Trên đây là 4 bước biến đổi cơ bản, tùy thuộc vào bài toán mà bạn phối hợp chúng với nhau để đưa về kết quả như mong muốn.. Bây giờ xét một ví dụ mẫu sau để xem ta thực hiện các bước bi[r]
(1)“Bạn làm tôi” Nguyễn Chí Phương
Bài học 4: [Chuyên đề tổ hợp & nhị thức NewTon] SỬ DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ TÍNH TỔNG CỦA MỘT CHUỖI SỐ
Công thức nhị thức Newton
(𝑎 + 𝑏)𝑛= ∑ 𝐶𝑛𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 𝑛
𝑘=0
= 𝐶𝑛0𝑎𝑛+ 𝐶𝑛1𝑎𝑛−1𝑏 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1𝑎1𝑏𝑛−1+ 𝐶𝑛𝑛𝑏𝑛 Thay 𝑎 = 1, 𝑏 = 𝑥 ta
𝐶𝑛0+ 𝐶𝑛1𝑥 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1+ 𝐶𝑛𝑛𝑥𝑛= (1 + 𝑥)𝑛 (1) Biến đổi (thay thế): Thay 𝑥 = vào (1) ta tổng
𝑆1= 𝐶𝑛0+ 𝐶𝑛1+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1+ 𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛 Biến đổi (đạo hàm): Đạo hàm vế (1) ta
𝐶𝑛1+ 2𝐶𝑛2𝑥 … + (𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛−2+ 𝑛𝐶𝑛𝑛𝑥𝑛−1= 𝑛(1 + 𝑥)𝑛−1 (2) Lập lại biến đổi cho (2) ta tổng
𝑆2= 𝐶𝑛1+ 2𝐶𝑛2… + (𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑛−1+ 𝑛𝐶𝑛𝑛= 𝑛2𝑛−1 Biến đổi (nhân thêm): Nhân hai vế (1) lượng 𝑥 ta
𝐶𝑛0𝑥 + 𝐶𝑛1𝑥2+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛+ 𝐶𝑛𝑛𝑥𝑛+1= 𝑥(1 + 𝑥)𝑛 (3) Lập lại bước biến đổi cho (3) ta
𝐶𝑛0+ 2𝐶𝑛1𝑥 + ⋯ + 𝑛𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1+ (𝑛 + 1)𝐶𝑛𝑛𝑥𝑛 = (1 + 𝑥)𝑛+ 𝑛𝑥(1 + 𝑥)𝑛−1 (3′) Lập lại bước biến đổi cho (3′) ta tổng
𝑆3= 𝐶𝑛0+ 2𝐶𝑛1+ ⋯ + 𝑛𝐶𝑛𝑛−1+ (𝑛 + 1)𝐶𝑛𝑛= 2𝑛+ 𝑛2𝑛−1= (2 + 𝑛)2𝑛−1 Biến đổi (lấy tích phân): Tích phân vế cận từ tới cho (1) ta tổng
𝑆4= 𝐶𝑛0∫ 𝑑𝑥
+ 𝐶𝑛1∫ 𝑥𝑑𝑥
+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1∫ 𝑥𝑛−1𝑑𝑥
0
+ 𝐶𝑛𝑛∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥
= ∫ (1 + 𝑥)𝑛𝑑𝑥
0 ⇔ 𝑆4= 𝐶𝑛0+
1 2𝐶𝑛
1+ ⋯ +1
𝑛𝐶𝑛
𝑛−1+
𝑛 + 1𝐶𝑛
𝑛 =2𝑛+1−
𝑛 + Trên bước biến đổi bản, tùy thuộc vào toán mà bạn phối hợp chúng với để đưa kết mong muốn Bây xét ví dụ mẫu sau để xem ta thực bước biến đổi Ví dụ: Tính tổng chuỗi sau
𝑆 = 𝐶20121 + 3𝐶2012
2 +3
4𝐶2012
3 + ⋯ +2011
2012𝐶2012
2011+2102
2013𝐶2012 2012. Giải. Từ (1) ứng với 𝑛 = 2012 ta có
(2)“Bạn làm tơi” Nguyễn Chí Phương
𝐶20120 + 𝐶20121 𝑥 + ⋯ + 𝐶2012𝑛−1𝑥2011+ 𝐶20122012𝑥2012= (1 + 𝑥)2012 (4) Thực phép biến đổi cho (4) ta có
𝐶20121 + 2𝐶
20122 𝑥 + 3𝐶20123 𝑥2… + 2011𝐶20122011𝑥2010+ 2012𝐶20122012𝑥2011= 2012(1 + 𝑥)2011 (4′) Thực phép biến đổi cho (4′) ta có
𝐶20121 𝑥 + 2𝐶20122 𝑥2+ 3𝐶20123 𝑥3… + 2011𝐶20122011𝑥2011+ 2012𝐶20122012𝑥2012= 2012𝑥(1 + 𝑥)2011 (4′′) Thực phép biến đổi cho (4′′) ta tổng cần tìm
𝑆 = 𝐶20121 + 3𝐶2012
2 +3
4𝐶2012
3 + ⋯ +2011
2012𝐶2012
2011+2102
2013𝐶2012
2012=2011 22012+
2013
Như toán thực phối hợp theo bước theo thứ tự 2,3,4 để đưa kết mong muốn
Và bạn lưu ý tốn xuất phát ban đầu cho 𝑎 = 1, 𝑏 = 𝑥 đổi lại cho 𝑎 = 1, 𝑏 = −𝑥 ta có loạt tốn tính tổng dựa đẳng thức (1′) sau
𝐶𝑛0− 𝐶𝑛1𝑥 + ⋯ + (−1)𝑛−1𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1+ (−1)𝑛𝐶𝑛𝑛𝑥𝑛= (1 − 𝑥)𝑛 (1′) Từ ta có biến đổi
Biến đổi (cộng đa thức): Cộng (1) (1′) ta
2𝐶𝑛0+ 2𝐶𝑛2𝑥2+ 2𝐶𝑛4𝑥4+ ⋯ + (1 + (−1)𝑛−1)𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1+ (1 + (−1)𝑛)𝐶𝑛𝑛𝑥𝑛 = (1 + 𝑥)𝑛+ (1 − 𝑥)𝑛 Tương tự ta có biến đổi 5’ (trừ đa thức) Sau cách thực biến đổi 1,2,3,4 ta có tổng bạn nhớ để lựa chọn bước cho phù hợp với kết đòi hỏi bạn phải có khả quan sát đánh giá tốt tốn Hy vọng ví dụ sau giúp cho bạn làm quen với loại tốn
Tính tổng chuỗi sau (𝑎) 𝑆1=
𝐶20120
1 +
𝐶20121
2 +
𝐶20122
3 + ⋯ +
𝐶20122012 2013
(𝑏) 𝑆2= 12𝐶20121 + 22𝐶20122 + 32𝐶20123 + ⋯ + 20122𝐶20122012 (𝑐) 𝑆3 = 𝐶200 𝐶1211+ 𝐶201 𝐶1210+ ⋯ + 𝐶2010𝐶121 + 𝐶2011𝐶120
(𝑑) 𝑆4 = 2𝐶200 + 5𝐶201 + 8𝐶202 + ⋯ + 62𝐶2020
(𝑒) Cho khai triển đa thức (1 + 3𝑥)20 = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥3+ ⋯ + 𝑎20𝑥20 Tính tổng, 𝑆5= 𝑎1+ 2𝑎2+ ⋯ + 19𝑎19+ 20𝑎20
(𝑓) 𝑆6= 22𝐶20122 𝑥 + 24𝐶20124 𝑥3+ 26𝐶20124 𝑥5+ ⋯ + 2012 22012𝐶20122012𝑥2011