha dΓ bằng:

( S S)

dN

dW= q ,q , ,q ,p ,p , ,p d

N = ρ Γ (5.4)

Trong ρ mật độ xác suất hay gọi hàm phân bố thống kê N

có số trị lớn

Để kết nghiên cứu xác ta viết biểu thức dW

trong gần giả cổ điển, nghĩa gần có tính đến ảnh hưởng

tính chất lượng tử hạt vi mơ cấu tạo nên hệ Hiện tượng nhiễu xạ điện tử hạt vi mô khác proton, nơtron, khẳng định tính chất sóng

của chúng Chuyển động hạt vi mô giống chuyển động sóng

hơn la chuyển động hạt theo quỹ đạo Vì học lượng tử

khơng tồn khái niệm quỹđạo hạt khơng đồng thời xác định cách xác toạ độ xung lượng hạt phương

bất kì Sự kiện phân tích hệ thức bất định Heisenberg : q p h

∆ ∆ ≥ (5.5)

Ởđây h 6,6.10 j.s= −34 số Plank

Bởi q p khơng xác định cách xác đồng thời

khái niệm trạng thái vi mơ hệ có học cổ điển có giới hạn áp dụng

và khái niệm nghĩa nghiên cứu hệ lượng tử Nếu hệ có s

bậc tự thể tích không gian pha tương ứng với trạng thái vi mô

không phải điểm mà ô hS Số trạng thái vi mô hệ

trong thể tích khơng gian pha dΓ d / hΓ S Xác suất tìm trạng thái vi

mô hệ dΓ xác định hệ thức :

dW= q ,q , ,q ,p ,p , ,p( 1 2 S 1 2 S)dS h

Γ

Kí hiệu q ,p( )k ( )k tập hợp toạ độ suy rộng xung lượng suy

rộng hạt thứ k Nếu hệ cấu tạo từ N hạt đồng (các hạt giống

mọi đặc tính vật lí khối lượng nghỉ, điện tích, spin,vv ) trạng thái vi

mơ ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2 3 N N

1 N

q p q p q p q p trạng thái vi mô

giao hoán giá trị q p hạt thứ cho hạt thứ hai

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 1 3 N N

1 N

q p q p q p q p khơng khác Hệ có N hạt

đồng có N! cách giao hốn cặp hạt cho N!

trạng thái vi mơ giống biểu diễn N! ô hS không

gian pha Γ mô tả trạng thái vật lí vi mơ Vậy thể tích

khơng gian pha bé tương ứng với trạng thái vật lí vi mơ hệ N

hạt đồng hS mà N!hS Số trạng thái vi mô khác

nhau hệ N hạt đồng dΓ d S N!h

Γ

Xác suất tìm trạng

thái vi mô hệ :

S

d dW=

N!h

Γ

ρ (5.7)

Biết dW ta tính giá trị trung bình đại lượng vĩ mơ A q,p( ) đặc trưng cho hệ :

( ) ( S S) S

d A A q,p dW A q ,q , q ,p ,p , p

N!h

Γ

=∫ =∫ ρ (5.8)

chuyển từ thống kê lượng tử sang thống kê cổđiển ta thay :

( ) ( ) S

m

d

N!h

Γ

→ ρ

∑ ∫ (5.9)

Điều kiện chuẩn hoá xác suất :

S

d

dW=

N!h

Γ

ρ =

Ở trạng thái cân hàm phân bố tắc Gibbs gần giả cổ điển có dạng :

( k)

H p,q,a

Ae− θ

ρ = (5.11)

trong H lượng hệ Hàm H phụ thuộc vào toạ độ suy rộng

qi, xung lượng suy rộng pi thông số ngoạ ak Hệ số A xác

định từđiều kiện chuẩn hoá xác suất :

( )

( )

k

k

H p,q,a

S S

H p,q,a

S

d d

A e

N!h N!h

1 d

A ,Z e

Z N!h

− θ

− θ

Γ Γ

ρ = =

Γ = =

∫ ∫

∫

(5.12)

Đại lượng Z gọi tích phân trạng thái F= −θln Z gọi

lượng tự hệ Biểu thức ρ viết dạng :

( k)

H p,q,a F

Ae − θ

ρ = (5.13)

Biết ρ ta xác định giá trị trung bình đại lượng vật lí vĩ mơ B bất

kì :

( ) ( i i k) H q ,p ,a

i i S

1 d

B B q ,p e

Z N!h

−

θ Γ

= ∫ (5.14)

Dễ thấy :

( )

( )

k

H

2 S

k

a H

k S

k k

k k

1 d

E H He ln Z

Z N!h

F F ,a

H H d

A e

a Z a N!h

ln Z F

a a

− θ

− θ

θ θ

Γ ∂ = = = θ

∂θ ∂

 

= θ − θ  ∂θ

 

∂ ∂ Γ

= − = −

∂ ∂

∂   ∂ 

= θ  = − 

∂ ∂

   

∫

ln Z F p

V θ V θ

∂ ∂

   

= θ  = − 

∂ ∂

   

( )

( ) ( )

( )

k i i k

k

F ,a H q ,p ,a

k S

E H

k S

a

B d

B p,q,a e

N!h

B H F F d

B p,q,a e

N!h

θ − θ

− θ

∂ ∂ Γ

= ∂θ ∂θ

 

∂ − ∂  Γ

=  +   

∂θ  θ θ ∂θ   ∫

∫

Chú ý

k

a

F F H

∂ −

 

=

 

∂θ θ

  , ta có :

( )

F H F H

2 S S

2

B d H d

BHe Be

N!h N!h

B

BH HB

− −

θ θ

∂ Γ Γ

= −

∂θ θ θ

∂

= − ∂θ θ

∫ ∫

Trường hợp đặc biệt B=H, ta có :

( ) (2 )2 ( )2

2

1/

H

H H H H H

H H

H H

∂

θ = − = − ≡ δ ∂θ

 

δ θ ∂ =  

∂θ

 

(5.15)

Năng lượng trung bình H tỉ lệ với số hạt N hệ nên :

H

H N

δ

∼ (5.16)

Nếu số hạt N hệ Khi gần ta có :

F H F H

S S S

F H S

d d d

e e

N!h N!h N!h

e

N!h

− −

θ θ

− θ

Γ Γ Γ

ρ = ≈ =

∆Γ =

∫ ∫ ∫

S

F H

S kln k k ln

N!h

 −   ∆Γ 

= − ρ = −  =   θ  

 

Đại lượng S N!h

∆Γ

số trạng thái vi mô ∆Γ tương ứng với trạng

thái vĩ mơ hệ có H, N,ak Đại lượng G S N!h

∆Γ

= gọi xác suất nhiệt động hay trọng lượng thống kê

§6.Phương trình động Định luật tăng entropy 1 Entropy

Ta định nghĩa entropy hệ trạng thái cân bằng công thức:

[ ]

S= −klnρ = −kSp lnρ ρ (6.1)

trong k số Boltzmann ρ toán tử ma trận mật độ

Giả sử hàm sóng n tạo thành hệ đủ, trực giao chuẩn hố

trong biểu diễn Khi biểu thức S viết dạng :

m,n

S= −k∑ n ρm m ln mρ (6.2)

Nếu m hàm riêng ρ ta có :

m m nm

m m

m m , n m

S k m ln m

ρ = ρ ρ = ρ δ = − ∑ρ ρ

Trong phân bố tắc Gibbs: m

ˆ F E F H

m

m

m

e , e

ˆ F E

F H

m ln m m m ln

− −

θ θ

ρ = ρ =

− −

ρ = = = ρ

θ θ

Trong phân bố tắc lớn: m

ˆ E N

H N m

e , e

Ω− +µ Ω− +µ

θ θ

( ) m

m

ˆ E N N

H N

m ln mρ = m Ω − + µ m =Ω − + µ =lnρ

θ θ

Trong phân bố tắc đẳng áp:

( )

m

ˆ E V pV H pV

m

m

m

e , e

ˆ E pV

H pV

m ln m m m ln

Φ− − Φ− −

θ θ

ρ = ρ =

Φ − −

Φ − −

ρ = = = ρ

θ θ

Biểu thức entropy, nói chung viết dạng:

m m m

S= −k∑ρ lnρ (6.3)

2 Phương trình động Định luật tăng entropy

Nếu hệ trạng thái khơng cân ρm( )t phụ thuộc vào thời gian t

Entropy hệ trạng thái không cân định nghĩa công

thức:

( ) m( ) m( ) m

S t = −k∑ρ t lnρ t (6.4)

Gọi N tm( ) số trạng thái lượng tử m,t (hay số hệ tập hợp thống kê

trạng thái m,t ), N số trạng thái tổng cộng toàn phần (hay số hệ tập

hợp thống kê), ta có:

( ) m( ) m

N t t

N

ρ = , N số lớn (6.5)

Đại lượng ρm( )t xác suất tìm hệ trạng thái lượng tử m,t Từ điều kiện

chuẩn hoá xác suất m( )

m

t

ρ =

∑

Ta có:

( ) m m

N t =N const=

∑ (6.6)

( ) ( )

( ) ( )

m m

m

m m

m

N t N t

S k ln

N N

k

Nln N N t ln N t N

= −

 

= −  − 

 

∑

∑

(6.7)

Đạo hàm S theo thời gian t với ý dN tm( ) N tm( )

dt = :

( ) ( )

m m

m m

d dN

N t N t

dt∑ =∑ = dt = (6.8)

Ta được:

( ) ( )

m m

m

dS k

N t ln N t

dt = −N∑ (6.1)

Ta thiết lập phương trình để xác định N tm( ) N t m( )

Gọi Wnm xác suất chuyển hệ từ trạng thái n đến trạng thái m Ta xác định

xác suất Wnm cho Wnmdt xác suất tìm hệ trạng thái m thời điểm

t+dt thời điểm t hệ trạng thái n Nhờ khái niệm xác suất Wnm ta có

thể tìm dN tm( ) dt

Trong dt giây số Nn trạng thái n có nm n m

W dtN

∑ trạng thái chuyển từ

trạng thái n vào trạng thái m Cũng khoảng thời dt giây

nói có trạng thái m chuyển trạng thái n Số trạng

thái n tăng thêm dt giây mn m

m

W dtN

∑ Trong dt giây số

trạng thái n tăng lên mn m

m

W dtN

∑ giảm nm n

m

W dtN

∑ Vậy độ

biến thiên Nn dt giây :

( ) ( )

n n mn m nm n

m m

N t dt+ −N t =∑W dtN −∑W dtN

Từ hệ thức suy : m n [ mn m nm n]

m

dN

N W N W N

hay : m [ ] mn m nm n m

d

W W

dt

ρ

=∑ ρ − ρ (6.11)

trong Wmn xác suất chuyển đơn vị thời gian Phương trình

(6.11) hay (6.10) phương trình động

Theo nguyên lí cân chi tiết hay nguyên lí thuận nghịch vi mơ

nm mn

W =W nghĩa xác suất trình thuận nghịch

Khi phương trình (6.10) (6.11) viết lại sau :

( )

m mn n m n

N =∑W N −N (6.12)

hay :

( )

m mn n m n

W

ρ = ∑ ρ − ρ (6.13)

Ở trạng thái cân dNm

dt = , ta có :

( )

mn n m n

W ρ − ρ =0

∑ (6.14)

Phương trình có nghiệm:

n m

N =N (6.15)

Ta chứng minh nghiệm Giả thiết

tất Ni Chọn thích hợp cách đánh số thứ tự số

và phân chia số Ni thành nhóm theo thứ tự tăng dần:

1 l l l l k l k

N =N = N= <N+ =N+ = N= + <N+ + =

Ta khảo sát phương trình dNm

dt = m l≤ ≤ Khi ta có :

( ) ( )

m,l+1 n m m,l+2 n m

W N + −N +W N + −N + 0= (6.16)

Vì số lớn nên số hạng tổng (6.16) dương tổng

(6.16) Vậy giả thiết tất Ni

Như hệ trạng thái cân trạng thái vi mơ có xác suất

bằng nhau, nghĩa :

n m

N =N hay ρ = ρn m (6.17)

Khẳng định Nn=Nm hay ρ = ρn m áp dụng hệ có

lượng Em =En =E const= Hệ hệ lập thuộc tập hợp vi

tắc

Đặt Nm từ (6.12) vào (6.9), ta có :

( )

mn n m m n,m

m n

dS k

W N N ln N dt N

≠

= − ∑ − (6.18)

Thay số lấy tổng mn ý Wmn =Wnm, ta viết được:

( )

( )

mn m n n n,m

mn n m n n,m

dS k

W N N ln N dt N

dS k

W N N ln N dt N

= − −

= − −

∑ ∑

(6.19)

Cộng (6.18) (6.19) theo vế, ta :

( )( )

mn m n n m

n,m

dS k

2 W N N ln N ln N

dt = N∑ − − (6.20)

Nếu Nn >Nm ln Nn >ln Nm Nn <Nm ln Nn <ln Nm Vậy:

(Nn −Nm)[ln Nn −ln Nm]≥0 (6.21)

Sử dụng (6.21) ta tìm : dS

0

dt ≥ (6.22)

Dấu trường hơp hệ trạng thái cân dấu lớn

hệ trạng thái không cân Với hệ cô lập đoạn nhiệt (E=const) hệ

chuyển từ trạng thái không cân trạng thái cân entropy

Chú ý rằng, tập hợp vi tắc (các hệ tập hợp có E=const)

xác suất tìm trạng thái hệ (ρ = ρn m)

Gọi N số trạng thái vi mơ tồn phần xác suất tìm trạng thái vi mơ

bằng: m N

ρ =

Dễ thấy :

N N

m m

m m

1

S k ln k ln

N N

S k ln N

= =

   

= − ρ ρ = −    

   

=

∑ ∑

N số trạng thái vi mô tương ứng trạng thái vĩ mơ có E=const cho §7 Nhiệt độ âm tuyệt đối

Từ trước tới ta khảo sát hệ vật lí thơng thường Năng lượng

của hệ có giá trị cực tiểu E=Emin (Emin âm hay dương) giá trị giới

hạn lượng không hạn chế, nghĩa :

min k

E ≤E ≤ ∞ (7.1)

Ở Ek giá trị lượng hệ trạng thái k Xác suất tìm hệ trạng

thái có lượng Ek theo phân bố tắc Gibbs Wk :

k

E k

W =Ae− θ (7.2)

Ở θ =kT, T nhiệt độ tuyệt đối hệ số A xác định từ điều kiện

chuẩn hoá xác suất Để điều kiện chuẩn hoá xác suất ( k

k

W =1

∑ )

được thực Ek →∞ T phải dương Bởi Ek →∞ T<0

thì k

E

e− θ →∞ điều kiện chuẩn hố của xác suất khơng thực hiện được

Trong thực tế tồn hệ có Ek cực tiểu Emin Ek cực đại

bằng Emax (Emax có giá trị dương hữu hạn), nghĩa :

min k max

Vì lượng hệ giới nội nên T>0 hay T<0 xác suất hệ

trạng thái k có giá trị giới nội Do hệ điều kiện chuẩn hố

xác suất thực không với trường hợp T>0 mà T<0

Sau ta trạng thái hệ nhiệt độ T= +∞ T= −∞ đồng với trạng thái hệ nhiệt độ T= +0 T= −0

khác Thật vậy, tổng thống kê Z hệ : k

E F

kT kT k

Z e= − =∑e− (7.4)

Khi T→ ±∞

k

E kT

e− →1

Z−∞ =Z+∞ =n (7.5)

Ởđây n số mức lượng không suy biến tồn phần hệ

Năng lượng trung bình hệ T→ +∞ T→ −∞ bằng: k

k

E kT

F E k

k kT

k k

T k T k

E e 1

E lim E e lim E

Z n

− −

±∞ = →±∞ = →±∞ =

∑

∑ ∑ (7.6)

Vì E+∞ E−∞ k

k

1 E

n∑ nên trạng thái hệ nhiệt độ T→ +∞

và trạng thái hệ nhiệt độ T→ −∞ đồng với (năng lượng

là hàm đơn giá trạng thái)

Khi T=+0 số hạng có lượng cực tiểu tổng trạng thái Z đóng

vai trò định số hạng khác bé bỏ qua Vì : k

E E kT kT T 0

k

Z+ lim e− e−

→+

= ∑ ≈ (7.7)

Năng lượng trung bình hệ T→ +0 : k

min

E

E kT

kT k

k

0 min

T

0

E e E e

E lim E

Z Z

−

− +

→+

+

= ≈ =

∑

Khi T=-0 số hạng có lượng cực đại tổng trạng thái Z đóng vai

trị định cịn số hạng khác bé bỏ qua Khi ta có : max

k E

E

kT kT T 0

k

Z− lim e− e−

→−

= ∑ ≈

Năng lượng trung bình hệở nhiệt độ T=-0 : k

max

E

E kT

kT k

max k

0 max

T

0

E e E e

E lim E

Z Z

−

− −

→−

−

= ≈ =

∑

(7.9)

Như trạng thái với T=+0 hệ có lượng nhỏ trạng thái

T=-0 hệ có lượng lớn Vì E−0 ≠E+0 nên trạng thái hệ nhiệt

độ T=-0 T=+0 khác

Rõ ràng chuyển liên tục từ trạng thái có nhiệt độ dương tuyệt đối

sang trạng thái có nhiệt độ âm tuyệt đối hệ qua trạng thái với nhiệt độ

T→ ±∞ mà qua trạng thái nhiệt độ khơng Điều phù hợp

với nguyên lí III nhiệt động lực học đạt nhiệt độ

không tuyệt đối

Khi chuyển từ trạng thái T=+0 đến trạng thái T=-0 (qua trạng thái với

T→ ±∞) lượng hệ tăng từ giá trị cực tiểu Emin sang giá trị

cực đại Emax Năng lượng hệ trạng thái nhiệt độ âm tuyệt đối lớn

năng lượng hệ trạng thái nhiệt độ dương tuyệt đối Ta

khi tiếp xúc nhiệt hệ (1) có nhiệt đố dương tuyệt đối (T1>0) hệ (2) có

nhiệt độ âm tuyệt đối (T2<0) dịng lượng truyền từ hệ (2) có nhiệt

độ âm tuyệt đối sang hệ (1) có nhiệt độ dương tuyệt đối Thật vậy, ta xét hệ

có nhiệt độ âm tuyệt đối hệ có nhiệt độ dương tuyệt đối làm thành hệ

cơ lập Khi ta có :

1

1

E E const

S S S

+ =

hay:

1

1

1 2

1

S S S S

S E E E

E E E E

1

S E

T T

 

∂ ∂ ∂ ∂

δ = δ + δ = − δ

∂ ∂ ∂ ∂ 

 

δ = − δ >

 

(7.11)

Vì T1>0, T2 <0 nên

1

1

0

T T

 

− >

 

  δE1 >0

Bất đẳng thức δE1 >0 lượng truyền từ hệ (2) có

nhiệt độ T2 <0 sang hệ (1) có nhiệt độ T1 >0 Như hệ có nhiệt độ âm

tuyệt đối ‘nóng’ hệ có nhiệt độ dương tuyệt đối, nhiệt độ âm tuyệt đối

nằm nhiệt độ dương tuyệt đối

Trong thực tế khơng có hệ hồn tồn lập khoảng thời gian dài

Vì hệ trạng thái cân với nhiệt độ âm tuyệt đối sau khoảng

thời gian dài định truyền lượng cho mơi

trường xung quanh (hệ có nhiệt độ dương tuyệt đối) chuyển hệ từ trạng

thái có nhiệt độ âm tuyệt đối sang trạng thái có nhiệt độ dương tuyệt đối

Như vậy, trạng thái hệ nhiệt độ âm tuyệt đối trạng thái khơng bền Thí dụ :

Ta xét hệ gồm N hạt nhân hạt nhân cú spin ẵ v cú mụmen t spin

à Đặt hệ N mơmen từ spin µ từ trường ngồi H Năng lượng tương

tác µ H bằng:

H H

H −µ



−µ =

µ



(7.12)

Giả sử N mơmen từ có n mơmen từ có chiều ngược chiều với H

(N-n) mơmen từ có chiều chiều với H Ta tính lượng entropy

của hệ

Năng lượng hệ N mômen từ E :

( ) ( )

E n H= µ + − N n H− µ = µH 2n N− (7.13) Entropy hệ S :

S k ln G= (7.14)

Ở G gọi trọng lượng thống kê hay xác suất nhiệt động, tức số trạng

thái vi mô tương ứng trạng thái vĩ mô với E cho Có cách đặt n mơmen từ ngược chiều với H số N mômen từ tồn phần hệ

thì có nhiêu trạng thái vi mô ứng với trạng thái vĩ mô có lượng

E Số G tổ hợp chập n N phần tử:

( )

N! G

n! N n ! =

− (7.15)

Vì N1 n1 nên

ln N! Nln N N, ln n! n ln n n≈ − ≈ −

( ) ( ) ( ) ( )

ln N n !− = N n ln N n− − − N n−

Biểu thức S có dạng:

( ) ( ) ( )( ( ) )

S k ln G k N ln N 1= =  − −n ln n 1− − N n ln N n− − −1  (7.16)

Dễ thấy rằng:

1 S S n k N n

ln

T E n E H n

∂ ∂ ∂  − 

= = =  

∂ ∂ ∂ µ   (7.17)

Khi n=0 E E= min = − µN H,S 0=

T = +∞ hay T= +0 Khi n tăng E tăng S tăng Entropy S đạt giá trị cực đại n=N/2 Khi n=N/2

hay T= +∞ Khi n tăng tiếp tục (N n N

2 ≤ ≤ ) đến giá trị N E đạt giá trị cực đại Emax = µN H S=0 Khi n=N S=0

T = −∞ hay T= −0 Ta khảo sát thay đổi entropy

S theo nhiệt độ T từ T= +0 đến T= -0

Theo định nghĩa S

T E

∂

 

= 

∂

 

chuyển từ T=+0 đến T= +∞ E tăng (1

T > ) nên S tăng

Khi chuyển từ T = −∞ đến T=-0 E tăng

T < nên S giảm Tại T=+0 S=0 (phù hợp nguyên lí III nhiệt động lực học) Khi

chuyển từ T=+0 đến T=-0 entropy hệ tăng đạt giá trị cực đại sau giảm từ giá trị cực đại đến

III Chất lỏng lượng tử §1 Chất lỏng Hêli

Khi chất lỏng gần nhiệt độ khơng tuyệt đối chuyển động chất lỏng

tuân theo định luật lượng tử

Trong chương ta nghiên cứu chất lỏng lượng tử Trong tự nhiên có

một chất cịn trạng thái lỏng nhiệt độ gần nhiệt độ không tuyệt đối,

chất Hêli Hêli có khối lượng nguyên tử bé (do dễ linh động)

lực tương tác nguyên tử yếu (khí trơ) nên nhiệt độ gần nhiệt độ

không tuyệt đối nguyên tử Hêli không xếp thành mạng tinh thể mà

còn trạng thái lỏng Trạng thái lỏng Hêli có hai pha I II Với áp

suất nhỏ 25at giảm nhiệt độ có tượng chuyển từ pha I

sang pha II Ở nhiệt độ chuyển pha nhiệt dung chất lỏng He4 nhảy vọt

Vì chuyển pha từ pha lỏng Heli I sang pha lỏng Heli II chuyển pha

loại II Những đồ thị sau cho ta thấy phụ thuộc nhiệt dung vào nhiệt độ chất lỏng He4 đường cân pha He4:

Hình Hình

Chất lỏng Hêli II có loạt tính chất đặc biệt Sau ta

nghiên cứu tính chất chất lỏng He4 II Khi T=0 chất lỏng He4 II trạng

không tuyệt đối chất lỏng He4 trạng thái kích thích nhiệt độ với mức

năng lượng:

0

E=E + ∆E (1.1)

Theo quan điểm học lượng tử, phần lượng kích thích E∆ bé

được khảo sát tổng lượng kích thích nhiệt Mỗi

kích thích nhiệt có lượng ε = ω có xung lượng p Ta biểu

diễn E∆ dạng:

i i i

E n

∆ =∑ ε (1.2)

Ở ni số kích thích nhiệt có lượng εi Mỗi kích thích nhiệt

được khảo sát chuẩn hạt (hạt giả) có lượng ε xung lượng

p Một đặc tính chuẩn hạt phụ thuộc ε vào p Bằng phép phân tích thực nghiệm He4 lỏng II ta nhận phụ

thuộc ε vào p theo định luật

hình vẽ

Khi hệ trạng thái cân nhiệt đa số chuẩn hạt vùng có lượng

nhỏ nghĩa vùng lượng ε có giá trị gần khơng vùng

lượng ε có giá trị gần ε0 Chuẩn

hạt có lượng nằm vùng

năng lượng ε có giá trị gần khơng phonơn chất lỏng H4e

II Mối liên hệ vùng mối liên hệ bậc nhất:

2

vp v q v π h

ε = = = = ν

λ

(1.3)

Ở v vận tốc truyền sóng âm chất lỏng II, q véctơ sóng âm, λ độ dài sóng âm Trong vùng p bé λ lớn Chuẩn hạt có

lượng ε nằm vùng gần ε0 chuẩn hạt có xung lượng lớn (λ bé) gọi hạt rotôn Để tìm mối liên hệ lượng xung lượng

rotơn, ta khai triển ε theo (p-p0) Vì p=p0 ε có giá trị cực tiểu nên

trong ε chứa số hạng bậc hai (p-p0):

( 0)2

0

p p − ε = ε +

µ (1.4)

Trong ε0 lượng roton p=p0 µ0 số xác

định từ thực nghiệm Phonôn rotôn lượng tử sóng âm có độ

dài sóng lớn độ dài sóng bé Phonơn rotơn (có spin không) thuộc

loại hạt Bozon tuân theo phân bố Bose-Einstein:

kT

1 n

e

ε−µ

=

−

Vì số hạt phonơn rotơn khơng bảo tồn nên hệ trạng thái cân

năng lượng tự hệ đạt giá trị cực tiểu, nghĩa là:

F

0 n

∂

= µ = ∂

Như vậy, hệ phonơn rotơn hố học µ khơng Khi

hàm phân bố n phonơn rotơn có dạng:

kT

1 n

e

ε

= −

(1.5)

Số n số hạt phonơn hay rotơn trung bình trạng thái lượng

Chú ý hàm phân bố n phonơn hay rotơn tính trực tiếp

như sau Gọi Wn xác suất tìm hệ n phonơn (hay rotơn) trạng thái có

năng lượng nε, ta có:

n n

kT kT

n

1

W Ae e

Z

ε ε

− −

= =

Trong đó:

n kT

n kT

1

A , Z e

Z

1 e

ε ∞ −

ε − =

= = =

−

∑

Đặt a

kT

ε

= , ta viết được:

( )

n

-kT n

n n

-n kT kT

n

ne

ln Z

n nW

a

e e

ε

ε ε

∂

= = = − =

∂

−

∑ ∑

∑

(1.8)

Từ phân tích ta thấy hệ chất lỏng Hêli II khảo sát

hỗn hợp khí lí tưởng phonơn rotơn

§2 Những đại lượng nhiệt động chất lỏng Hêli II

Ta tính lượng lượng tự khí phonơn sau tính

năng lượng lượng tự cho khí rotơn Biết lượng tự

khí phonơn rotơn, ta tính lượng tự chất lỏng Heli II

Ta biết thể tích khơng gian pha V4 p dpπ có V4 p dp / hπ trạng thái

vi mô trạng thái vi mơ có n hạt có lượng hν

Số phonơn có xung lượng nằm p p+dp hay có tần số nằm ν d

ν + νbằng:

( ) ( )

2

h

3

kT

V4 p dp V4 dp

dN n

h v

e

ν

π πν

ν = ν =

−

(2.1)

( )

max max

f h

0 kT

4 Vh d E h dN

v

e

ν ν

ν π ν ν ∆ = ν ν =

−

∫ ∫ (2.2)

Đặt x h kT

ν

= , ta có:

max

4 x

f x

0

4 Vh kT x dx E

v h e

π  

∆ =  

−

  ∫ (2.3)

Vì chất lỏng Hêli II vùng nhiệt độ thấp nên xmax h max kT

ν

= → ∞ Chú ý

rằng:

max

x 3 4

x

x dx e 15

π = −

∫ (2.4)

Ta có:

( )4

f 3

4 V kT E

15h v

π

∆ = (2.5)

Ta biết lượng tự khí phonơn liên hệ với lượng hệ

thức:

2

f f

f f f

F F

E F TS F T T

T T T

 

∂ ∂  

∆ = + = − = −   

∂ ∂ (2.6)

Hay:

T f

f

0

E

F T dT

T ∆

= − ∫ (2.7)

Dễ thấy rằng: ( )

5

4

f 3

4 V

F kT

45h v π

= − (2.8)

Bây ta tính Fr: Từ kiện thực nghiệm chất lỏng Hêli II, ta có:

0

0 He

p

8.5 K, 1,9.10 cm ,− 0,16m

ε = = µ =

Khi nhiệt độ T đủ thấp (Tε0) thì:

( )2 0 p p T − ε + = ε µ

ekT 1

ε

hàm phân bố rotôn chuyển

dạng hàm phân bố Boltzmann

( )2

0 0 p p kT kT kT

n e e e

− ε

ε −

− − µ

= = (2.9)

Năng lượng tự khí lí tưởng rotơn có dạng:

r r

F = −kTln Z (2.10)

trong Zr tích phân trạng thái hệ Nr rotơn

r r

r

N E

x y z

kT kT

r 3N

r r

dp dp dp

d

Z e V e

N ! h

N !h ε − Γ  −    = =    

∫ ∫ (2.11)

Chú ý rằng:

r

r r r r r

N ln N ! N ln N N N ln

e   

= − =   (2.12)

Ta có:

x y z kT

r r

r

dp dp dp eV

F N kT ln e

N h ε −     = −  

 ∫  (2.13)

Số Nr phụ thuộc vào nhiệt độ Khi nhiệt độđã cho, số rotôn xác định từ

cực tiểu lượng tự Fr, nghĩa r r F N ∂ =

∂ Từ điều kiện ta tìm được:

x y z kT

r

dp dp dp N V e

h

ε −

= ∫ (2.14)

hay:

x y z kT

3 r

Dùng hệ thức này, ta viết lại biểu thức Fr sau:

x y z kT

r r

dp dp dp F N kT ln e kTV e

h

ε −

= − = − ∫ (2.16)

Để tìm Fr, ta tính tích phân I

( )2

0

0

x y z

kT kT

3

p p kT kT

3

dp dp dp 4

I e e p dp

h h

4

e e p dp

h ε ε − − − ε − − µ π = = π = ∫ ∫ ∫ (2.17)

Khi ( )

2 0 p p kT −

µ mặt thực tế biểu thức nằm tích phân I

tiến tới khơng Vì ta mở rộng giới hạn tích phân I từ +∞ đến −∞:

( )2

0

0

p p kT kT

3

4

I e e p dp

h − +∞ ε − − µ −∞ π = ∫

Vì p2 thay

đổi chậm so với

( )2

0 p p kT e − −

µ nên có thể đưa p2 ngồi d

ấu tích

phân I lấy giá trị gần p=p0

Biểu thức gần I có dạng:

( )2

0

0

0

p p kT

2 kT kT

0 0

3

4

I p e e dp p kTe

h h − +∞ ε − ε − µ − −∞ π π

= ∫ = πµ (2.18)

Biết I, ta tìm biểu thức Fr:

( )3/

0 kT

r

4

F kT Vp e

h

ε −

π πµ

= − (2.19)

( ) ( )

0 p r

4

3/ 2 kT

0 3 0

F F F F

4 V kT

F F kT Vp e

45h v h

ε −

= + +

π π

= − − πµ (2.20)

Biết F ta tính entropy S nhiệt dung v

V

S

C T

T

∂   =  

∂

Entropy S:

0

4

5 3/ 1/ kT

0

3 3

V

F 16 k V

S T Vp k T e

T 45 h v h kT

ε −

 

∂  π  ε 



= −  = π + πµ  + 

∂    (2.21)

Nhiệt dung CV:

0

3

v

V

2 3/

2 kT

0 0

0

S 16 kT

C T kV

T 15 hv

4 kT kT

2 kVp e

h kT

ε −

∂   

 

=   = π  

∂   

   

ε  

π      

+ πµ ε    + +    

   ε ε  

(2.22)

§3 Hiện tượng siêu chảy chất lỏng Hêli II

Chất lỏng Hêli II có tính chất đặc biệt tính chất siêu chảy Hiện

tượng chảy chất lỏng Hêli II dọc theo ống mao dẫn (hay theo thành rắn

nào đó) với độ nhớt coi khơng gọi tượng siêu chảy Vì độ nhớt

của chất lỏng Hêli II coi không nên chảy chất lỏng Hêli II dọc

theo thành rắn chảy không chậm dần chất lỏng Hêli II lan khắp

thành rắn

Để giải thích tượng siêu chảy ta ý nhiệt độ không tuyệt đối

chất lỏng Hêli II trạng thái (trạng thái khơng có kích thích

nào) Ở trạng thái tất nguyên tử Hêli II chuyển động toàn

bộ (các nguyên tử có vận tốc nhau) Đó chảy thành dịng

không tuyệt đối, chất lỏng Hêli II trạng thái kích thích nhiệt Ở trạng thái

này số nguyên tử Hêli II nhận kích thích nhiệt chuyển động vô trật tự Số nguyên tử Hêli II chuyển động vô trật tự lớn

nhiệt độ tăng Trong trường hợp chảy chất lỏng Hêli II

chảy có xoắn (sự chảy thường) Bây ta giải thích tượng siêu

chảy chất lỏng Hêli II Ở nhiệt độ không tuyệt đối, chất lỏng Hêli II chảy

thành dịng (khơng xoắn) tồn Sự chảy khơng thể chậm dần

chất lỏng khơng nhận lượng từ ngồi (khơng nhận kích thích nhiệt) đủ

lớn để ngăn cản chảy chất lỏng Thành thử, chảy chất lỏng

trong trường hợp siêu chảy Rõ ràng chất lỏng trạng thái

siêu chảy chảy chất lỏng khơng mang theo kích thích

Khi nhiệt độ tăng gần nhiệt độ không tuyệt đối (T<2 K0 ) số

nguyên tử kích thích Hêli II nhận kích thích nhiệt chuyển động vơ trật tự, cịn số nguyên tử khác chất lỏng Hêli II chuyển động thành dịng tồn khơng xoắn Như T≠0

0

T 1.9 K< có hai dạng chuyển động chất lỏng Hêli II xảy đồng thời:

siêu chảy chảy thường Một cách sơ coi chất lỏng Hêli II

hỗn hợp hai chất lỏng: chất lỏng siêu chảy chất lỏng chảy thông thường

tồn đồng thời độc lập với Dòng siêu chảy khơng mang kích

thích nhiệt dịng thường mang kích thích nhiệt Khi nhiệt độ

0

T 1.9 K= tất nguyên tử Hêli II trạng thái kích thích nhiệt

và tượng siêu chảy biến

Sự tồn tượng siêu chảy chất lỏng Hêli II xẩy

vận tốc chất lỏng khơng thể lớn vận tốc sóng âm dài Thật vậy, ta

khảo sát chảy chất lỏng Hêli II dọc theo thành rắn Để thuận tiện, đầu

vận tốc v Trong hệ qui chiếu chất lỏng Hêli II đứng yên thành rắn

chuyển động với vân tốc v− Đầu tiên ta coi chất lỏng Hêli II trạng

thái (khi T= +0) Giả sử chất lỏng Hêli II có xuất

kích thích nhiệt với xung lượng p lượng ε( )p Khi hệ

qui chiếu K’ “gằn liền” với chất lỏng Hêli II (K’ chuyển động chất

lỏng Hêli II) chất lỏng Hêli II có lượng ε( )p xung lượng

p

(tính từ mức bản) Đối với hệ qui chiếu K gắn liền với thành rắn

chất lỏng Hêli II chuyển động với vận tốc v có lượng E Ta tìm

cơng thức biến đổi lượng nói chung chuyển từ hệ K’ sang hệ K

sau áp dụng tương tự cho toán Gọi v v' vận tốc

của vật hệ qui chiếu K K’, V

vận tốc hệ K’ chuyển động hệ K, theo định lí cộng vận tốc, ta có:

v= +v' V (3.1)

Cơ vật hệ K K’ bằng:

( )2

2

m v' V mv

E U U

2

mv'

E' U

2

+

= + = +

= +

(3.2)

trong m khối lượng U vật Dễ thấy rằng:

2

mV mV

E E ' mv'V E ' p'V

2

= + + = + + (3.3)

Thay E’ ε( )p p' p ta có cơng thức biến đổi lượng

chất lỏng Hêli chuyển từ hệ K’ sang hệ K sau: ( )

2

mV

E p pV

2

Ởđây V vận tốc

2

mV

2 động chất lỏng Hêli II

Nếu chất lỏng Hêli II chuyển động không ma sát (siêu chảy) lượng

của chất lỏng

2

mV

2 Khi có ma sát

2

mV E

2

− độ giảm

lượng chất lỏng ma sát Ta có: ( )

2

mV

E p pV

2

− = ε + < (3.5)

Độ giảm bé p ngược chiều với V

, nghĩa là: ( )p pV

ε − < hay V ( )p

p

ε >

Kí hiệu 0 ( )

min

p V

p

ε 

 

=  

  , ta có V>V0 Như V>V0 chất lỏng

Hêli II có xuất kích thích nhiệt V<V0 chất lỏng Hêli II

khơng có chứa kích thích nhiệt Sự chảy chất lỏng Hêli II khơng

mang theo kích thích nhiệt gọi siêu chảy Ta biết ε( )p =vp, v

vận tốc âm chất lỏng Hêli II Vậy V0 vận tốc âm nhỏ chất

lỏng Hêli II Sự chảy chất lỏng với V>V0 chảy thường V<V0

siêu chảy

§4.Hiệu ứng nhiệt

Một tính chất nhiệt đặc biệt chất lỏng Hêli II gọi hiệu ứng nhiệt

Nội dung hiệu ứng sau Có bình đựng chất lỏng Hêli II Khi

cho chất lỏng Hêli II chảy qua ống mao dẫn ngồi phần nhiệt độ chất lỏng Hêli II cịn lại bình tăng Ngược lại, cho chất lỏng

Hêli II từ theo ống mao dẫn chảy thêm vào bình nhiệt độ

chất lỏng Hêli II chảy từ bình ngồi theo ống mao dẫn có lượng

chất lỏng siêu chảy chảy qua cịn chất lỏng thường khơng chảy qua có

tính nhớt Chất lỏng siêu chảy khơng mang theo kích thích nhiệt ngồi

nên lượng chuyển động nhiệt bình cũ khối lượng

chất lỏng bình giảm Sự phân bố lại lượng chuyển động nhiệt

trong bình làm nhiệt độ bình tăng lên Ngược lại, cho chất lỏng

Hêli II từ vào thêm bình theo ống mao dẫn có chất lỏng

siêu chảy chảy vào bình cịn chất lỏng thường khơng chảy vào bình

do tính nhớt Năng lượng chuyển động nhiệt tồn chất lỏng

bình khơng thay đổi khối lượng chất lỏng Hêli II bình tăng

IV Khí lí tưởng lượng tử §1 Khí Boltzmann

1 Khí Boltzmann

Phân bố Gibbs cho hệ trạng thái cân nhiệt với tesmosta

(máy điều nhiệt), đặc biệt cho hệ khí lí tưởng Gọi nk số hạt khí

trạng thái với mức lượng εk Ta khảo sát trường hợp trị trung bình

của số hạt mức lượng εk bé so với đơn vị, nghĩa nk

Khí lí tưởng thoả mãn điều kiện nk gọi khí lí tưởng Boltzmann

Điều kiện nk mặt vật lí có nghĩa khí Boltzmann khó đủ lỗng

sao cho tương tác phân tử khí hệ giả kín (gần độc lập)

Xác suất tìm hạt khí mức lượng εk theo phân bố Gibbs bằng: k

e k

k

n

W Ae

N

− θ

= =

Ở N số hạt toàn phần hệ, hệ số A xác định từ điều kiện

chuẩn hoá xác suất k

k

W =1

∑

k

e

k

1

A , Z e

Z

− θ

= =∑

Hàm phân bố Boltzmann có dạng: k

e k

n =Ce− θ , C NA=

2 Năng lượng nhiệt dung khí lí tưởng Boltzmann lưỡng nguyên tử

Phân tử khí lí tưởng lưỡng nguyên tử A-B nằm trục AB có bậc tự do,

hai bậc tự chuyển động tịnh tiến khối tâm 0, hai bậc tự

phân tử khí gồm ba phần: lượng chuyển động tịnh tiến εt, lượng

chuyển động quay εq lượng chuyển động dao động εd

Gọi ε lượng phân tử khí, ta có:

t q d

ε = ε + ε + ε

Năng lượng trung bình hệ N phân tử khí lí tưởng bằng:

( t q d)

E N= ε = N ε + ε + ε

Để tính ε ε εt, ,q d ta dùng định lí nhân xác suất:

( ) t q d

e

W W W W

Z

ε −

θ

ε = =

trong W ,W ,Wt q d xác suất để phân tử khí có lượng tịnh tiến

t

ε , có lượng chuyển động quay εq có lượng chuyển động

dao động εd Biểu thức xác suất W ,W ,Wt q d có dạng: q

q

t

t

d

d

t t

q

q q

t

d d

d

e

W ; Z e

Z e

W ; Z e

Z e

W ; Z e

Z

ε

− ε

θ −

θ

ε −

ε

θ −

θ

ε −

ε

θ −

θ

= =

= =

= =

∑ ∑ ∑

Với Z Z Z Z= t q d

Đặt β = −

θ, ta có:

( )

t t

-t

t t t t

-e

W ln Z

e

ε θ ε

θ

ε ∂ ε = ε = =

∂β ∑

∑

( )

q q

-q

q q q q

-e

W ln Z

e

ε θ ε

θ

ε ∂ ε = ε = =

∂β ∑

∑

∑

( )

d d

-d

d d d d

-e

W ln Z

e

ε θ ε

θ

ε ∂ ε = ε = =

∂β ∑

∑

∑

Để tính ε ε εt, ,q d ta cần tính Z ,Z ,Zt q d

Chuyển động tịnh tiến phân tử khí hình hộp chữ nhật có cạnh

L1, L2, L3 khảo sát hạt chuyển động tự giếng chiều

Từ học lượng tử ta biết lượng tự hạt giếng ba

chiều có dạng:

2 2 2 t n n n 2 2

n n n

E

2m L L L

 

π

ε = =  + + 

 

Ở m khối lượng phân tử khí, n ,n ,n1 2 3 =1,2,3 Biểu thức Zt

có dạng:

2 2

3 1 2

1

n

n n

t

n n n

Z ∞ e− α ∞ e−α ∞ e−α

= = =

=∑ ∑ ∑

trong đó:

2 i

i

, i 1,2,3 2mL

π

α = = θ

Ở nhiệt độ phịng Li lớn αi

2 2 1n , n , n2 3

α α α thay đổi

rất ta thay đổi số n1, n2, n3 đơn vị Vì lí nên ta

thay tổng biểu thức Zt tích phân tương ứng:

2 2

3 1n 2n n

t

0 0

Z ∞e−α dn e∞ −α dn e∞ − α dn

=∫ ∫ ∫

Chú ý h ,L L L1 2 3 V

2

= =

π

2

n n

0

1

e dn e dn

2

∞ ∞

− α − α −∞

π

= =

α

∫ ∫

ta nhận được:

( )

( ) ( )

3 /

t

2

k t t

2 m

Z V

h

3

ln Z ln Z kT

2

π θ =

∂ ∂

ε = = θ = θ = ∂β ∂θ

Năng lượng nhiệt dung chuyển động tịnh tiến :

t t

t t

V

3

E N NkT

2

E

C NT

T

= ε = ∂

 

=  = ∂

 

Bây ta tính Zq εq Nếu bỏ qua thay đổi mơmen qn tính

phân tử chuyển động dao động phân tử khí có hai ngun tử

khảo sát hệ hai chất điểm có khối lượng m1 m2 gắn chặt với

và cách khoảng có độ dài r Hệ hai chất điểm

quay xung quanh hai trục 0x 0y vng góc với qua khối tâm

của chúng Từ học, ta biết phân tử đồng thời quay xung quanh trục

0x, 0y vng góc với qua khối tâm khảo sát phân tử quay

xung quanh trục tức thời ∆ qua khối tâm vng góc với trục

AB Mơmen qn tính phân tửđi qua khối tâm :

2 1 2

I m r= +m r

Vì m r1 1 +m r2 2=0 r=r2 −r1 nên biểu thức I viết dạng:

2

I= µr

Ở

1

m m

m m

µ =

+ khối lượng thu gọn phân tử khí Từ học lượng

( )

2 q l

l l L

, l 0,1,2,

2I 2I

+

ε = ε = = =

trong L2 giá trị riêng tốn tử bình phương mơmen xung lượng l

là số lượng tử quĩ đạo Ứng với giá trị l cho trước có (2l+1) hàm sóng

tương ứng với (2l+1) giá trị có hình chiếu mơmen xung lượng

trên trục z ( m 0, 1, 2, , l= ± ± ± ) Vì bội số suy biến chuyển động

quay gl = 2l+1 Tổng trạng thái Zq chuyển động quay :

( ) ( )

( )

2l l 1 2l l 1

2I 2I

q l

l l

Z e g e 2l

+ +

− −

θ θ

= =

=∑ =∑ +

Tính Zq trường hợp tổng qt khó Ta khảo sát hai trường hợp

giới hạn sau:

2

q

kT kT

2I

θ = =

2

q

kT kT

2I

θ = = Tq nhiệt độ

đặc trưng cho phân tử có hai nguyên tử chuyển động quay Đối với

phân tử H2 Tq =85,4 K0 02

0 q

T =2,1 K

Khi TTq hàm dấu tổng thay đổi l thay đổi đơn

vị Vì TTq ta thay tổng tích phân biểu thức

Zq

( ) ( )

2l l 1

2IkT q

0

Z 2l e dl

+ ∞

−

=∫ +

Đặt x=l(l+1), ta có :

dx = (2l+1)dl

( )

2

x 2IkT

q

0

2I Z =∞∫ 2l e+ − dx= θ

Năng lượng trung bình chuyển động quay :

( ) ( )

q ln Zq ln Zq

∂ ∂

Kết trùng với kết nhận thống kê cổ điển Năng

lượng tương ứng với hai bậc tự chuyển động quay θ =kT

Năng lượng nhiệt dung khí lí tưởng TTq :

q q

q q

V

E N NkT

E

C Nk

T

= ε = ∂

 

=  = ∂

 

Khi TTq số hạng với giá trị l bé đóng vai trị chủ yếu tổng

của Zq (các số hạng với l lớn có giá trị bé bỏ qua) Khi ta có:

( )

2

2

2

I q

I I

q

2

2 I

q q

Z 3e

ln Z ln 3e 3e

ln Z e

I

− θ

− −

θ θ

− θ

≈ +

 

≈  + ≈

 

∂

ε = θ ≈ ∂θ

Năng lượng nhiệt dung khí lí tưởng TTq bằng:

2

2 I q q

2

q I

q

V

E N 3N e

I E

C 3Nk e

T I

− θ

− θ

= ε = ∂

   

=  =   ∂  θ  

Khi T→0 Cq →0

Bây ta tính Zd εd Dao động hai nguyên tử phân tử

khảo sát dao động chất điểm có khối lượng thu gọn µ Năng

lượng dao động điều hoà theo học lượng tử :

d

1

n , n 0,1,2,

2

 

ε = ω +  =

 

trong 2

T

π

Tổng thống kê Zd n n 2 d

n n

Z e e e

  ω +  ω ω ∞ − − ∞ − θ θ θ = = =∑ = ∑

Đặt q e

ω −

θ

=

ý rằng: n

n q q ∞ = = − ∑

Năng lượng tương ứng với bậc tự chuyển động dao động :

( )

2

d n ln Zq

2 e ω 1

θ ω ∂ ω ω ε = + ω = θ = + ∂θ − n e ω θ = −

Đặt ω =kTd phân tử H2 ta có Td =6100 K0 O2

d

T =2240 K Khi TTd, ta có :

d d d

d d

V

kT, E N NkT

E C Nk T ε = = ε = ∂   =  = ∂  

Kết trùng với lí thuyết cổđiển

Khi , ta có :

kT d kT d d d kT d V e

E N N N e

2 E

C Nk e

T kT ω − ω − ω − ω ε = + ω ω = ε = + ω ∂ ω     =  =   ∂    

Năng lượng nhiệt dung chuyển động dao động trường hợp tổng

quát có dạng :

d d

kT

2

kT d

d

V kT

N N

E N

2 e 1

E e

C Nk

T kT

e

ω

ω

ω

ω ω = ε = +

−

∂ ω

   

=  =   ∂  

   

−

 

 

Năng lượng trung bình nhiệt dung đẳng tích khí lí tưởng lưỡng

nguyên tử có dạng :

k q d

v k q d

E E E E

C C C C

= + + = + +

Dạng đường cong biểu diễn Cv phụ thuộc vào T hình bên

Ta biết:

V

F

S , E F TS

T

∂

 

= −  = + ∂

  suy

( )

2

V V

2

F F

E F T T

T T

E T

F T dT

T

∂ ∂

   

= −   = −  

∂ ∂

   

= − ∫

Biết E hàm T, ta tìm

F S

Năng lượng tự hệ tính từ tổng thống kê Z F= −θln Z

Ởđây :

( ) ( ) ( )

n n n

E

n , , ,

Z e e

ε +ε + +ε

− −

θ θ

ε ε ε

=∑ = ∑

Vì hạt giống phân biệt nên biểu thức Z có dạng :

( )

N

N t q d

Z e Z Z Z

ε −

θ

 

=  =

∑ 

Năng lượng tự khí lí tưởng Boltzmann tính theo cơng

thức :

( t q d)

F= −θln Z= − θN ln Z +ln Z +ln Z

Biết F, ta tính áp suất khí lí tưởng :

t

T T

ln Z

F N

P N

V V V

∂

∂   θ

 

= −  = θ  =

∂ ∂

   

Phương trình khơng phụ thuộc vào Zq Zd nên :

PV N= θ =NkT

là phương trình trạng thái khí lí tưởng N phân tử nói chung §2 Khí lí tưởng Fermion Bozon

Hạt Fermion có spin bán nguyên hạt Bozon có spin nguyên Số hạt

Fermion hay Bozon trung bình trạng thái lượng tử xác định

bằng công thức:

n

e

ε−µ θ

=

±

Ở ε lượng hạt, µ hố học, dấu nằm tương ứng

với thống kê Fermi-Dirac dấu nằm tương ứng với thống kê

Bose-Einstein

Xét hệ khí lí tưởng gồm N hạt Fermion hay Bozon Năng lượng

của hạt lượng chuyển động tịnh tiến :

( )

2 2 2 x y z

p p p p

p

2m 2m

+ +

trong m khối lượng hạt p xung lượng hạt Số hạt có xung

lượng toạ độ nằm thể tích khơng gian pha dp dp dpx y z dN :

x y z

dp dp dp dN ng

h

=

Trong g bội suy biến lượng ε( )p Thí dụứng với giá trị

của ε( )p có g trạng thái ứng với g cách định hướng spin Hạt có spin s

thì g=2s+1 Trường hợp s=1/2 g=2

Tích phân theo thể tích V chuyển từ dp dp dpx y z → π4 p dp2 , ta nhận

biểu thức số hạt thể tích V có xung lượng nằm p p+dp

bằng dNp:

( )

p

1 V

dN g p dp ndG p

h

e

ε−µ θ

π

= =

±

Vì

2

p 2m

ε = nên số hạt thể tích V có lượng từ ε đến ε + εd

( ) / 1/

3

4 Vgm

dN d ndG

h

e

ε ε−µ θ

π ε

= ε = ε

±

Số hạt tồn phần khí lí tưởng:

3 /

0

4 Vgm

N dN d

h e 1

∞

ε ε−µ

θ

π ε

= = ε

±

∫ ∫

Đặt x= ε

θ, ta được:

( )3 /

3 x

0

N g xdx

m

V h e 1

∞ µ −

θ

π

= θ

±

Công thức xác định hố học µ phụ thuộc vào nhiệt độ θ mật độ

hạt N V

Năng lượng khí lí tưởng:

3 / / /

3 x

0

4 Vg x

E dN m dx

h e 1

∞

ε µ

− θ

π

= ε = θ

±

∫ ∫

Thế nhiệt động k

k

Ω =∑Ω có dạng: k

k ln e

µ−ε θ

 

Ω = −θ  + 

  khí Fermi-Dirac

k

k ln e

µ−ε θ

 

Ω = θ  − 

  khí Bose-Einstein

Chuyển từ tổng theo lượng đến tích phân theo lượng, ta có:

( ) /

3

0

ln e dG gV 2m

ln e d h

µ−ε θ

µ−ε ∞

θ

 

Ω = θ  ±  ε

 

π  

Ω = θ ε  ±  ε

 

∫

∫

∓

∓

Ở lấy dấu nằm ứng với khí Fermion lấy dấu nằm ứng với

khí Bozon

Thực phép tính tích phân phân đoạn, ta được:

3 / /

0

2 gV 2m d

3 h e 1

∞ ε−µ

θ

π ε ε

Ω = −

±

∫

hay

3 / / /

3 x

0

2 g x dx

Vm pV

3 h e 1

∞ µ −

θ

π

Ω = − θ = − ±

∫

2 E

Ω = − hay pV 2E

3

=

Phương trình pV 2E

= phương trình trạng thái khí lí tưởng hạt

bản

Những kết tính hạt chuyển động với vận tốc bé so với vận

tốc ánh sáng chân không c Bây ta khảo sát trường hợp hạt

chuyển động với vận tốc so sánh với vận tốc ánh sáng c Trong

trường hợp này, ta có :

2

3 3

2 3

3 3 x

0

2 3

0

4 gV gV

p , dG p dp d

c h h c

1 gV

dN d

h c

e

4 gV x dx E dN

h c e 1

4 gV

ln e d h c

ε ε−µ θ

∞

ε µ

− θ µ−ε ∞

θ

ε π π ε

= = = ε

π

= ε ε

± π = ε = θ

±

π  

Ω = θ ε  ±  ε

 

∫ ∫

∫ ∓

Tích phân phân đoạn, ta :

3 3

0

4 gV d 3h c e 1

∞ ε−µ

θ

π ε ε Ω = −

± ∫

hay

3 3 x

0

4 gV x dx 3h c e 1

∞ µ −

θ

π Ω = − θ

± ∫

So sánh biểu thức E Ω, dễ dàng thấy rằng: E

3

Ω = − hay pV E

3

Phương trình pV E

= phương trình trạng thái khí lí tưởng

hạt chuyển động với vận tốc c §3 Photon Những xạ cân

Photon có spin đơn vị khí photon tn theo thống kê

Bose-Einstein

Ta khảo sát hệ hạt photon trạng thái cân nhiệt với vật xạ

hấp thụ photon (vật hấp thụ xạ photon đóng vai trị tesmosta) Các

hạt photon khơng tương tác với nên khí photon giống khí lí tưởng

Tuy nhiên khí photon có điểm khác với khí lí tưởng sau Trong

chân không, photon chuyển động với vận tốc c số hạt photon

trong hệ không đổi tesmosta ln xạ hấp thụ photon

Khi khí photon trạng thái cân lượng tự hệ đạt giá trị

cực tiểu, nghĩa là:

V,T

F

0 N

∂

 

= µ =

 

∂

 

Số hạt photon trung bình có lượng ε theo thống kê Bose-Einstein

bằng: n

e

ε θ

= −

Mỗi hạt photon có lượng ε = ω = ν h , có khối lượng m 2 c

ε

= có

xung lượng p mc h

c c

ε ν

= = = Số photon thể tích V có xung lượng

nằm p p+dp hay có tần số nằm ν ν + νd dNν:

( )

2

3

4 Vgp dp Vg d

dN n n ndG

h c

ν

π π ν ν

Ở g=2 bội suy biến ε( )p Vì ứng giá trị p hay ε( )p xác

định có hai photon ứng với hai sóng phân cực tần số ν (phân cực phải

và phân cực trái)

Năng lượng photon có tần số nằm ν ν + νd thể

tích V dEν:

3 h

8 V h d dE dN h dN

c e

ν ν ν ν

θ

π ν ν = ε = ν =

−

Mật độ hàm phân bố lượng khí photon theo tần số xác định

bằng hệ thức:

( )

3 h

dE Vh f

d c e 1

ν

ν θ

π ν ν = =

ν

−

Hình bên biểu diễn hàm ( )

3 x

x f x

e

=

− ứng với hàm phân bố lượng theo

tần số ν Hàm f( )ν có cực đại

0

ν = ν Ở ν0 xác định từ điều

kiện ∂f =0

∂ν Từđiều kiện suy ra:

0

h

2,822

ν = θ

Dễ thấy θ tăng vị trí cực

đại f( )ν dịch chuyển phía tần số lớn Đó định luật dịch chuyển tần

số

Bây ta tính đại lượng nhiệt động khí photon Ta biết

lượng tự F liên hệ với nhiệt động học Ω hệ thức : F= Φ + Ω = µ + ΩN

Sử dụng biểu thức Ω E khí lí tưởng hạt chuyển động với vận tốc c với ý µ =0 ta :

3 4

4

3 x 3

0

3 4

4

3 x 3

0

4 gV x dx gV F

3c h e 3c h 15 gV x dx gV

E

c h e c h 15

∞

∞

π π θ π

= Ω = − θ = − −

π π θ π

= − θ = − − ∫ ∫

Trong g=2 Đặt

5

5

4 k

5,67.10 15c h

−

π

σ = = ta viết được:

4

V

4

V

V

4 F 16

F VT , S VT

3c T 3c

4 E 16

E VT , C VT

c T c

σ ∂  σ = − = −  =

∂

 

σ ∂  σ = =  =

∂

 

Áp suất khí photon cân :

4 T

F

p T

V 3c

∂ σ

 

= −  = ∂

 

§4 Khí electron tự kim loại

Electron hạt Fermion có spin s=1/2 Mỗi mức lượng ε electron

có bội suy biến g=2s+1=2 Đó hai trạng thái lượng tử có hình chiếu spin

ngược chiều electron Số electron trung bình trạng thái lượng

tử theo thống kê Fermi-Dirac có dạng :

( ) ( )

n f

e

ε−µ θ

ε = ε =

+

(1)

Ở θ =kT µ hố học Thế

hố học µ phụ thuộc vào nhiệt độ Khi T→0 µ →0 Mức lượng

F

của n( )ε vào nhiệt độ T khác biểu diễn hình bên.

Ta tính hố học µ, lượng E nhiệt dung đẳng tích CV khí

lí tưởng electron kim loại

Số hạt toàn phần N lượng E khí electron tính theo

công thức :

1/ /

0

4 Vg d

N dN m

h e 1

∞ ∞

ε ε−µ

θ

π ε ε

= =

+

∫ ∫ (2)

3 / /

0

4 Vg d

E dN m

h e 1

∞ ∞

ε ε−µ

θ

π ε ε

= ε =

+

∫ ∫ (3)

Công thức (2) cho ta xác định µ hàm nhiệt độ T nồng độ

electron n=N/V Biết µ hàm T ta thay vào (3) xác định E

là hàm nhiệt độ Đặt g 23 m3 / h

π

α = ta có :

1/

0 /

0

N d

n

V e 1

d

E V

e

∞ ε−µ

θ ∞

ε−µ θ

ε ε = = α

+ ε ε = α

+

∫ ∫

Để tính µ E ta cần tính tích phân IP có dạng sau :

( ) P

0

F d I

e

∞ ε−µ

θ

ε ε =

+ ∫

Trong F( ) p p 1,p

2

 

ε = ε  = = 

 

Đưa vào biến số z= µ − ε

θ , ta có :

z, d dz

( )

( ) ( )

P z

0

P z z

0

F z

I dz

e

F z F z

I dz dz

e e

∞

µ −

θ

∞

µ −

θ

µ + θ = θ

+

µ + θ µ + θ = θ + θ

+ +

∫

∫ ∫

Trong tích phân đầu thay biến số z –z, ta được:

( ) ( )

0

P z z

0

F z F z

I dz dz

e e

∞

µ θ

µ − θ µ + θ = −θ + θ

+ +

∫ ∫

Dùng hệ thức:

z z

1

1

e− 1= −e

+ +

Ta viết lại biểu thức IP sau:

( ) ( ) ( )

0

p z z

0

F z F z

I F z dz dz dz

e e

∞

µ µ

θ θ

µ − θ µ + θ = −θ µ − θ + θ + θ

+ +

∫ ∫ ∫

hay

( ) ( ) ( )

p z z

0 0

F z F z

I F d dz dz

e e

µ

µ θ µ − θ ∞ µ + θ

= ε ε − θ + θ

+ +

∫ ∫ ∫

Ta tính µ E vùng nhiệt độ thấp Khi zθ bé µ → ∞

θ Biểu

thức IPở vùng nhiệt độ thấp có dạng:

( ) ( ) ( )

p z

0

F z F z

I F d dz

e

µ ∞ µ + θ − µ − θ

= ε ε + θ

+

∫ ∫

Đặt x z= θ ta khai triển hàm F(µ + θz ) F(µ − θz ) theo x giữ đến số hạng bậc x:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

p

0 p

p

F

F x x F ,0 x

x

F z p − z

∂

 

µ + = µ + = µ +  ∂

 

( ) ( ) ( )

( ) ( )

p

0 p

p

F

F x x F ,0 x

x

F z p − z

∂

 

µ − = µ − = µ +  ∂

 

µ − θ = µ − µ θ

Đặt biểu thức F( )ε = εp F(µ + θ −z ) F(µ − θ =z ) 2p( )µ p 1− zθ vào (4)

và ý:

2 z

0

zdz

e 12

∞

π = + ∫

Ta tìm được:

( ) p

p 2 p

I p

p

+

−

µ π

= + µ θ

+ (5)

Dễ thấy rằng:

2 /

1/

2

I

3

 π  θ 

= µ  +    µ

 

 

(6)

2 /

1/

2

I

5

 π  θ 

= µ  +   

µ

 

 

(7)

Khi T→0 µ → µ0 E→E0 Khi ta có:

3 /

5 /

0

N

n

V

2 E V

5

= = α µ = α µ

(8)

Hay

2 / 2 / /

0

3 n h

n

2 2m

3

E N

5

   

µ =  =  

α π

   

= µ

Chú ý T→0 n f= ( )ε ≈1 ε < µ0 n 0≈ ε > µ0 nên

các hệ thức (8) hay (9) nhận từ hệ thức đơn giản sau:

0

1/ / 0

3 / /

0 0 n d

E V d V

5 µ µ = α ε ε = αµ = α ε ε = α µ ∫ ∫

Để tính µ E phụ thuộc vào T vùng nhiệt độ thấp, gần ta thay θ µ/

bằng θ µ/ 0 công thức I1/ 2 I3 / 2:

2

3 / 1/

0 2

5 / /

0 I I  π  θ     ≈ µ +    µ      π  θ     ≈ µ +    µ     (10)

Từ công thức (2) (8) suy ra:

2

3 / / 1/

0

n 2

I

3

 π  θ  

 

= µ = = µ +  

 

α  µ  

Dễ thấy rằng:

2 /

2 2 0 0 1 12 −  π  θ    π  θ       µ = µ +   ≈ µ −    µ    µ       (11) Năng lượng khí electron kim loại bằng:

2

5 / /

0 /

2

2

5 / 2

0

0

2

E VI V

5

2

V 1

5 12

2 2

5 / 2

0

0

2

2

0

0

2

E V 1

5 24

5 25

E

12 192

 π  θ    θ  

  

= α µ −   + π  

 µ   µ  

  

  θ   θ  

 

= + π   − π  

 µ  µ  

 

Bỏ qua số hạng bé chứa

4

0

 θ 

 

µ

  ý:

5 /

0 0

2

E V N, kT

5

= α µ = µ θ =

ta được:

2

0

0

3 kT

E N

5 12

   

 

= µ + π  

  µ  

 

(12)

Nhiệt dung đẳng tích khí electron bằng:

e

V

V

E Nk kT

C

T

 

∂

 

=  = π  

∂ µ

    (khi T thấp) (13)

Như vùng nhiệt độ thấp nhiệt dung khí electron kim loại tỉ lệ

bậc với nhiệt độ

Entropi khí electron tính từ phương trình:

( )

T V

0 0

C T Nk kT

S dT

T

 

π

= =  

µ

 

∫ (14)

Năng lượng tự khí electron kim loại tính từ hệ thức:

2 / /

0

h N

2m V

   

µ =    

π

    (15)

Trong phụ thuộc vào V theo cơng thức:

Phương trình trạng thái khí electron tính theo cơng thức:

T

F p

V ∂

 

= −  ∂

  hay

2

pV E

3

2

0

0

2 kT

pV N

5 12

   

 

= µ + π  

 µ  

 

V Dao động tử điều hoà chiều

§1.Năng lượng dao động tửđiều hồ chiều

Tốn tử Hamilton dao động tửđiều hồ chiều có dạng:

2 2

ˆ ˆ

p m x

ˆH

2m

ω

= + (1)

Trong ˆx toán tử toạ độ ˆp i d

dx

= − toán tử xung lượng

Phương trình Schrodinger dao động tửđiều hồ trạng thái dừng:

( ) ( )

n n n

ˆHΨ x =E Ψ x (2)

Ta tìm lượng En hàm sóng Ψn( )x dao động tử điều hoà

Đáng lẽ biểu diễn ˆH qua ˆp ˆx ta biểu diễn qua toán tử ˆa ˆa+

xác định sau:

0

0

ˆp

ˆ ˆ

a a [i + x]

m ˆp

ˆ ˆ

a a [-i + x]

m

+

= ω

= ω

(3)

Trong x x ,p pˆ = ˆ+ ˆ = ˆ+ toán tử ecmit, ˆa+ toán t

ử liên hợp với

toán tử ˆa

1/

m a

2

 

= 

ω

 

Từ (3) ta có:

( )

( )

0

0

ˆ ˆ

ˆx x a a

ˆ ˆ ˆ

p ix m a a

+ +

= +

= − ω − (4)

trong

1/

x

2m

 

= 

ω

 

Từ hệ thức :

ˆ ˆ

ˆ ˆ

xp px i− =

ˆˆ ˆ ˆ aa+ a a 1+

− = hay ˆˆaa+ a a 1ˆ ˆ+

= + (5)

Đặt (4) vào (1), ta được:

( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

H aa a a a a

2

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

H n , n a a

2

+ + +

+

ω  

= + = ω + 

 

 

= ω +  =

 

(6)

Phương trình (2) viết lại sau:

( ) ( ) ( )

n n n n

1

ˆ ˆ

H x n x E x

2

 

Ψ = ω + Ψ = Ψ

 

Gọi n trị riêng toán tử ˆn tương ứng với hàm riêng Ψn( )x , ta có:

( ) n n

n n n n n

n

ˆn n

1

ˆ ˆ

H n n E x

2

1

E n

2 Ψ = Ψ

   

Ψ = ω + Ψ = ω + Ψ = Ψ

   

 

= ω + 

 

(7)

Ta nghiên cứu tính chất số n Chú ý rằng:

[ ] + +

+ + + + + + + +

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ

n,a na - an= a aa - aa a=-a

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

n,a na - a n= a aa - a a a=a

= =

 

 

(8)

Ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n

n n n

n n n

ˆn n

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

na an a n

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

na+ a n a+ + n

Ψ = Ψ

Ψ = − Ψ = − Ψ

Ψ = + Ψ = + Ψ

Từ hệ thức ta thấy Ψn hàm riêng ˆn tương ứng với trị

riêng bé toán tử tương ứng với hàm riêng Ψn 0 khơng tồn

trạng thái ˆaΨn 0 ứng với trị riêng n0-1

Điều có nghĩa là:

n

ˆaΨ =0 (9)

Ta tìm giá trị riêng bé n0 toán tử ˆn Ta biết rằng:

0 0

n n n

ˆ ˆ ˆ

n a a+ n

Ψ = Ψ = ψ

Vì

0

n

ˆaΨ nên ta có:

0 0

n n n

ˆ ˆ ˆ

n n a a+

Ψ = Ψ = ψ =

Do hàm

0

n

Ψ ≠ ta có n0 =0 Các giá trị riêng toán tử lien tiếp khác

nhau đơn vị (n-1, n, n+1) giá trị riêng bé khơng Như

những giá trị riêng có tốn tử số ngun khơng âm,

nghĩa n=0,1,2,3

Năng lượng dao động tửđiều hoà:

n

1

E n , n 0,1,2,3

2

 

= ω +  =

 

(10)

Ta xét ý nghĩa toán tử ˆa ˆa+

Từ hệ thức (8) suy :

ˆˆ ˆˆ ˆ

Ha aH a

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

Ha+ a H a+ +

= − ω

= + ω

(11)

Dễ thấy rằng:

( ) ( )

( ) ( )

n n n

n n n n

n n n n

ˆH E

ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ

Ha aH a E a

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

Ha+ a H a+ + E a+

Ψ = Ψ

Ψ = − ω Ψ = − ω Ψ

Ψ = + ω Ψ = + ω Ψ

Ở trạng thái Ψn lượng dao động điều hoà En trạng thái ˆaΨn

năng lượng dao động điều hoà (En − ω ) trạng thái ˆa+Ψnnăng

lượng dao động điều hồ (En + ω ) Tốn tử ˆa+ toán tử sinh hạt

và toán tử ˆa tốn tử huỷ hạt có lượng ω Toán tử ˆ ˆa a+

toán tử số hạt Hạt có lượng ω gọi phonon Phonon

không phải hạt thực, phonon chuẩn hạt có spin khơng thuộc loại

bozon

Bây ta thiết lập qui tắc tác dụng toán tử ˆa ˆa+ lên hàm

n

Ψ Gọi Ψn 1+ hàm riêng toán tử ˆn tương ứng với trị riêng n+1, ta có:

( )

n n

ˆnΨ + = n 1+ Ψ + Hai hàm Ψn 1+ ˆa+ n

Ψ hai trị riêng tốn tử ˆn có trị riêng

n+1 nên hai hàm khác thừa số nhân α đó:

n n

ˆa+

+

Ψ = αΨ

Ở α số thực hay phức Ta xác định α Vì tốn tử ˆa+ toán

tử liên hiệp ecmit với tốn tử ˆa nên ta có:

( )( )

( )

( )

* *

n n n n

2

* *

n n n n

2

* *

n n n n

ˆˆ ˆ ˆ

aa dx a a dx

ˆn dx dx

n dx dx

+ + +

+ +

+ +

Ψ Ψ = Ψ Ψ

Ψ + Ψ = α Ψ Ψ

+ Ψ Ψ = α Ψ Ψ

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Từđiều kiện chuẩn hố hàm sóng:

* *

n ndx 1, n 1+ n 1+dx

Ψ Ψ = Ψ Ψ =

∫ ∫

ta có:

i

n 1eβ

α = +

Với β số thực Hai hàm sóng khác thừa số eiβ

n n

ˆa+ n

+

Ψ = + Ψ (13)

Tác dụng toán tử ˆa lên hai vế (13) ý ˆˆaa+ = +1 nˆ, ta được:

( ) ( )

n n n n

ˆˆ ˆ ˆ

aa+ n n na

+

Ψ = + Ψ = + Ψ = + Ψ

Từ hệ thức suy ra:

n n

ˆaΨ + = n 1+ Ψ hay

n n

ˆaΨ = nΨ − (14)

Các hệ thức (13) (14) cho ta qui tắc tác dụng toán tử ˆa ˆa+ lên hàm

n

Ψ

§2 Hàm sóng dao động tửđiều hồ

Ta tìm hàm riêng Ψn( )x ˆH tương ứng với giá trị riêng

n

1

E n

2

 

= ω + 

 

Trong hệ thức (13) thay n n-1 ta có:

n n

ˆa+ n

−

Ψ = Ψ

hay

n n

ˆa n

+ −

Ψ Ψ =

Tiếp tục thay hàm

n n

n n

ˆa n ˆa

n

+ − −

+ − −

Ψ

Ψ =

− Ψ

Ψ =

−

( )

( ) n

n

ˆa

x n!

+

Ψ = Ψ (15)

Ởđây:

1/

0

d m

ˆa a x , a

m dx

+    

= ω −  = 

ω

   

Hàm Ψ0( )x xác định từ phương trình:

( ) ( )

0 0

d

ˆa x a x x

m dx

 

Ψ = ω + Ψ =

 

hay

( )

( )

0

d x m x

x

dx

Ψ ω

+ Ψ =

(16)

Nghiệm phương trình có dạng:

( ) m2 x2 x A e0

ω −

Ψ = (17)

Từđiều kiện chuẩn hố hàm sóng:

( ) ( ) *

0 x x dx

Ψ Ψ =

∫

Ta tìm được:

1/

m A = ω

π

 

Biết Ψ0( )x ta xác định hàm sóng Ψn( )x theo (15) §3 Các đại lượng nhiệt động dao động tửđiều hoà

Xác suất tìm dao động tử điều hồ trạng thái có lượng En là:

n

E kT n

W =Ae− (18)

Từđiều kiện chuẩn hố xác suất ∑Wn =1, ta có:

( )

n

E

n 1/ kT kT n n

1

A , Z e e

Z

ω ∞

− − +

= =∑ =∑

Đại lượng Z gọi tổng thống kê dao động tử điều hồ Ta tính Z

n 2kT kT

n

Z e e

ω ∞ ω − −

=

= ∑

Đặt d e kT

ω −

=

tính tổng cấp số nhân:

n n

n n

d

d

d

− =

− =

−

∑

Khi n→ ∞ dn →0 Khi ta có :

n kT

n kT

2kT

kT

1 e

1 e e

Z

1 e

ω ∞ −

ω − =

ω −

ω −

= −

= −

∑

(20)

Năng lượng tự dao động tử điều hoà :

kT

F kTln Z kTln e

2

ω −

ω  

= − = +  − 

 

(21)

Năng lượng trung bình dao động tửđiều hồ tính theo cơng thức :

( )

2 n n

n

kT

ln Z

E n E W kT

2 T

E

2 e ω 1

∂ ω

= + ω = =

∂

ω ω

= +

−

∑

(22)

Từ hệ thức suy :

kT

1 n

e

ω

= −

(23)

VI Lý thuyết lượng tử dao động mạng

§1 Lí thuyết cổđiển dao động mạng

Ta xét tinh thể cấu tạo từ N ô sở sở có r ngun tử Số

nguyên tử tinh thể Nr Gọi mlk khối lượng nguyên tử nút lk

(l=1,2, ,N, k=1,2, r) Vị trí nguyên tử nút lk xác định véctơ

( ) 0( ) ( )

R lk =R lk +u lk (1)

Trong u lk( ) véctơ dịch chuyển khỏi vị trí cân R lk0( )

nguyên tử nút lk

Động T tinh thể tổng động nguyên tử:

( )

( ) ( )

2

lk lk lk

p lk

T , p lk m u lk

2m

α

α α

α

=∑ = (2)

Trong u lkα( ) thành phần dịch chuyển nguyên tử k ô l theo trục

vng góc α (α =1,2,3 hay x,y,z), u lk( ) d u lk( ) dt

α = α

đạo hàm

( )

u lkα theo thời gian t thành phần xung lượng nguyên tử lk có

khối lượng

Thế Φ tinh thể khai triển theo dịch chuyển u lk( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

lk lk l ' k '

0

1

u lk u lk u l'k '

u lk α u lk u l'k ' α β

α α α β α β

 

 ∂Φ  ∂Φ

Φ = Φ +   +  

∂ ∂ ∂

   

∑ ∑ ∑

Từđiều kiện cực tiểu vị trí cân bằng, ta có :

( )

( )

( ) ( )

0

0

0 u lk

lk,l'k '

u lk u l'k '

α

αβ

α β

 ∂Φ 

=

 

∂

 

 ∂Φ 

Φ =  >

∂ ∂

 

(3)

Chọn gốc tính để Φ =0 Trong gần bậc hai, có

dạng :

( ) ( ) ( )

lk l ' k '

1

lk,l'k ' u lk u l'k '

2 αβ α β

α β

Φ = ∑ ∑Φ (4)

Hàm Hamilton H hàm Lagrange L tinh thể :

H T L T

= + Φ

= − Φ (5)

Hệ phương trình Lagrange L :

( ) ( )

d L L

0

dt u lkα u lkα

∂ ∂

+ =

∂ ∂ (6)

Hay

( ) ( ) ( )

lk

l ' k '

m u lk••α αβ lk,l'k ' u l'k 'β

β

= −∑Φ (7)

Tìm u lk, tα( ) dạng :

( ) ( ) i t

u lk, t u lk e− ω

α = α (8)

( ) ( ) ( ) ( )

lk lk

l ' k '

m u lk••α m u lk,tα αβ lk,l'k ' u l'k 'β

β

= −ω = −∑Φ

Đặt ( ) ( )

1 lk

u lkα =B lk mα − , ta có:

( ) ( )

( ) ( )

2

1/ l ' k '

lk l ' k '

lk,l'k '

B lk B l'k '

m m

αβ

β β

Φ

−ω = −∑

hay:

( ) ( )

2 ll ' kk ' l ' k '

D lk,l'k ' B l'k '

αβ αβ β

β

ω δ δ δ −  =

 

∑ (9)

Ởđây:

( ) ( )

lk l ' k '

lk,l'k ' D lk,l'k '

m m

αβ αβ

Φ

Điều kiện để phương trình có nghiệm B l'k 'β( ) khác khơng là:

( )

2 ll ' kk '

detω δ δ δ −αβ Dαβ lk,l'k ' =0 (11)

Vì Φαβ thực Φαβ(lk,l'k ')= Φβα(l'k ',lk) nên yếu tố ma trận

( )

Dαβ lk,l'k ' thực Ma trận D với yếu tố Dαβ(lk,l'k ') thoả mãn điều

kiện :

( ) * ( ) ( )

Dαβ lk,l'k ' =Dβα l'k ',lk =Dβα l'k ',lk (12)

là ma trận ecmit Ma trận D có trị riêng ω ω12, 22, ω3Nr2 số thực

và vectơ riêng B l'k 'β( ) trực giao với Ứng với tần số ωs đó, ta có :

( ) ( ) s

s

i t lk

B lk

u lk e

m

α − ω

α = (13)

Ta véctơ riêng B lkαs ( ) trực giao với Thật vậy, từ

(9) ta có :

( ) ( ) ( )

2 s s

s

l ' k '

B lkα Dαβ lk,l'k ' B l'k 'β

β

ω = ∑ (14)

( ) ( ) ( )

2 s ' s '

s '

l ' k '

B lkα Dαβ lk,l'k ' B l'k 'β

β

ω = ∑ (15)

Nhân hai vế (14) với B lks 'α( ) nhân hai vế (15) với B lksα( ) lấy

tổng theo lkα, ta :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 s ' s s ' s

s

lk lk l ' k '

B lk B lkα α Dαβ lk,l'k ' B lk B l'k 'α β

α α β

ω ∑ =∑ ∑ (16)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 s s ' s s '

s '

lk lk l ' k '

B lk B lkα α Dαβ lk,l'k ' B lk B l'k 'α β

α α β

ω ∑ =∑ ∑ (17)

Khi thay đổi số lấy tổng kết tổng không thay đổi Ta thay

số tổng l↔l',k ↔k ',α ↔ β vế phải (17), ta :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 s s ' s s

s ' B lk B lkα α Dβα l'k ',lk B l'k ' B lkβ α

Chú ý Dβα(l'k ',lk)=Dαβ(lk,l'k '), ta có :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 s s ' s s '

s '

lk lk l ' k '

B lk B lkα α Dαβ lk,l'k ' B l'k ' B lkβ α

α α β

ω ∑ =∑ ∑ (19)

Từ hệ thức (16) (19) ta viết :

Khi s s'≠ ω ≠ ω2s 2s ' Khi ta có :

( ) ( ) s s ' lk

B lk B lkα α

α

=

∑ s s'≠ (20)

Đó điều kiện trực giao véctơ riêng ma trận D

Ta chọn điều kiện trực giao chuẩn hoá véctơ riêng B lksα( )

như sau:

( ) ( ) s s '

ss ' lk

B lk B lkα α

α

= δ

∑ (21)

( ) ( ) s s

ll ' kk ' lk

B lk B lkα β αβ

α

= δ δ δ

∑ (22)

Dùng điều kiện trực giao chuẩn hố (21) (22) ta tính giá trị

trung bình ω2 Thật vậy, s’=s từ (16) (21), ta có:

( ) ( ) ( )

2 s s

s

lk l ' k '

Dαβ lk,l'k ' B lk B l'k 'α β

α β

ω =∑ ∑

Dùng hệ thức (22), ta tìm được:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 s s

s

lk l ' k '

ll ' kk ' lk l ' k '

lk lk lk

D lk,l'k ' B lk B l'k ' D lk,l'k '

lk,lk D lk,lk

m

αβ α β

α β

αβ αβ

α β

αα αα

α α

ω =

= δ δ δ Φ

= =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

( )

3Nr

2

s

s lk lk

lk,lk

1

3Nr 3Nr m

αα

= α

Φ

ω = ∑ω = ∑ (23)

Ta tính lượng H T= + Φ dao động mạng tinh thể toạ độ suy

rộng

Đưa vào toạ độ suy rộng a ts( ) liên hệ với thành phần dịch chuyển u lk, tα( )

bằng hệ thức:

( ) ( ) ( ) ( )

1/ s

*

s s

s

lk s

B lk

u lk, t a t a t

2m α α   =   +  ω   ∑ (24) đó:

( ) ( ) i ts *( ) *( ) i ts

s s s s

a t a e− ω , a t a e , iω

= = = −

Thành phần xung lượng p lk,tα( ) có dạng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1/

s *

lk

lk s s s

s

m

p lk, t m u lk i B lk a t a t • α α α   = = −   ω  −    ∑

Ta biểu diễn lượng dao động mạng H T= + Φ qua as a*s Thế

Φ dao động mạng gần bậc hai phép khai triển theo

dịch chuyển u lkα( ) có dạng:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

lk l ' k '

lk l ' k ' lk l ' k '

1

lk,l'k ' u lk u l'k '

1

m m D lk,l'k ' u lk u l'k ' αβ α β α β αβ α β α β Φ = Φ = ∑ ∑ ∑ ∑ Đặt: ( ) ( ) ( ) ( )

1/ s

* s s s

lk s

1/ s '

* s ' s ' s

lk s '

B lk

u lk a a

2m

B l'k '

u l'k ' a a

2m α α β β   =   +  ω     =   +  ω   ∑ ∑

vào biểu thức với ý hệ thức (15), (21) (22) ta được:

( )( )

3Nr

* *

s s s s s s

a a a a

Động dao động mạng tính theo cơng thức:

( ) ( ) lk lk

p lk p lk T 2m α α α = ∑

Đặt biểu thức:

( ) ( )

( ) ( )

1/

s *

lk

s s s

s 1/

s ' *

lk

s ' s ' s ' s '

m

p lk i B lk a a

2 m

p lk i B lk a a

2 α α α α   = −   ω  −      = −   ω  −    ∑ ∑

vào biểu thức T sử dụng điều kiện (21) ta được:

( *)( *)

s s s s s s

T a a a a

4

= ∑ω − − (27)

Biểu thức H T= + Φ có dạng:

( * * )

s s s s s s

H a a a a

2

=∑ω + (28)

§2 Lí thuyết lượng tử dao động mạng

Chuyển từ học cổ điển sang học lượng tử ta thay toạ độ suy rộng as

bằng toán tử ˆas, thay a*s tốn tử ˆas+ Khi đó:

( ) ˆ ( )

u lkα →u lkα ( ) ( )

( )

ˆ

p lk p lk i

u lk α α α ∂ → = − ∂ ( ) ( ) ( ) ( )

1/ s

s s s

lk s

B lk

ˆ ˆ

ˆu lk a t a t

2m α + α   =   +  ω   ∑ (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ s lk

s s s

s

m

ˆ ˆ ˆ

p lk i B lk a t a t

2 + α α   = −   ω  −    ∑ (2)

( ) ( ) i ts ( ) ( ) i ts

s s s s

ˆ ˆ ˆ ˆ

a t a e− ω , a t+ a e+ ω

= = (3)

Các toán tử u lkˆα( )=u lkˆα+( ) p lkˆ ( ) p lkˆ+( )

α = α toán tử ecmit nên

s

ˆa+ toán t

Các tốn tử ˆas ˆas+ có hệ thứ giao hoán để thoả mãn hệ

thức sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ

u lk u lk u lk u lk

ˆ ˆ ˆ ˆ

p lk p lk p lk p lk

ˆ ˆ

ˆ ˆ

u lk p lk p lk u lk i

α β β α

α β β α

α β β α αβ

− =

− =

− = δ

(4)

Dễ nghiệm lại có :

s s ' s ' s s s ' s ' s

s s ' s ' s ss '

ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a

+ + + + + +

− = − = − = δ

(5)

thì hệ thức (4) thoả mãn

Tốn tử ˆas tốn tử huỷ hạt phonơn toán tử ˆas+ toán tử sinh

hạt phonơn có lượng ωs

Tốn tử Hamilton ˆH dao động mạng có dạng :

( )

s

s s s s s

s s s s s

s s

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

H a a a a

2

1

ˆ ˆ ˆ ˆ

H a a n

2

+ +

+

ω

= +

   

= ω  + = ω  + 

   

∑

∑ ∑

(6)

Ởđây ˆns tốn tử số hạt phonơn

Toán tử Hamilton ˆH dao động mạng viết dạng :

3Nr s s

ˆ ˆ

H H

=

=∑ (7)

Ở Hˆs s nˆs

 

= ω  + 

 

toán tử Hamilton dao động điều hoà với tần

số ωs Năng lượng s

n

E hàm sóng

s

n

Ψ dao động điều hoà với

s s s s

s n n n

n s s s

ˆH E

1

E n , n 0,1,2

Ψ = Ψ

 

= ω  +  =

 

Năng lượng

1 Nr

n n n

E hàm sóng

1 Nr

n n n

Ψ dao động mạng xác định từ phương trình Schrodinger:

1 Nr 1 Nr 1 Nr

n n n n n n n n n

ˆHΨ =E Ψ

Dễ thấy : 1 Nr s

3Nr 3Nr

n n n n s s s s s

1

E E n , n 0,1,2

2

= =

 

= = ω  +  =

 

∑ ∑ (8)

1 Nr s

3Nr n n n s 1= n

Ψ = Π Ψ (9)

Biết

1 Nr

n n n

E ta tính tổng thống kê đại lượng nhiệt động đặc trưng cho dao động mạng

§3 Các đại lượng nhiệt động dao động mạng

1 Năng lượng tự dao động mạng

Ta tính lượng tự dao động mạng gần điều hoà

Tổng trạng thái dao động mạng : n n n n1 s Nr

1 s Nr

n n n1 n2 s Nr s Nr

E kT n n n n

E E

E E

kT kT kT kT

n n n n 3Nr

s s

Z e

e e e e

Z Z

∞ ∞ ∞ ∞ − = = = =

∞ − ∞ − ∞ − ∞ −

= = = =

=

= =

= Π

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ (1)

Ởđây:

( ) s

ns s s

s s s

E n 1/ 2kT

kT kT

s

n n kT

e

Z e e

1 e

ω − ω +

∞ − ∞ −

ω −

= =

= = =

−

∑ ∑

s s

s s n n

F kTln Z kT ∞ ln Z ∞ F

= =

= − = − ∑ =∑ (2)

Ởđây :

s

s kT

s c

F kT ln Z kT ln e ω − ω   = − = +  −    (3)

là lượng tự dao động điều hoà tần số ωs

Biết F a tính đại lượng nhiệt động khác đặc trưng cho dao động

mạng Thí dụ : entropy

V F S T ∂   = −  ∂

  , lượng trung bình E F TS= + ,

nhiệt dung đẳng tích V

V E C T ∂   =  ∂

  ,vv

§4 Năng lượng nhiệt dung vật rắn

Ta tính lượng trung bình dao động mạng tinh thể nhiệt dung

vật rắn dao động mạng

Năng lượng trung bình (trung bình theo tập hợp thống kê) dao động tử điều hoà với tần số ωs Es :

( ) s

s s s

s

s s s

kT

F

E n 1/ F T

T e ω 1

∂ ω ω = ω + = − = + ∂ −

Năng lượng trung bình dao động mạng : s

3Nr 3Nr s s

s s kT

E E E

e ω = = ω = = + − ∑ ∑ (4)

Ởđây

3Nr s s E = ω

=∑ lượng dao động T→0

Nhiệt dung đẳng tích vật rắn dao động xác định công thức:

Ở vùng nhiệt độ cao s kT

ω

gần đúng, ta có: s

s kT

0 V

e

kT E E 3NrkT C 3Nrk

ω

ω ≈ + = +

=

(6)

§4 Mơ hình Einstein mơ hình Debye a Mơ hình Einstein

Einstein coi 3Nr dao động điều hồ tinh thể có tần số, nghĩa

là ω = ωs E Năng lượng dao động mạng theo mơ hình Einstein có dạng : E

E

kT

0 E

E E 3Nr

e

3Nr E

2

ω

ω = +

− = ω

(7)

Nhiệt dung đẳng tích vật rắn dao động theo mơ hình Einstein : E

E

2

kT E

V

V kT

E e

C 3Nrk

T kT

e

ω

ω

ω

∂  

 

=  =   ∂

     

−

 

 

(8)

Ở vùng nhiệt độ cao E kT

ω

ta có :

0

V

V

E E 3NrkT E

C 3Nrk

T

= + ∂

 

=  = ∂

 

(9)

Kết vùng phù hợp với thực nghiệm

Khi E 1

kT

ω

nghĩa nhiệt độ thấp

E E

kT kT

e e

ω ω

− ≈

E

2 E kT V

C 3Nrk e

kT

ω −

ω

 

=  

 

(10)

Như T→0 CV giảm theo định luật hàm mũ Thực nghiệm

rằng T thấp CV ∼T3

b Mơ hình Debye

Lí thuyết phù hợp với thực nghiệm cho nhiệt dung nhiệt độ thấp

lí thuyết Debye Debye coi vật rắn mơi trường liên tục, truyền dao động

trong vật rắn truyền sóng âm Thành phần dịch chuyển α ngun

tửở vị trí r mơi trường liên tục có dạng :

( ) ( ( ))

( ) ( x y z ( ))

i qr q t

i q x q y q z q t

u x, y,z,t A e u x, y,z,t A e

−ω

α α

+ + −ω

α α

= =

(11)

Trong q= 2πn λ

véctơ sóng, ω( )q tần số dao động Đối với dao động âm ω( )q phụ thuộc bậc với q q→0 ω(q→0)=0:

( )q v , q( )

ω = θ ϕ (12)

Ở θ ϕ góc xác định phương véctơ q Các giá trị q

thay đổi liên tục từ q=0 đến qmax tần số ω (tần số góc)

thay đổi liên tục từ ω =0 đến ωmax Để chuyển từ việc tính tổng theo ω

bằng tích phân theo ω ta tính số dao động có tần số nằm khoảng từ ω

đến ω + ωd

Mỗi giá trị q tương ứng với giá trị ω (ω =vq) Gọi dZq số

giá trị q nằm yếu tố thể tích khơng gian dVq =dq dq dqx y z Ta tính

q

dZ Giả sử tinh thể có dạng hình hộp chữ nhật có cạnh L ,L ,Lx y z Từ

( ) ( )

( )

( )

x

y

z

u x, y,z,t u x L , y,z,t u x, y L ,z,t u x, y,z L , t

α α

α α

= + = +

= +

(13)

suy ra:

y y

x x iq L z z

iq L iq L

e =1, e =1, e =1 (14)

hay

x y z

x y z

2 2

q n , q n , q n

L L L

π π π

= = = (15)

Một tập hợp ba số n ,n ,n1 2 3 cho giá trị q cho giá trị

của ω Khi L ,L ,Lx y z đủ lớn thay đổi q coi liên tục Số giá trị

của q nằm dVq =dq dq dqx y z

q

dZ :

( ) x y z

q 3 x y z

L L L

dZ dn dn dn dq dq dq

= =

π

hay

( )

q x y z

V

dZ dq dq dq

=

π (16)

Ởđây V thể tích tinh thể Đại lượng

( )

q

q

dZ V

dV

2π = số giá trị q đơn vị thể tích khơng

gian q Như không gian q giá trị q tương ứng với thể tích

( )2 V

π

Biết dZq ta có qui tắc chuyển tổng theo q thành tích phân theo q sau :

( ) ( )( )

x y z q

2

f q f q dq dq dq V

π →

Trong toạđộ cầu, ta có :

( )3 q

2

dZ q dqd

V

π

= Ω (18)

Ở d =sin d dΩ θ θ ϕ yếu tố góc khối Trong môi trường liên tục, ứng với

một véctơ q có ba ngành âm Chẳng hạn, mơi trường đẳng hướng có

một ngành dọc hai ngành ngang

Thay

( )

q

v ,

ω =

θ ϕ vào (18) tích phân theo θ ϕ ta nhận số dao

động có tần số nằm ω ω + ωd ngành dao động âm (1)

( )

( )

2

1

1

2 d

dZ d

V v ,

π Ω

= ω ω

θ ϕ

∫ (19)

Số dao động có tần số nằm giữa ω ω + ωd cho ba ngành dao động âm dZ dZ= 1 +dZ2 +dZ3

( )3

3 3

2 1

dZ d d

V v v v

π  

= ω ω  + +  Ω

 

∫ (20)

Đưa vào vận tốc âm trung bình v xác định sau :

3 3

1

3 1 1

d

v v v v

 

=  + +  Ω

π∫  (21)

Khi biểu thức dZ có dạng :

( ) 32

3V

dZ Z d d

2 v

ω = ω ω = ω

π (22)

Đối với mơi trường đẳng hướng tồn sóng âm dọc hai sóng âm

ngang Sóng dọc truyền với vận tốc vd sóng ngang truyền với vận tốc

Vận tốc âm trung bình v có dạng đơn giản :

3 3 d n

3

Số dao động có tần số nằm khoảng từ ω đến ω + ωd phải số bậc

tự tinh thể, nghĩa 3Nr Ta có :

( )

D D

3 D 0

V

dZ Z d 3Nr

2 v

ω ω

= ω ω = ω = π

∫ ∫ (24)

Dễ thấy rằng:

3 D

Nr v

V

ω = π (25)

( )

2

2 3 D

3V 9Nr Z

2 v

ω ω ω = =

π ω (26)

Tần số ωD gọi tần số Debye

Trong gần Debye, hàm Z( )ω có dạng :

( )

2

D

D

D

9Nr Z

0

ω



≤ ω ≤ ω



ω ω =

 ω > ω 

(27)

Đường biểu diễn Z( )ω phụ thuộc vào ω hình vẽ

Trong lí thuyết Debye, quy tắc chuyển

tổng theo ωs thành tích phân theo ω

sau:

( ) D ( ) ( ) 3Nr

s s

f f Z d

ω

=

ω → ω ω ω

∑ ∫

(28)

( ) D D kT 3 kT D

E Z d

2 e 1

9Nr d E E e ω ω ω ω  ω ω    = + ω ω   −   ω ω = + ω − ∫ ∫ (29)

Nhiệt dung đẳng tích vật rắn dao động mạng gần Debye

bằng:

D kT

V 2

0

V D kT

E 9Nr e d

C T kT e ω ω ω ∂ ω ω   =  = ∂ ω     −     ∫ (30)

Đại lượng D k

ω

θ = gọi nhiệt độ Debye

Đặt D

D

x , x

kT kT T

ω

ω θ

= = = , ta có :

D

3 x

0 x

0

T x dx E E 9NrkT

e

 

= +  

θ −

  ∫ (31)

( )

D

3 x x

V x

0

T x e

C 9Nrk dx

e

 

=   θ

  ∫ − (32)

Sự phụ thuộc vào biểu diễn hình

Ta xét trường hợp nhiệt độ thấp

Khi T bé xD → ∞ Khi ta

có:

D

x

3 sx

x

s s

0

x dx

x e

e s 15

∞ ∞ ∞ − = = π = = = − ∑ ∑ ∫ ∫

Năng lượng nhiệt dung vật

rắn dao động mạng T thấp có

4

C

3Nr kT E E

5

π = +

θ (33)

3

V

V

E 12 T

C Nrk

T

∂

   

=  = π  

∂ θ

    (34)

Như vậy, theo lí thuyết Debye nhiệt độ thấp CV ∼T3 Ở vùng nhiệt độ thấp định luật CV ∼T3 Debye phù hợp tốt với thực nghiệm

Đối với kim loại, T thấp ta có:

3 V

C =AT BT+ (35)

với A, B số

Số hạng đầu tỉ lệ với T đóng góp electron

Trường hợp nhiệt độ cao x1 Khi gần ta có:

D D

x

3 x x

2 x

0

e x

x dx

x dx

e T

≈ +

θ

 

≈ =  

−  

∫ ∫

Năng lượng nhiệt dung vật rắn dao động mạng vùng nhiệt độ cao xác định hệ thức :

0

E E= +3NrkT (36)

V

C =3Nrk (37)

Mơ hình Debye vùng nhiệt độ cao vùng nhiệt độ thấp phù hợp

khá tốt với thực nghiêm Tuy nhiên nhiều trường hợp, nhiệt độ Debye

phụ thuộc vào T mật độ lệch khỏi định luật ω2 nên mơ hình Debye

chỉ mơ hình gần

Nhiệt độ Debye nhận theo vận tốc âm theo nhiệt dung

Nguyên tố θ0K (vận tốc âm) θ0K (nhiệt dung)

Al 399 394

Cu 329 315

Ag 212 215

Cd 168 120

Pt 226 230

Pb 72 88

§5 Tính độ lệch tồn phương trung bình u2

Ta biết:

( ) ( )

1/ s

s s s

lk s

B lk

ˆ ˆ

ˆu lk a a

2m α + α   =   +  ω   ∑

Dễ thấy rằng:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

s s '

s s s ' s ' s,s '

lk s s '

s s s ' s '

2 s s '

lk

lk s,s ' lk

s s '

B lk B lk

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆu lk a a a a

2m

ˆ ˆ ˆ ˆ

a a a a

ˆ

m u lk B lk B lk

2 α α + + α + + α α α α α =  +    +  ω ω + +         = ω ω ∑ ∑ ∑ ∑∑

Sử dụng hệ thức:

( ) ( )

( ) ( )

2

s s '

ss ' lk

ˆ ˆ

u lk u lk B lk B lk

α α α α α = = δ ∑ ∑ ta có: ( ) ( )

s s s s

lk

lk s s

2

lk s s s s s s

lk s s

ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a ˆ

m u lk

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

m u lk 2a a a a a a + + + + + + +         = ω =  + + +  ω ∑ ∑ ∑ ∑ (1)

Kí hiệu ˆu lk2( ) trung bình học lượng tử ˆu lk2( ) trạng thái

1 Nr

n n n

Ψ Vì hàm

1

n n

Ψ trực giao với hàm

1

s s n n

ˆ ˆ

a a Ψ hàm

1

n n

Ψ

1 2 2

n n s s n n

n n s s n n

ˆ ˆ

a a

ˆ ˆ

a a+ +

Ψ Ψ =

Ψ Ψ = (2)

Chú ý rằng:

1 2 2

n n a aˆ ˆs s n n ns n n n n ns

+

Ψ Ψ = Ψ Ψ = (3)

ta có:

( ) 3Nr ( )

2

lk s

lk s s

1 ˆ

m u lk 2n

2 =

= +

ω

∑ ∑ (4)

Trung bình hai vế đẳng thức theo tập hợp thống kê, ta được:

( ) 3Nr ( )

2

lk s

lk s s

1 ˆ

m u lk 2n

2 =

= +

ω

∑ ∑ (5)

Ởđây: s

s

s s

kT

1

n , 2n cth 2kT e ω ω   = + =     − (6) Kí hiệu l,k p 1,2 Nr= = ta viết lại (5) sau:

( )

s

Nr 3Nr

2 p

p s s

cth 2kT ˆ

m u lk = = ω       = ω ∑ ∑ (7) Trường hợp m1 =m2 = m= Nr =m ta có:

s 3Nr

2

s s

cth 2kT u 2Nrm = ω       = ω ∑ (8)

Trong đó:

( ) Nr

2

p

1 ˆ

u u lk

Nr =

= ∑