MỘT số CHỦ đề ôn tập

Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ÔN TẬP DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI VÀO LỚP 10 PHẦN ĐỀ BÀI Chủ đề Các toán liên quan đến rút gon biếu thức P= Câu 1.Tìm GTLN x +1 x −2 A= Câu Cho x x −2 A= Câu Cho A= Câu Cho A= Câu Cho Câu Tìm x x x −1 A= để A= để x Tìm x −1 x−2 x +2 Câu Cho x so sánh x+2 x +2 x +1 A= Câu Tìm x +6 x +2 x x+4 A với A2 A>A để Tìm GTNN Tìm GTLN x >1 A Tìm GTNN số nguyên x +1 x +1 A số nguyên A Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 A= x ∈Z Câu Tìm Câu 10 Tìm để x x+4 x +1 x +1 P= để số nguyên số nguyên x, y Chủ đề 2: Giải phương trình tìm 1 x − + x + x + = ( x3 + x + x + 1) 4 x + 4x + = ( x + 4) x + 2 3  1      x + y + ÷ y + x + ÷ =  x + ÷ y + ÷ ( x, y > )  4   2  2 x y + =8 y −1 x −1 x, y > biết 2 ( x + 4) x + = x + x − x + x − x + − (5 x − 1) x + = x + 11x + x + = x + x + x + x −1 + −x + x +1 = x − x + 2 2 x = 2019 − 2019 − x x + x+5 =5 10 11 12 x2 −1 + x = x3 − x + 24 x + 28 − x + x − 20 = x + 5x2 + 6x + = 13 64 x + x 5x2 + x + Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 x3 + x + x + = ( 10 − x ) − x 14 x − x = 3x − x + 15 x − + − x = x − x3 − x + 12 x + 11 16 x − + − x = x − x + x − 12 x + 14 17 18 19 ( x + x + x + = ( x + 3) x + 20 x + − x + − x + = ( x + 1) x − )( ) x + + x − 8x −1 = + x − x − 3 2 Chủ đề Bất đẳng thức , GTLN, GTNN x + ( y + yz + z ) = x, y Cho số thực P = x+ y+z thỏa mãn: x + y + xy ≤ x, y Cho số thực dương P= Tìm GTLN, GTNN cho Tìm giá trị nhỏ 1 + x y x, y > Cho số thực 1 4 P = x + y + 6 + ÷ x y x+ y ≤6 thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ P = 2x2 + y + 28 + x y x, y > x+ y≥3 Cho số thực Tìm giá trị nhỏ x + ( y + z ) = 24 ≤ x, y , z ≤ P = xyz Cho Tìm GTLN 1 P= + + xy x, y > x + y ≤1 x +y xy Cho Tìm giá trị nhỏ Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 x, y > x + y ≤1 Cho và Tìm giá trị nhỏ x + ( y + yz + z ) = x, y , z > Cho số thực thỏa mãn: 1 1 P = x + y + z + 2 + + ÷ x y z 10 Cho số thực dương Tìm GTLN, GTNN x + y + xy ≤ x, y P= P = + − 2x − 3y x y x + xy + y − x ≤ x, y > Cho Tìm GTNN     P =  x + + 1÷ +  y + + ÷ y   x   cho Tìm giá trị nhỏ + + xy x +y xy x2 + y = x + y x, y 11 Cho số thực dương P = x4 + y4 + cho Tìm giá trị nhỏ 32 ( x + y) x + y + z =1 x, y , z 12 Cho số thực không âm thỏa mãn: P = 5x + + y + + 5z + a Tìm GTLN,GTNN P = x+ y + y+z + z+x b Tìm GTLN,GTNN P = x + x + + y + y + + z + 3z + 2 c Tìm GTLN x+ y+ z =3 x, y , z 13 Cho số thực khơng âm thỏa mãn: Tìm GTLN,GTNN P = x+ y + y+z + z+x xy + yz + zx = x, y , z 14 Cho số thực dương P = ( x2 + y ) + z cho Tìm GTNN Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 x + ( y − 1) + z ≤ x, y , z 15 Cho số thực dương P = 2y ( x + z) + cho Tìm GTLN x + y2 + z2 x, y , z > 16 Cho số thực P= xyz = ( x + 1) ( y + 1) + ( z + 1) P= cho Tìm GTNN x, y x+ y ≥3 18 Cho số thực dương cho Tìm GTNN 8x + y + y2 4x 4x 3y + − 38 y x x, y x, y , z > 21 Cho P= x+ y = 19 Cho số thực dương cho 3 x + y + z3 = x, y , z ≥ 20 Cho x+ y+ z ≤3 + Chứng minh: P = ( xy + yz + zx ) − xyz + Tìm GTLN x+ y+ z =3 x2 + y 2 xy − x y Tìm GTNN P= 22 Cho  1 1 P = 2( x + y + z) −  + + ÷ y z  x Tìm GTLN 2 P = ( + x ) ( + yz ) x + y + z =1 x, y , z > 23 Cho Tìm GTLN 2 x y z + + ≥ 3( x2 + y + z ) x, y , z > x + y + z =1 y z x 24 Cho Chứng minh: 2 x +y +z =2 x, y , z x + y + z − xyz ≤ 25 Cho thỏa mãn: Chứng minh: x3 y3 z3 + + y +3 z +3 x+3 Tìm GTNN x, y, z > 0, xyz = 17 Cho số thực P = x + y + 10 xy + + Tìm GTNN x + y ≥ 1, x > x, y Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 x, y , z > 26 Cho P = x + y + 3z xy + yz + zx = Tìm GTNN HƯỚNG DẪN VẮN TẮT Chủ đề Các toán liên quan đến rút gon biếu thức P= Câu 1.Tìm GTLN P= ( x +6 x +2 ) x +2 +2 x +2 Hướng dẫn: Dấu ‘’=’’ xảy A= Câu Cho x +1 x −2 Hướng dẫn: x ≥ 0, x ≠ Điều kiện: = 2+ x +2 x=0 so sánh A với A2 x ≥0⇒ x +2≥2⇒ 2 ≤ =1⇒ P ≤ x +2 Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 ( ) x +  −3  −3 x +  ÷= x −2 x −2 x −2 x +1  x +1  1 − ÷= x −2 x −2÷  A2 − A = A ( − A ) = ( ) Xét x ≥ 0, x ≠ với −3 ( ( ) A x Tìm x ≥ 0, x ≠ với A>A để Hướng dẫn: x ≥ 0, x ≠ Điều kiện Nếu 0≤ x4 Kết luận: x=0 x < 2⇒ x −20⇒ A= ( A= 0< x Ta viết lại A thành: x +1 +1 x +1 = x +1+ ≥2 x +1 ( ) x +1 ( ) x +1 =2 (Theo bất đẳng thức AM-GM) Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 ⇔ x +1 = ⇔ x = x +1 x +1 = Dấu đẳng thức xảy khi: A= Câu Cho x −1 x−2 x +2 A Tìm GTLN Hướng dẫn: Nếu Nếu ≤ x ≤1 x >1 ( A≤0 x−2 x +2 = = A x −1 A>0 ( ) x −1 + Suy ) x −1 ta có: ) x −1 = ( ≥2 Dấu đẳng thức xảy ) x −1 ⇔ x −1 = ⇔ x = A≤ ( Vậy GTLN x x −1 A= Câu Cho A x >1 x=4 Tìm GTNN A Hướng dẫn: A= Ta có: x x −1 + 1 = = x +1+ = x −1 x −1 x −1 ( ) x −1 = ( xảy Vậy GTNN A ) x −1 ( ) x −1 + +2≥ 2+2 = x −1 ⇔ x −1 = ⇔ x = x=4 Dấu đẳng thức Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 Câu Tìm x A= để x x+4 số nguyên Hướng dẫn: Nếu : x=0 A=0 thỏa mãn A= Nếu x>0 x x+ ta có: nguyên suy A =1 0< A< (TheoAM-GM) Suy x =1⇔ x −5 x + = ⇔ x+4 ( )( x −1 hay x = x −4 =0 ⇔   x = 16 , ) A ∈Z Vậy x ≥4 x Lại có x ∈ { 0;1;16} Câu Tìm x+ A= để x +1 x +1 số nguyên Hướng dẫn: Điều kiện x≥0 A = 2− Ta có 0 P ∈ { 1; 2;3} ⇔ x ≥ ⇒ x +1 ≥ ⇒ P = , 3 ≤ = 3⇒ < P ≤ x +1 x + ∈ { 1; 2;3} ⇔ x ∈ { 0;1; 2} ⇔ x ∈ { 0;1; 4} x, y Chủ đề 2: Giải phương trình tìm 1 x − + x + x + = ( x3 + x + x + 1) 4 Hướng dẫn: Do P∈Z nên Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 Giả thiết toán viết lại thành: ( x + y) − xy ( x + y ) + xy − ≤ ⇔ ( x + y ) − − 3xy ( x + y − ) ≤ hay ( x + y − ) ( x + y ) + ( x + y ) + − 3xy  ≤ ⇔ ( x + y − ) ( x − xy + y + x + y + ) ≤  x+ y ≤2 suy Áp dụng AM-GM ta có: x, y > Cho số thực x+ y≤6 thỏa mãn: 1 4 P = x + y + 6 + ÷ x y 1 2 + ≥ ≥ = ≥2 x y xy x + y x + y Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn: 6m ( x + y ) Ta thêm vào lượng với mục đích để vận dụng AM-GM theo dạng + m x ≥ 2m, + m y ≥ 4my x y qua làm triệt tiêu lượng 1 4 6 + ÷ x y Ta viết lại 1  1  P =  + + m ( x + y )  + ( − m ) ( x + y ) =  + m x + + m y  + ( − 6m ) ( x + y ) y x y  x  ≥ ( m + 4m ) + ( − m ) ( x + y ) Dự đoán dấu đẳng thức xảy Từ ta có lời giải sau: x + y =   ⇒ = ⇔ m = ⇔ x = 2, y = m  x = m , y = m từ Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 1 x  y P =  + ÷+  + ÷− ( x + y ) ≥ + 12 − = 15  x 4  y 4 x, y > Cho số thực Học sinh tự hoàn thiện P = 2x2 + y + x+ y≥3 28 + x y Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn: 28 + x y Ta xử lý phần: cách thêm vào x= Dấu đẳng thức xảy x2 = Lúc ta có 28 + 7m x ≥ 28m, + n y ≥ 2n x y 7m x + n y ,y = m2 n Ta có ,y= m n nên ta phân tích P sau:      28   1 P =  x + ÷+  y + ÷+  + 7m x ÷+  + n y ÷− 7m x − n y − − m   n   x m n   y  ≥ 8 2 8x y 2 2 + + 28m + 2n − 7m x − n y − − = x  − 7m ÷+  − n ÷ y + 28m + 2n − − m n m  n  m n m n Ta mong muốn: Giải hệ: 8 2 2 2  − m ÷:  − n ÷ = 1:1 m  n  x+ y≥3 để tận dụng giả thiết  2 2 2  m − m ÷:  n − n ÷ = 1:1     ⇒ m = n = ⇒ x = 2, y =  1 + =3  m n + =3 m n Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 Từ ta có:   28  1 P = ( x + ) + ( y + 1) +  + x ÷+  + y ÷− x − y − ≥ x + y + 28 + − x − y − = x + y + 21 ≥ 24  x  y  Học sinh tự hoàn thiện lời giải Chú ý: Có thể sử dụng máy tính cầm tay để dấu Cách làm giúp hs có cách xử lý tốn x + ( y + z ) = 24 ≤ x, y , z ≤ Cho P = xyz Tìm GTLN Hướng dẫn: Ta đặt x = 2t y + z + t = 12 giả thiết viết lại thành: P = yzt ≤ t ≤ 3, ≤ y, z ≤ Với ( y + z) yz ≤ Ta có ( 12 − t ) = nên t ( 12 − t ) P≤ 2 Q = t ( 12 − t ) = t − 24t + 144t Ta tìm GTLN với 2≤t ≤3 ≤ t ≤ ⇒ ( t − ) ( t − 3) ≤ ⇒ t ≤ 5t − Do Suy Q ≤ t ( 5t − ) − 24t + 144t = −19t + 138t = 19t ( − t ) + 81t ≤ 243 Dấu đẳng thức xảy y=z= P≤ Vậy 243 x = 6, y = z = ,dấu đẳng thức xảy x, y > Cho P= x + y ≤1 Tìm giá trị nhỏ 1 + + xy x +y xy t =3 Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 Hướng dẫn: Viết lại P= 1 + + + xy ≥ x +y xy xy P≥ ( x + y) + (x 2 + xy xy + y ) xy + xy ≥ + + xy x + y + xy xy xy + ( x + y) xy ≤ Hay ≤ Chú ý Học sinh tự hoàn thiện x, y > Cho x + y ≤1 Tìm GTNN     P =  x + + 1÷ +  y + + ÷ y   x   Hướng dẫn: a +b 3 ( a + b) ≥ Chứng minh: 3 suy  1 1 P ≥  x + y + + + 2÷ 4 x y  x=y= Dễ dàng dự doán dấu đẳng thức xảy x+ y+ nên ta có: 1 1 + + = + 4x + + y − ( x + y ) + ≥ + − + = x y x y Học sinh tự giải tiếp Cho P= x + xy + y − x ≤ x, y > 2 Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn: ( x − 1) Viết lại giả thiết thành: + ( x + y) ≤ ⇒ x + y ≤ giải tiếp + − 2x − 3y x y Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 x + ( y + yz + z ) = x, y , z > Cho số thực thỏa mãn: 1 1 P = x + y + z + 2 + + ÷ x y z Tìm GTLN, GTNN Hướng dẫn: Viết lại giả thiết thành: ( x + y + z) + ( x − y) + ( x − z) = ⇒ ( x + y + z ) ≤ ⇒ < x + y + z ≤ 2 x = y = z =1 Dự đoán dấu đẳng thức xảy Ta có:  1  1   P =  x + ÷+  y + ÷+  z + ÷ − ( x + y + z ) x  y  z   x + y + xy ≤ x, y 10 Cho số thực dương P= Học sinh tự hồn thiện cho Tìm giá trị nhỏ + + xy x +y xy Hướng dẫn: Xem 2+ x2 + y = x + y x, y 11 Cho số thực dương P = x4 + y4 + cho Tìm giá trị nhỏ 32 ( x + y) ( x + y) 1 1 2 x + y ≥ ( x2 + y2 ) ≥  ( x + y )  = 2 2  Hướng dẫn: Ta có 4 Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 Từ giả thiết ta có: ( x + y ) − ( x + y ) = xy ≤ ( x + y ) ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) ≤ ⇒ < x + y ≤ 2 2 Dự đoán dấu x = y =1 đẳng thức xảy P=x +y + 4 Nên ta phân tích xử lý sau 32 ( x + y) ( x + y) ≥ +2+ 32 ( x + y) − ⇔ P ≥ ( x + y) + 16 2 ( x + y) + 16 ( x + y) −2 P≥2 ( x + 2) 16 ( x + 2) + 16 − = 10 Hay Học sinh tự hoàn thiện lời giải x + y + z =1 thỏa mãn: P = 5x + + y + + 5z + x, y , z 12 Cho số thực không âm d Tìm GTLN,GTNN ≤ x, y , z ≤ ⇒ x ≤ x , y ≤ y , z ≤ z Hướng dẫn: Từ giả thiết ta suy dẫn đến 5x + = x + x + ≥ x2 + x + = ( x + 2) = x+2 , Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z) ≤ 3( x2 + y + z ) quen thuộc (học sinh tự chứng minh) x+ 2+ y + 2+ z + ≤ P ≤ ( + + 1) ( x + + y + + z + ) ⇔ ≤ P ≤ 51 Dẫn đến P = x+ y + y+z + z+x e Tìm GTLN,GTNN Hướng dẫn: ≤ x + y, y + z , z + x ≤ ⇒ x + y ≥ ( x + y ) , y + z ≥ ( y + z ) , z + x ≥ ( z + x ) 2 Từ giả thiết ta suy ( A+ B +C) Kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc ≤ ( A2 + B + C ) ta có: Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 ( + + 1) ( x + y + y + z + z + x ) x+ y+ y+ z+ z+ x ≤ P ≤ suy 2≤P≤ P = x + x + + y + y + + z + 3z + f Tìm GTLN Hướng dẫn: x2 + 3x + = x2 + x2 + 3x + ≤ x2 + x + 3x + = ( x + ) Ta có dẫn đến ( x; y; z ) P ≤ x+2+ y +2+ z +2 = Đẳng thức xảy hoán vị số x+ y+z =3 x, y , z 13 Cho số thực không âm ( 1; 0; ) thỏa mãn: Tìm GTLN,GTNN P = x+ y + y+z + z+x Hướng dẫn: P = x+ y + y+z z+x + 3 Viết lại a+b+c = , đặt x+ y y+z z+x ,b = ,c = 3 2( x + y + z) P  x+ y  y+z z+x =  =2 ÷ +  ÷ +  ÷ = 3       Dẫn đến a= ( x; y; z ) đẳng thức xảy ≤ a, b, c ≤ suy P≥2 ( 3; 0; ) hoán vị số Phần tìm GTLN làm 12 xy + yz + zx = x, y , z 14 Cho số thực dương P = ( x2 + y ) + z Hướng dẫn cho Tìm GTNN Dấu Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 x = y = mz Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy Ta có  x + y ≥ xy  2  y + m z ≥ 2myz  x + m z ≥ 2mxz  m ( x + y ) + y + m z + x + m z ≥ 2m ( xy + yz + zx ) từ suy ( m + 1) x + ( m + 1) y + 2m2 z ≥ 2m ( xy + yz + zx ) Hay (*).Bây ta cần chọn x2 , y2 , z (*) có phần hệ số Tức là: x2 , y2 , z tỷ lệ với hệ số m +1 = :1 ⇔ 6m − m − = ⇔ m = 2m P m để vế trái Học sinh tự giải tiếp Cách khác: P = ( x2 + y ) + z = với m2 < z2 z2 + m x + + m y + ( − m ) ( x + y ) ≥ 2mxz + 2myz + ( − m ) xy 2 2m = ⇔ ( − m ) = m ⇔ 2m − 13m + 18 = ⇒ m = 2 2( − m ) Ta muốn: P= Từ suy z2 z2 + x + + y + x + y ≥ ( xy + yz + zx ) = 10 2 x + ( y − 1) + z ≤ x, y , z 15 Cho số thực dương P = 2y ( x + z) + cho Tìm GTLN x + y + z2 +1 2 Hướng dẫn giải: xy + zy ≤ Để ý rằng; 2x2 + y2 2z + y2 + = x2 + y + z 2 P ≤ x2 + y + z + nên x + y2 + z2 Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 Từ giả thiết toán ta có: x + ( y − 1) + z ≥ 2 2 x + y − + z ) ⇒ ( x + y + z − 1) ≤ ⇒ x + y + z ≤ ( P = t −1 + t = x + y + z + 1,1 < t ≤ 2 Đặt P≤ t , ta chứng minh: 13 17 ⇔ t + ≤ ⇔ 4t − 17t + ≤ ⇔ ( t − ) ( 4t − 1) ≤ t x, y , z > 16 Cho số thực Bất đẳng thức cuối đúng… P= xyz = ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) Tìm GTNN Hướng dẫn:  xy x  x  ( x + y) + 1÷ ≤ ( xy + 1)  + 1÷ = ( xy + 1) ( x + 1) =  ÷ y y y    Ta có: Từ suy ( x + 1) + ( y + 1) ≥ x + y ( xy + 1) ( x + y ) ( xy + 1) ( x + y ) + ( z + 1) = z + = + xy + ( z + 1) z + ( z + 1) Ta chứn minh: z 2 + ≥ ⇔ 3z ( z + 1) + ≥ ( z + 1) ⇔ z − 3z + ≥ ⇔ ( z − 1) ( z + ) ≥ z + ( z + 1) Nhận xét: Đây tốn khó x + y ≥ 1, x > x, y 17 Cho số thực cho Tìm GTNN 8x2 + y P= + y2 4x Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 y ≥ 1− x Hướng dẫn: nên 8x2 + − x 5 1 P≥ + ( 1− x) = 2x + + x2 − 2x + = x2 + + = x2 + + +1 ≥ x + +1≥ 4x 4x 4x 4 4x 4x 1 1 = x2 + + ≥ 3 x2 = 4x 8x 8x 8x 8x x2 + Chú ý: Ta phân tích : x2 = 1 ⇔x= 8x , dấu ‘=’ xảy ( Đối với hs thi điều kiện không dùng AM-GM cho số) x+ y ≥3 x, y 18 Cho số thực dương cho P = x + y + 10 xy + 4x 3y + − 38 y x Tìm GTNN Hướng dẫn: 3 4  4 P = ( x + y ) ( x + y ) + ( x + y )  + ÷− 45 ≥ ( x + y ) + +  − 45 x y x y  Ta có làm 3,8 x+ y = x, y 19 Cho số thực dương P= cho Tìm GTNN Hướng dẫn: xy − x y = xy ( − xy ) > 0 < xy ≤ Từ giả thiết suy nên Ta có x + y = x + y + y ≥ xy + y = y ( x + y ) nên Phần việc lại x2 + y 2 xy − x y Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 P≥ 2y( x + y) 2( x + y) = = xy ( − xy ) xy ( − xy ) xy ( − xy ) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: xy ( − xy ) ( xy + − xy ) ≤ =1 suy P≥4 x = y =1 Dấu đẳng thức xảy x3 + y + z = x, y , z ≥ 20 Cho x+ y+ z ≤3 + Chứng minh: P = ( xy + yz + zx ) − xyz + Tìm GTLN Hướng dẫn: ( x − 1) ≥ ⇔ x − x + ≥ ⇔ ( x − x + 1) ( x + ) ≥ 0∀x ≥ ⇔ x3 − x + ≥ 0∀x ≥ Ta có Hay x3 ≥ 3x − x3 + y + z ≥ ( x + y + z ) − ⇒ x + y + z ≤ suy x + y + z − 3xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) ≤ ( x + y + z − xy − yz − zx ) Ta có − xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) ≤ ( x + y + z − xy − yz − zx ) Hay dẫn đến − xyz ≤ x + y + z − xy − yz − zx − xyz ≤ x + y + z − xy − yz − zx − hay suy P ≤ ( xy + yz + zx ) + x + y + z − xy − yz − zx − = ( x + y + z ) − ≤ x = y = z =1 Khi P =8 x, y , z > 21 Cho P= x+ y+ z =3 Tìm GTNN x3 y3 z3 + + y +3 z +3 x+3 Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 x3 y3 z3 x2 + + = + y+3 z+3 x+3 x ( y + 3) P= y2 y ( z + 3) + z2 z ( x + 3) Hướng dẫn: Chú ý rằng: x ( y + 3) x ( y + 3) = 4x + y + ≤ nên   x2 y2 z2 P ≥ 4 + + ÷  4x + y + y + z + 4z + x +  x2 4x + y + x2 4x + y + x + ≥2 = 4x + y + 64 4x + y + 64 Lại có: Từ học sinh làm tiếp x, y , z > 0, xyz = 22 Cho Tìm GTLN  1 1 P = 2( x + y + z) −  + + ÷ y z  x Hướng dẫn: ( x − 1) ( y − 1) ( y − 1) ( z − 1) ( z − 1) ( x − 1) = ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) 2 ≥ 0∀x, y, z Ta có suy ( x − 1) ( y − 1) , ( y − 1) ( z − 1) , ( z − 1) ( x − 1) số tồn số khơng âm Khơng tính tổng ( x − 1) ( y − 1) ≥ ⇔ xy + ≥ x + y ⇒ ( xy + + z ) ≥ ( x + y + z ) quát ta giả sử: Vậy  1  P ≤ ( xy + z + 1) −  + + ÷ y z  x lại có 1 2 + 2≥ = = 2z x y xy z nên suy 1 1  P ≤ ( xy + z + 1) − z − = xy + − = + − = −  − 1÷ ≤ z z z z z  Dấu đẳng thức xảy x = y = z =1 23 Cho Hướng dẫn P = ( + x ) ( + yz ) x2 + y + z = x, y , z > Tìm GTLN Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 yz ≤ y + z y=z yz Do đối xứng Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy dự dấu’=’ xảy x=m x + m ≥ xm ⇒ x ≤ Nên nên có Ta x2 +m m Ta có  x2  1 P ≤  + m + 1÷( + y + z ) = ( x + m + m ) ( + y + z ) ≤ ( x + m + m + + y + z ) m m m  P≤ Hay m2 + m + ) ( 4m Dấu đẳng thức xảy  x + m2 + m = + y + z  2m + m = + y 2 y = z ⇔ ⇔ 2m + m = + − m2 ⇔ 3m + m − = ⇔ m =  2 2 m + y = x + y + z = x = m  Học sinh tự hoàn thiện lời giải x, y , z > 24 Cho x2 y z + + ≥ 3( x2 + y + z ) y z x x + y + z =1 Chứng minh: Hướng dẫn giải: Ta có:  x2 y z  x3 x z y y x z z y 2 + + + +  + + ÷( x + y + z ) = x + y + z + + z x y y z z x x  y x3 y x x z + + ≥ 3x y z y Lại c x2 z z3 z y y3 y x z y + + ≥ 3z + + ≥ 3y2 y x x z z x , , theo AM-GM x3 x z y y x z z y + + + + + ≥ ( x2 + y + z ) y y z z x x Suy Có thể xử lý theo cách dùng Cauchy- Schwarz suy đpcm Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 x2 + y + z = x, y , z 25 Cho thỏa mãn: x + y + z − xyz ≤ Chứng minh: Hướng dẫn: Ta viết lại: [ x + y + z − xyz ] 2 2 = ( y + z ) + x ( − yz )  ≤ ( y + z ) + x  1 + ( − yz )  = ( + yz ) ( − yz + y z )    Học sinh làm tiếp x, y , z > 26 Cho P = x + y + 3z xy + yz + zx = Tìm GTNN Hướng dẫn: Ta xử lý theo cách: x2 x2 + m y ≥ 2mxy, + n z ≥ 2nxz , ( − m ) y + ( − n2 ) z ≥ 2 ( − m ) ( − n ) yz 2 với m < 2, n < x + y + z ≥ 2mxy + 2nxz + ( − m ) ( − n ) yz 2 Suy m, n Bây ta chọn để :  2m =1  m = n n   2m ⇒ ⇒ ( m − 5m + ) = m ⇒ 2m − 11m + 12 = ⇒ m =  = m  =  ( − m2 ) ( − m2 ) 2  2 ( − m ) ( 3− n )  Từ ta có: x2 x2 2 P = + y + + z + y + z ≥ ( xy + yz + xz ) = 2 2 2 Học sinh tự hoàn thiện Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 ...Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10 năm 2019 A= x ∈Z Câu Tìm Câu 10 Tìm để x x+4 x +1 x +1 P= để số nguyên số nguyên x, y Chủ đề 2: Giải phương trình tìm 1 x − + x + x +... Chủ đề Bất đẳng thức , GTLN, GTNN x + ( y + yz + z ) = x, y Cho số thực P = x+ y+z thỏa mãn: x + y + xy ≤ x, y Cho số thực dương P= Tìm GTLN, GTNN cho Tìm giá trị nhỏ 1 + x y x, y > Cho số. .. y , z 13 Cho số thực không âm thỏa mãn: Tìm GTLN,GTNN P = x+ y + y+z + z+x xy + yz + zx = x, y , z 14 Cho số thực dương P = ( x2 + y ) + z cho Tìm GTNN Nguyễn Trung Kiên- CĐ Ôn thi vào 10