PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27 tháng 11 năm 2013 Bài (5 điểm) x+2 + Cho biểu thức P = x x −1 : x + x + 1 − x x + x −1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = c) So sánh P2 với 2P Bài (3 điểm) a) Giải phương trình: x2 − − x2 + = b) Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện: x + y = 4z −1 y + z = 4x −1 z + x = 4y −1 Bài (2 điểm) 3 Cho x y số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức x + y = xy Chứng minh 1− xy số hữu tỉ Bài (5 điểm) Cho đường trịn (O,R) đường kính AB Qua điểm C thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến d đường tròn Gọi I, K chân đường vng góc kẻ từ A B đến đường thẳng d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh: a) CI = CK b) CH2 = AI.BK c) AB tiếp tuyến đường trịn đường kính IK Bài (2 điểm) Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm giá trị lớn tích KH.KM Bài (3 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + xy + y = x y b) Cho < x, y, z ≤ Chứng minh : x y z + + ≤ + y + xz + z + xy + x + yz x + y + z Họ tên học sinh: ; Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HÓA Bài Bài (5 đ) a) 2,0 đ Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ x+2 P = ( x − 1)( x + x + 1) b) 1,5 đ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Nội dung Điểm 0,5 đ + x x + x +1 − x −1 : x − = x + + x ( x − 1) − ( x + x + 1) x − : ( x − 1)( x + x + 1) 0,5 đ = x + + x − x − x − x −1 x −1 x − x +1 : = ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) x − 0,5 đ ( x − 1) = ( x − 1)( x + x + 1) 2 = P= ⇔ x + x +1 2 = x −1 x + x + ⇔ x+ x −6=0 ⇔ ( x − 2)( x + 3) = ⇔ x − = ( x + > với x ≥ 0) ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy với x = P = c) 1,5 đ P= P= x + x +1 x + x +1 > x ≥ Điều kiện x ≥ x2 − − ( x2 − 4) = Đặt x − = t (t ≥ 0) b) 2,0 đ Điều kiện: x, y, z ≥ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ t = ⇔ t −t2 = ⇔ t = *t = ⇔ x − = ⇔ x = ± 0.5 đ 0,5 đ x2 − − x2 + = *t = ⇔ x − = ⇔ x = ±2 0,5 đ 0,5 đ ≤ x + x + ≥ Ta có P > P ≤ nên P.(P - 2) ≤ ⇒ P2 - 2P ≤ ⇒ P2 ≤ 2P Bài (3 đ) a) 1,0 đ 0,5 đ (Thỏa mãn điều kiện) 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ Cộng vế ta có : 2x + 2y + 2z = 4x − + 4y − + 4z − ⇔ 4x + 4y + 4z − 4x − − 4y − − 4z − = ( Vì ( ⇔ ) ( 4y − − 1) + ( 4z − − 1) = (*) 4x − − 1) ≥ 0; ( 4y − − 1) ≥ 0; ( 4z − − 1) ≥ 2 4x − − + 2 2 4x − − = Nên (*) xay ⇔ 4y − − = ⇔ x = y = z = 4z − − = Kết luận : x = y = z = Bài (2đ) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ * Nếu x = y = − xy = số hữu tỉ * Nếu x, y khác y3 y y4 y2 3 x + y = xy ⇒ x + = ⇒ − xy = − x x x x 0,5 đ 0,5 đ y4 y2 y2 ⇒ − xy = − + = − 1÷ x x x 0,5 đ y2 y2 ⇒ − xy = − 1÷ = − số hữu tỉ x x 3 Vậy x y số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức x + y = xy − xy số hữu tỉ 0,5 đ Bài (5 đ) a) 1,5 đ Nối OC Vì d tiếp tuyến (O) C nên OC vng góc với d Ta có: AI// BK ( vng góc với d) => ABKI hình thang Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( vng góc với d) => CI = CK ( T/c đường trung bình hình thang) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) 2,0 đ Vì · · (∆OAC cân) CAI = ·ACO ( So le trong, AI//CO), ·ACO = CAO 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ · · ⇒ CAI = CAO ⇒ ∆IAC = ∆HAC ( Cạnh huyền - góc nhọn) => AI = AH Tương tự: BK = BH Do ∆ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên ∆ABC vng C => CH2 = HA.HB = AI.BK ( hệ thức lượng tam giác vuông) c) 1,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Ta có: ∆IAC = ∆HAC ⇒ CI = CH = CK IK ) Mà CH ⊥ AB H IK => AB tiếp tuyến (C , ) Hay AB tiếp tuyến đường tròn ⇒ H ∈ (C , 0,5 đ 0,5 đ đường kính IK Bài (2 đ) M H A K · · Ta có: BMK ( góc có cạnh tương ứng vng góc) = HAK Suy ra: BKM HKA (g.g) BK KM = ⇒ BK KA = KM KH HK KA B 0,5 đ 0,25 đ AB BK + KA Mặt khác: BK.KA ≤ ( bất đẳng thức Cosi) ÷ = Dấu “=” xảy BK = KA AB ⇒ KM KH ≤ 0,5 đ 0,5 đ Vậy giá trị lớn tích KM.KH = trung điểm cạnh AB AB BK = KA, tức K 0,25 đ Bài (3 đ) a) 1,5 đ Ta có: x + xy + y = x y ⇔ x + xy + y − x y = ⇔ ( x + y ) − (2 xy + 1)2 = − ⇔ ( x + y − xy − 1) ( x + y + xy + 1) = − x = x + y − xy − = − y = x = x + y + xy + = ⇔ ⇔ x + y − xy − = y = −1 x + y + xy + = − x = − y = 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Vậy phương trình có nghiệm (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1) b) 1,5 đ Vì < x, y, z ≤ nên (1 − x)(1 − y) ≥ ⇔ + xy ≥ x + y ⇔ + z + xy ≥ x + y + z y y ⇔ ≤ (1) + z + xy x + y + z x x Tương tự ta có + y + xz ≤ x + y + z (2) ; z z ≤ + x + xy x + y + z Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta x y z x+ y+z + + ≤ ≤ + y + xz + z + xy + x + yz x + y + z x + y + z Dấu “=” xẩy x = y = z =1 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ (3) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Hết ... (1) + z + xy x + y + z x x Tương tự ta có + y + xz ≤ x + y + z (2) ; z z ≤ + x + xy x + y + z Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta x y z x+ y+z + + ≤ ≤ + y + xz + z + xy + x + yz x + y + z x + y + z... 0,5 đ + x x + x +1 − x −1 : x − = x + + x ( x − 1) − ( x + x + 1) x − : ( x − 1)( x + x + 1) 0,5 đ = x + + x − x − x − x −1 x −1 x − x +1 : = ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) x... x + xy + y = x y ⇔ x + xy + y − x y = ⇔ ( x + y ) − (2 xy + 1)2 = − ⇔ ( x + y − xy − 1) ( x + y + xy + 1) = − x = x + y − xy − = − y = x = x + y + xy + = ⇔ ⇔ x +