M lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo BD.. KÎ ME vµ MF vu«ng gãc víi AB vµ AD..[r]
(1)Phòng GD&ĐT Hiệp Hoà
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 28/2/2010 Bài I:(3 điểm):
1) Chøng minh r»ng: n3 + 6n2 + 8n chia hÕt cho 48 víi mäi sè ch½n n. 2) BiÕt a(a + 2) + b(b – 2) – 2ab = 63 Tính a - b
Bài II:(3,5 điểm):
1) Tìm giá trị nguyên n để giá trị biểu thức 3n3 + 10n2 – chia hết cho giá trị biểu thức 3n + 1
2) Cho biÓu thøc:
x+2¿2 ¿ ¿ A=¿
a) Rót gän biĨu thøc A
b) Tìm giá trị x để biểu thức có giá trị lớn Tìm giá trị lớn Bài III:(3,5 điểm)
1) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x-2 d 3, f(x) chia cho x-5 d f(x) chia cho x2-7x+10 đợc thơng x2+4 cũn d
2) Giải phơng trình
2009 2010 2008 2010 2008 2009
3
2008 2009 2010
x x x
Bài IV:(4 điểm)
1) Cho x=by+cz ; y=ax +cz ; z=ax +by vµ x+ y+ z ≠ 0 TÝnh M=
1+a+ 1+b+
1 1+c
2) Để thành lập đội tuyển học sinh giỏi khối 8, nhà trờng tổ chức thi chọn mơn Tốn, Văn Ngoại ngữ tổng số 111 học sinh Kết có: 70 học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ Trong đó, có 49 học sinh giỏi mơn Văn Tốn, 32 học sinh giỏi mơn Tốn Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi môn Văn Ngoại ngữ
Hãy xác định số học sinh giỏi ba mơn Văn, Tốn Ngoại ngữ Biết có học sinh khơng đạt u cầu ba mụn
Bài V:(6 điểm):
Cho hỡnh vuụng ABCD M điểm đờng chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với
b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn
HÕt _
C¸n bé coi thi không cần giải thích thêm Số báo danh
Phòng giáo dục đào tạo hiệp hoà
Hớng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009 – 2010
Môn : Toán 8
(2)Bài I
(3đ) 1)HS biến đổi đợc: n
3 + 6n2 + 8n = n(n + 2)(n + 4) 0.5đ Rồi thay n = 2k ta đợc: 8k (k +1)(k +2) Lập luận KL chia hết cho 48 1.0đ 2) HS biến đổi đợc: (a – b + 9)(a – b - 7)=
Mỗi bớc biến đổi cho 0.5đ
1.0đ Từ đợc: a – b = -9 a – b = 0.5đ Bài II
(3.5®)
1) Thùc hiƯn phÐp chia ta cã:
3n3 + 10n2 – = (3n +1)(n2 + 3n - 1) – §Ĩ cã phÐp chia hÕt th× chia hÕt cho (3n+1)
0.75đ Hay tìm số nguyên n cho (3n +1) lµ íc cđa n = 0; n= -1; n = 0.75đ
2) ĐK x ≠ -2, x ≠ 0.25
HS rút gọn đợc A = - (x2 + 2x + 2)
(Mỗi bớc rút gọn cho 0.25 điểm) đ
HS lập luận tìm GTLN A = -1 x = -1 0.75đ Bài III
(3.5®) 1) Gäi d cđa phÐp chia f(x) cho x
2-7x+10 lµ ax + b Ta cã:
f(x) = (x2-7x+10)(x2+4) + ax + b = (x-2)(x-5)(x2+4) + ax + b V× f(x) chia cho x-2 d f(2) =3 hay 2a+b =3
V× f(x) chia cho x-5 d f(5) =6 hay 5a+b =6 a = 1; b=1 f(x) = (x2-7x+10)(x2+4) + x + 1 Hay f(x) = x4 - 27x3 + 14x2 - 27x +41
0.5® 0.5® 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ
Bài IV
(4®) 1) Ta cã x + y = by + cz +ax + cz = ax+ by + 2cz = z + 2cz => x + y + z = 2z + 2cz = 2z(1 + c) =>
1+c= 2 z
x+ y+ z
T¬ng tù ta cã:
1+b= 2 y
x + y +z vµ
1 1+a=
2 x
x + y +z
=>
1+a+ 1+b+
1 1+c=
2 x
x + y +z+
2 y
x+ y+ z+
2 z
x + y +z=
2( x + y + y )
x+ y +z =2
0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 2)
2) Trõ vào phân thức vế trái ta có:
2009 2010 2008 2010 2008 2009
( 1) ( 1) ( 1) 3
2008 2009 2010
x x x
2009 2010 2008 2008 2010 2009 2008 2009 2010
( ) ( ) ( )
2008 2009 2010
x x x
6027 6027 6027
0
2008 2009 2010
x x x
( 6027).( 1 )
2008 2009 2010
x
V×
1 1
0
2008 2009 2010 nªn x -6027 = nªn x = 6027
(3)+ Gọi x số học sinh giỏi mơn Văn, Tốn, Ngoại ngữ (x > 0), dựa vào biểu đồ ta cú:
Số học sinh giỏi môn Toán lµ:
70 49 32 x
Số học sinh giỏi môn Văn là:
65 49 34 x
Số học sinh giỏi môn Ngoại ngữ là:
62 34 32 x
0.25® 0.5® 0.25® 0.25®
+ Có học sinh không đạt yêu cầu nên:
111 70 49 32 x 65 49 34 x 62 34 32 x
4932 x 34 x
82 x 105 x 23
VËy cã 23 häc sinh giái môn
0.5đ 0.25đ
(4)
a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật : AE = MF Tam giác MFD vuông cân suy AE = FD
0.5 đ -AEDDFC nên DE = CF ADE DCF suy NDF NFD 900, 1.0 đ Do
0
90
FND hayDECF 0.5 đ
b)Chứng minh tơng tự a ta cã ECBF
- Do BD trung trực AC nên MA = MC, mà MA = EF, MC = EF ;
( )
FED MCF c c c
nên FED MCF .
0.5 đ
- Lại có FED EFC 900, MCF CFE 900 0.5 đ Do gọi H giao điểm CM Với EF Thì tam giác CHF ta có
900
CHF hay CM EF
0.5 đ - DE, BF CM ba đờng cao tam giác CEF nên chúng đồng quy 0.5 đ c) Chu vi tứ giác AEMF = 2a không đổi nên ME + MF = a không đổi 1.0 đ - Do tích ME MF ( tức SAEMF ) lớn ME = MF, tứ MEAF
hình vng , M trùng với điểm O giao điểm hai đờng chéo AC BD
1.0 ®
Ghi : Trên biểu điểm hớng dẫn chấm, làm học sinh phải đợc trình bày chi tiết, cụ thể Học sinh làm đến đâu cho điểm đến Bài hình khơng vẽ hình khơng cho điểm Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa/.
Phòng GD&ĐT Hiệp Hoà
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán 7
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 28/2/2010 Bài I: ( điểm )
1)T×m x biÕt : (1543
4−148
8):0,3=x :0,2
2) Tính giá trị biểu thức: A=2 522−9 521
2510 :
5 (3 715− 19 714) 716+3 715
3) So sánh A B số lớn ?
A = 20 + 21 + 22 + 23 + + 22009; B = 22010
Bµi II: ( ®iĨm )
1) Chøng minh r»ng (810 - 89 - 88 ): 55 lµ mét sè tự nhiên.
2) Tìm ba phân số tối giản biÕt tỉng cđa chóng b»ng
7 12
24, tư sè cđa chóng tØ lƯ 3:5:7, mÉu cđa chóng tØ lÖ
2 : :
3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + 3 |y −2010| - 1 Bµi III: ( 4điểm )
1) Tìm ba số a, b, c biÕt r»ng: a
2=
b
3,
b
5=
c
(5)2) Tìm x y biết rằng: (x - 2008 + y)2 + (x - 2010 - y)2 = 0 Bài IV: ( điểm )
Cho góc vuông xOy tia phân giác Oz Từ điểm M tia Oz ta hạ MA vuông góc víi Ox, MB vu«ng gãc víi Oy
a) Chøng minh: OA = OB
b) LÊy mét ®iĨm I đoạn AM Nối I với O Từ I kẻ mét tia t¹o víi IO mét gãc b»ng gãc AIO Tia cắt đoạn thẳng MB K Nối O với K Tính số đo góc IOK
Bài V: ( ®iĨm )
Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4, 12, x Biết x số tự nhiên Tìm x (cho biết cạnh tam giác nhỏ tổng hai cạnh lớn hiệu chúng)
HÕt _ Cán coi thi không cần giải thích thêm
Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh
Phịng giáo dục đào tạo hiệp hoà
Hớng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm hc 2009 2010
Môn : Toán 7
Bài Nôị dung Điểm
Bài I
1) (1543
4−148
8):0,3=x :0,2 ⇒
8 : 0,3 = 5x ⇒ x = 4,25
2.0 ®
2) A=5
21.(2 −9)
520 :
5 714.(21 −19)
715 (7+3) ¿5 :
5 10
¿5
5 =35
2.0 ®
3) Ta cã : A = 2.( 20 + 21 + 22 + 23 + + 22009 ) = 21 + 22 + + 22010
0.5 ®
Tính 2A – A = 22010 – 1 1.0 đ
Từ kết luận A < B 0.5 đ
Bµi II
1) HS biến đổi đợc KQ 88 số tự nhiên 1.0đ
2) Gọi phân số phảI tìm
; ;
a c e b d f
Khi ta có a : c : e = : : b : d : f = : : đ Ta đặt
;
3
a c e b d f
k p
®
Biến đổi đến
3 59 295
2 12 24
a c e k k k k k
b d f p p p p p
0.5 đ
Do phân số phảI tìm lµ :
15 25 35 ; ;
(6)a
10=
b
15=
c
12=
a − b+c
10 −15+12=
− 49
7 =−7
(Mỗi bớc biến đổi cho 0.5đ)
1.0®
Từ tính đợc : a = -70 ; b = -105 ; c = -84 1.0đ 2)HS lập luận đợc
x - 2008 + y = x - 2010 - y = 1.0đ
Từ tìm đợc x = 2009 y = 1.0đ
Bµi IV
a) Chứng minh đợc hai tam giác vuông MAO MBO theo tr-ờng hợp cạnh huyền , góc nhọn
0.5 ®
Từ suy : OA = OB 0.5 đ
b) KỴ OH vuông góc với IK 0.5 đ
Chng minh đợc hai tam giác vuông OAI OHI theo TH
cạnh huyền, góc nhọn 0.5 đ
Từ suy OA = OH AOI IOH (1) 0.5 đ Chứng minh hai tam giác vuông OHK OBK theo TH cạnh
hun vµ cạnh góc vuông
0.5 T ú suy HOK BOK(2)
0.5 đ
Từ (1) (2) ta suy
1 1.900 450
2
IOK xOy 0.5 ®
Bài V Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tơng ứng với đờng cao 4, 12, x 0.25 đ Ta có: 4a = 12b = xc = 2S a=S
2, b=
S
6 ,c = 2 S
x
0.25 ®
(7)S
2−
S
6< 2 S
x < S
2+
S
6⇒ 12− 6<
2
x<
1 2+
1 6⇒ 26<
2
x<
2
0.5 ® < x < Do x N nªn x 0.5 đ
Ghi chỳ : Trên biểu điểm hớng dẫn chấm, làm học sinh phải đợc trình bày chi tiết, cụ thể Học sinh làm đến đâu cho điểm đến Bài hình khơng vẽ hình khơng cho điểm Học sinh làm cách khác cho điểm ti a/.
Phòng GD & ĐT Hiệp Hoà
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán 6 Thời gian làm bài: 150 phót
Ngµy thi: 28/2/2010 Bµi I: ( 3,5 điểm )
1)Tính giá trị biểu thøc:
32.512.128 : (1024.32) 16.64.8 : (4 16)
A
2) Không quy đồng tính hợp lý tổng sau: B=−1
20 +
−1
30 +
−1
42 +
−1
56 +
−1
72 +
−1
90
Bµi II: ( 4,5 điểm )Tìm số tự nhiên x biết: 1) (3x - 24) 73 = 74
2) [(6x - 72): - 84] 28 = 5628 3) + + + + 2x = 210 Bài III: ( điểm )
1) Tìm hai số tự nhiên biết tích chúng 2940 vµ béi chung nhá nhÊt cđa chóng lµ 210
2) Một ngời bán năm giỏ xoài cam Mỗi giỏ đựng loại với số lợng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau bán giỏ cam số xồi lại gấp ba lần số cam lại Hãy cho biết giỏ đựng cam, giỏ đựng xoài ?
Bài IV: ( điểm ) 1) Cho A = n− 2
n+3 Tìm giá trị ca n :
a) A phân số b) A số nguyên
2) Gi s a b số tự nhiên để (16a+ 17b).(17a+16b) chia hết cho 11 Chứng minh tích (16a + 17b).(17a +16b) chia hết cho 121
Bµi V:(4 ®iÓm)
Cho đoạn thẳng AB; Điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi E, F thứ tự trung điểm OA, OB. a) Trong ba điểm O, E, F điểm nằm hai điểm lại?
b) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng EF không đổi O di chuyển tia đối tia AB? Hết _
Cán coi thi không cần giải thích thêm
Họ tên thí sinh : Số báo danh
(8)Hớng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009 - 2010
Môn : Toán 6
Bài Nôị dung Điểm
Bi I 1) Bin i n : 10
6 6
32.2 : (2 32) 16.2 : (2 16)
A 0.75 ®
21 15 16 15
2 :
2 32 :
A 1.0 ®
¿ 2=−1 20 + − 1 30 + −1
42 + +
− 1
90 =−( 5+
1 6+
1 7+ +
1
9 10)¿=−( 4− 5+ 5− 6+ 6+ 7+ +
1 9−
1 10)=−(
1 4− 10)= −3 20 ¿ 0.75 đ 1.0đ Bài II 1) HS biến đổi tìm đợc: x = 10
(mỗi bớc biến đổi cho 5đ)
1.5 đ 2) HS biến đổi tìm đợc: x = 107
(mỗi bớc biến đổi cho 5đ) 1.5đ
3) Ta cã
(2 )
2 ( 1)
2
x x
x x x
0.5 ®
Khi x(x+1) = 210 0.5 đ
Ta thÊy 210 = 2.3.5.7 = (2.7).(3.5) = 14.15 0.25 ® => x(x+1) = 14.15
Vậy x = 14 0.25 đ
Bài III
1)Ta đặt ƯCLN ( a, b) = d suy a = d.m ; b = d n ƯCLN ( m,n )
= 5đ
Giả sử a a b m n 0.25®
Ta cã ab = dm dn = d2.m.n 0.25®
Khi BCNN(a,b) = d m.n = 210 0.25đ
Tính đợc d = 14 ; mn = 15 5đ
TÝnh kÕt qu¶ a = 14 vµ b = 210 ; a = 42 b = 70 0.25đ 2) Tng s xoi v cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg)
Vì số xồi cịn lại gấp ba lần số cam cịn lại nên tổng số xồi cam lại số chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư Trong số 65; 71; 58; 72; 93 có 71 chia cho dư
Vậy giỏ cam bán giỏ 71 kg Số xồi cam cịn lại : 359 - 71= 288 (kg) Số cam lại : 288:4 = 72(kg) Vậy: giỏ cam giỏ đựng 71 kg ; 72 kg
giỏ xoài giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg
0 5®
0 5® 5® 5đ
Bài IV 1)
aA=n 2
n+3 phân số khi: n-2 Z , n+3 Z n+3
n Z n -3
b¿A=n −2 n+3=
(n+3)− 5
n+3 =1−
5
n+3
A số nguyên (n + 3) Ư(5) n+3 {−1 ;1;− 5;5}
n {− ;−2 ;−8 ;2}
(9)2)V× 11 số nguyên tố nên:
( 16a + 17b) Chia hết cho 11 0.5đ
Hoặc (17a + 16b) Chia hết cho 11 0.5đ
Mặt khác :
( 16a + 17b) + (17a + 16b) = 33 ( a + b) Chia hết cho 11 0.5đ Do hai thừa số tích chia hết cho 11 số cịn lại
chia hÕt cho 11 0.5®
VËy ( 16a + 17b) (17a + 16b) Chia hÕt cho 121 Bµi V
a) Chøng minh OA < OB Chøng minh OE=OA
2 ;OF= OB
2
Mµ OA<OB⇒OE<OF
Hai ®iĨm E, F thc tia OB mµ OE < OF Nên điểm E nằm hai điểm O F b)Chøng minh EF = OF - OE ¿OB −OA
2 =
AB
2 ⇒
ĐPCM
1.0đ 1.0đ 2.0đ