Một số chủ đề ôn tập dành cho học sinh ôn thi vào lớp 10

Tài liệu Một số chủ đề ôn tập dành cho học sinh ôn thi vào lớp 10 dành cho các bạn học sinh lớp 9 đang chuẩn bị ôn tập cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT sắp tới. Cùng tải về và ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải toán để đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới các em nhé!

MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ÔN TẬP DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI VÀO LỚP 10 PHẦN ĐỀ BÀI Chủ đề Các toán liên quan đến rút gon biếu thức Câu 1.Tìm GTLN P  x 6 x 2 Câu Cho A  x 1 so sánh A với A2 x 2 Câu Cho A  x Tìm x để A  A x 2 Câu Cho A  x2 x 2 Tìm GTNN A x 1 Câu Cho A  x 1 Tìm GTLN A x 2 x 2 Câu Cho A  x x  Tìm GTNN A x 1 Câu Tìm x để A  x số nguyên x4 Câu Tìm x để A  x 1 số nguyên x 1 Câu Tìm x Z để A  x4 số nguyên x 1 Câu 10 Tìm x để P  số nguyên x 1 Chủ đề 2: Giải phương trình tìm x, y 1 x   x  x    x  x  x  1 4 2 x  x    x   x   3   1   x  y   y  x     x   y    x, y    4   2  x2 y2   biết x, y  y  x 1 ( x  4) x   3x  x  x  x  x   (5 x  1) x   x3  11x  x   x  x  x2  x    x  x   x  x  x  2019  2019  x 10 x  x   11 x2   x  x3  12 x  24 x  28  x  x  20  x  13 5x  x   64 x  x 5x2  x  14 x  x  x   10  x   x 15 x  x  x  x  16 x    x  x  x  x  12 x  11 17 x    x  x  x  x  12 x  14 18 x  3x  x    x   x  19 20    x   x   x    x  1 x  x   x  8x 1   x  x  Chủ đề Bất đẳng thức , GTLN, GTNN Cho số thực x, y thỏa mãn: x   y  yz  z   Tìm GTLN, GTNN P  x y z Cho số thực dương x, y cho x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ P 1  x y Cho số thực x, y  thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ 1 4 P  x  y  6   x y Cho số thực x, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ P  x  y  28  x y Cho  x, y , z  x   y  z   24 Tìm GTLN P  xyz Cho x, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ P  1   xy x y xy 3     Cho x, y  x  y  Tìm GTNN P   x      y   1 y   x   Cho x, y  x  xy  y  x  Tìm giá trị nhỏ P    x  y x y Cho số thực x, y, z  thỏa mãn: x   y  yz  z   Tìm GTLN, GTNN 1 1 P  x  y  z  2    x y z 10 Cho số thực dương x, y cho x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ P   xy x y xy 11 Cho số thực dương x, y cho x  y  x  y Tìm giá trị nhỏ P  x4  y  32  x  y 12 Cho số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x  y  z  a Tìm GTLN,GTNN P  x   y   z  b Tìm GTLN,GTNN P  x  y  y  z  z  x c Tìm GTLN P  x  x   y  y   z  z  13 Cho số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x  y  z  Tìm GTLN,GTNN P  x y  y z  z x 14 Cho số thực dương x, y , z cho xy  yz  zx  Tìm GTNN P   x2  y   z 15 Cho số thực dương x, y , z cho x   y  1  z  Tìm GTLN P  2y  x  z  x  y2  z2 16 Cho số thực x, y, z  xyz  Tìm GTNN P   x  1 17 Cho số thực x, y cho x  y  1, x  Tìm GTNN P    y  1   z  1 8x  y  y2 4x 18 Cho số thực dương x, y cho x  y  Tìm GTNN P  x  y  10 xy  4x y   38 y x x2  3y 19 Cho số thực dương x, y cho x  y  Tìm GTNN P  xy  x y 20 Cho x, y, z  x  y  z  + Chứng minh: x  y  z  + Tìm GTLN P   xy  yz  zx   xyz 21 Cho x, y, z  x  y  z  Tìm GTNN P  x3 y3 z   y3 z 3 x3  1 1 22 Cho x, y , z  0, xyz  Tìm GTLN P   x  y  z       y z  x 23 Cho x, y, z  x  y  z  Tìm GTLN P  1  x 1  yz  x2 y z 24 Cho x, y, z  x  y  z  Chứng minh:     x2  y  z  y z x 25 Cho x, y , z thỏa mãn: x  y  z  Chứng minh: x  y  z  xyz  26 Cho x, y, z  xy  yz  zx  Tìm GTNN P  x  y  z HƯỚNG DẪN VẮN TẮT Chủ đề Các toán liên quan đến rút gon biếu thức Câu 1.Tìm GTLN P  Hướng dẫn: P   x 6 x 2  x 2 2 x 2  2 x 2 2   1 P  x 2 x 0 x 22 Dấu ‘’=’’ xảy x  x 1 so sánh A với A2 x 2 Câu Cho A  Hướng dẫn: Điều kiện: x  0, x  Xét A  A2  A 1  A   3     Vậy A x 1 x 2  x 1  x 1  1   x 2 x     x   3  3 x    x 2 x 2 x 2   với x  0, x   A với x  0, x  x Tìm x để A  A x 2 Câu Cho A  Hướng dẫn: Điều kiện x  0, x  Nếu  x  x   x   dẫn đến A  A  suy A  A , dấu đẳng thức xảy x  Vậy  x  A  A Nếu x  x  2 x 20 x 2  x 2 A  x  x 2 x A x 2 Kết luận:  x  A  A Câu Cho A  x2 x 2 Tìm GTNN A x 1 Hướng dẫn:Điều kiện x   A  x  0, x   Ta viết lại A thành: x 1 1 x 1 2 x 1  x 1 Dấu đẳng thức xảy khi: Câu Cho A    x 1    (Theo bất đẳng thức AM-GM) x 1  x 1 1  x  x 1 x 1  x 1 Tìm GTLN A x 2 x 2 Hướng dẫn: Nếu  x  A  Nếu x  A  ta có:  Suy A   x 1  x2 x 2   A x 1     x 1     Dấu đẳng thức xảy x 1  x 1   x  x 1 1 Vậy GTLN A x  2 Câu Cho A  x x  Tìm GTNN A x 1 Hướng dẫn: x x 11 1   x 1  x 1      Dấu đẳng thức x 1 x 1 x 1 x 1 xảy x 1   x 1   x  x 1  Ta có: A     Vậy GTNN A x    Câu Tìm x để A  x số nguyên x4 Hướng dẫn: Nếu : x  A  thỏa mãn Nếu x  ta có: A  x nguyên suy A  hay x Lại có x  (TheoAM-GM) Suy  A  , A x x 1 x 5 x    x4   x 1 x  x 4 0   x  16  Vậy x  0;1;16 A Z Câu Tìm x để A  x 1 số nguyên x 1 Hướng dẫn: Điều kiện x  Ta có A    , dễ thấy A  suy  A  , A nguyên nên A  dẫn đến x 1 x 1 1 x  x   x x 1  x  x 2  0  x    Vậy x  0; 4 A Z Câu Tìm x Z để A  x4 số nguyên x 1 Hướng dẫn: Điều kiện x  , từ giả thiết suy A   x Z  suy  5 x    Kết luận: x  0;16 x 1 5  x 1  Để A số nguyên x 1 x 1 x   1;5  x  0; 4  x  0;16 số nguyên x 1 Câu 10 Tìm x để P  Hướng dẫn: Điều kiện x  3     P  Do P  Z nên x 1 Ta thấy P  , x   x 1 1  P  P  1; 2;3  x   1; 2;3  x  0;1; 2  x  0;1; 4 Chủ đề 2: Giải phương trình tìm x, y 1 1 x   x  x    x  x  x  1 4 Hướng dẫn: 1 1  x    x     x  1  x  1 Điều kiện x   suy phương trình có dạng: 2 2  2 1 1 1   x   x    x  1  x  1   x     x  1  x  1   x     x  1  x  1 2 2 2   Hay  x  1 x  … 2 x  x    x   x  Hướng dẫn: Ta viết lại phương trình thành: x  x  14   x   x    x     x  x  16    x   x   Hay  x    x     Học sinh tự giải tiếp    3   1   x  y   y  x     x   y    x, y    4   2  Hướng dẫn:  1 1 1  Chú ý rằng: x  y    x     x  dẫn đến VT   x  y   Lại có  4 2 2  2 1   2x   2x   1 2   VP    x  y   Dấu đẳng thức xảy x  y  2  x2 y2   biết x, y  y  x 1 Hướng dẫn Chú ý rằng: x2   1  x 1   x  1      suy VT  , dấu đẳng x 1 x 1  x  1 thức xảy x  y  ( x  4) x   3x  x  Hướng dẫn: x   x   x  x   x   hay  x   x  4  2x  1  2x    hay x  x     2x     x    x  x  3 hay  1  x   x    2x  1  x2  2x 2x   2x   0 x  x  x   (5 x  1) x   Hướng dẫn: Đặt t  x3   Phương trình trở thành: t   x  1 t  x  x   t   x  1 t  x  x  1    t  x  t  x  1  (Cần ý x   x  x  để dựa vào định lý Viet đảo phân tích nhân tử, tính  theo x ) x3  11x  x   x  x  Hướng dẫn: 8 x  11x  x   y Đặt y  x  x  ta có hệ sau:  cộng hai phương trình:  x  x   y x3  12 x  10 x   y  y   x  1   x  1  y  y   x  1  y   x  1   x  1 y  y     y  x  học sinh tự giải tiếp   x2  x    x  x   x  x  Hướng dẫn giải: x Sử dụng BĐT AM-GM ta có:  x  1  x2  x   ; x  x  1  x2  x 1 1 suy x  x  x2  x  2 VT    x  Lại có VP   x  1   x  1  Dấu đẳng thức xảy 2 x2  x 1    x  x    x    x  1  x  2019  2019  x  y  x  2019 2019  x  y    trừ phương trình cho ta thu được:  x  y  2019 Đặt  y2  x  x  y   y  x  y  y  x x 1    học sinh tự giải tiếp  y   x  10 x  x    x  y  Đặt y  x      x  y  y   x   x  y  x  y  1  Học sinh tự giải  y  x  tiếp 11 x2   x  x3  Hướng dẫn : Điều kiện x  Viết lại phương trình thành: x2  x 1   x   x       x  3    x3    x2    3     x 3 x3   x2 1   hay  x  3x   1 0 x   x 1     x3 Ta chứng minh: x2 1  x  27 x2   x   x  3x   x3   2 Thật vậy: x3 + Ta xét x 1   1  x   x 2  1  x   x  Đặt x2   t   x  t  Bất phương trình tương đương với t  2t   t   t  3t  6t  4t  Điều hiển nhiên + Ta xét: x  3x    x  x   x3   x  x3  x  x   x 2 5 x  Điều ln Từ suy phương trình có nghiệm nhất: x  12 x  24 x  28  x  x  20  x  Hướng dẫn: x  24 x  28  x   x  x  20 Bình phương vế ta được: Viết lại pt thành: x  24 x  28  25  x    x  x  20  10 x2  x   x  x  2 x  4 x    x    x  5    x  x    3( x  5)  x Chú ý với điều kiện x  ta phân tích phương trình thành: 2 x2  x   x  13 5x  x   Hướng dẫn:   x  x   x   Học sinh tự giải tiếp 64 x  x 5x2  x   x  8  x    Ta viết lại phương trình thành:  x  x   x  x    x    x  đặt 5x2  x   a phương trình cho có dạng: a3  a   x    x   a  x Học sinh tự giải tiếp 14 x  x  x   10  x   x Hướng dẫn: Ta viết lại phương trình thành:  x  1 3   x  1     x   x   x  1   x  1   4 x  6 4 x 15 x  x  x  x  Hướng dẫn giải: Điều kiện  x  , x  x    x  1    x  Ta có: x  x  x   x   x2   x ,lại có: 2 x   x  x  x  1 3x  x      x  1  nên dấu ‘’=’’ xảy x  2 2 Học sinh tự giải tiếp Cách khác:Viết lại phương trình thành: x  x    x  1  x2 3  2x  1 x  2x 1   x  1  2 x  x    x  1 Do x  2x 1 2 x  x     x  1  x  1  nên VT  VP Dấu đẳng thức xảy x  16 x    x  x  x  x  12 x  11 Hướng dẫn giải: Điều kiện x 2 Áp dụng bất đẳng thức  ax  by    x  y  a  b  ta có:  2x    2x   1  1 x    x    x    x  Lại có: 2 x  x  x  12 x  11   x  x  x  12 x    x  x   x  x  1   x  3  x  1  Học sinh tự làm tiếp để tìm x  x    x  x  x  x  12 x  14 17 Hướng dẫn:Làm 16 tìm x  18 x  3x  x    x   x  Hướng dẫn: Viết lại phương trình thành:  x  1   x  1  19      x2   x2    x   x   x    x  1 x  Hướng dẫn: Đặt x    a  a  x   x  , b  x  b  x  ta thu được: a  a    b  b  3 , phần lại học sinh tự giải 20 x   x  8x 1   x  x  Hướng dẫn: Ta viết lại phương trình thành: 3 x   x  x   x  x   Đặt x   a; x  x   b;  x  x   c a3  b3  c    a  b  c  3 Chú ý rằng:  a  b  c   a  b3  c   a  b  b  c  c  a  từ suy  a  b  b  c  c  a   Học sinh tự giải tiếp Chủ đề Bất đẳng thức , GTLN, GTNN Cho số thực x, y thỏa mãn: x   y  yz  z   Tìm GTLN, GTNN P  x y z Hướng dẫn: Ta viết lại giả thiết thành: x  y  z  x  y  x  z  yz  Vì x  y  xy , x  z   xz nên  x  y  z  x  y  x  z  yz  x  y  z  xy  yz  zx   x  y  z  Suy   x y z  Cách khác: Ta viết lại giả thiết toán thành: x 2 2  y  z  xy  yz  zx    x  xy  y    x  xz  z     x  y  z    x  y    y  z    Từ suy  x  y  z   Chú ý rằng: Do tính đối xứng y , z ta dự đoán dấu đẳng thức xảy y  z giả thiết tốn viết thành x  y   x  y  y  1, P  x  y  y , P  x  y điều cho phép ta dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y dẫn tới x  y  z có phân tích Cho số thực dương x, y cho x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ P 1  x y Hướng dẫn: Giả thiết toán viết lại thành:  x  y 3  xy  x  y   xy     x  y    3xy  x  y    hay   x  y    xy     x  y    x  xy  y  x  y    từ  1 2 suy x  y  Áp dụng AM-GM ta có:     2 x  y x y x y xy  x  y  2  x  y  Cho số thực x, y  thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ 1 4 P  x  y  6   x y Hướng dẫn: Ta thêm vào lượng 6m  x  y  với mục đích để vận dụng AM-GM theo dạng  m x  2m,  m y  4my qua làm triệt tiêu lượng x y 1 4 6   x y Ta viết lại 1  1  P     m  x  y    1  6m   x  y     m x   m y   1  6m   x  y  y x y  x    2m  4m   1  6m   x  y  x  y   Dự đoán dấu đẳng thức xảy     m   x  2, y  m  x  m , y  m Từ ta có lời giải sau: 1 x 4 y P           x  y    12   15 Học sinh tự hoàn thiện  x 4  y 4 Cho số thực x, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ P  x  y  28  x y Hướng dẫn: Ta xử lý phần: 28 28  cách thêm vào 7m2 x  n y Ta có  m x  28m,  n y  2n x y x y Dấu đẳng thức xảy x  Lúc ta có x  ,y m n , y  nên ta phân tích P sau: m2 n      28   1 P   x     y      7m2 x     n2 y   7m2 x  n2 y   m   n   x m n   y   8x y 8 8  2    28m  2n  7m x  n y    x   7m     n2  y  28m  2n   m n m n m n m  n  8  2  Ta mong muốn:   7m  :   n   1:1 để tận dụng giả thiết x  y    m n m  n   2 2 2  m  7m  :  n  n   1:1    Giải hệ:   m  n   x  2, y  1  3  m n Từ ta có:   28  1 P   x     y  1    x     y   x  y   x  y  28   x  y   x  y  21  24  x  y  Học sinh tự hoàn thiện lời giải Chú ý: Có thể sử dụng máy tính cầm tay để dấu Cách làm giúp hs có cách xử lý tốn Cho  x, y , z  x   y  z   24 Tìm GTLN P  xyz Hướng dẫn: Ta đặt x  2t giả thiết viết lại thành: y  z  t  12 P  yzt Với  t  3,  y, z  Ta có yz   y  z  12  t  t 12  t  nên P  2 Ta tìm GTLN Q  t 12  t   t  24t  144t với  t  Do  t    t   t  3   t  5t  Suy Q  t  5t    24t  144t  19t  138t  19t   t   81t  243 Dấu đẳng thức xảy t  y  z  Vậy P  243 ,dấu đẳng thức xảy x  6, y  z  2 Cho x, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ P  1   xy x y xy Hướng dẫn: Viết lại P 1    xy  x y xy xy Hay P  x  y  xy   xy    xy x  y  xy xy xy 2  x  y 2  x  y 1   xy Chú ý xy   Học sinh tự hoàn thiện xy 4 3     Cho x, y  x  y  Tìm GTNN P   x      y   1 y   x   Hướng dẫn: 3 Chứng minh: a  b  a  b 3  1 1 suy P   x  y     4 x y  Dễ dàng dự doán dấu đẳng thức xảy x  y  x y nên ta có: 1 1     x   y   x  y        Học sinh tự giải tiếp x y x y Cho x, y  x  xy  y  x  Tìm giá trị nhỏ P    2x  y x y Hướng dẫn: 2 Viết lại giả thiết thành:  x  1   x  y    x  y  giải tiếp Cho số thực x, y, z  thỏa mãn: x   y  yz  z   Tìm GTLN, GTNN 1 1 P  x  y  z  2    x y z Hướng dẫn: Viết lại giả thiết thành: 2  x  y  z   x  y   x  z 2   x  y  z    x  y  z  Dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y  z  Ta có:  1  1   P   x     y     z      x  y  z  Học sinh tự hoàn thiện x  y  z   10 Cho số thực dương x, y cho x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ P   xy x y xy Hướng dẫn: Xem 2+ 11 Cho số thực dương x, y cho x  y  x  y Tìm giá trị nhỏ 32 P  x4  y   x  y 2 1 1  x  y 2 Hướng dẫn: Ta có x  y   x  y     x  y    2 2  4 Từ giả thiết ta có: 2 2  x  y    x  y   xy   x  y    x  y    x  y     x  y  Dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y  Nên ta phân tích xử lý sau 4 Px y  Hay P  32  x  y  x  2  x  y  16  x  2   2 32  x  y 16 2   P   x  y   x  y  16  x  y 2 16   10 Học sinh tự hoàn thiện lời giải 12 Cho số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x  y  z  d Tìm GTLN,GTNN P  x   y   z  Hướng dẫn: Từ giả thiết ta suy  x, y , z   x  x , y  y , z  z dẫn đến 5x   x  x   x  x    x  2  x  , Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc  x  y  z    x  y  z  (học sinh tự chứng minh) Dẫn đến x   y   z   P  1   1 5x   y   5z     P  51 e Tìm GTLN,GTNN P  x  y  y  z  z  x Hướng dẫn: 2 Từ giả thiết ta suy  x  y, y  z , z  x   x  y   x  y  , y  z   y  z  , z  x   z  x  Kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc  A  B  C    A2  B  C  ta có: x y y z z x P  1   1 x  y  y  z  z  x  suy  P  f Tìm GTLN P  x  x   y  y   z  z  Hướng dẫn: Ta có x  x   x  x  x   x  x  x    x   dẫn đến P  x   y   z   Đẳng thức xảy  x; y; z  hoán vị số 1;0;  13 Cho số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x  y  z  Tìm GTLN,GTNN P  x y  y z  z x Hướng dẫn: P x y   3 a  b  c  Viết lại yz zx x y yz zx  , đặt a  ,b  ,c   a, b, c  3 3 2 2 x  y  z  P  x y  yz  zx Dẫn đến         suy P  Dấu    3       đẳng thức xảy  x; y; z  hoán vị số  3; 0;  Phần tìm GTLN làm 12 14 Cho số thực dương x, y , z cho xy  yz  zx  Tìm GTNN P   x2  y   z Hướng dẫn Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y  mz  x  y  xy  Ta có  y  m z  2myz từ suy m  x  y   y  m z  x  m z  2m  xy  yz  zx   2  x  m z  2mxz Hay  m  1 x   m  1 y  2m z  2m  xy  yz  zx  (*).Bây ta cần chọn m để vế trái (*) có phần hệ số x , y , z tỷ lệ với hệ số x , y , z P Tức là: m 1  :1  6m  m    m  Học sinh tự giải tiếp 2m Cách khác: z z2  m x   m y    m  x  y   2mxz  2myz    m2  xy 2 2m     m   m  2m  13m  18   m  với m  Ta muốn: 2 3  m  P   x2  y   z  Từ suy P  z2 z2  x   y  x  y   xy  yz  zx   10 2 15 Cho số thực dương x, y , z cho x   y  1  z  Tìm GTLN P  2y x  z  x  y  z2 1 2 Hướng dẫn giải: Để ý rằng; xy  zy  2x2  y 2z2  y   x  y  z nên P  x  y  z  2 x  y2  z2 Từ giả thiết tốn ta có: 2 x   y  1  z   x  y   z    x  y  z  1   x  y  z  Đặt t  x  y  z  1,1  t  P  t   P , ta chứng minh: t 13 17  t    4t  17t     t   4t  1  Bất đẳng thức cuối đúng… t 16 Cho số thực x, y, z  xyz  Tìm GTNN P   x  1   y  1   z  1 Hướng dẫn:  xy x  x   x  y Ta có:  x  1    1   xy  1   1   xy  1   y y y    Từ suy 1 x y 4 z         2 3  x  1  y  1  xy  1 x  y   xy  1 x  y   z  1 xy   z  1 z   z  1 Ta chứn minh: z 2    3z  z  1    z  1  z  z     z  1  z    z   z  1 Nhận xét: Đây tốn khó 17 Cho số thực x, y cho x  y  1, x  Tìm GTNN P  8x  y  y2 4x Hướng dẫn: y   x nên P 8x   x 5 1  1  x   x   x2  x   x2    x2   1 x  1  4x 4x 4x 4 4x 4x Chú ý: Ta phân tích : x   x  1 1  x2    33 x2  , dấu ‘=’ xảy 4x 8x x 8x 8x 1  x  ( Đối với hs thi điều kiện không dùng AM-GM cho số) 8x 18 Cho số thực dương x, y cho x  y  Tìm GTNN P  x  y  10 xy  4x y   38 y x Hướng dẫn: 3 4  Ta có P   x  y  x  y    x  y      45   x  y    x x y  làm 3,8 4  45 Phần việc lại y  x2  3y 19 Cho số thực dương x, y cho x  y  Tìm GTNN P  xy  x y Hướng dẫn: Từ giả thiết suy  xy  nên xy  x y  xy   xy   Ta có x  y  x  y  y  xy  y  y  x  y  nên P 2y  x  y 2 x  y   Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: xy   xy  xy   xy  xy   xy  xy   xy    xy   xy   suy P  Dấu đẳng thức xảy x  y  20 Cho x, y, z  x  y  z  + Chứng minh: x  y  z  + Tìm GTLN P   xy  yz  zx   xyz Hướng dẫn: Ta có  x  1   x   x     x  x  1  x    0x   x  x   0x  Hay x  x  suy x  y  z   x  y  z    x  y  z  Ta có x  y  z  3xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z  xy  yz  zx  Hay  3xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z  xy  yz  zx  dẫn đến  xyz  x2  y  z  xy  yz  zx hay  xyz  x  y  z  xy  yz  zx  suy P   xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z    Khi x  y  z  P 8 x3 y3 z   y3 z 3 x3 21 Cho x, y, z  x  y  z  Tìm GTNN P  x3 y3 z x2     y3 z 3 x3 x  y  3 Hướng dẫn: P  x  y  3  Lại có: x  y  3  y2 y  z  3  z2 z  x  3 Chú ý rằng:   4x  y  x2 y2 z2 nên P       4x  y  y  z  4z  x   x2 4x  y  x2 4x  y  x  2  Từ học sinh làm tiếp 4x  y  64 4x  y  64  1 1 22 Cho x, y , z  0, xyz  Tìm GTLN P   x  y  z       y z  x Hướng dẫn: Ta có  x  1 y  1 y  1 z  1 z  1 x  1   x  1 2  y  1  z  1  0x, y , z suy số  x  1 y  1 ,  y  1 z  1 ,  z  1 x  1 tồn số khơng âm Khơng tính tổng qt ta giả sử:  x  1 y  1   xy   x  y   xy   z    x  y  z   1 1 1 2 Vậy P   xy  z  1      lại có     z nên suy y z  x y xy x z 1 1  P   xy  z  1  z   xy          1  Dấu đẳng thức xảy z z z z z  x  y  z  23 Cho x, y, z  x  y  z  Tìm GTLN P  1  x 1  yz  Hướng dẫn Do yz đối xứng Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy y  z nên có 2yz  y  z Ta dự dấu’=’ xảy x  m Nên x  m  xm  x  x2 m m Ta có  x2  1 P    m  1 1  y  z     x  m2  m 1  y  z    x  m  m   y  z  m m m  Hay P  m  m   Dấu đẳng thức xảy  4m  x  m2  m   y  z  2 y  z 2m  m   y   2m  m    m2  3m   m    m   2 2 m  y  x  y  z  x  m  Học sinh tự hoàn thiện lời giải 24 Cho x, y, z  x  y  z  Chứng minh: x2 y z     x2  y  z  y z x Hướng dẫn giải:  x2 y2 z2  x3 x z y y x z z y 2 Ta có:      x  y  z   x  y  z   Lại c     z x y y z z x x  y x3 y x x z x2 z z z y y3 y2 x z2 y    3x ,    y2 ,    3z theo AM-GM y z y z z x y x x Suy x3 x z y y x z z y        x  y  z  suy đpcm y y z z x x Có thể xử lý theo cách dùng Cauchy- Schwarz 25 Cho x, y , z thỏa mãn: x  y  z  Chứng minh: x  y  z  xyz  Hướng dẫn: Ta viết lại:  x  y  z  xyz 2   y  z   x 1  yz  2   y  z   x  1  1  yz      yz    yz  y z     Học sinh làm tiếp 26 Cho x, y, z  xy  yz  zx  Tìm GTNN P  x  y  z Hướng dẫn: Ta xử lý theo cách: x2 x2 2  m y  2mxy,  n z  2nxz ,   m  y    n  z  2 2 m  2, n  Suy x  y  z  2mxy  2nxz    m   n  yz 2 với   m   n  yz 2 Bây ta chọn m, n để :  2m 1  m  n n   2m    m  5m    m  2m  11m  12   m   4 2m      m   m  2     m   n   Từ ta có: P x2 x2 2  y   z  y  z   xy  yz  xz   Học sinh tự hoàn thiện 2 2 2 ...  x  y  z  Học sinh tự hoàn thi n x  y  z   10 Cho số thực dương x, y cho x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ P   xy x y xy Hướng dẫn: Xem 2+ 11 Cho số thực dương x, y cho x  y  x...  Chủ đề Bất đẳng thức , GTLN, GTNN Cho số thực x, y thỏa mãn: x   y  yz  z   Tìm GTLN, GTNN P  x y z Cho số thực dương x, y cho x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ P 1  x y Cho số thực... 8x  y  y2 4x 18 Cho số thực dương x, y cho x  y  Tìm GTNN P  x  y  10 xy  4x y   38 y x x2  3y 19 Cho số thực dương x, y cho x  y  Tìm GTNN P  xy  x y 20 Cho x, y, z  x  y