[r]
(1)Chuyờn 6:
Giá trị lớn giá trị bé nhất
A- Tóm tắt kiến thức bản I Định nghĩa:
Cho hm số y = f(x) xác định với x D Nếu có số M cho:
¿
f(x)≤ M ,∀x∈D ∃x0∈D:f(x0)=M
¿{
¿
th× M giá trị lớn (GTLN) f(x) Kí hiệu: M = max f(x)
NÕu cã h»ng sè m cho:
¿
f(x)≥ m,∀x∈D
∃x0∈D:f(x0)=m
{
m giá trị nhỏ (GTNN) cđa f(x) KÝ hiƯu: m = f(x)
Ghi chú: Tập xác định D tập giá trị x cho f(x) có nghĩa II Cách tìm GTLN GTNN hàm số
1) Dïng tÝnh chÊt |A|≥ A DÊu “=” x·y ⇔ A ≥0 Ta cã:
+ |A| DÊu “=” x·y A =
+ |x+y| |x| + |y| DÊu “=” x·y xy + |x − y| |x| - |y| DÊu “=” x·y x = y 2) Gi¶ sư A, B số, B > g(x) >
+ Cho f(x) = A + B g(x)
Khi đó: * f(x) lớn ⇔ g(x) nhỏ * f(x) nhỏ ⇔ g(x) lớn + Cho f(x) = A - B
g(x)
Khi đó: * f(x) lớn ⇔ g(x) lớn * f(x) nhỏ ⇔ g(x) nhỏ 3) Phơng pháp luỹ thừa bậc chẵn
Ta có [F(x) ] 2n với giá trị x thuộc tập xác định D, n N
Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = f(x) ta biến đổi cho: + y = M - [g(x) ] 2n , n Z+ ⇒ y M
Do y max = M ⇔ g(x) =
+ y = m + [h(x) ] 2k , k Z+ ⇒ y M
Do ymin = m ⇔ h(x) =
4) Dựa vào bất đẳng thức biết + Luỹ thừa bậc chẳn:
(2)+ Bất đẳng thức côsi cho hai số khơng âm Với a,b 0, ta có a+b
2 √ab DÊu “=” x·y ⇔ a=b
+ Bất đẳng thức Bunhiacốpski
Víi c¸c sè a,b,c,d ta cã: (ac + bd)2 (a2 + b2) (c2 + d2)
DÊu “=” x·y ⇔ ad bc = 5) Dựa vào tập giá trị hàm số
Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn D
Nếu phơng trình y = f(x) cã nghiÖm thuéc D ⇔ a y b f(x) = a max f(x) = b
B- tập áp dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : a) A = 3,7 + |4,3− x|
b) B = |3x+8,4| - 14,2
c) C = |4x −3| + |5y+7,5| + 17,5
Gi¶i
a) Vì |4,3− x| với ∀ x, A 3,7 với ∀ x Vậy giá trị nhỏ A 3,7 |4,3− x| = hay x = 4,3 b) Vì |3x+8,4| với ∀ x, B -14,2 với ∀ x Vậy giá trị nhỏ B -14,2 |3x+8,4| = hay x = - 2,8 c) Vì |4x −3| với ∀ x |5y+7,5| với ∀ y
⇒ |4x −3| + |5y+7,5| víi ∀ x, y ⇒ C 17,5 với x,y Vậy giá trị nhỏ C lµ 17,5 |4x −3| = vµ |5y+7,5| = hay x= 0,75 vµ y = -1,5
Bµi 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) D = 5,5 - |2x −1,5|
b) E = - |10,2−3x| - 14 c) F = - |5x 2| - |3y+12|
Giải
a) Vì |2x −1,5| víi ∀ x nªn D = 5,5 - |2x 1,5| 5,5 với x Vậy giá trị lín nhÊt cđa D lµ 5,5 |2x −1,5| = hay x = 0,75
b) V× |10,2−3x| víi ∀ x nªn E = - |10,2−3x| 14 = 14
-|10,2−3x| -14
víi ∀ x
VËy giá trị lớn E -14 |10,23x| = hay x = 3,4 c) Ta cã F = - |5x −2| - |3y+12| = - [ |5x −2| + |3y+12| ] V× |5x −2| + |3y+12| víi ∀ x,y nªn F víi ∀ x,y Vậy giá trị lớn F |5x −2| + |3y+12| = ⇔
¿
|5x −2|=0 |3y+12|=0
¿{
¿ ⇔
¿ x=0,4
y=−4
¿{
¿
(3)Gi¶i
Ta cã
M = |x −2002| + |x −2001| = |x −2002| + |2001− x| |x −2002+2001− x| =1
(¸p dơng tÝnh chÊt |x+y| |x| + |y| )
Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa M lµ x – 2002 vµ 2001 – x cïng dÊu nhÜa lµ 2001 x 2002
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc sau: a) A= (x-3)2 + (y-1)2 + 5
b) B = |x −3| + x2 + y2 + 1
c) C = |x −100| + (x - y)2 +100 Gi¶i
a) Ta cã (x-3)2 víi ∀ x
(y-1)2 víi ∀ y
⇒ (x-3)2 + (y-1)2 víi ∀ x,y
⇒ A = (x-3)2 + (y-1)2 +5 víi ∀ x,y
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A lµ
x −3¿2=0
¿ y −1¿2=0
¿ ¿{
¿ ¿
⇔ ¿ x=3
y=1
¿{
¿
b) Ta cã |x −3| víi ∀ x; x2 víi ∀ x; y2 víi ∀ y
⇒ |x −3| + x2 + y2 víi ∀ x, y ⇒ |x −3| + x2 + y2 + 1 víi
∀ x, y
⇒ Biểu thức B đạt giá trị nhỏ
¿
|x −3|=0
x2=0
y2
=0
¿{ {
¿
⇔ ¿ x=3
x=0
y=0
¿{ {
¿
⇒
kh«ng tồn x thoả mÃn
Vậy biểu thức B giá trị nhỏ
c) Ta có |x −100| víi ∀ x; (x - y)2 víi ∀ x, y
⇒ |x −100| +(x - y)2 víi ∀ x, y ⇒ |x −100| +(x - y)2 + 100
100 víi ∀ x, y
Vậy biểu thức C đạt giá trị nhỏ 100
|x −100|=0
x − y¿2=0
¿ ¿ ¿{
¿
⇔
¿ x=100
x=y
¿{
¿ ⇔ x = y = 100
Bài 5: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A = 100 – (y2 – 25)4
b) B = - 125 – (x – 4)2 – (y - 5)2 Giải
(4)Vậy giá trị lớn lớn nhÊt cđa biĨu thøc A lµ 100 (y2 – 25)4 = ⇔ y2 – 25
=
⇔ y = ±
b) Ta cã B = -125 – {(x - 4)2 + (y – 5)2}.
V× (x - 4)2 víi ∀ x , (y – 5)2 víi ∀ y nªn B -125 với x,y
Vậy giá trị nhỏ cđa B lµ -125
x −4¿2=0
¿ y −5¿2=0
¿ ¿{
¿ ¿
⇔ ¿ x=4
y=5
¿{
¿
Bµi 6:
a) Tìm số nguyên để biểu thức
A = |x −1| + |x −2| đạt giá trị nhỏ b) Tìm giá trị x để biểu thức
B = 10 - |x −5| đạt giá trị lớn c) Tìm cặp số nguyên x, y để biểu thức
C = -15 - |2x −4| - |3y+9| đạt giá trị lớn nht
Giải
a) Xét trờng hợp sau:
+ NÕu x < th× A = – x + – x = – 2x Do x < v× thÕ A = – 2x > – = (*)
+ NÕu x th× A = x – + – x = (**)
+ NÕ x > th× A = x – + x – = 2x – > – = (***)
Tõ (*), (**) vµ (***) suy A có giá trị nhỏ x Vì x Z nên x = 1;
Vậy A đạt giá trị nhỏ x = x = b) Giá trị lớn B 10 x =
c) Gi¸ trị lớn C -15 x = 2; y = -3
Bµi 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 1 Gi¶i
Ta cã thĨ viÕt A = (x + y + 1)2 + (x – 2)2 – - 4
⇒ A = - ⇔
x+y+1¿2=0
¿ x −2¿2=0
¿ ¿{
¿ ¿
⇔
x=2
y=3
Bài 8: Tìm giá trị lớn biểu thức y = 6 x + x+2
Giải
Điều kiện: x 0, x + ⇔ -2 x Ta cã y2 = (
√6− x + √x+2 )2 , y >
Chän a = 1, c = √6− x , b = , d = √x+2
áp dụng bất đẳng thức (ac + bd)2 (a2 + b2) ( c2 + d2)
Ta cã y2 (1 + 1) ( – x + x + 2) = 2.8 = 16
(5)Bµi 8: Cho y = x
2
x4+1
Tìm x để y đạt giá trị lớn Xác định giá trị Giải
Ta cã a2 + b2 2ab nªn suy x4 + = (x2)2 + 12 2x2
⇔ 2x
2
x4+1 = 2y
XÐt 2x
2
x4
+1 = ⇔ x
4 – 2x2 + = 0
⇔ (x2 - 1)2 = ⇔ x2 = ⇔ x = ± 1
Do x = ± y max =
Bài 9: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa y = x20 – 5x4 + 9
Gi¶i
Ta cã y = (x20 – x4) – 4(x4 – 1) + = x4(x16 – 1) – 4(x4 – 1) + 5
= x4{(x4)4 – 1} – 4(x4 – 1) + = (x4 – 1)(x16 + x12 + x8 + x4 – 4) + 5
Víi |x| th× x16 x12 x8 x4 1
⇒ x4 – vµ x16 + x12 + x8 + x4 – ⇒ y 5
Víi |x| < th× x16 < x12 < x8 < x4 < 1
⇒ x4 – nªn x16 + x12 + x8 + x4 – nªn y > 5
Do y = |x| =
c Bµi tËp vỊ nhµ
Bài1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = |x −1|+|x −4|
B = |x|+|8− x|
Bài 2: Với giá trị nguyên x th× biĨu thøc D = 14− x
4− x có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó?
Bài 3: Tìm giá trị lớn biểu thức A = – 3(2x – 1)2; B =
x −1¿2+3
2¿
1
¿
; C = x
2
+8
x2+2
Bài 4: Tìm giá trị n N để phân số 7n−8
2n −3 đạt giá trị lớn nht
Hớng dẫn
Bài 1: Tơng tự 4a Bµi 2: D = + 10
4− x ⇒ Dmax ⇔ – x đạt giá trị nguyên nhỏ Bài 3: max A = 5; max B =