ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 PHỊNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO THIỆU HĨA Mơn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4,0 điểm) 1 a) Tính: A = 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ 2014 2015 2016 b) Tìm x biết: x − x − x − x − x − x − 16 + + + + + = 12 20 30 42 56 72 Bài (3,0 điểm) a) Tìm chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; dư b) Cho a b hai số nguyên dương không chia hết cho Biết BCNN(a, b) = 630 ƯCLN(a, b) = 18 Tìm hai số a b Bài (3,0 điểm) a) Cho p tích 2016 số nguyên tố Chứng minh p - p + khơng số phương b) Tìm giá trị nhỏ phân số ab a+b ( ab số có chữ số) Bài (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên x, y cho: ( 2x + 1) ( y − ) = 12 b) Hai số 22015 52015 viết hệ thập phân viết liền tạo thành số Hỏi số có chữ số? Bài (5,0 điểm) Cho điểm O nằm đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C cho AB = 6cm, AC= 2cm a) Tính BC · · b) Giả sử cho OAB = 80o , tính OAC c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C) Hỏi có góc có đỉnh O cạnh qua điểm thuộc đường thẳng d Bài (1,0 điểm) Tìm chữ số a, b, c khác thỏa mãn: abbc = ab × ac × HẾT Họ tên học sinh:……………………………Số báo danh: ………… ………… HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN – NĂM HỌC 2015-2016 Câu Nội dung a) Tính: A = 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ 2014 2015 2016 x − x − x − x − x − x − 16 + + + + + = b) Tìm x biết: 12 20 30 42 56 72 a) Tính: A = − ÷ − ÷1 − ÷ 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ 2014 2015 2016 − − − 2014 − 2015 − 2016 − = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 2014 2015 2016 1.2.3 2013.2014.2015 = = 2.3.4.5 2014.2015.2016 2016 Vậy A = 2016 b) Tìm x x − x − x − x − x − x − 16 + + + + + = 12 20 30 42 56 72 1 1 16 1 (x − 2) + + + + + ÷= 12 20 30 42 56 72 1 1 16 (x − 2) + + + + + ÷= 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 1 1 1 1 1 1 16 (x − 2) − + − + − + − + − + − ÷ = 3 4 5 6 7 8 9 1 16 (x − 2) − ÷ = 3 9 16 (x − 2) = 9 2(x − 2) = 16 x−2=8 x = 10 Vậy x = 10 Điểm 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Tìm chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; dư b) Cho a b hai số nguyên dương không chia hết cho Biết BCNN(a, b) = 630 ƯCLN(a, b) =18 Tìm hai số a b a) Do B = x183y chia cho dư nên y = Ta có B = x1831 0,5 Vì B = x1831 chia cho dư ⇒ x1831 - M9 ⇒ x1830 M9 0,25 ⇔ x + + + + M9 ⇔ x + M9, mà x chữ số nên x = 0,5 0,25 Vậy x = 6; y = b) ƯCLN ( a, b ) = 18 nên a = 18x; b = 18y x, y nguyên tố +) a.b= ƯCLN(a, b) x BCNN(a, b) = 18.630 0,25 0,5 ⇒18x.18y = 18.630 ⇒ xy = 630 : 18 = 35 +) Vì a, b hai số nguyên dương không chia hết cho nên x, y hai số nguyên dương không chia hết cho nhau: ⇒ x.y = 35 = 5.7 ⇒ x = 5; y = x = 7; y = 0,5 Vậy a = 90; b = 126 a = 126; b = 90 a) Cho p tích 2016 số nguyên tố Chứng minh p - p + khơng số phương 0,25 b) Tìm giá trị nhỏ phân số ab a+b ( ab số có chữ số) a) Nhận xét: Một số phương chia cho dư +) Từ giả thiết, suy p chia hết cho 2, không chia hết cho suy p – chia cho dư ⇒ p – không số +) Như vậy, p M phương; +) Vì p M2 p khơng chia hết cho suy p chia cho dư ⇒ p + chia cho dư nên p + khơng số phương Vậy p - p + không số phương b) Nhận xét: ab số có chữ số suy ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤9 ab 10a + b 9a = = 1+ = 1+ Ta có a + b b a+b a+b 1+ a ( a ≠ ) b ab nhỏ ⇔ lớn ⇔ b = 9; a = a a+b 19 Vậy giá trị nhỏ phân số là: 10 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 Phân số 0,5 0,25 a) Tìm số tự nhiên x, y cho: ( 2x + 1) ( y − ) = 12 b) Hai số 22015 52015 viết hệ thập phân viết liền tạo thành số Hỏi số có chữ số? a) Theo giả thiết, suy 2x + số tự nhiên lẻ y2 – số tự nhiên ⇒ ( 2x + 1) ( y − ) = 12 = 3.4 = 1.12 TH1: 2x + = y2 – = Giải tìm x = y = TH2: 2x + = y2 – = 12 Tìm x = y2 = 17 ( vô lý) Vậy x = y = b) Giả sử 22015 có m chữ số 52015 có n chữ số (m, n nguyên dương) 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 Ta có 10m −1 < 22015 < 10m ; 10n −1 < 52015 < 10n suy 10m + n − < 102015 < 10m + n Do m + n – < 2015 < m + n hay 2015 < m + n < 2017 ⇒ m + n = 2016 Vậy số tạo thành có 2016 chữ số Cho điểm O nằm đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C cho AB = 6cm, AC= 2cm a) Tính BC · · b) Giả sử cho OAB = 80o , tính OAC c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C) Hỏi có góc có đỉnh O cạnh qua điểm thuộc đường thẳng d 0,25 0,25 a) Tính BC Vì A, B, C thuộc đường thẳng d AB > AC nên xảy trường hợp TH1: C nằm A B (hình 1) ⇒AB = AC + CB ⇒ BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm TH2: A nằm B C (hình 2) ⇒ BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm Vậy BC = 4cm BC = 8cm · b) Tính OAC 0,75 0,75 0,25 TH1: C nằm A B (hình 1) · · Tia AC tia AB trùng ⇒OAC = OAB = 80o 0,75 TH2: A nằm B C (hình 2) · · · · Tia AC tia AB đối ⇒OAC; hai góc kề bù ⇒OAC OAB + OAB = 180o · · Suy ra: OAC = 180o − OAB = 180o − 80o = 100o · · Vậy OAC = 80o OAC = 100o c) +) Trên đường thẳng d có 2018 điểm phân biệt +) Cứ điểm đường thẳng d nối với điểm O góc đỉnh O Có đoạn thẳng đường thẳng d có nhiêu góc đỉnh O Số góc đỉnh O qua điểm đường thẳng d : 2018.2017 = 2035153 (góc) Vậy có 2035153 góc đỉnh O Tìm chữ số a, b, c khác thỏa mãn: abbc = ab × ac × 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: abbc = ab × ac × (1) ⇔ 100 ab + bc = ab ac ⇔ ab (7 ac - 100) = bc 0,25 bc bc Vì < < 10 nên < ac - 100 < 10 ab ab 100 110 ⇔ 100 < ac < 110 ⇔ 14 < < ac < < 16 Vậy ac = 15 7 thay vào (1) 1bb5 = 1b × 15 × ⇔ 1005 + 110b = 1050 + 105.b ⇔ ac - 100 = ⇔ 5b = 45 ⇔ b =9 Vậy a = 1; b = 9; c = 0,25 0,25 0,25 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giải khác mà Giám khảo cho điểm không vượt thang điểm ý - Phần hình học, học sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Tổng điểm tồn tổng điểm câu khơng làm tròn ... − x − x − 16 + + + + + = 12 20 30 42 56 72 1 1 16 1 (x − 2) + + + + + ÷= 12 20 30 42 56 72 1 1 16 (x − 2) + + + + + ÷= 3.4 4.5 5 .6 6.7 7.8 8.9 1 1 1 1 1 1 16 (x − 2) ... 2015 20 16 − − − 2014 − 2015 − 20 16 − = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 2014 2015 20 16 1.2.3 2013.2014.2015 = = 2.3.4.5 2014.2015.20 16 20 16 Vậy A = 20 16 b) Tìm... 2015-20 16 Câu Nội dung a) Tính: A = 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ 2014 2015 20 16 x − x − x − x − x − x − 16 + + + + + = b) Tìm x biết: 12 20 30 42 56