1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Bất phương trình bậc hai - Chuyên đề đại số 10 - Hoc360.net

16 116 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 16
Dung lượng 0,95 MB

Nội dung

➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.. Phương pháp giải.[r]

(1)

§7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa cách giải

Bất phương trình bậc hai (ẩn x) bất phương trình có dạng 0, ( ) 0, ( ) 0, ( )

f x f x f x f x , f x( ) tam thức bậc hai

Cách giải Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai 2 Ứng dụng

(2)

DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:

a) 3x2 2x b) x2 x 12

c) 5x2 5x d) 36x2 12x Lời giải

a) Tam thức f x( ) 3x2 2xa có hai nghiệm 1 1;

x x2

(f x( ) dấu với hệ số a)

Suy 2 1

3

x x x x

Vậy tập nghiệm bất phương trình : ( ; 1) (1; )

S

b) Tam thức f x x2 x 12 có a có hai nghiệm x1 4; x2 (f x( ) trái dấu với hệ số a)

Suy x2 x 12 x

Vậy tập nghiệm bất phương trình S 4;3

c) Tam thức f x 5x2 5xa (f x( ) dấu với hệ số a)

Suy

5

x x x

Vậy tập nghiệm bất phương trình S \ 5 d) Tam thức f x 36x2 12x 1

a 36 ( )

f x trái dấu với hệ số a nên f x âm với

x

6

f

Suy 36 12 1

6

x x x

Vậy tập nghiệm bất phương trình S Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

a) x2 mx m b) (1 m x) 2mx 2m Lời giải

a) Phương trình có nghiệm

2 4 3 0 4 12 0

2

m

m m m m

m

Vậy với m ( ; 2] [6; ) phương trình có nghiệm

b) Với m phương trình trở thành 2x x suy m thỏa mãn yêu cầu toán

(3)

2 2 1 0 2 0 2 0

m m m m m m

Vậy với m phương trình có nghiệm

Ví dụ 3: Tìm m để x 1;1 nghiệm bất phương trình

2

3x m x m 2m (1) Lời giải

Ta có 3x2 m x m2 2m x m

m

x

* Với

3

m

m m m m ta có

Bất phương trình (1)

3 m

x m

Vậy tập nghiệm bất phương trình (1) ;

m m

Suy x 1;1 nghiệm bất phương trình (1)

khi

4

4

1;1 ; 3

3 1 2

m m

m

m

7

7

m

m

m

Kết hợp với điều kiện

m ta có m thỏa mãn yêu cầu toán

* Với

3

m

m m ta có

Bất phương trình (1)

m

m x

Vậy tập nghiệm bất phương trình (1) 2;4

m m

Suy x 1;1 nghiệm bất phương trình (1)

khi

1

4

1;1 2; 4

3

3

m m

m m

3

3

m

m

m

Kết hợp với điều kiện

m ta có m thỏa mãn yêu cầu toán

* Với

2

m ta có bất phương trình (1)

x nên

2

m không thỏa mãn yêu cầu toán

(4)

Ví dụ 4:Giải biện luận bất phương trình (m 1)x2 2(2m 1)x 4m 2 0 Lời giải

Với m 1: bất phương trình trở thành6x x

Với m ta có g x( ) (m 1)x2 2(2m 1)x 4m tam thức bậc hai có :

1; '

a m m m

Bảng xét dấu m

4

2

m + | + | +

8m 2m + + +

* 1 ( )

'

4

a

m g x x R bất phương trình vơ nghiệm

*

1

0

1 '

1

4

m a

m

( ; )

S x x , với

1

2 (2 1)( 1) (2 1)( 1)

;

1

m m m m m m

x x

m m

*

'

a

m S ( ; ) ( ;x1 x2 )

Kết luận

m bất phương trình có tập nghiệm S ;

1

4 m bất phương trình có tập nghiệm S

2

1

4

m m

bất phương trình có tập nghiệm S ( ; )x x1 2

1

m bất phương trình có tập nghiệm S ( ; ) ( ;x1 x2 ) 2 Bài tập luyện tập

Bài 4.92: Giải bất phương trình sau: a) 2x2 3x b)

4x x c)

2x x

d) 7x 2x2 e) x2 22x 51 f) x2 5x Bài 4.93: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm

a) x2 2mx m b) (m 1)x2 2m x 2m Bài 4.94: Giải biện luận bất phương trình mx2 2mx m 1 0 Bài 4.95: Tìm m để x 0; nghiệm bất phương trình

2 1 8 9 0

(5)

Bài 4.96: Cho hàm số f x x2 bx 1

với 3,7

(6)

DẠNG TỐN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau: a)

2

2

6

x x

x x b)

2

2

3 10

x x

x x

c) 2

5

13

x x

x x d)

2 2

4

2 10

2

x x

x x

x x

Lời giải

a) Ta có 2

1

2 7

1

6 2

3 x x x x x x x x

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S 1;2

b) Ta có 2

3

2

3

3 10

1

x

x x x

x x x x x x

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S ( ; 2] (3; ) c) Ta có

2

1

5

1 53 53

13

2

x

x x

x x x

1 53

2

x

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình 1; 53

S

d) Ta có

2

1

4

5

2 10

2

2 3

1

2

x x

x x

x x x

x x x x

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình 1;3

S

Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình

2

5

1 2

mx x

(7)

a) Giải hệ bất phương trình m

b) Tìm m để hệ bất phương trình nghiệm với x Lời giải

a) Khi m hệ bất phương trình trở thành

2 5 0 21 21

1 21 21

2

2 3 2

2

x

x x

x x

x

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình 21 1; 21

2

S

b) Khi m hệ bất phương trình trở thành 2

x

x (vơ nghiệm) m khơng thỏa

mãn u cầu tốn

Khi m theo câu a ta thấy không thỏa mãn yêu cầu toán

Khi

1 m

m ta có hệ bất phương trình nghiệm với x bất phương trình hệ bất phương trình nghiệm với x

1

2

2

0

1

1 20

20

1 1

' 2 2 0

m m

m m

m m

m m m m m

0

1 17

20

1 4 20

1 17 17

4

m m

m m

m

Vậy 17

4 m 20 giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Tìm tất giá trị tham số m để hệ sau có nghiệm

2

3

2

x x

mx m x m

Lời giải

Ta có bất phương trình x2 3x 2 0 1 x 2 Yêu cầu toán tương đương với bất phương trình:

2 – 2 1 5 3 0

mx m x m (1) có nghiệm x S 1;2

Ta giải tốn phủ định là: tìm m để bất phương trình (1) vơ nghiệm S Tức bất phương trình f x mx2 2 2m 1 x 5m 3 0

(8)

m ta có (2) 3

x x nên (2) khơng với x S

m tam thức f x có hệ số a m, biệt thức ' m2 m Bảng xét dấu

m

2

1

2 m | + | +

2 1

m m + | +

+)

2

m ta có:

'

a

nên f x 0, x , suy

m không thỏa mãn

+)

2

m ta có:

'

a

nên f x 0, x

f , suy

2

m

thỏa mãn

+)

2 m ta có: a f x có hai nghiệm phân biệt

 

1

2 ' '

,

m m

x x

m m (x1 x2)

Do đó:

2

0 x x

f x

x x , suy (2) với x S

1

2 x

x (*) Ta có x1 '

m

2

2

1

0

1 ' 2

'

m

x m

m m

2

1

0

1 2 1 5 1

0

0

2 2 2

2 1

2

m

m m

m

m m

m

Suy (*)

2 m

+)

2

m ta có: a f x có hai nghiệm phân biệt

 

1

2 ' '

,

m m

x x

m m (x1 x2)

(9)

Do (2) với x S

2

1 '

2 ' 1 0

x m

x (**)

m nên (**) vơ nghiệm

Từ đó, ta thấy (2) với x S

2

m

Vậy

2

m giá trị cần tìm 3 Bài tập luyện tập

Bài 4.97: Giải hệ bất phương trình sau:

a) 2

4

2

x x

x x b)

2

5

6

x x

x x

c)

2

2

4

1

x x

x d)

2

1 2

1

13

x x

x x

Bài 4.98: Tìm m để bất phương trình m x2 m x( 1) 2(x 1) nghiệm với 2;1

x

Bài 4.99: Giải biện luận hệ bất phương trình

2

1 2

2

x m x m

x m x m

Bài 4.100: Tìm m để bất phương trình 2x2 2m x m2 2m nghiệm với

;2

x

Bài 4.101: Cho phương trình: x2 2mx m2 m 1 0 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x

(10)

DẠNG TỐN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC

1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình :

a) 2x x2 x b) x4 5x2 2x Lời giải

a) Bảng xét dấu x

2

2

1

2 2x | + | +

2 1

x x + – | – + VT + + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho là:

1 1

S ; ;

2 2

b) Bất phương trình (x4 4x2 4) (x2 2x 1)

2 2

(x 2) (x 1) (x2 x 3)(x2 x 1) 0 Bảng xét dấu

x

13

1

2

1 13

1

2

2 3

x x + – | – + | +

2 1

x x + | + – | – + VT + – + – + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho là:

1 13 13

; ;

2 2

S

Ví dụ 2: Giải bất phương trình : a)

2

2

1

0

3

x

x x x b)

2

2

2

10

8 x x

x

Lời giải

a) Bảng xét dấu

x

3 1

x + | + | + + | + | + 3

x + | | | + | +

3x 2x | + + | + | + VT || + || + || + || Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho là:

4

3; 1;1 3;2

3

S

b) Ta có

2

2

2

2

10 10

8

x x

x x

(11)

2 2 4

2

2 2

2

2 10 81

0

8

9 9

0

8

x x x x

x x

x x x

x x

Bảng xét dấu

x 3 2 2 2 2 3

9 x + | + | + 8

x + | + | + | + VT + || || + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho

[ 3; 2) (2 2;3]

S

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau a) 2 x x

x x b)

2 1 x x x x Lời giải

a) Vì x2 x nên

2 2

2

2 2

2 2

2

0 0

1 1

x x x x x x x x

x x

x x x x x x

Bảng xét dấu x

1

2

2 2

x x + | | +

2 2

x x + | + | + | + | +

2 1

x x + | + || || + +

2

2

2

1

x x x x

x x

+ || + || + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho

1 5

( ; 1] ; [2; )

2

S

b) ĐKXĐ: 2

1

1

3

3

2

x

x x

x

x x x

x

x2 x nên

2

2

2

2

1 1

1

0

3 6

0

3

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

(12)

x 2 3 0 1 3

x x + + + | +

2 3 6

x x + | | +

2 3 6

x x

x x

+ || + || +

Dựa vào bảng xét dấu đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình cho 1;0 [1; 3)

S

Nhận xét: Ở câu b phải đặt điều kiện phép biến đổi đảm bảo phép biến đổi tương đươc

Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình

3

3 (*)

3

x

x m m

x x x có nghiệm

Lời giải Ta có 2 2 2

2 3

1 0

3

* 3

x x x

x

x x

x x x

x m m x m m

(**)

Bảng xét dấu

x 3 57

6

3 57

6

x + + +

2

x +

2

3x 3x + + + + +

2 3

x + + + +

2

2 3

x x x

x x + || + || + || +

Tập nghiệm bất phương trình

2

2 3

0

1

x x x

x x

3 57 57

; ;1 3;2

6

S

Do bất phương trình (*) có nghiệm hệ bất phương trình (**) có nghiệm

2 2 2 0 2 1

m m m m m

Vậy m giá trị cần tìm 2 Bài tập luyện tập

Bài 4.102: Giải bất phương trình sau

a) (4 )( 2x x2 3x 1) b) 2

x x

x x

c) x4 x2 2x d)

2

2

4

0

x x x

x x e) 2 2 x x

x x f)

(13)

Bài 4.103: Ta có

3

2

1

2

3

3

x

x x

bpt

x m m

m m x

Bất phương trình cho có nghiệm

2 3 1 3 1 0 5

2

(14)

DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

1 Phương pháp giải

• Ta đưa bất đẳng thức dạng ax2 bx c 0

, ax2 bx c 0,

2 0

ax bx c ax2 bx c chứng minh(theo thứ tự) 0 a

,

0 a

,

0 a

0 a

• Nếu BĐT cần chứng minh có dạng: A2 4BC

(hoặc A2 BC) ta chứng minh tam thức f x( ) Bx2 Ax C (hoặc f x( ) Bx2 2Ax C) ln dấu với B Khi ta có

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai số thực x y, Chứng minh 3x2 5y2 2x 2xy 1 0 Lời giải

Viết bất đẳng thức lại dạng 3x2 2(y 1)x 5y2 1 0 Đặt f x( ) 3x2 2(y 1)x 5y2 1

xem y tham số f x tam thức bậc hai ẩn x có hệ số ax

2 2

' ( 1) 3(5 1) 14 2

x y y y y

Xét tam thức g y 14y2 2y 2

có hệ số ay 14 'y 27 Suy 'x

Do f x với x y,

Nhận xét: * Khi gặp tốn chứng minh BĐT có dạng: f a a( , , , )1 2 an 1, , ,2 n

a a af a a( , , , )1 2 an g a( )i tam thức bậc hai với ẩn ai có hệ số a 0, ta sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh Khi g a( )i 0

i

a Ví dụ 2: Cho x y z, , số thực Chứng minh

2 2 2 4 2 2 1 0

x y z x y z xyz y z yz

Lời giải

Bất đẳng thức viết lại 1 y z x2 2 4xyz y2 z2 y z2 2yz 1 0

Đặt f x 1 y z x2 2 4xyz y2 z2 y z2 2yz 1, f x

tam thức bậc hai ẩn x có hệ số a y z2 'x 4y z2 y z2 y2 z2 y z2 2yz

2 2 3 4

(1 2 )

'x y yz z y z y z y z y z y z

Áp dụng BĐT a2 b2 2ab ta có 2 2 3

y z y z y z , y z4 2y z2 y2 z2 2yz Cộng vế với vế lại suy 'x

Do f x 0, x y z, , ĐPCM

(15)

Chứng minh rằng: xy yz zx Lời giải

* Nếu ba số x,y,z có số 0, chẳng hạn x b y2 c z2

2

2

c

xy yz zx yz z

b

* x y z, , 0.Do a x2 b y2 c z2

2 2 b y c z x

a

xy yz zx

2 2

(y z)b y c z yz a

2 2 2 2

( ) ( )

f y b y b c a yz c z

Tam thức f y( ) có y (b2 c2 a2 2) 4b c z2 2

Vì |b c | a 2bc b2 c2 a2 2bc

b c a

2 2 2

(b c a ) 4c b y 0, z f y( ) ,y z

Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số a a1, , , , , , ,2 a b bn 1 2 bn Chứng minh :

2 2 2 2

1 2 2

(a b a b a bn n) (a a an)(b b bn) Lời giải

* Nếu 2

1 n

a a a BĐT hiển nhiên

* Nếu 2

1 n

a a a Xét tam thức :

2 2

1 1 2

( ) n 2( n n)

f x a a a x a b a b a b x

b12 b22 bn2

(a x1 b1)2 (a x2 b2)2 (a xn bn)2 x

1 2

(a b a b a bn n)

(a12 a22 an2)(b12 b22 bn2)

2 2 2 2

1 2 2

(a b a b a bn n) (a a an)(b b bn) Đẳng thức có

1

n

n

a a a

b b b

3 Bài tập luyện tập

Bài 4.104: Tìm tất giá trị y cho BĐT sau với x z, R

2 9 5 6 4 12 2 1 0

x y z xy xz yz z

Bài 4.105: Cho x, y, z 0thỏa mãn: xy yz zx xyz Chứng minh : x y z xy yz zx

Bài 4.106: Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng:

2 2

2( ) 5( )

xzy x y z x y z (THTT)

Bài 4.107: Cho số thực x y, thỏa mãn bất phương trình5x2 5y2 5x 15y Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x y

(16)

Bài 4.109: Cho số thực x y z, , thỏa mãn x2 y2 z2 x y z Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức

2

x y

P

z

Bài 4.110: Cho a b c, , số thực Chứng minh

2

2(a b c ab bc ca 1) (ab bc ca 2)

Bài 4.111: Cho a b số thực thỏa mãn 9a2 8ab 7b2 Chứng minh 7a 5b 12ab

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Ngày đăng: 04/04/2021, 20:10

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w