Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt(tức diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là V.. cho trước.[r]
(1)Câu 5: [2D1-3] Biết tất giá trị m để phương trình
2
4 6 x x 3x m x2 3 x
có nghiệm a b; với ,a b Tính giá trị của
5
a b
?
A
3
5. B
2
5 . C
2
5. D
5
5 .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện 2 x
Đặt t x 2 3 x
2 14 3 6 2 14 3 6
t x x x t x x x
Ta có
1
2 2 t
x x
;
1
0 2;3
2 2
t x
x x
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy t 5;5 Khi phương trình có dạng: t214mt
14
5;5 *
t m t
t
Đặt
14 g t t
t
; t 5;5 có
14
1
g t
t
t 5;5
g t
(2)Để phương trình ban đầu có nghiệm (*) có nghiệm t 5;5 5 5 11;
5
g m g m
Vậy
5
5
a b
CÁC BÀI TƯƠNG TỰ
Câu 5.1: [2D1-3] Có giá trị nguyên m để phương trình
3 x 6 x 18 3 x x có nghiệm?m
A 2 B 3 C 4 D 5
Lời giải
Chọn C
Điều kiện 3 x
Đặt t x 3 6 x
2 9 18 3 2 9 6
t x x t x x
Ta có
1
2 t
x x
.
1
0 3;6
2
t x
x x
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy t 3;3 2
Khi phương trình có dạng:
2 2 9 2 0 2 9 2 *
(3)Phương trình ban đầu có nghiệm (*) có nghiệm t 3;3 2
Đặt
2 2 9; 3;3 2 g t t t t
có g t 2t2 0; t 3;3 2 .
g t
là hàm nghịch biến 3;3 2
Để phương trình (*) có nghiệm t 3;3 2
6
3 2 3
2
g m g m
Vậy có giá trị nguyên m để phương trình ban đầu có nghiệm.
Câu 5.2: [2D1-3] Có giá trị nguyên m khoảng10;10để bất phương trình
3
mx x m có nghiệm ?
A 9 B 10 C 11 D 19
Lời giải Chọn B
Điều kiện x 3
Bất phương trình trở thành
1
1 x
m x
.
Xét hàm số
1
1 x y
x
Tập xác định D 3;
Ta có
2
2
x y
x x
0
y x
(4)Vậy bất phương trình có nghiệm
3
4
y m m
Do khoảng 10;10 có 10 giá trị ngun m để phương trình có nghiệm
Câu 8: [2D1-3] Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn a b b a
Giá trị lớn biểu thức S 6a b là
A 17 12 B 82 C 11 D 89 12 Lời giải Chọn C Ta có a b b a
9a a b 3b
27a33a3b3 3b2
3a3 3a 3b 23 3b
(1)
Xét hàm
f t t t
Ta có
f t t Hàm số t f t đồng biến t3 t
(1) f 3a f 3b2 3a 3b2
3 b a
Vậy S2 3b2 b g b với b 0
Ta có
3 g b b ;
0
3
g b
b
3b2 3
7
b
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy 0;
11
max
S max g b
b
(5)Câu 8.1: [2D1-3] (THPT Trần Phú – Đà Nẵng 2018) Cho hai số thực x , y thỏa mãn
3
2y 7y2x 1 x 3 1 x3 2y 1
Tìm giá trị lớn biểu thức P x 2y
A P 10 B P 4 C P 6 D P 8
Lời giải Chọn B
Điều kiện: x ;1 Ta có
3
2y 7y2x 1 x 3 1 x3 2y 1 2y3 6y27y 1 x 1 x 1 x
3
2 y1 y1 2 1 x 1 x (1)
Xét hàm
f t t t
Ta có
f t t t f t 2t3 đồng biến t
(1) f y 1 f 1 x y1 1 x y 1 1 x Vậy P x 2 1 xg x với x ;1
1
1
g x
x
1 x 1 x 0
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có Pmax max g x ;1 4 x 0
Câu 8.2: [2D1-3] Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn
4
2
x y
x y
Tìm giá trị nhỏ của
biểu thức P y 4x
A P 2 B
5
P
C P 3 D
7
P
Lời giải Chọn B
Ta có
4
2
x y
x y
4x33xy2 2y1 8x36x2y4 2y1
2x3 2 x 2y 1 2y 2y
(1)
(6)Ta có
3
f t t Hàm số t f t t3 3t
đồng biến .
(1) f 2xf 2y1 2x 2y1
2
2
y
x
Vậy P y 2y 1 g y với y 0;
Ta có
2 g y
y
2y 1
3
y
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có 0;
5
min
P min g y
khi
3
y
Câu 32. [2H2-3] Một xưởng khí sản xuất thùng phi có nắp đậy dạng hình trụ với thể tích 2 m 3 Người ta nên làm thùng phi với bán kính đáy R chiều cao h bao
nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
A R1 ,m h2m B R2 ,m h0,5m
C R ,m h1m D R0,5 ,m h1m
(7)Để tiết kiệm vật liệu diện tích tồn phần hình trụ nhỏ
Thể tích khơng đổi
2
2
2
V R h h
R
Ta có
2 2
2 2
tp
S R Rh R
R
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
2, ,1
R
R R.
Ta có
2 1 3 1
2
tp
S R R
R R R R
Vậy diện tích tồn phần nhỏ :
Stp min 6 R 1 h2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Câu 32.1.[2H2-4] Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định V
cho trước Khi diện tích toàn phần hộp sữa bé hai phương án
A 32 V B 6 V 3 C 3 6V 3 D 3 V3
(8)Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ
Thể tích khơng đổi
2 2
2
2
, tp 2
V V
V R h h S R Rh R
R R
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
2 R , ,V V
R R
Ta có
3
2 3 2
2
tp
V V V V
S R R V
R R R R
(* ) Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật
Thể tích không đổi
; tp 2 2
V V V V V
V abh h S ab a b h ab a b ab
ab ab ab b a
Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho ba số dương ; ;
V V ab
a b .
Ta có
3
2.3 tp
V V
S ab V
a b
(**) Xét hai kết ta thấy (*) nhỏ
Vậy diện tích tồn phần hộp sữa bé
3
3
tp
S V
(đvdt)
Câu 32.2.[2H2-4] Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy r2m, chiều cao h6m.
Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành khúc gỗ có dạng hình khối trụ hình vẽ Gọi V thể tích lớn khúc gỗ hình trụ sau chế tác Tính V
A
3
32
V m
B
32
V m
C
3
32
V m
D
2
32
V m
Lời giải Chọn A.
Giả sử khối trụ có bán kính đáy đường cao r h, ', 0 x 2;0h6
Ta có:
2
6
6
h x
h x
(9)Thể tích khối trụ:
2 6 3 6 3
V x hx x x x
Ta có
2
( ) 12 ( ) 0
3
V x x x V x x x
Khi ta suy với
4
x
V đạt giá trị lớn
32
V m
Câu 25: [1D3-3] (KSLẦN 1_THPT NGHÈN_HÀ TĨNH) Cho tam giác ABC cân AB AC , có cạnh đáy BC , đường cao AH, cạnh bên ABtheo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tính cơng bội qcủa cấp số nhân
A.
1
2
2 . B.
1
2
2 . C. 2 1 . D. 1
Lời giải:
Chọn B
1 1.5 2.5 3.5 4.5
1.5 2.5
x y
A
B H C
Đặt AB a BC ; 2b a b 0 AH2 a2 b2 Ta có 2 ,b a2 b a2, theo thứ tự lập
thành CSN
2 2
2
1
a b
ab a b
a b
Vì a b nên 0 a 1 2b thỏa mãn
Mặt khác
2
2 1
2
2 2
0
a bq a
q b q
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Câu 25.1: Độ dài cạnh tam giac ABC lập thành cấp số nhân Tam giác ABC có tối đa góc khơng q 600?
(10)Lời giải
Chọn D
Gọi ba cạnh tam giác a b c, , ; không tính tổng quát giả sử a b c, , theo thứ tự lập thành
CSN Do ta có b2 ac.
Ta lại có:
2 2 2
0
2
cos 60
2 2
a c b a c ac ac ac
B B
ac ac ac
Dấu " " xảy ABC đều, lúc ba góc tam giác 600. Cách khác: làm trắc nghiệm
Với tam giác ABC cạnh tạo thành cấp số nhân có cơng bội q 1 góc
60o
nên chọn D.
Câu 25.2: Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a b c, , Biết
90 ; , , o
A a b c
theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm số đo góc B
A 30o B 45o C 15o D 60o
Lời giải
Chọn D
Vì ABC vuông A nên: b2c2 a2 1
Mặt khác theo giả thiết:
2
2
3
ac b b ac
thay vào 1 ta được:
2 2
1
2 2
2
2
a c
ac c a a ac c
a c
Vì a c, cạnh tam giác nên ta có a2c thỏa mãn
Khi
0
1
cos 60
2
c
B B
a
Câu 37: [1H2-3.7-2] (THPT Nghèn – Hà Tĩnh lần 1) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh
bằng a, điểm K thuộc cạnh SC cho SK 2KC Mặt phẳng P chứa AK song song
BD Tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD cắt P .
A
2
5 a
B
2 26
15 a
C
2 26
15 a
D
2
5 a
Lời giải
(11)Gọi OACBD, mặt phẳng SACgọi O AKSO
Do mặt phẳng P chứa AK song song BD nên mặt phẳng P SBD theo giao tuyến là đường thẳng qua O song song BD , cắt SD, SB M N
Vậy thiết diện tứ giác AMKN
Do hình chóp S ABCD nên SOABCD BDSAC MN SAC MN AK
1
AMNK
S AK MN
Ta có
AO O S KC AC O O KS
'
4
5
O S SO
O O SO
Mặt khác
4
MN SO
BD SO
5 a MN
Tam giác SAC vuông S, nên
2 13
AS
3 a
AK SK
Vậy
2 26
15 AMNK
a
S
Bài tập tương tự:
Câu 37.1:[1H3-3.11-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâmO ,
SA ABCD Đường thẳng SC tạo với đáy góc
45 Cắt hình chóp mặt phẳng P
(12)A
2
3 a
B
2 2
3 a
C
2
3 a
D
2
3 a
Lời giải
Chọn A
Gọi K hình chiếu Atrên SC Trong SAC gọi I SOAK
Ta có
BD SA
BD SAC
BD AC
BD SC
mặt khác SC nên BD/ /
Ta có
/ /
I SBD
BD SBD
BD
SBD HL BD H SD L SB/ / , ,
Thiết diện tứ giác AHKL
Ta có
/ / HL BD
HL AK
BD AK
Vậy
1
AHLK
S AK HL
Ta có
2
2
2
3
HL SH SA a
BD SD SD a
2 a HL
(13)Vậy
2 2
3 AHLK
a
S
Câu 37.2:[1H3-3.9-3] Cho hình chóp S ABCD Thiết diện qua đỉnh A vng góc với cạnh bên SC có diện tích thiết diện nửa diện tích đáy Gọi góc cạnh bên đáy Tính
A
1 33 arcsin
4
B
1 33 arcsin
8
C
1 33 arcsin
8
D
2 33 arcsin
8
Lời giải
Chọn B
Đặt cạnh đáy hình vuông ABCD a AC a 2.
Giả sử thiết diện qua A cắt SC , SB , SD K, N , M
Theo giả thiết SCANKM MNSC
Mặt khác: BDSC(vì BDSAC) MN BD// MN SAC MN AK
ANKM
S AK MN
sin 2 sin
SCA AK AC a
.
1
MN SO SO OO OO
BD SO SO SO
(vì AO O ACK ; với O MNAK).
2
2 cot
1 2
2 cot 1 cot
2 tan
a MN
OO a
BD OC
1 cot2 2 cot 0
2
MN BD a
(14)Ta có
2 2
1 1
sin cot
2 2
AMKN ABCD
S S AK MN a a a a
2 2sin sin 4sin sin 0
2
1 33 33
sin arcsin
8