tranh toan 2 toán học 2 thiều thị liễu anh thư viện tư liệu giáo dục

Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).[r]

Chủ đề 13: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN

1 Trong khơng gian, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d có phương trình: x 2t

y t

z t

   

  

  

Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d Giaûi:

Gọi H hình chiếu vng góc M d, ta có MH đường thẳng qua M, cắt vng góc với d

Vì H  d nên tọa độ H có dạng : (1 + 2t ;  + t ;  t) Suy : MH = (2t  ;  + t ;  t)

Vì MH  d d có vectơ phương u = (2 ; ; 1), nên : 2.(2t – 1) + 1.( + t) + ( 1).(t) =  t =

2

3 Vì thế, MH =

1

; ;

3 3

 

 

 

 

Suy ra, phương trình tham số đường thẳng MH là:

x t y 4t z 2t

   

      Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 P :x2y 2z + = 0; Q :  x2y 2z -13 =

Viết phương trình mặt cầu (S) qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q)

Giaûi :

Gọi I(a;b;c) tâm R bán kính mặt cầu (S) Từ giả thiết ta có:

 

       

 

    

, , ,

, ,

OI AI

OI AI d I P d I Q OI d I P

d I P d I Q

   

     



 

 Ta có:

 2  2  2

2 2 2 5 2 1

10 30 (1)

OI AI OI AI a b c a b c

a b c

           

   

 

 ,  2 | 2 | 9 2 2  2 2 52 (2)

3

a b c

OI d I P  a b c      a b c  a b c

 

 ,   ,  | 2 | | 2 13 |

3

2 2 13 ( )

2 (3)

2 2 13

a b c a b c

d I P d I Q

a b c a b c

a b c

a b c a b c

     

  

       

     

       

Từ (1) (3) suy ra:

17 11 11 4a

; (4)

3

a

b  c 

Từ (2) (3) suy ra: a2b2c2 9 (5)

Thế (4) vào (5) thu gọn ta được: a 221  a 658 0

Như a2

658 221

a

.Suy ra: I(2;2;1) R =

658 46 67 ; ; 221 221 221

I  

  R = Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình là:

x 22y 22 z12 9

2 2

658 46 67

9

221 221 221

x y z

     

     

     

     

3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d có phương trình:

x y z

2 1

 

 

 Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d

Giaûi :

Gọi H hình chiếu vng góc M d, ta có MH đường thẳng qua M, cắt vuông góc với d

d có phương trình tham số là:

x 2t

y t

z t

   

  

  

Vì H  d nên tọa độ H có dạng : (1 + 2t ;  + t ;  t) Suy : MH = (2t  ;  + t ;  t)

Vì MH  d d có vectơ phương u = (2 ; ; 1), nên : 2.(2t – 1) + 1.( + t) + ( 1).(t) =  t =

2

3 Vì thế, MH =

1

; ;

3 3

 

 

 

 

Suy ra, phương trình tắc đường thẳng MH là:

x y z

1

 

 

 

4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x y 2z 1 0, đường thẳng

 

5

:

1

x t

d y t

z t

   

  

  



Lập phương trình đường thẳng   nằm mặt phẳng (P), cắt vng góc với đường thẳng (d)

Hướng dẫn

+) n P (3; 1;2),  ud (1;3; 1) .

Giao điểm (d) (P) điểm A(15; 28; - 9)

+) Đường thẳng (d’) cần tìm qua A nhận n uP, d   ( 4;5;10)  

                         

laø VTCP ( ') :d

15 28 10

x y z

 

5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vng MNPQ có M(5;3;−1), P(2;3;−4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng (γ):x+y − z −6=0

Giaûi : - Giả sử N(x0; y0; z0) Vì N()x0+y0 z06=0(1) - MNPQ hình vuông MNP vuông cân N

⇔

MN=PN MN PN=0

¿{

⇔ z0+4¿2

¿

y0−3¿2+(z0+1)(z0+4)=0 ¿

y0−3¿2+¿ x0−2¿2+¿ z0+1¿2=¿ y0−3¿

2 +¿ ¿ x0−5¿2+¿

¿

⇔ x0+z0−1=0(2)

¿

y0−3¿2+(z0+1)(z0+4)=0(3) ¿

(x0−5)(x0−2)+¿

- Tõ (1) vµ (2) suy

¿ y0=−2x0+7

z0=− x0+1 ¿{

¿

Thay vào (3) ta đợc x02−5x0+6=0

⇒

x0=2, y0=3, z0=−1 ¿

x0=3, y0=1, z0=−2 ¿

¿ ¿ ¿ ¿

hay

N(2;3;−1) ¿ N(3;1;−2)

¿ ¿ ¿

- Gọi I tâm hình vuông I là trung điểm MP NQ I(7 2;3;−

5 2)

NÕu N(2;3−1) th× Q(5;3;−4) NÕu N(3;1;−2) th× Q(4;5;−3)

6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) mặt phẳng (α):x+2y+2=0 Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm

A , B , C mặt phẳng (α)

Giả sử M(x0; y0; z0) Khi từ giả thiết suy

x0−1¿2+y02+z02 ¿

y0−1¿2+z02 ¿ z0−2¿

2 ¿ y0−3¿2+¿

x02 +¿ x02+¿

¿ √¿

⇔ y0−1¿2+z02(1)

¿ z0−2¿2(2)

¿ x0+2y0+2¿2

¿ ¿5(3)

¿

x0−1¿2+y02+z02=¿ y0−3¿2+¿ y0−1¿2+z02=x02+¿

¿

x0−1¿2+y02+z02=x02+¿ ¿

Tõ (1) vµ (2) suy

¿ y0=x0

z0=3− x0

¿{

¿

Thay vào (3) ta đợc 3x0+2¿

5(3x02−8x0+10)=¿

⇔ x0=1

¿ x0=23

3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇒ M(1;1;2)

¿ M(23

3 ; 23

3 ;− 14

3 ) ¿

¿ ¿ ¿ ¿

7 Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng sau:

1

x 2t

x y z

d : ; d : y t

2 1

z

  

  

    



  

Giaûi:

 

     

   

     

1

1

MN 2t 2t ' 1; t t '; t

2 2t 2t ' t t ' t

MN.u

2 2t 2t ' t t '

MN.u

6t 3t '

t t ' 3t 5t '

M 2;0; , N 1;2;3 , MN 1;2;4

x y z

PT MN :

1

      

           

 



 

     

 

 



    

    

    

  

 

  





   



8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d

1: x −4

3 = y −1

−1 = z+5

−2 d2: x −2

1 = y+3

3 = z

Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2 Giaûi :

Giả sử mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d1, d2 hai điểm A B ta ln có IA + IB ≥ AB AB ≥d d d 1, 2 dấu xảy I trung điểm AB AB đoạn vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 Ta tìm A, B :

'

AB u

AB u

 

 

  

                             

Ad1, Bd2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)  AB 

(….)…  A(1; 2; -3) B(3; 0; 1) I(2; 1; -1)

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) bán kính R= Nên có phương trình là:  

2 2 2

2 ( 1) ( 1)

x  y  z 

9 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC)

Giải :

*Từ phương trình đoạn chắn suy pt tổng quát mp(ABC) là:2x+y-z-2=0

*Gọi H hình chiếu vng góc O l ên (ABC), OH vng góc với

(ABC) nên OH //n(2;1;−1) ;HABC

Ta suy H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t= 13 suy H(2 3;

1 3;−

1 3)

*O’ đoái xứng với O qua (ABC) ⇔ H trung điểm OO’ ⇔ O'(4 3;

2 3;−

2 3)

10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   mặt cầu (S) có phương trình   : 2x y 2z 0

 S :x2y2z2 2x4y 8z 0

Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng   Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng  

  S : x12y22z 42 25

, tâm I1; 2;4  R = Khoảng cách từ I đến   d I ,    3 R

Vậy   mặt cầu (S) cắt Gọi J điểm đối xứng I qua  

PT đường thẳng IJ :

1 2

x t

y t

z t

   

  

   

Toạ độ giao điểm H IJ   thoả

 

1

2

1; 1;

4

2

x t t

y t x

H

z t y

x y z z

  

 

 

  

 

   

 

  

 

      

 

Vì H trung điểm IJ nên J3;0;0

Mặt cầu (S’) có tâm J bán kính R’ = R = nên có PT:    

2 2 2

' : 25

S x y z 

11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   mặt cầu (S) có phương trình   : 2x y 2z 0  S :x2y2z2 2x4y 8z 0 .

Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng   Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng  

12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng (P ) : x + y + 2z +1 = mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z2 - 2x + 4y - 6z +8 = a) Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) x y 2z 11 0   

13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

1 ( ) : 2

x t

y t

z t

       

 



2 ' ( ) : '

4

x t

y t

z   

     



a) Chứng minh đường thẳng ( )1 đường thẳng ( )2 chéo

b) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( )1 song song với đường thẳng ( )2

14 Trong không gian Oxyz cho điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) đường thẳng (d)

6x 3y 2z 6x 3y 2z 24

  

 

   

2 Viết phương trình đường thẳng  // (d) cắt đường AB, OC

16 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) mặt phẳng (P): 2x - y + z + =

a Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P) b Tìm tọa độ điểm M  (P) cho MA + MB nhỏ

17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

11 2 2

     

y z x y z

x mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y – z + 17 =

Viết phương trình mặt phẳng () song song với () cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi 6

18 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x −21=y 1=

z+2

−3 mặt phẳng (P):2x+y+z −1=0 Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A vng góc với d nằm (P)

19 Cho ():

¿ x=3+t y=−1+2t

z=4 ¿{ {

¿

; (’)

¿ x=−2+2u

y=2u z=2+4u

¿{ { ¿

Viết phơng trình đờng vng góc chung () (’) + Gọi đờng vng góc