MỘT số CHỦ đề ôn tập

WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ÔN TẬP DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI VÀO LỚP 10 PHẦN ĐỀ BÀI Chủ đề Các toán liên quan đến rút gon biếu thức P= Câu 1.Tìm GTLN x +1 x −2 A= Câu Cho x x −2 A= Câu Cho A= Câu Cho A= Câu Cho Câu Tìm x x x −1 A= để A= để x Tìm x −1 x−2 x +2 Câu Cho x so sánh x+2 x +2 x +1 A= Câu Tìm x +6 x +2 x x+4 A với A2 A>A để Tìm GTNN Tìm GTLN x >1 A Tìm GTNN số nguyên x +1 x +1 A số nguyên A WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ A= x ∈Z Câu Tìm Câu 10 Tìm để x x+4 x +1 x +1 P= để số nguyên số nguyên x, y Chủ đề 2: Giải phương trình tìm 1 x − + x + x + = ( x3 + x + x + 1) 4 x + 4x + = ( x + 4) x + 2 3  1      x + y + ÷ y + x + ÷ =  x + ÷ y + ÷ ( x, y > )  4   2  2 x y + =8 y −1 x −1 x, y > biết 2 ( x + 4) x + = 3x + x − x + x − x + − (5 x − 1) x + = x + 11x + x + = x + x + x + x −1 + − x + x + = x − x + 2 2 x = 2019 − 2019 − x x + x+5 =5 10 11 12 x2 −1 + x = x3 − x + 24 x + 28 − x + x − 20 = x + 5x2 + x + = 13 64 x + x 5x2 + 6x + WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ x3 + x + x + = ( 10 − x ) − x 14 x − x = 3x − x + 15 x − + − x = x − x3 − x + 12 x + 11 16 x − + − x = x − x + x − 12 x + 14 17 18 19 ( x + x + x + = ( x + 3) x + 20 x + − x + − x + = ( x + 1) x − )( ) x + + x − 8x −1 = + x − x − 3 2 Chủ đề Bất đẳng thức , GTLN, GTNN x + ( y + yz + z ) = x, y Cho số thực P = x+ y+z thỏa mãn: x + y + xy ≤ x, y Cho số thực dương P= Tìm GTLN, GTNN cho Tìm giá trị nhỏ 1 + x y x, y > Cho số thực 1 4 P = x + y + 6 + ÷ x y x+ y ≤6 thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ P = 2x2 + y + 28 + x y x, y > x+ y≥3 Cho số thực Tìm giá trị nhỏ x + ( y + z ) = 24 ≤ x, y, z ≤ P = xyz Cho Tìm GTLN 1 P= + + xy x, y > x + y ≤1 x +y xy Cho Tìm giá trị nhỏ WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ x, y > x + y ≤1 Cho và Tìm giá trị nhỏ x + ( y + yz + z ) = x, y , z > Cho số thực thỏa mãn: 1 1 P = x + y + z + 2 + + ÷ x y z 10 Cho số thực dương Tìm GTLN, GTNN x + y + xy ≤ x, y P= P = + − 2x − 3y x y x + xy + y − x ≤ x, y > Cho Tìm GTNN     P =  x + + 1÷ +  y + + 1÷ y   x   cho Tìm giá trị nhỏ + + xy x +y xy x2 + y = x + y x, y 11 Cho số thực dương P = x4 + y4 + cho Tìm giá trị nhỏ 32 ( x + y) x + y + z =1 x, y , z 12 Cho số thực không âm thỏa mãn: P = 5x + + y + + 5z + a Tìm GTLN,GTNN P = x+ y + y+ z + z+ x b Tìm GTLN,GTNN P = x + x + + y + y + + z + 3z + 2 c Tìm GTLN x+ y+ z =3 x, y , z 13 Cho số thực không âm thỏa mãn: Tìm GTLN,GTNN P = x+ y + y+ z + z+ x xy + yz + zx = x, y , z 14 Cho số thực dương P = ( x2 + y ) + z cho Tìm GTNN WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ x + ( y − 1) + z ≤ x, y , z 15 Cho số thực dương P = 2y ( x + z) + cho Tìm GTLN x + y2 + z2 x, y , z > 16 Cho số thực P= xyz = ( x + 1) ( y + 1) + ( z + 1) P= cho Tìm GTNN x, y x+ y ≥3 18 Cho số thực dương cho Tìm GTNN 8x + y + y2 4x 4x 3y + − 38 y x x, y x, y , z > 21 Cho P= x+ y = 19 Cho số thực dương cho 3 x + y + z3 = x, y , z ≥ 20 Cho x+ y+ z ≤3 + Chứng minh: P = ( xy + yz + zx ) − xyz + Tìm GTLN x+ y+ z =3 x2 + y 2 xy − x y Tìm GTNN P= 22 Cho  1  P = 2( x + y + z) −  + + ÷ y z  x Tìm GTLN 2 P = ( + x ) ( + yz ) x + y + z =1 x, y , z > 23 Cho Tìm GTLN 2 x y z + + ≥ ( x2 + y + z ) x, y , z > x + y + z =1 y z x 24 Cho Chứng minh: 2 x +y +z =2 x, y , z x + y + z − xyz ≤ 25 Cho thỏa mãn: Chứng minh: x3 y3 z3 + + y +3 z +3 x+3 Tìm GTNN x, y, z > 0, xyz = 17 Cho số thực P = x + y + 10 xy + + Tìm GTNN x + y ≥ 1, x > x, y WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ x, y , z > 26 Cho P = x + y + 3z xy + yz + zx = Tìm GTNN HƯỚNG DẪN VẮN TẮT Chủ đề Các toán liên quan đến rút gon biếu thức P= Câu 1.Tìm GTLN P= ( x +6 x +2 ) x +2 +2 x +2 Hướng dẫn: Dấu ‘’=’’ xảy A= Câu Cho x +1 x −2 Hướng dẫn: x ≥ 0, x ≠ Điều kiện: = 2+ x +2 x=0 so sánh A với A2 x ≥0⇒ x +2≥2⇒ 2 ≤ =1⇒ P ≤ x +2 WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ ( ) x +  −3  −3 x +  ÷= x −2 x −2 x −2 x +1  x +1  1 − ÷= x −2 x −2÷  A2 − A = A ( − A ) = ( ) Xét x ≥ 0, x ≠ với −3 ( ( ) A x Tìm x ≥ 0, x ≠ với A>A để Hướng dẫn: x ≥ 0, x ≠ Điều kiện Nếu 0≤ x4 Kết luận: x=0 x < 2⇒ x −2 0⇒ A= ( A= 0< x Ta viết lại A thành: x +1 +1 x +1 = x +1+ ≥2 x +1 ( ) x +1 ( ) x +1 =2 (Theo bất đẳng thức AM-GM) WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ ⇔ x +1 = ⇔ x = x +1 x +1 = Dấu đẳng thức xảy khi: A= Câu Cho x −1 x−2 x +2 A Tìm GTLN Hướng dẫn: Nếu Nếu ≤ x ≤1 x >1 ( A≤0 x−2 x +2 = = A x −1 A>0 ( ) x −1 + Suy ) x −1 ta có: ) x −1 = ( ≥2 Dấu đẳng thức xảy ) x −1 ⇔ x −1 = ⇔ x = A≤ ( Vậy GTLN x x −1 A= Câu Cho A x >1 x=4 Tìm GTNN A Hướng dẫn: A= Ta có: x x −1 + 1 = = x +1+ = x −1 x −1 x −1 ( ) x −1 = ( xảy Vậy GTNN A ) x −1 ( ) x −1 + +2≥ 2+2 = x −1 ⇔ x −1 = ⇔ x = x=4 Dấu đẳng thức WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ Câu Tìm x A= để x x+4 số nguyên Hướng dẫn: Nếu : x=0 A=0 thỏa mãn A= Nếu x>0 x x+ ta có: nguyên suy A =1 0< A< (TheoAM-GM) Suy x =1⇔ x −5 x + = ⇔ x+4 ( )( x −1 hay x =1 x −4 =0⇔   x = 16 , ) A ∈Z Vậy x ≥4 x Lại có x ∈ { 0;1;16} Câu Tìm x+ A= để x +1 x +1 số nguyên Hướng dẫn: Điều kiện x≥0 A= 2− Ta có 0 P ∈ { 1; 2;3} ⇔ x ≥ ⇒ x +1 ≥ ⇒ P = , 3 ≤ = 3⇒ < P ≤ x +1 x + 1∈ { 1; 2;3} ⇔ x ∈ { 0;1; 2} ⇔ x ∈ { 0;1; 4} x, y Chủ đề 2: Giải phương trình tìm 1 x − + x + x + = ( x3 + x + x + 1) 4 Hướng dẫn: Do P∈Z nên WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ Giả thiết toán viết lại thành: ( x + y) − 3xy ( x + y ) + xy − ≤ ⇔ ( x + y ) − − 3xy ( x + y − ) ≤ hay ( x + y − ) ( x + y ) + ( x + y ) + − 3xy  ≤ ⇔ ( x + y − ) ( x − xy + y + x + y + ) ≤  x+ y ≤2 suy Áp dụng AM-GM ta có: x, y > Cho số thực x+ y≤6 thỏa mãn: 1 4 P = x + y + 6 + ÷ x y 1 2 + ≥ ≥ = ≥2 x y xy x + y x + y Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn: 6m ( x + y ) Ta thêm vào lượng với mục đích để vận dụng AM-GM theo dạng + m x ≥ 2m, + m y ≥ 4my x y qua làm triệt tiêu lượng 1 4 6 + ÷ x y Ta viết lại 1  1  P =  + + m ( x + y )  + ( − 6m2 ) ( x + y ) =  + m x + + m y  + ( − 6m ) ( x + y ) y x y  x  ≥ ( 2m + 4m ) + ( − m ) ( x + y ) Dự đoán dấu đẳng thức xảy Từ ta có lời giải sau: x + y =   ⇒ = ⇔ m = ⇔ x = 2, y = m  x = m , y = m từ WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ 1 x 4 y P =  + ÷+  + ÷− ( x + y ) ≥ + 12 − = 15  x 4  y 4 x, y > Cho số thực Học sinh tự hoàn thiện P = 2x2 + y + x+ y≥3 28 + x y Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn: 28 + x y Ta xử lý phần: cách thêm vào x= Dấu đẳng thức xảy x2 = Lúc ta có 28 + 7m x ≥ 28m, + n y ≥ 2n x y 7m x + n y ,y = m2 n Ta có ,y= m n nên ta phân tích P sau:      28   1 P =  x + ÷+  y + ÷+  + 7m x ÷+  + n y ÷− 7m x − n y − − m   n   x m n   y  ≥ 8 2 8x y 2 2 + + 28m + 2n − 7m x − n y − − = x  − 7m ÷+  − n ÷ y + 28m + 2n − − m n m  n  m n m n Ta mong muốn: Giải hệ: 8 2 2 2  − m ÷:  − n ÷ = 1:1 m  n  x+ y≥3 để tận dụng giả thiết  2 2 2  m − 7m ÷:  n − n ÷ = 1:1     ⇒ m = n = ⇒ x = 2, y =  1 + =3  m n + =3 m n WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ Từ ta có:   28  1 P = ( x + ) + ( y + 1) +  + x ÷+  + y ÷− x − y − ≥ x + y + 28 + − x − y − = x + y + 21 ≥ 24  x  y  Học sinh tự hoàn thiện lời giải Chú ý: Có thể sử dụng máy tính cầm tay để dấu Cách làm giúp hs có cách xử lý tốn x + ( y + z ) = 24 ≤ x, y, z ≤ Cho P = xyz Tìm GTLN Hướng dẫn: Ta đặt x = 2t y + z + t = 12 giả thiết viết lại thành: P = yzt ≤ t ≤ 3, ≤ y, z ≤ Với ( y + z) yz ≤ Ta có ( 12 − t ) = nên t ( 12 − t ) P≤ 2 Q = t ( 12 − t ) = t − 24t + 144t Ta tìm GTLN với 2≤t ≤3 ≤ t ≤ ⇒ ( t − ) ( t − 3) ≤ ⇒ t ≤ 5t − Do Suy Q ≤ t ( 5t − ) − 24t + 144t = −19t + 138t = 19t ( − t ) + 81t ≤ 243 Dấu đẳng thức xảy y=z= P≤ Vậy 243 x = 6, y = z = ,dấu đẳng thức xảy x, y > Cho P= x + y ≤1 Tìm giá trị nhỏ 1 + + xy x +y xy t =3 WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ Hướng dẫn: Viết lại P= 1 + + + xy ≥ x +y xy xy P≥ ( x + y) + (x 2 + xy xy + y ) xy + xy ≥ + + xy x + y + xy xy xy + ( x + y) xy ≤ Hay ≤ Chú ý Học sinh tự hoàn thiện x, y > Cho x + y ≤1 Tìm GTNN     P =  x + + 1÷ +  y + + 1÷ y   x   Hướng dẫn: a +b 3 ( a + b) ≥ Chứng minh: 3 suy  1 1 P ≥  x + y + + + 2÷ 4 x y  x=y= Dễ dàng dự doán dấu đẳng thức xảy x+ y+ nên ta có: 1 1 + + = + 4x + + y − 3( x + y) + ≥ + − + = x y x y Học sinh tự giải tiếp Cho P= x + xy + y − x ≤ x, y > 2 Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn: ( x − 1) Viết lại giả thiết thành: + ( x + y) ≤ ⇒ x + y ≤ giải tiếp + − 2x − 3y x y WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ x + ( y + yz + z ) = x, y , z > Cho số thực thỏa mãn: 1 1 P = x + y + z + 2 + + ÷ x y z Tìm GTLN, GTNN Hướng dẫn: Viết lại giả thiết thành: ( x + y + z) + ( x − y) + ( x − z) = ⇒ ( x + y + z) ≤ ⇒ < x + y + z ≤ 2 x = y = z =1 Dự đốn dấu đẳng thức xảy Ta có:  1  1   P =  x + ÷+  y + ÷+  z + ÷ − ( x + y + z ) x  y  z   x + y + xy ≤ x, y 10 Cho số thực dương P= Học sinh tự hoàn thiện cho Tìm giá trị nhỏ + + xy x +y xy Hướng dẫn: Xem 2+ x2 + y = x + y x, y 11 Cho số thực dương P = x4 + y4 + cho Tìm giá trị nhỏ 32 ( x + y) ( x + y) 1 1 2 x + y ≥ ( x2 + y2 ) ≥  ( x + y )  = 2 2  Hướng dẫn: Ta có 4 WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ Từ giả thiết ta có: ( x + y ) − ( x + y ) = xy ≤ ( x + y ) ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) ≤ ⇒ < x + y ≤ 2 2 Dự đoán dấu x = y =1 đẳng thức xảy P=x +y + 4 Nên ta phân tích xử lý sau 32 ( x + y) ( x + y) ≥ +2+ 32 ( x + y) − ⇔ P ≥ ( x + y) + 16 2 ( x + y) + 16 ( x + y) −2 P≥2 ( x + 2) 16 ( x + 2) + 16 − = 10 Hay Học sinh tự hoàn thiện lời giải x + y + z =1 thỏa mãn: P = 5x + + y + + 5z + x, y , z 12 Cho số thực khơng âm d Tìm GTLN,GTNN ≤ x, y , z ≤ ⇒ x ≤ x , y ≤ y , z ≤ z Hướng dẫn: Từ giả thiết ta suy dẫn đến 5x + = x + x + ≥ x2 + x + = ( x + 2) = x+2 , Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z) ≤ 3( x2 + y2 + z2 ) quen thuộc (học sinh tự chứng minh) x+2+ y +2+ z+2 ≤ P ≤ ( + + 1) ( x + + y + + z + ) ⇔ ≤ P ≤ 51 Dẫn đến P = x+ y + y+ z + z+ x e Tìm GTLN,GTNN Hướng dẫn: ≤ x + y, y + z, z + x ≤ ⇒ x + y ≥ ( x + y ) , y + z ≥ ( y + z ) , z + x ≥ ( z + x ) 2 Từ giả thiết ta suy ( A+ B + C) Kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc ≤ ( A2 + B + C ) ta có: WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ ( + + 1) ( x + y + y + z + z + x ) x+ y+ y+z+z+x≤ P≤ suy 2≤P≤ P = x + x + + y + y + + z + 3z + f Tìm GTLN Hướng dẫn: x2 + 3x + = x2 + x2 + 3x + ≤ x2 + x + 3x + = ( x + ) Ta có dẫn đến ( x; y; z ) P ≤ x+2+ y+2+ z +2 = Đẳng thức xảy hoán vị số x+ y+z =3 x, y , z 13 Cho số thực không âm ( 1; 0; ) thỏa mãn: Tìm GTLN,GTNN P = x+ y + y+z + z+x Hướng dẫn: P = x+ y + y+z z+x + 3 Viết lại a+b+c = , đặt x+ y y+z z+x ,b = ,c = 3 2( x + y + z) P  x+ y  y+z z+x =  =2 ÷ +  ÷ +  ÷ = 3       Dẫn đến a= ( x; y; z ) đẳng thức xảy ≤ a, b, c ≤ suy P≥2 ( 3; 0; ) hoán vị số Phần tìm GTLN làm 12 xy + yz + zx = x, y , z 14 Cho số thực dương P = ( x2 + y ) + z Hướng dẫn cho Tìm GTNN Dấu WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ x = y = mz Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy Ta có  x + y ≥ xy  2  y + m z ≥ 2myz  x + m z ≥ 2mxz  m ( x + y ) + y + m z + x + m z ≥ 2m ( xy + yz + zx ) từ suy ( m + 1) x + ( m + 1) y + 2m z ≥ 2m ( xy + yz + zx ) Hay (*).Bây ta cần chọn x2 , y2 , z (*) có phần hệ số Tức là: x2 , y2 , z tỷ lệ với hệ số m +1 = :1 ⇔ 6m − m − = ⇔ m = 2m P m để vế trái Học sinh tự giải tiếp Cách khác: P = 3( x2 + y ) + z = với m2 < z2 z2 + m x + + m y + ( − m ) ( x + y ) ≥ 2mxz + 2myz + ( − m ) xy 2 2m = ⇔ ( − m ) = m ⇔ 2m − 13m + 18 = ⇒ m = 2 2( − m ) Ta muốn: P= Từ suy z2 z2 + x + + y + x + y ≥ ( xy + yz + zx ) = 10 2 x + ( y − 1) + z ≤ x, y , z 15 Cho số thực dương P = 2y ( x + z) + cho Tìm GTLN x + y + z2 +1 2 Hướng dẫn giải: xy + zy ≤ Để ý rằng; 2x2 + y 2z + y + = x2 + y + z 2 P ≤ x2 + y + z + nên x + y2 + z2 WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ Từ giả thiết tốn ta có: x + ( y − 1) + z ≥ 2 2 x + y − + z ) ⇒ ( x + y + z − 1) ≤ ⇒ x + y + z ≤ ( P = t −1+ t = x + y + z + 1,1 < t ≤ 2 Đặt P≤ t , ta chứng minh: 13 17 ⇔t+ ≤ ⇔ 4t − 17t + ≤ ⇔ ( t − ) ( 4t − 1) ≤ t x, y , z > 16 Cho số thực Bất đẳng thức cuối đúng… P= xyz = ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) Tìm GTNN Hướng dẫn:  xy x  x  ( x + y) + 1÷ ≤ ( xy + 1)  + 1÷ = ( xy + 1) ( x + 1) =  ÷ y y y    Ta có: Từ suy ( x + 1) + ( y + 1) ≥ x + y ( xy + 1) ( x + y ) ( xy + 1) ( x + y ) + ( z + 1) = z + = + xy + ( z + 1) z + ( z + 1) Ta chứn minh: z 2 + ≥ ⇔ z ( z + 1) + ≥ ( z + 1) ⇔ z − 3z + ≥ ⇔ ( z − 1) ( z + ) ≥ z + ( z + 1) Nhận xét: Đây tốn khó x + y ≥ 1, x > x, y 17 Cho số thực cho Tìm GTNN 8x2 + y P= + y2 4x WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ y ≥ 1− x Hướng dẫn: nên 8x2 + − x 5 1 P≥ + ( 1− x) = 2x + + x2 − x + = x2 + + = x2 + + +1 ≥ x + +1 ≥ 4x 4x 4x 4 4x 4x 1 1 = x2 + + ≥ 3 x2 = 4x 8x 8x 8x 8x x2 + Chú ý: Ta phân tích : x2 = 1 ⇔x= 8x , dấu ‘=’ xảy ( Đối với hs thi điều kiện không dùng AM-GM cho số) x+ y ≥3 x, y 18 Cho số thực dương cho P = x + y + 10 xy + 4x 3y + − 38 y x Tìm GTNN Hướng dẫn: 3 4  4 P = ( x + y ) ( x + y ) + ( x + y )  + ÷− 45 ≥ ( x + y ) + +  − 45 x y x y  Ta có làm 3,8 x+ y = x, y 19 Cho số thực dương P= cho Tìm GTNN Hướng dẫn: xy − x y = xy ( − xy ) > 0 < xy ≤ Từ giả thiết suy nên Ta có x + y = x + y + y ≥ xy + y = y ( x + y ) nên Phần việc lại x2 + y 2 xy − x y WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ P≥ 2y ( x + y) 2( x + y) = = xy ( − xy ) xy ( − xy ) xy ( − xy ) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: xy ( − xy ) ( xy + − xy ) ≤ =1 suy P≥4 x = y =1 Dấu đẳng thức xảy x3 + y + z = x, y , z ≥ 20 Cho x+ y+ z ≤3 + Chứng minh: P = ( xy + yz + zx ) − xyz + Tìm GTLN Hướng dẫn: ( x − 1) ≥ ⇔ x − x + ≥ ⇔ ( x − x + 1) ( x + ) ≥ 0∀x ≥ ⇔ x3 − x + ≥ 0∀x ≥ Ta có Hay x3 ≥ 3x − x3 + y + z ≥ ( x + y + z ) − ⇒ x + y + z ≤ suy x3 + y + z − xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) ≤ ( x + y + z − xy − yz − zx ) Ta có − xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) ≤ ( x + y + z − xy − yz − zx ) Hay dẫn đến − xyz ≤ x + y + z − xy − yz − zx − xyz ≤ x + y + z − xy − yz − zx − hay suy P ≤ ( xy + yz + zx ) + x + y + z − xy − yz − zx − = ( x + y + z ) − ≤ x = y = z =1 Khi P =8 x, y , z > 21 Cho P= x+ y+ z =3 Tìm GTNN x3 y3 z3 + + y +3 z +3 x+3 WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ x3 y3 z3 x2 + + = + y +3 z +3 x+3 x ( y + 3) P= y2 y ( z + 3) + z2 z ( x + 3) Hướng dẫn: Chú ý rằng: x ( y + 3) x ( y + 3) = 4x + y + ≤ nên   x2 y2 z2 P ≥ 4 + + ÷  4x + y + y + z + 4z + x +  x2 4x + y + x2 4x + y + x + ≥2 = 4x + y + 64 4x + y + 64 Lại có: Từ học sinh làm tiếp x, y , z > 0, xyz = 22 Cho Tìm GTLN  1  P = 2( x + y + z) −  + + ÷ y z  x Hướng dẫn: ( x − 1) ( y − 1) ( y − 1) ( z − 1) ( z − 1) ( x − 1) = ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) 2 ≥ 0∀x, y, z Ta có suy ( x − 1) ( y − 1) , ( y − 1) ( z − 1) , ( z − 1) ( x − 1) số tồn số khơng âm Khơng tính tổng ( x − 1) ( y − 1) ≥ ⇔ xy + ≥ x + y ⇒ ( xy + + z ) ≥ ( x + y + z ) quát ta giả sử: Vậy  1  P ≤ ( xy + z + 1) −  + + ÷ y z  x lại có 1 2 + 2≥ = = 2z x y xy z nên suy 1 1  P ≤ ( xy + z + 1) − z − = xy + − = + − = −  − 1÷ ≤ z z z z z  Dấu đẳng thức xảy x = y = z =1 23 Cho Hướng dẫn P = ( + x ) ( + yz ) x2 + y + z = x, y , z > Tìm GTLN WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ yz ≤ y + z y=z yz Do đối xứng Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy dự dấu’=’ xảy x=m x + m ≥ xm ⇒ x ≤ Nên nên có Ta x2 +m m Ta có  x2  1 P ≤  + m + 1÷( + y + z ) = ( x + m + m ) ( + y + z ) ≤ ( x + m + m + + y + z ) m m m  P≤ Hay m2 + m + ) ( 4m Dấu đẳng thức xảy  x + m2 + m = + y + z   2m + m = + y 2 y = z ⇔ ⇔ 2m + m = + − m ⇔ 3m + m − = ⇔ m =  2 2 m + y = x + y + z = x = m  Học sinh tự hoàn thiện lời giải x, y , z > 24 Cho x2 y z + + ≥ ( x2 + y + z ) y z x x + y + z =1 Chứng minh: Hướng dẫn giải: Ta có:  x2 y z  x3 x z y y x z z y 2 + ÷( x + y + z ) = x + y + z + + + + + +  + z x y y z z x x  y x3 y x x z + + ≥ 3x y z y Lại c x2 z z3 z y y3 y x z y + + ≥ 3z + + ≥ 3y2 y x x z z x , , theo AM-GM x3 x z y y x z z y + + + + + ≥ ( x2 + y + z ) y y z z x x Suy Có thể xử lý theo cách dùng Cauchy- Schwarz suy đpcm WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ x2 + y + z = x, y , z 25 Cho thỏa mãn: x + y + z − xyz ≤ Chứng minh: Hướng dẫn: Ta viết lại: [ x + y + z − xyz ] 2 2 = ( y + z ) + x ( − yz )  ≤ ( y + z ) + x  1 + ( − yz )  = ( + yz ) ( − yz + y z )    Học sinh làm tiếp x, y , z > 26 Cho P = x + y + 3z xy + yz + zx = Tìm GTNN Hướng dẫn: Ta xử lý theo cách: x2 x2 + m y ≥ 2mxy, + n z ≥ 2nxz , ( − m ) y + ( − n ) z ≥ 2 ( − m ) ( − n ) yz 2 với m < 2, n < x + y + z ≥ 2mxy + 2nxz + ( − m ) ( − n ) yz 2 Suy m, n Bây ta chọn để :  2m =1  m = n  2n  2m ⇒ ⇒ ( m − 5m + ) = m ⇒ 2m − 11m + 12 = ⇒ m =  =4 2m  =  ( − m2 ) ( − m2 ) 2  2 ( − m ) ( 3− n )  Từ ta có: x2 x2 2 P = + y + + z + y + z ≥ ( xy + yz + xz ) = 2 2 2 Học sinh tự hoàn thiện WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ ... Chủ đề Bất đẳng thức , GTLN, GTNN x + ( y + yz + z ) = x, y Cho số thực P = x+ y+z thỏa mãn: x + y + xy ≤ x, y Cho số thực dương P= Tìm GTLN, GTNN cho Tìm giá trị nhỏ 1 + x y x, y > Cho số. ..WWW.FACEBOOK.COM/GROUPS/DIENDANHOTROGIAOVIEN/ A= x ∈Z Câu Tìm Câu 10 Tìm để x x+4 x +1 x +1 P= để số nguyên số nguyên x, y Chủ đề 2: Giải phương trình tìm 1 x − + x + x + = ( x3 + x + x + 1) 4 x + 4x + = (... nhỏ + + xy x +y xy x2 + y = x + y x, y 11 Cho số thực dương P = x4 + y4 + cho Tìm giá trị nhỏ 32 ( x + y) x + y + z =1 x, y , z 12 Cho số thực không âm thỏa mãn: P = 5x + + y + + 5z + a Tìm