Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, B là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy Hải và không có cô Hồng.. C là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó c[r]
(1)Sở giáo dục và đào tạo thái bình Trêng thpt nam duyªn hµ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x x (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 15 x 15 Tìm tọa độ điểm M d : y b) Chứng minh đồ thị (C) không có điểm chung với đường thẳng thuộc (C) để khoảng cách từ M tới (d) nhỏ cos x sin x cos x 4 4 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2 1 5 x x x x cos x sin x I dx cos3 x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC là tam giác cạnh a Tam giác A’CB vuông A’ và hình chiếu vuông góc điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách hai đường thẳng CC’ và AB theo a Câu (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức 2 P = a b c (a 1)(b 1)(c 1) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông A, D có B 8; , 82 M ; 13 13 CD 2 AB và phương trình AD : x y 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc D trên AC và là trung điểm HC Tìm tọa độ các điểm A, C, D A 1; 2; 1 , B 2;1;1 , Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có x y 1 z d: C 0;1; 1 và đường thẳng Lập phương trình đường thẳng qua trực tâm tam giác ABC, nằm mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d iz 3i z z 1 i Câu 9.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết: B.Theo chương trình Nâng cao (d ) : x y 0 Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng (d1 ) : x y 0 và cắt A Lập phương trình đường tròn (C) qua A có tâm thuộc đường thẳng d1, cắt d1 B, cắt d2 C (B, C khác A) cho tam giác ABC có diện tích 24 Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : y z 2014 0 , điểm A(0; 1; 4) và mặt cầu (S): ( x 2) ( y 1) ( z 3) 16 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng ( ) và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) Câu 9.b (1,0 điểm) Một tổ chuyên môn gồm thầy và cô giáo, đó thầy Hải và cô Hồng là vợ chồng Chọn ngẫu nhiên người tổ để lập hội đồng chấm thi Tính xác suất để cho hội đồng có thầy, cô và thiết phải có thầy Hải cô Hồng không có hai (2) Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:………………………… ………………… ; Số báo danh:………………………… Sở giáo dục và đào tạo thái bình Trêng thpt nam duyªn hµ ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn: Toán (Đáp án – thang điểm gồm trang) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu Ý Nội dung 1 Tập xác định: D Sự biến thiên: - Đạo hàm: y ' 4 x x; y ' 0 x 0 x 1 lim y lim y x - Giới hạn: x - Bảng biến thiên: xy' y –1 + 0 –3 - 0,25 + –4 Điểm 0,25 –4 ; 1 và 0;1 ; đồng Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1; và 1; biến trên các khoảng Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x 1; yCT , đạt cực đại x 0; yCÑ 0,25 Đồ thị: 0,25 15 x x x 15 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x4 x2 15 x 12 0 15 f x x x x 12 Xét hàm số , x f ' x 4 x x Có Bảng biến thiên: 0,25 15 15 f ' x 0 x x 0 x ; 2 0,25 (3) Câu Ý Nội dung x f ' x f x Điểm + 21 16 21 f x , x pt f x 0 16 Từ bảng biến thiên ta có vô nghiệm (đpcm) 15 d : x y 15 0 M xo ; yo x04 xo2 3 C Khoảng cách từ M tới (d) là: d M,d Từ bảng biến thiên d M,d 15 xo 12 229 xo4 xo2 = 2 15 1 2 f x ta có 21 21.2 229 21 229 16 16.229 1832 229 229 0,25 21 229 39 x0 yo 1832 16 39 M ; Vậy điểm 16 là điểm cần tìm cos x cos x cos x cos x.cos cos x 1 4 4 2 cos x 2 cos x cos x cos x 0 (cos x 2)( cos x 2 )=0 cos x 2 Phương trình đã cho tương đương với: 0,25 0,25 0,25 3 x 2k , k 0,25 f xo Min d M , d xo 15 xo x04 xo2 3 15 0,25 x x 5 x x 0,25 2 x ( x 2) 4 x 2( x 2) Đặt t x 2( x 2) t x 2( x 2) x ( x 2) t2 4 t t 2t 0 Phương trình trở thành t t 2 t2 0,25 (4) Câu Ý Nội dung Điểm x x t x 2( x 2) x 2 x x 0 x 2 x x t 2 x 2( x 2) 2 x 1 2 x x x 0 0,25 0,25 Vậy phương trình có nghiệm: x , x x cos x sin x sin x I dx x dx dx cos x cos x cos x 0 J x dx x.tan x cos x 3 tan xdx ln cos x 0,25 3 3 ln ln 3 0,25 sin x 2sin x K dx dx cos x cos x 0 Đặt t cos x dt sin xdx x t Đổi cận: x = t = và 0,25 1 K dx 2 t t 1 3 ln Vậy Gọi M, N là trung điểm BC và AB Tam giác ABC cạnh a nên a a AM GM A ' BC Tam giác vuông A ' nên a A ' M BC 2 Do A’G (ABC) nên A’G GM Do đó: I J K 2 a 3a a 36 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 1a a 2a V S ABC A ' G AM BC A ' G a 2 Vẽ CH A’N H Ta có AB CN và AB A’G nên AB (A’NC) Suy AB HC CH (AA’B’B) d(C, (AA’B’B)) = CH Do CC’ // (AA’B’B)) nên d(CC’, AB) = d(CC’, (AA’B’B)) = d(C, (AA’B’B) = CH 0,25 0,25 A ' G A ' M GM 0,25 0,25 (5) Câu Ý Nội dung Điểm a a A' N a A 'G , CN , Ta có: Tam giác A’NC ta có: a d (CC ', AB) Vậy a a A ' G.CN a CH A ' N A ' G.CN CH a A' N 2 1 a b c 1 (a b) (c 1) (a b c 1) 2 +Áp dụng BĐT Cô-Si ta có: a b c 3 (a 1)(b 1)(c 1) Dấu đẳng thức xảy a b c 1 54 Suy P a b c ( a b c 3) 54 Đặt t = a + b + c + 1, t > Khi đó ta có P t (t 2) 54 + Xét hàm f(t) = t (t 2) trên (1 ; + ) Ta có f’(t) = 0,25 0,25 0,25 t 1 54.3 0 9t (t 2) t (t 2) t 4 Suy BBT t f’(t) + 1/4 + – 0,25 f(t) Dựa vào BBT suy P Dấu đẳng thức xảy và t = a = b = c = 7a Vậy GTLN P là , đạt a = b = c = Tìm tọa độ đỉnh A, C, D +) Phương trình trình AB: x y 12 0 , vì A là giao điểm AB và AD nên tọa độ A x y 12 thỏa mãn hệ phương trình x y x 5 A 5;7 y 7 0,25 0,25 (6) Câu Ý Nội dung ìï uuur æ 17 85 ö ÷ ïï AM = ç ;÷ ç ïí ÷Þ AM : 5x + y - 32 = ç è13 13 ø ïï ï A ( 5;7) Có ïî 17 85 ö ïìï uuur æ ÷ ç ;÷ ç ïïí AM = ç ÷Þ AM : 5x + y - 32 = è13 13 ø ïï ïïî A ( 5;7) Gọi N là trung điểm CD suy MN / /DH Þ MN ^ AC Þ MN : x - 5y - = Dễ thấy ABND là hình chữ nhật Do đó ïìï BN / /AD : x + y - = Þ BN : x - y - = í ïïî B ( 8; 4) Có Điểm 0,25 N = MN Ç BN Þ N ( 4;0) ïìï CD / /AB : x + y - 12 = Þ CD : x + y - = í ïïî N ( 4;0) Î CD Lại có Từ đó ta : 0,25 C = CD Ç AC Þ C ( 7; - 3) D = CD Ç AD Þ D ( 1;3) 8a Vậy A(5;7), C(7; -3), D(1; 3) AB 1; 1; , AC 1; 1;3 AB, AC 1; 5; Ta có Phương trình mặt phẳng (ABC): x y z 0 BH AC 0 CH AB 0 H ABC H a; b; c Gọi là trực tâm tam giác ABC, đó ta có hệ: a b 2c 3 a b 3c 0 a 5b 2c 9 a 2 b 1 H 2;1;1 c 1 0,25 0,25 0,25 Do đường thẳng nằm mặt phẳng (ABC) và vuông góc với d nên: u n ABC u ud u n 1;5; là VTCP ABC là VTPT (ABC), ta và với có ud 2; 1; d là VTCP u n ABC ud 12; 2; 11 Suy 9a x y z 11 Vậy phương trình chính tắc là 12 iz 3i z a 4b b 2a i z a b ( a , b ) 1 i 1 i Gọi z a bi Ta có: a 4b b 2a i i a b 3a 3b 5b a i 2 a b2 0,25 0,25 0,25 0,25 (7) Câu Ý Nội dung 3a 3b 2 a b 26b 9b 0 a 5b 5b a 0 Vậy có số phức cần tìm: z 0 và z Điểm a b 0 a 45 ; b 26 26 45 i 26 26 0,25 0,25 7b Ta có A( 5; 5) Gọi là góc tạo hai đường thẳng cos d1 và d2 Đường tròn (C) nhận AB là đường kính Tam giác ABC vuông C BAC Giả sử đường tròn (C) có tâm I và bán kính là R AC 2 Rcos R; BC 2 R sin R 5 Ta có 0,25 0,25 24 R S ABC AC.BC 24 R 5 25 Vì I (d1 ) I (a; 2a) IA R a Có 2a a 0 25 5a 10a 0 a 2 0,25 2 Với a 0 I (0;0) Phương trình đường tròn (C) là x y 25 Với a 2 I (2 5; 5) Phương trình đường tròn (C) là x y 4 25 0,25 KL 8b 2 Pt mặt (P) qua A có dạng : ax b( y 1) c( z 4) 0 (a b c 0) (1) mp( ) có vtpt n (0;1; 1), mp( ) mp( p) n n p 0 Do đó 0.a 1.b 1.c 0 c b ( P ) : ax b( y 1) b( z 4) 0 Mặt cầu (S) có tâm I (2; 1;3), bán kính R 4 mp ( P ) tiếp xúc với 6a 17b 4 12a 28ab 17b 0 a b2 b2 b 2a Với 6a 17b, chọn b 6 a 17, b c 6 ( P) :17 x y z 30 0 Với b 2a, chọn a 1 a 1, b c ( P) : x y z 10 0 KL Mỗi cách chọn nhóm người từ 12 người là tổ hợp chập 12 Vì không gian mẫu gồm: C12 792 phần tử 0,25 Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, B là biến cố chọn hội đồng gồm thầy, cô đó có thầy Hải và không có cô Hồng C là biến cố chọn hội đồng gồm thầy, cô đó có cô Hồng không có thầy Hải n A n B n C Như vậy, A B C và 0,25 ( S ) d I , ( P ) R 9b 0,25 a 7b 0,25 0,25 0,25 (8) Câu Ý Tính n(B): Nội dung + Chọn thầy Hải, có cách Điểm + Chọn thầy từ thầy còn lại, có C6 cách + Chọn cô từ cô, có C4 cách Theo quy tắc nhân: n B 1.C62 C42 90 n C 1.C63 C41 80 n A 90 80 170 Vậy n A 170 P A n B 792 Xác suất biến cố A là: Tương tự, - Hết - 0,25 0,25 (9)