Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n Chøng minh r»ng AO vu«ng gãc víi IB.. Tìm m để Ax chia hết cho Bx.[r]
(1)Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n C©u 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö 2 a) a(x + 1) – x(a + 1) b) x – + xn + – xn HD: a) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 – a2x + a – x = ax(x – a) – (x – a) = (x – a)(ax – 1) b) x – + xn(x3 – 1) = (x – 1)[1 + xn(x2 + x + 1)] = (x – 1)(xn+2 + xn+1 + 1) C©u 2: (1,5 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: x y x2 y2 : 2 y xy x xy x y xy HD: + Điều kiện xác định: ( x 0;y 0;x y;x y ) x y x2 y2 +A : 2 y xy x xy x y xy C©u 3: (1,5 ®iÓm) HD: + Điều kiện xác định: + Xét trường hợp: x y xy(x y) x y xy xy(x y) x y Rót gän biÓu thøc: A xy xy ( x y ) xy x y 1; *NÕu x 0;y B 1; xy xy x y xy *NÕu x 0;y B ; *NÕu x 0;y B xy xy *NÕu x 0;y B C©u 4: (1,5 ®iÓm) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức x2 cã gi¸ trÞ nguyªn M x2 HD: + M cã nghÜa x x x (x 2)(x 2) 1 M (x 2) x2 x2 x2 x2 x Z, M Z (x 2) ¦(1) 1;1 x 3;1 C©u 5: (3,5 ®iÓm) Cho hình vuông ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, trên tia đối tia CB lÊy ®iÓm F cho AE = CF a)Chøng minh r»ng tam gi¸c EDF vu«ng c©n b)Gäi O lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo AC vµ BD; I lµ trung ®iÓm cña EF; Chøng minh r»ng ba ®iÓm O, C, I th¼ng hµng HD: C©u 1: Cho ®a thøc : P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + a)Ph©n tÝch P(x) thµnh nh©n tö Lop8.net (2) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n b)Chøng minh r»ng P(x) chia hÕt cho víi mäi x Z HD: a) P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + = 2x4 – 6x3 – x3 + 3x2 – 5x2 + 15x – 2x +6 = (x – 3)(2x3 – x2 – 5x – 2) = (x – 3)(2x3 – 4x2 + 3x2 – 6x +x – 2) =(x – 3)(x – 2)(2x2 + 3x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) b) P(x) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – + 3) = 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 3(x – 3)(x – 2)(x + 1) P(x)6 (§fcm) C©u 2: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD) VÏ CE AB, CF AD Chøng minh r»ng AB.AE + AD.AF = AC2 x x x 2x C©u 3: Cho ph©n thøc F(x) (x Z) x 2x x 4x a)Rót gän ph©n thøc b)Xác định giá trị x để phân thức có giá trị nhỏ C©u 4: Cho tam gi¸c vu«ng ABC, c¹nh huyÒn BC = 289 cm vµ ®êng cao AH = 120 cm TÝnh hai c¹nh AB vµ AC Câu 5: Cho số dương a, b, c 1 1 Chøng minh r»ng: (a b c) a b c Câu 6: Cho số dương a, b, c abx bcx cax 4x 1 Giải phương trình: c a b abc Câu 1: Giải phương trình: (3x – 1)(x + 1) = 2(9x2 – 6x + 1) x 1 x 3 Câu 2: Giải bất phương trình: 2 2a b 5b a C©u 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A 3a b 3a b BiÕt 10a2 – 3b2 + 5ab = vµ 9a2 – b2 x + x3 + x + C©u 4: Cho biÓu thøc: P = x - x3 + x2 - x + a)Tìm điều kiện xác định P b)Rót gän P c)Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc P cã gi¸ trÞ b»ng C©u 5: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (BC//AD) cã gãc ABC = gãc ACD Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đường chéo AC C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm c¹nh BC Tõ mét ®iÓm E trªn c¹nh BC ta kÎ ®êng th¼ng Ex // AM Ex c¾t tia CA ë F vµ tia BA ë G Chøng minh EF + EG = 2AM a 12 a +9 C©u 1:Rót gän biÓu thøc: A 2a2 a Lop8.net (3) Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 0,5a a a C©u 2: Cho biÓu thøc B : 0,5a a a(2 a) a)Tìm a để B có nghĩa b)Rót gän biÓu thøc B C©u 3: 1) Giải bất phương trình: (x – 2)(x + 1) < 2) Giải phương trình: x x x + C©u 4: Cho biÓu thøc: A = x2 + 6x + 15 a)Chứng minh A luôn dương với x b)Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt hay lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ nhá hay lớn đó Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và AB DC AD Cho MN Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh thang C©u 6: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, trªn ®êng chÐo AC lÊy mét ®iÓm I Tia DI c¾t ®êng th¼ng AB t¹i M, c¾t ®êng th¼ng BC t¹i N AM DM CB Chøng minh a) ; b) ID2 = IM.IN AB DN CN C©u 1: Cho a, b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña mét tam gi¸c, chøng minh r»ng: a2b + b2c + c2a +ca2 + bc2 + ab2 – a3 – b3 – c3 > C©u 2: x2 2x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña biÓu thøc: A x2 Chương trình luyện thi HSG THCS Câu 3: Giải phương trình: x x x Câu 4: Cho hình thoi ABCD có góc B tù Kẻ BM và BN vuông góc với c¹nh AD vµ CD t¹i M vµ N TÝnh c¸c gãc cña h×nh thoi ABCD biÕt r»ng 2MN = BD C©u 1: Cho a – b = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a2(a + 1) – b2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1) C©u 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh b»ng c¸ch nhanh nhÊt: x 1 x 2 a3 C©u 3: Cho biÓu thøc B = a : 0,5a a 2a a a)Tìm x để B có nghĩa b)Rót gän B Câu 4: Giải phương trình: (x – 2)(x + 2)(x2 – 10) = 72 Câu 5: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB = m, CD = 15 cm, độ dµi hai ®êng chÐo lµ AC = 16 cm, BD = 12 cm Tõ A vÏ ®êng th¼ng song song víi BD c¾t CD t¹i E 1) Chøng minh ACE lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A 2) TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, ®êng ph©n gi¸c cña gãc C c¾t c¹nh AB t¹i Lop8.net (4) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n D Chøng minh r»ng: CD2 < CA.CB C©u 1:Cho a, b lµ hai sè nguyªn Chøng minh r»ng: NÕu a chia cho 13 d vµ b chia cho 13 d th× : a2 + b2 chia hÕt cho 13 C©u 2: Cho a, b lµ c¸c sè thùc tuú ý Chøng minh r»ng: 10a2 + 5b2 + 12ab + 4a – 6b + 13 §¼ng thøc x¶y nµo? C©u 3: ë bªn ngoµi cña h×nh b×nh hµnh ABCD, vÏ hai h×nh vu«ng ABEF vµ ADGH Chøng minh: 1) AC = FH vµ AC vu«ng gãc víi FH 2) Tam gi¸c CEG vu«ng c©n C©u 4: Cho ®a thøc: P(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 (Víi x nguyªn) 1)Ph©n tÝch ®a thøc P(x) thµnh nh©n tö 2)Chøng minh r»ng P(x) chia hÕt cho C©u 5: Cho tam gi¸c ABC, BD vµ CE lµ hai ®êng cao cña tam gi¸c ABC DF vµ EG lµ hai ®êng cao cña tam gi¸c ADE Chøng minh r»ng: 1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng 2)Chøng minh: FG//BC C©u 6: 1)Chứng minh phương trình x4 – x3 – x – = có hai nghiệm 2)Giải và biện luận phương trình: m2x + = x + m (m là tham số) x 2x C©u 1: Cho ph©n thøc: A x 3x 1) Tìm điều kiện x để A có nghĩa 2) Rót gän A 3) Tính x để A < C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ph©n thøc: E x 2x 1 Câu 3: Giải phương trình: x(x 1) Câu 4: Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC > BD Gọi E, F là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD; Gọi G là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC, 1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF 2) Chøng minh AB.AE + AD.AF = AC2 Bài tập tương tự: 1)Cho tam gi¸c ABC cã gãc nhän, hai ®êng cao BD vµ CE c¾t t¹i H Chøng minh r»ng BH.BD = CH.CE = BC2 2)Cho tam gi¸c ABC vÏ ph©n gi¸c AD Chøng minh : AD2 = AB.AC + BD.DC 3)Cho tam gi¸c ABC cã: BC = a, AC = b, AB = c µ 2B µ a b bc Chøng minh r»ng A 4)Cho tam gi¸c ABC BiÕt ®êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc A c¾t c¹nh BC kÐo dµi t¹i E Chøng minh r»ng: AE2 = EB.EC + AB.AC Lop8.net (5) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n C©u 1: Cho ®a thøc: P(x) = x – 3x + 5x – 9x + 1)Trong trường hợp x là số nguyên dương Chứng minh P(x) chia hết cho 2)Giải phương trình P(x) = C©u 2:Cho tø gi¸c ABCD cã chu vi lµ 2p vµ M lµ mét ®iÓm ë tø gi¸c Chøng minh: 1) p < AC + BD < 2p; 2) p < MA + MB + MC + MD < 3p C©u 3: Cho a + b + c = 1, vµ a2 + b2 + c2 = x y z 1) NÕu Chøng minh r»ng: xy + yz + xz = a b c 2) NÕu a3 + b3 + c3 = T×m gi¸ trÞ cña a, b, c C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (AB < AC) Hai ®êng cao BD vµ CE c¾t t¹i H 1) So s¸nh hai gãc BAH vµ CAH 2) So s¸nh hai ®o¹n th¼ng BD vµ CE 3) Chứng minh hai tam giác ADE và ABC đồng dạng Câu 5: Giải phương trình: x x x xa xb xc 1 1 (Trong đó x Câu 6: Giải phương trình: bc ac ab a b c lµ Èn) 10 Câu 1: Giải phương trình: x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – = 10 x y xy x3 y3 : C©u 2: Rót gän biÓu thøc: A x2 y2 x y 2xy 10 10 10 11 11 C©u 3: Chứng tỏ bất phương trình sau nghiệm đúng với x: 4 50 x 2x x 4x C©u 4: T×m g¸i trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x2 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC vu«ng tai A (AC > AB), ®êng cao AH Trong nöa mÆt ph¼ng bê AH cã chøa ®iÓm C vÏ h×nh vu«ng AHKE µ 450 1)Chøng minh r»ng B 2)Gäi P lµ giao ®iÓm cña AC vµ KE Chøng minh r»ng tam gi¸c ABP vu«ng c©n 3)Gọi Q là đỉnh thứ tư hình bình hành APQB và I là giao điểm BP và AQ Chøng minh ba ®iÓm H, I, E th¼ng hµng 4)Chøng minh r»ng HE // QK C©u 1: (3®) (x a)(1 a) a x Chøng minh biÓu thøc P = kh«ng phô thuéc vµo (x a)(1 a) a x biÕn x Câu 2: (2đ) Giải phương trình: x3 + 12 = 3x2 + 4x Lop8.net (6) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 11 8x 4x 32x Câu 3: (2đ) Giải phương trình: 0 8x 12x 3(4 16x ) 11 C©u 4: (5®) Cho ba ph©n thøc: 4xy z 4yz x 4xz y A ; B ; C xy 2z yz 2x xz 2y Trong đó x, y, z đôi khác Chøng minh r»ng nÕu: x + y + z = th×: A.B.C = 11 C©u 5: (4®) Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD Qua A kẻ đường thẳng song song víi BC c¾t ®êng chÐo BD t¹i M vµ c¾t CD t¹i I Qua B kÎ ®êng th¼ng song song víi AD c¾t c¹nh CD ë K Qua K kÎ ®êng th¼ng song song víi BD c¾t BC ë P Chøng minh r»ng: MP//CD 11 C©u 6: (4®) Cho tam gi¸c ABC Gäi O lµ mét ®iÓm n»m tam gi¸c Gäi M, N, P, Q là trung điểm các đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB 1)Chøng minh tø gi¸c MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh 2)Để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì điểm O nằm trên đường đặc biệt nào cña tam gi¸c ABC? Gi¶i thÝch v× sao? 12 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: P(x) = 6x3 + 13x2 + 4x – 12 C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) 12 C©u 3: Cho a + b + c = Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc 12 Câu 4: Giải phương trình: (4x + 3)3 + (5 – 7x)3 + (3x – 8)3 = 12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab + bc + ac a2 + b2 + c2 < 2(ab + ac + bc) 12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh ( a + b + c)2 = 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam giác 12 C©u 7: Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn c¹nh BC lÊy mét ®iÓm M tuú ý §êng th¼ng vu«ng gãc víi AM t¹i M c¾t CD t¹i E vµ AB t¹ F Chøng minh AM = FE 12 C©u 8: Trong tam gi¸c ABC kÎ trung tuyÕn AM, K lµ mét ®iÓm trªn AM cho AM = 3AK Gäi N lµ giao ®iÓm cña BK vµ AC 1)TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AKN BiÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ S 2)Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC I và J AB AC Chøng minh r»ng: AI AJ 13 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 13 C©u 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 13 2x Câu 3: Giải phương trình: x x 1 x 1 x 1 13 C©u 4: Cho a, b, c, d lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n a b, c d Chøng minh: ac + bd bc + ad 13 C©u 5: Cho h×nh vu«ng ABCD; §iÓm E thuéc c¹nh CD, ®iÓm F thuéc c¹nh BC BiÕt Lop8.net (7) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n gãc FAE = 45 Chøng minh chu vi tam gi¸c CFE b»ng nöa chu vi h×nh vu«ng ABCD 13 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, lÊy mét ®iÓm O n»m tam gi¸c C¸c tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB P, Q, R Chứng minh OA OB OC AP BQ CR 14 1 1 C©u 1: Cho ba sè kh¸c tho¶ m·n a b c a b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: (a23 + b23)(b5 + c5)(a1995 + c1995) 14 Câu 2:Xác định đa thức bậc ba cho chia đa thức cho các nhị thức là: (x – 1); (x – 2); (x – 3) có số dư là và x = – thì đa thøc nhËn gi¸ trÞ lµ (– 18) 14 Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm M, N cho chu vi tam giác AMN Tính số ®o cña gãc MCN? 15 2a a C©u 1: Cho biÓu thøc: A 3a 3a 1 1)TÝnh gi¸ trÞ cña A a 2)TÝnh gi¸ trÞ cña A 10a2 + 5a = 15 Câu 2: Giải phương trình : x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = 15 C©u 3: Cho ®o¹n th¼ng AB, gäi O lµ trung ®iÓm cña AB VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB LÊy C trªn tia Ax, D trªn tia By cho gãc COD = 900 1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng 2) Chøng minh : CD = AC + BD 3) KÎ OM vu«ng gãc víi CD t¹i M, gäi N lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC Chøng minh r»ng MN//AC 16 5n 11 Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị biểu thức: A lµ sè tù 4n 13 nhiªn 16 C©u 2: Cho n lµ sè tù nhiªn Chøng minh r»ng B = n3 + 6n2 – 19n – 24 chia hÕt cho 16 1 C©u 3: TÝnh tæng S(n) (n N) 2.5 5.8 (3n 1)(3n 2) 16 C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®êng chÐo lín AC Tia Dx c¾t AC, AB, CB I, M, N Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC Gọi K là điểm đối xứng D qua I Chứng minh: 1) IM.IN = ID2 KM DM 2) KN DN 3) AB.AE + AD.AF = AC2 Lop8.net (8) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 16 Câu 5:Giải phương trình : x x x 14 16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên x, y đẳng thức: 2x3 + xy = 16 Câu 7: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh: a b c d 1 2 abc bcd cda dab 16 C©u 8: Cho tam gi¸c ABC cã BC = a vµ ®êng cao AH = h Tõ mét ®iÓm M trªn ®êng cao AH vÏ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t hai c¹nh AB, AC lÇn lượt P và Q Vẽ PS và QR vuông góc với BC 1)Tính diện tích tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x) 2)Xác định vị trí điểm M trên AH để diện tích này lớn 17 C©u 1: (2®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3 – 7x – 17 C©u 2: (6®) Một trường tổ chức cho các lớp trồng cây: Lớp thứ trồng 18 cây và thêm 1/11 số cây còn lại Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 sè c©y cßn l¹i TiÕp theo líp thø ba trång 54 c©y vµ thªm 1/11 sè c©y cßn l¹i Cø nh thÕ c¸c líp trång hÕt sè c©y vµ sè c©y trång ®îc cña mçi líp b»ng Hỏi trường đó đã tồng bao nhiêu cây? 17 C©u 3: (4®) x 1 x 1 x x 1 Cho biÓu thøc: A x3 1 x3 Hãy viết A dạng tổng biểu thức nguyên và phân thức với bËc cña tö thÊp h¬n bËc cña mÉu 17 Câu 4: (4đ) Chứng minh “Tổng độ dài ba trung tuyến tam giác th× lín h¬n chu vi vµ nhá h¬n chu vi cña chÝnh tam gi¸c Êy” 17 C©u 5: (4®) Gäi O lµ mét ®iÓm n»m tø gi¸c låi MNPQ Gi¶ sö bèn tam gi¸c MON, NOP, POQ, QOM cã diÖn tÝch b»ng 1) MP c¾t NO ë A Chøng minh A lµ trung ®iÓm cña NP 2) Chøng minh O n»m trªn ®êng chepos NQ hoÆc ®êng chÐo MP cña tø gi¸c MNPQ 18 C©u 1: (4®) Rót gän biÓu thøc: A = 75(41993 + … + 42 + 5) + 25 18 C©u 2: (3®) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B x x 1 18 C©u 3: (3®) 1 Chøng minh r»ng nÕu: abc = a + b + c vµ th× a b c 1 2 a b c 18 Câu 4: (3đ) Tìm các số nguyên dương n để: n1988 + n1987 + là số nguyên tố 18 C©u 5: (3®) Lop8.net (9) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n Cho tam gi¸c ABC cã AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, O lµ giao ®iÓm cña hai tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: GO//AC 18 C©u 6: (5®) Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M cho BC = 3BM, trªn tia đối tia CD lấy điểm N cho AD = 2CN Gọi I là giao điểm AM và BN Chứng minh rằng: điểm A, B, I, C, D cùng cách điểm 19 C©u 1: Chøng minh r»ng: 2130 + 3921 chia hÕt cho 45 19 Câu 2: Cho a, b, c là ba số dương a2 b2 c2 abc Chøng minh r»ng: bc ac ab 19 C©u 3: Chøng minh r»ng nÕu x + y + z = th×: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) 19 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn CM Qua ®iÓm Q trªn AB kÎ ®êng th¼ng d song song víi DM §êng th¼ng d c¾t BC t¹i R vµ c¾t AC t¹i P Chøng minh nÕu QA.QB = QP.QR th× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C 19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC tam giác ABC cố định; Người ta lần AM BN CP k (k 0) lượt lấy các điểm M, N, P cho MB NC PA TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MNP theo diÖn tÝch tam gi¸c ABC vµ theo k Tính k cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ 20 C©u 1: BiÕt m + n + p = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: m n n p p m p m n S m n m n n p p m p 20 Câu 2: Cho tích hai số tự nhiên 19851986 Hỏi tổng haio số đó có ph¶i lµ béi cña 1986 hay kh«ng? 20 Câu 3: Một người xe gắn máy từ A đến B cách 200 km Cùng lúc đó có người xe gắn máy khác từ B đến A Sau hai xe gặp Nếu sau 1giờ 15 phút mà người từ A dừng lại 40 phút tiếp thì phải sau 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai người gặp Tính vận tốc cua người? 20 C©u 4: Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®êng chÐo c¾t t¹i O Chøng minh r»ng nÕu c¸c tam gi¸c AOB, BOC, COD vµ DOA cã chu vi b»ng th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi 20 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dường chéo cắt O Kí hiệu S là diện tích Cho SAOB = a2 (cm2) và SCOD = b2 (cm2) với a, b là hai số cho trước 1)H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña SABCD ? 2) Gi¶ sö SABCD bÐ nhÊt H·y t×m trªn ®êng chÐo BD mét ®iÓm M cho ®êng th¼ng qua M song song víi AB bÞ hai c¹nh AD, BC vµ hai ®êng chÐo AC, BD chia thµnh ba phÇn b»ng 21 C©u 1: Chøng minh r»ng víi x, y nguyªn th×: A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương 21 C©u 2: Ph©n tÝch ®a thøc nh©n tö: (a – x)y3 – (a – y)x3 + (x – y)a3 21 1 Câu 3: Giải phương trình: x 4x x 8x 15 Lop8.net (10) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 21 Câu 4: Giải phương trình: x + 2x + 8x + 10x + 15 = 21 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A (gãc A nhän); CD lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc ACB (D thuéc c¹nh AB) Qua D kÎ ®êng vu«ng gãc víi CD; ®êng nµy c¾t ®êng th¼ng BC t¹i E Chøng minh: EC = 2BD 21 Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc đỉnh 200; cạnh đáy là a, c¹nh bªn lµ b Chøng minh: a3 + b3 = 3ab2 22 Câu 1:Giải phương trình: 2x 22 315 x 313 x 311 x 3 Câu 2: Giải phương trình: 105 103 101 22 x x3 x C©u 3: Cho biÓu thøc: A x x 2x x 1) Rót gän A 2) Chøng tá r»ng A kh«ng ©m víi mäi gi¸ tÞ cña x 3) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A 22 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a Gọi M, N là trung ®iÓm cña c¹nh AB, BC C¸c ®êng th¼ng DN, CM c¾t t¹i I Chøng minh: 1) Tam gi¸c CIN vu«ng 2) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c CIN theo a 3) Tam gi¸c AID c©n 23 x 2x 2x 4x 3x C©u 1: (3®) Cho ph©n thøc: M x 2x 1) Tìm các giá trị x để M có nghĩa 2) Tìm các giá trị x để M = 3) Rót gän M 23 x 2x 1995 Câu 2: (5đ) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất: A (x 0) x2 23 C©u 3: (5®) chøng minh r»ng: 10 n 9n M27 n N * 23 24 24 C©u 4: (7®) Cho tø gi¸c ABCD cã: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD, vµ BD vu«ng gãc víi BC 1) Tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? T¹i sao? 2) TÝnh c¸c gãc cña tø gi¸c ABCD 2) So s¸nh diÖn tÝch cña tam gi¸c ABD víi diÖn tÝch cña tø gi¸c ABCD 2a 12a 17a C©u 1: Rót gän råi tÝnh gi¸ tÞ cña biÓu thøc: A a2 Biết a là nghiệm phương tình: a 3a C©u 2: Tìm giá trị nhỏ B và giá trị tương ứng x với: B 3x 1 3x 24 24 C©u 4: Cho ®iÓm A, E, F, B theo thø tù Êy trªn mét ®êng th¼ng Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ c¸c h×nh vu«ng ABCD; EFGH C©u 3: Cho a + b + c = Chøng minh r»ng: a b c2 Lop8.net (11) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 1) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AG vµ BH Chøng minh r»ng c¸c tam gi¸c OHE vµ OBC đồng dạng 2) Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng CE vµ DF cïng ®i qua O 24 C©u 5: Cho c¸c ®iÓm E, F n»m trªn c¸c c¹nh AB vµ BC cña h×nh b×nh hµnh ABCD cho AF = CE Gäi I lµ giao ®iÓm cña AF vµ CE Chøng minh r»ng ID lµ ph©n gi¸c cña gãc AIC 25 Câu 1: Tìm số có hai chữ số mà bình phương nó lập phương tæng c¸c ch÷ sè cña nã 25 Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh tam giác Xác định hình dạng a b c tam giác để biểu thức sau : A đạt giá trị bca acb abc nhá nhÊt 25 C©u 3: Cho ba sè , y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = vµ xy + yz + xz = H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: S = (x – 1)1995 + y1996 + (z + 1) 1997 25 Câu 4: Cho hihf vuông ABCD cạnh a Điểm M di động trên cạnh AB; Điểm N di động trên cạnh AD cho chu vi tam giác AMN không đổi và 2a Xác định vị trí MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn và tính giá trị lớn đó µ 2B µ 1800 TÝnh sè ®o c¸c c¹nh cña tam 25 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã 3A gi¸c ABC biÕt c¸c sè ®o Êy lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp 26 1 1 C©u 1:Chøng minh r»ng nÕu: th× (a + b)(b + c)(a + c) = a b c abc 26 Câu 2: a) Giải phương trình: x x x b) Giải phương trình: x4 + 7x2 – 12x + = 26 Câu 3: Hai đội bóng bàn hai trường A và B thi đấu giao hữu Biết đối thủ đội A phải gặp các đối thủ cua đội B lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ hai đội Tính số đấu thủ đội 26 C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD Trªn c¹nh CD vµ BC lÊy ®iÓm M, N cho BM = DN Gäi I lµ giao ®iÓm cua BM vµ DN Chøng minh IA lµ ph©n gi¸c cña gãc DIB 26 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB Gọi E và F là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD Chøng minh r»ng: AB.AE + AD.AF = AC 27 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc 27 C©u 2: T×m nghiÖm cña ®a thøc: f(x) = x2 + x – 27 Câu 3: Cho a, b, c là ba số đôi khác nhau, chứng minh rằng: bc ca ab 2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c b)(c a) a b b c c a 27 Câu 4: Giải phương trình: m2x + 2m = 4x + m2 (với x là ẩn) 27 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC KÎ tia Ax vu«ng gãc víi BM Gäi H lµ giao ®iÓm cña Ax víi BC vµ K lµ ®iÓm Lop8.net (12) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n đối xứng với C qua H Kẻ Ky vuông góc với BM Gọi I là giao điểm Ky víi AB TÝnh gãc AIM? 28 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc 28 C©u 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = xy + xz + yz + 2xyz a b c BiÕt: x ; y ; z bc ac ab 28 C©u 3: T×m bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp, biÕt tÝch cña chóng lµ: 57120 28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N cho DN = BM C¸c ®êng th¼ng song song kÎ tõ M víi AN vµ tõ N víi AM c¾t t¹i F Chøng minh: 1) Tø gi¸c ANFM lµ h×nh vu«ng 2) §iÓm F n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc MCN vµ gãc ACF = 900 3) Ba diÓm B,O,D th¼ng hµng vµ tø gi¸c BOFC lµ h×nh thang(O lµ trung ®iÓm FA) 28 29 29 29 29 29 30 30 30 Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a Dựng hình vuông PABC cho P là đỉnh vµ Q lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn điều kiện: a2 – b2 = c2 – d2 Chøng minh r»ng S = a + b + c + d lµ hîp sè Câu 2: chứng minh a, b là hai số dương thoả mãn điều kiện a + b = th×: a b 2(b a) b a (ab) C©u 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x4 + 1996x2 + 1995x + 1996 C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn c¹nh CD lÊy mét ®iÓm M bÊt kú C¸c tia phân giác các góc BAM và DAM cắt cạnh BC E và cắt cạnh CD t¹i F Chøng minh AM vu«ng gãc víi FE Câu 5: Cho tam giác ABC (AB khác AC) Trên tia đối tia BA lấy điểm D, trên tia đối tia CA lấy điểm E, cho BD = CE Gọi N là trung điểm c¹nh BC VÏ h×nh b×nh hµnh ECNK vµ h×nh b×nh hµnh BDFN Gäi M lµ giao điểm DE và FK Tìm quỹ tích điểm M D và E di động C©u 1: Cho biÓu thøc: x 10 B x 9x 9x 9x 10 a) Tìm điều kiện x để B có nghĩa b) Rót gän biÓu thøc B C©u 2: Chøng minh r»ng: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hÕt cho 16, víi mäi n lµ sè nguyªn C©u 3: 3 3 1) Giải phương trình: 4x 3x (3 4x)(3x 1) Lop8.net (13) Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n Chương trình luyện thi HSG THCS x 1 x 2 2 Câu 4: Giải và biện luận phương trình sau x a 1 x b 1 a Trong đó a, b là số xa xb (x a)(x b) Câu 5: Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = cm; đáy AB = cm, cạnh xiªn BC = 13 cm Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M cho BM = AB §êng th¼ng vu«ng gãc víi BC t¹i M c¾t AD t¹i N 1) Chøng minh r»ng ®iÓm N n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc ABM 2) Chøng minh r»ng: BC2 = BN2 + ND2 + DC2 3) TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD Câu 1: Giải phương trình: 2) Giải bất phương trình: 30 30 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 2x x 1998 x 2 3x 950 2x 2 x 1998 x 3x 950 C©u 2: TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc: f(x) = 6x4 – 7x3 – 22x2 + 7x + 2004, víi x lµ nghiệm phương trình 6x2 + 5x = Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức: a b c d e a(b c d e) Câu 4: Chứng minh đẳng thức: bc ca ab 2 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) (a b) (b c) (c a) C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã AB = cm, BC = cm, CA = cm C¸c ®êng ph©n gi¸c AD vµ BE c¾t t¹i I 1) Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD 2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh IG//BC và suy độ dµi cña ®o¹n th¼ng IG C©u 6: 1) Cho tam giác ABC có góc A = 300 Dựng bên ngoài tam giác BCD Chøng minh r»ng: AD2 = AB2 + AC2 2) Tæng tÊt c¶ c¸c gãc vµ mét c¸c gãc ngoµi cña mét ®a gi¸c cã sè ®o lµ 47058,50 TÝnh sè c¹nh cña ®a gi¸c? C©u 1: 1) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn ch½n n th×: n3 + 20n chia hÕt cho 48 2) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (x – a)b3 – (x – b)a3 + (a – b)x3 Câu 2: Chứng minh với a, b, c ta có: 19 a 9b c 2a 12b 4c C©u 3: x y z Cho x, y, z lµ ba sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x y z 3 x y z H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P (x 1)17 (y 1)9 (z 1)1997 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã H lµ trung ®iÓm c¹nh BC Gäi I lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn c¹nh AC vµ O lµ trung ®iÓm cña IH Lop8.net (14) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n Chøng minh r»ng AO vu«ng gãc víi IB 32 Câu 5: Cho tam giác ABC cân A, lấy các điểm E và K trêncác tia AB vµ AC cho AE + AK = AB + AC Chøng minh r»ng: EK > BC 33 C©u 1: 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x2 – 4x + b»ng hai c¸ch 2) Cho A(x) = 8x2 – 26x + m và B(x) = 2x – Tìm m để A(x) chia hết cho B(x) 33 Câu 2: Với giá trị nào a thì bất phương trình sau có nghiệm nhất: (x a)(x 5) 33 Câu 3: Giải phương trình: x a(x 1) 33 33 34 34 34 34 34 35 C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD trªn BC lÊy ®iÓm M cho BC = 3BM Trªn tia đối tia CD lấy điểm N cho BC = 2CN Cạnh AM cắt BN I và CI c¾t AB t¹i K Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AC Chøng minh K, M, H th¼ng hµng C©u 5: Cho h×nh thang can ABCD (AB//CD) cã AC = cm, gãc BDC = 450 Gäi O lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD b»ng hai c¸ch C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 1) x8 + 3x4 + 2) x6 – x4 – 2x3 + 2x2 C©u 2: Cho biÓu thøc: 2x 3y xy x2 A xy 2x 3y xy 2x 3y x a) Tìm x, y để biểu thức A có nghĩa b) Rót gän biÓut thøc A C©u 3: Cho sè a, b, c tho¶ m·n: a b b b3 c c c3 a a Chøng minh r»ng a = b = c C©u 4: Cho tø gi¸c låi ABCD Qua trung ®iÓm K cña ®êng chÐo BD dùng ®êng th¼ng song song víi ®êng chÐo AC, ®êng th¼ng nµy c¾t AD t¹i E Chøng minh r»ng CE chia tø gi¸c thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng C©u 5: Dùng h×nh b×nh hµnh biÕt trung ®iÓm ba c¹nh cña nã C©u 1: 1) Chøng minh r»ng: 8351634 + 8241142 chia hÕt cho 26 2) Chứng minh A là số chính phương, biết A có dạng: A 11 8 { 1442 443 11 1442 443 66 1998 soˆ 35 35 1000 soˆ 999 soˆ x4 C©u 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B x 2x C©u 3: abc acb bca Cho ba số a, b, c khác thoả mãn đẳng thức: c b a (a b)(b c)(a c) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P abc Lop8.net (15) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 35 C©u 4: C¸c ®êng chÐo cña tø gi¸c låi ABCD vu«ng gãc víi Qua trung ®iÓm c¸c c¹nh AB vµ AD kÎ nh÷ng ®êng vu«ng gãc theo thø tù víi c¸c c¹nh CD vµ CB Chøng minh r»ng hai ®êng th¼ng vu«ng gãc nµy vµ ®êng th¼ng AC đồng quy 35 Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB = 2a và CD =a Hãy xác định vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn ®êng th¼ng CD cho: 1) §êng th¼ng AM chia h×nh thang thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng 2) Đường thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D cã diÖn tÝch b»ng (n – 1) lÇn diÖn tÝch phÇn kia(n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 2) 36 C©u 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A 1 1 1 1 19982 36 C©u 2: Ph©n tÝch ®a høc thµnh nh©n tö: 1) x2 – x – 12 2) x2 + 8x + 15 36 C©u 3: Chøng minh r»ng: (x 1)(x 3)(x 4)(x 6) 10 36 Câu 4: Giải phương trình: x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – = 36 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC (BC < AB) Tõ C vÏ ®êng vu«ng gãc víi ®êng ph©n gi¸c BE t¹i F vµ c¾t AB t¹i K; VÏ trung tuyÕn BD c¾t CK t¹i G Chøng minh r»ng DF ®i qua trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng GE 37 C©u 1: (3,5®) 2x 4x 2 x x 3x Cho biÓu thøc: A : x x x 2x x 1) Rót gän biÓu thøc A 2) Tìm giá trị x đê A dương 3) Tìm giá trị A trường hợp x 37 C©u 2: (3,5®) Cho tam gi¸c ABC cã BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm 1) Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC 2) Gäi CD lµ ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ACH Chøng minh tam gi¸c ACD c©n 3) Chøng minh r»ng: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 37 C©u 3: (1,5®) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän vµ M lµ mét ®iÓm n»m trªn c¹nh BC Gäi E và F là hình chiếu B và C xuống đường thẳng AM Xác định M trên BC để tổng BE + CF lớn 37 C©u 37 C©u 5: 38 C©u 1: 1) Xác định giá trị m để bất phương trình sau vô nghiệm: (m 3m 2)x 2m x x 1 2) Giải và biện luận phương trình ẩn x sau: xm x2 Lop8.net (16) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 38 a b c b a c C©u 2: Cho a b c Chøng minh r»ng: b c a a c b 38 C©u 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Tõ mét ®iÓm D bÊt kú trªn c¹nh BC kÎ DE, DF vu«ng gãc víi AB, AC t¹i E vµ F Chøng minh: EA EB + FA.FC = DB.DC 38 12x 12x 11 5y 10y Câu 4: Giải phương trình: 4x 4x y 2y 38 C©u 5: Cho h×nh thoi ABCD cã gãc A = 600 Gäi M lµ mét ®iÓm thuéc c¹nh AD §êng th¼ng CM c¾t ®êng th¼ng AB t¹i N 1) Chøng minh: AB2 = DM.BN 2) BM c¾t DN t¹i P TÝnh gãc BPD 38 C©u 6: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = vµ a 2;0 b 2;0 c Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 39 C©u 1: 1 16 1) Rót gän biÓu thøc: A 1 x 1 x 1 x 1 x x x16 1 2 x2 2) Cho biÓu thøc: B x x 1 x2 x2 x2 a) Tìm điều kiện x để B có nghĩa b) Rót gäc biÓu thøc B 39 Câu 2: Giải phương trình: 1) x3 + 3x2 + 2x + = 2) x a(x 1) 39 39 39 39 40 40 40 40 C©u 3: Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c a b c Chøng minh r»ng: bc ac ab C©u 4: Cho tam gi¸c ABC Trªn AB lÊy ®iÓm D cho BD = 3DA Trªn BC lÊy ®iÓm E cho BE = 4EC Gäi F lµ giao ®iÓm cña AE vµ CD Chøng minh r»ng: FD = FC C©u 5: Cho tam gi¸c ABC, M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC Chøng minh r»ng: BC < MC.AB + MB.AC Câu 6: Trong tất các hình chữ nhật có độ dài đường chéo không đổi là d H·y t×m diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt? C©u 1: 1) TÝnh: S = 12 – 22 + 32 – 42 + …+ 992- 1002 + 1012 1) Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 53 TÝnh P = ab + ac + bc C©u 2: Cho a, b, c, d lµ bèn sè thùc tho¶ m·n: a + b + c + d = Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab – cd) C©u 3: Chøng minh r»ng víi ba sè thùc a, b, c tuú ý th×: a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14 Câu 4: Cho góc xOy = 600 Trên hai tia Ox, Oy lấy các điểm tuỳ ý B Lop8.net (17) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n vµ C Chøng minh r»ng: OB OC 2BC 40 C©u 5: Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD) Gọi M, N là trung ®iÓm cña c¹nh AB vµ CD Chøng minh r»ng nÕu: BC + AD = 2MN th× ABCD lµ h×nh thang 41 Câu 1: Giải phương trình: x2 x x2 x 1) 1 x2 x x2 x 2) x 5x 10x 2x 11 41 41 41 41 42 42 42 42 42 42 43 43 Câu 2: Cho a, b, c là ba số thực đôi khác ab bc ac 1) TÝnh: S (b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c) a2 b2 c2 2) Chøng minh r»ng: (b c) (c a) (a b) Câu 3: Cho ba số dương có tổng Chứng minh tổng số ba số đó không bé tích ba số đó C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A (¢ < 900) Tõ B kÎ BM vu«ng gãc víi AC AM AB Chøng minh r»ng: 2 MC BC C©u 5: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, cã O lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo Gäi M, N là trung điểm BO, AO Trên cạnh AB lấy điểm F cho tia FM c¾t c¹nh BC t¹i E vµ tia FN c¾t c¹nh AD t¹i K Chøng minh r»ng: AB BC 1) 4 2) BE AK BC BF BE C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 1) x2 – 6x – 16 2) x3 – x2 + x + x yz y xz z xy C©u 2: Rót gän biÓu thøc: A (x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y) C©u 3: Cho a 1; a c 1999; b 1999 Chøng minh: ab c 3998 Câu 4: Tìm x, y, z thoả mãn phương trình: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = C©u 5: Cho tam gi¸c ABC (BA = BC) Trªn c¹nh AC chän mét ®iÓm K n»m A và C Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho: CE = AK Chøng minh r»ng BK + BE > BA + BC Câu 6: Cho tam giác ABC Gọi M là điểm nằm tam giác Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác không phô thuéc vÞ trÝ cña ®iÓm M C©u 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x x C©u 2: Cho biÓu thøc: B x2 : x x2 a) Tìm x để B có nghĩa Lop8.net x x x x x (18) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n b) Rót gän B c) Chứng minh B luôn dương với x thoả mãn điều kiện xác định B 43 C©u 3: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a, vµ E lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn BC (E kh¸c B vµ C) Hai ®êng th¼ng AE vµ CD c¾t t¹i F Tia Ax vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®êng th¼ng CD t¹i I 1) Chøng minh dãc AEI = 450 1 2) Chøng minh: AB AE AF a2 3) Chøng minh diÖn tÝch tam gi¸c AEI kh«ng nhá h¬n 43 Câu 4: Cho hinh bình hành ABCD (AB > AD) Từ C kẻ CE và CF vu«ng gãc víi c¸c ®êng th¼ng AB, AD (E thuéc AB vµ F thuéc AD) Chøng minh r»ng: AB.AE + AD.AF = AC2 43 C©u 5: 44 C©u 1: ab Cho 4a2 + b2 = 5ab víi 2a > b > TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P 4a b 44 C©u 2: Giải và biện luận phương trình (ẩn x): (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x 44 C©u 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: A = x3 + y3 + z3 – 3xyz 44 C©u 4: Trong mét cuéc ®ua «t« cã xe khëi hµnh cïng mét lóc Xe thø hai mét giê ch¹y chËm h¬n xe thø nhÊt 15 km vµ nhanh h¬n xe thø ba km nên đến đích chậm xe thứ 12 phút và đến sớm xe thứ ba phút TÝnh vËn tèc mçi xe, qu·ng ®êng ®ua va thêi gian ch¹y cña mçi xe 44 C©u 5: Cho tam giác ABC cân đỉnh A Một điểm M thuộc cạnh BC Kẻ MD vuông gãc víi AB, ME vu«ng gãc víi AC Chøng minh r»ng tæng MD + ME kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn BC 44 C©u 6: Cho gãc nhän xAy T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cã tæng c¸c kho¶ng c¸ch đến hai cạnh Ax và Ay số cho trước 44 C©u 7: Cho tam gi¸c ABC, qua mét ®iÓm O tuú ý tam gi¸c kÎ c¸c tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB các điểm M, N, và P OM ON OP Chøng minh r»ng: AM BN CP 45 Câu 1: Giải phương trình: 1) (x + 2)(x + 3)2(x + 4) = 12 2) 2x x 2x 45 C©u 2: 1) Cho tam gi¸c ABC cã ®êng cao BD vµ CE Chøng minh: gãc AED = gãc ACB 2) Cho tam gi¸c ABC coa ®êng ph©n gi¸c AD Chøng minh: AD = AB.AC – DB.DC 45 C©u 3: 1) Cho ®a thøc bËc hai: P(x) = ax2 + bx + c T×m a, b, c biÕt P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000 Lop8.net (19) Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 1 1 2).Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a b c abc 25 25 3 2000 2000 b c c a TÝnh a b Chương trình luyện thi HSG THCS 45 45 46 46 46 46 46 47 47 47 47 47 48 48 48 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (¢ < 900) Dùng bªn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACFG Dùng h×nh b×nh hµnh AEIG Chøng minh: 1) ABC GIA vµ CI = BF 2) Ba đường thẳng AI, BF, CD đồng qui C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M = 5x2 + 2y2 + 4xy – 2x + 4y + 2005 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3 – 5x2 + 8x – x y z a b c C©u 2: Cho vµ a b c x y z x2 y2 z2 Chøng minh r»ng: a b c Câu 3: Giải phương trình: 1) x2 + 8x – 20 2) x x x C©u 4: Cho tam gi¸c ABC cã ba ®êng ph©n gi¸c AD, BE, CF Chøng minh r»ng: DB EC FA 1) DC EA FB 1 1 1 2) AD BE CF BC AC AB C©u 5: a b c3 3abc C©u 1: Rót gän ph©n thøc: A abc Câu 2: Giải phương trình: x + x + = C©u 3: Chøng minh r»ng nÕu: abc = th× a b c 1 ab a bc b ac c C©u 4: Cho x,y vµ x y Chøng minh: x y x y xy C©u 5: Cho tam gi¸c ABC, gäi D lµ trung ®iÓm cña AB Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cho AE = 2EC Gäi O lµ giao ®iÓm cña CD vµ BE Chøng minh r»ng: 1) Hai tam gi¸c BOC vµ AOC cã diÖn tÝch b»ng 2) BO = 3.EO C©u 1: Gọi a, b, c là độ dài cạnh tam giác ABC, biết b c a a b c Chứng minh tam giác ABC là tam giác Câu 2: Giải phương trình: x 3x x C©u 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + Lop8.net (20) Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 2xyz 48 C©u 4: Xác định các giá trị x, y để có đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x + = 48 Câu 5: Trên cạnh AB hình vuông ABCD người ta lấy điểm tuỳ ý E Tia ph©n gi¸c cña gãc CDE c¾t BC t¹i K Chøng minh: AE + KC = DE 49 C©u 1: x 1 x 1 2(x 2)2 Giải phương trình: x x x2 x x 1 49 C©u 2: Tìm giá trị x để biểu thức A(x) 49 x (với x > 0) đạt giá trị lớn (x 1999)2 nhÊt C©u 3: 1 x y xy 2) Chứng minh a, b, c là độ dài cạnh tam giác thì: 1 1 1 abc bca acb a b c C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (¢ = 900) ®êng cao AH, trung tuyÕn BM, ph©n gi¸c CD c¾t t¹i mét ®iÓm BH CM AD 1) Chøng minh: HC AM BD 2) Chøng minh: BH = AC Câu 5: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác và x, y, z là độ dài các 1 1 1 đường phân giác tam giác đó Chứng minh: x y z a b c Câu 1: Trong cái hộp đựng số táo Đầu tiên người ta lấy nửa số táo và bỏ lại quả, sau đó lấy thêm 1/3 số táo còn lại và lấy thêm Cuèi cïng hép cßn l¹i 12 qu¶ Hái hép lóc ®Çu cã bao nhiªu qu¶ t¸o C©u 2: Cho a > 0, b > vµ c > Chøng minh: 1 bc ac ab abc C©u 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH Cho biÕt AB = cm, BH = cm TÝnh BC ? C©u 4: Cho tam gi¸c ABC Mét ®êng th¼ng song song víi BC c¾t AC t¹i E vµ c¾t ®êng th¼ng song song víi AB kÎ tõ C ë F Gäi S lµ giao ®iÓm cña AC vµ BF Chøng minh r»ng: SC2 = SE.SA C©u 5: C©u 1: 1) Chøng minh r»ng nÕu x > 0, y > th×: 49 49 50 50 50 50 50 51 Lop8.net (21)