➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.. Phương pháp giải.[r]
(1)§7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa cách giải
Bất phương trình bậc hai (ẩn x) bất phương trình có dạng 0, ( ) 0, ( ) 0, ( )
f x f x f x f x , f x( ) tam thức bậc hai
Cách giải Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai 2 Ứng dụng
(2)➢ DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:
a) 3x2 2x b) x2 x 12
c) 5x2 5x d) 36x2 12x Lời giải
a) Tam thức f x( ) 3x2 2x có a có hai nghiệm 1 1;
x x2
(f x( ) dấu với hệ số a)
Suy 2 1
3
x x x x
Vậy tập nghiệm bất phương trình : ( ; 1) (1; )
S
b) Tam thức f x x2 x 12 có a có hai nghiệm x1 4; x2 (f x( ) trái dấu với hệ số a)
Suy x2 x 12 x
Vậy tập nghiệm bất phương trình S 4;3
c) Tam thức f x 5x2 5x có a (f x( ) dấu với hệ số a)
Suy
5
x x x
Vậy tập nghiệm bất phương trình S \ 5 d) Tam thức f x 36x2 12x 1
có a 36 ( )
f x trái dấu với hệ số a nên f x âm với
x
6
f
Suy 36 12 1
6
x x x
Vậy tập nghiệm bất phương trình S Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
a) x2 mx m b) (1 m x) 2mx 2m Lời giải
a) Phương trình có nghiệm
2 4 3 0 4 12 0
2
m
m m m m
m
Vậy với m ( ; 2] [6; ) phương trình có nghiệm
b) Với m phương trình trở thành 2x x suy m thỏa mãn yêu cầu toán
(3)2 2 1 0 2 0 2 0
m m m m m m
Vậy với m phương trình có nghiệm
Ví dụ 3: Tìm m để x 1;1 nghiệm bất phương trình
2
3x m x m 2m (1) Lời giải
Ta có 3x2 m x m2 2m x m
m
x
* Với
3
m
m m m m ta có
Bất phương trình (1)
3 m
x m
Vậy tập nghiệm bất phương trình (1) ;
m m
Suy x 1;1 nghiệm bất phương trình (1)
khi
4
4
1;1 ; 3
3 1 2
m m
m
m
7
7
m
m
m
Kết hợp với điều kiện
m ta có m thỏa mãn yêu cầu toán
* Với
3
m
m m ta có
Bất phương trình (1)
m
m x
Vậy tập nghiệm bất phương trình (1) 2;4
m m
Suy x 1;1 nghiệm bất phương trình (1)
khi
1
4
1;1 2; 4
3
3
m m
m m
3
3
m
m
m
Kết hợp với điều kiện
m ta có m thỏa mãn yêu cầu toán
* Với
2
m ta có bất phương trình (1)
x nên
2
m không thỏa mãn yêu cầu toán
(4)Ví dụ 4:Giải biện luận bất phương trình (m 1)x2 2(2m 1)x 4m 2 0 Lời giải
Với m 1: bất phương trình trở thành6x x
Với m ta có g x( ) (m 1)x2 2(2m 1)x 4m tam thức bậc hai có :
1; '
a m m m
Bảng xét dấu m
4
2
m + | + | +
8m 2m + + +
* 1 ( )
'
4
a
m g x x R bất phương trình vơ nghiệm
*
1
0
1 '
1
4
m a
m
( ; )
S x x , với
1
2 (2 1)( 1) (2 1)( 1)
;
1
m m m m m m
x x
m m
*
'
a
m S ( ; ) ( ;x1 x2 )
Kết luận
m bất phương trình có tập nghiệm S ;
1
4 m bất phương trình có tập nghiệm S
2
1
4
m m
bất phương trình có tập nghiệm S ( ; )x x1 2
1
m bất phương trình có tập nghiệm S ( ; ) ( ;x1 x2 ) 2 Bài tập luyện tập
Bài 4.92: Giải bất phương trình sau: a) 2x2 3x b)
4x x c)
2x x
d) 7x 2x2 e) x2 22x 51 f) x2 5x Bài 4.93: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
a) x2 2mx m b) (m 1)x2 2m x 2m Bài 4.94: Giải biện luận bất phương trình mx2 2mx m 1 0 Bài 4.95: Tìm m để x 0; nghiệm bất phương trình
2 1 8 9 0
(5)Bài 4.96: Cho hàm số f x x2 bx 1
với 3,7
(6)➢ DẠNG TỐN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau: a)
2
2
6
x x
x x b)
2
2
3 10
x x
x x
c) 2
5
13
x x
x x d)
2 2
4
2 10
2
x x
x x
x x
Lời giải
a) Ta có 2
1
2 7
1
6 2
3 x x x x x x x x
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S 1;2
b) Ta có 2
3
2
3
3 10
1
x
x x x
x x x x x x
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S ( ; 2] (3; ) c) Ta có
2
1
5
1 53 53
13
2
x
x x
x x x
1 53
2
x
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình 1; 53
S
d) Ta có
2
1
4
5
2 10
2
2 3
1
2
x x
x x
x x x
x x x x
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình 1;3
S
Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình
2
5
1 2
mx x
(7)a) Giải hệ bất phương trình m
b) Tìm m để hệ bất phương trình nghiệm với x Lời giải
a) Khi m hệ bất phương trình trở thành
2 5 0 21 21
1 21 21
2
2 3 2
2
x
x x
x x
x
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình 21 1; 21
2
S
b) Khi m hệ bất phương trình trở thành 2
x
x (vơ nghiệm) m khơng thỏa
mãn u cầu tốn
Khi m theo câu a ta thấy không thỏa mãn yêu cầu toán
Khi
1 m
m ta có hệ bất phương trình nghiệm với x bất phương trình hệ bất phương trình nghiệm với x
1
2
2
0
1
1 20
20
1 1
' 2 2 0
m m
m m
m m
m m m m m
0
1 17
20
1 4 20
1 17 17
4
m m
m m
m
Vậy 17
4 m 20 giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Tìm tất giá trị tham số m để hệ sau có nghiệm
2
3
2
x x
mx m x m
Lời giải
Ta có bất phương trình x2 3x 2 0 1 x 2 Yêu cầu toán tương đương với bất phương trình:
2 – 2 1 5 3 0
mx m x m (1) có nghiệm x S 1;2
Ta giải tốn phủ định là: tìm m để bất phương trình (1) vơ nghiệm S Tức bất phương trình f x mx2 2 2m 1 x 5m 3 0
(8)•m ta có (2) 3
x x nên (2) khơng với x S
• m tam thức f x có hệ số a m, biệt thức ' m2 m Bảng xét dấu
m
2
1
2 m | + | +
2 1
m m + | +
+)
2
m ta có:
'
a
nên f x 0, x , suy
m không thỏa mãn
+)
2
m ta có:
'
a
nên f x 0, x
f , suy
2
m
thỏa mãn
+)
2 m ta có: a f x có hai nghiệm phân biệt
1
2 ' '
,
m m
x x
m m (x1 x2)
Do đó:
2
0 x x
f x
x x , suy (2) với x S
1
2 x
x (*) Ta có x1 '
m
2
2
1
0
1 ' 2
'
m
x m
m m
2
1
0
1 2 1 5 1
0
0
2 2 2
2 1
2
m
m m
m
m m
m
Suy (*)
2 m
+)
2
m ta có: a f x có hai nghiệm phân biệt
1
2 ' '
,
m m
x x
m m (x1 x2)
(9)Do (2) với x S
2
1 '
2 ' 1 0
x m
x (**)
Vì m nên (**) vơ nghiệm
Từ đó, ta thấy (2) với x S
2
m
Vậy
2
m giá trị cần tìm 3 Bài tập luyện tập
Bài 4.97: Giải hệ bất phương trình sau:
a) 2
4
2
x x
x x b)
2
5
6
x x
x x
c)
2
2
4
1
x x
x d)
2
1 2
1
13
x x
x x
Bài 4.98: Tìm m để bất phương trình m x2 m x( 1) 2(x 1) nghiệm với 2;1
x
Bài 4.99: Giải biện luận hệ bất phương trình
2
1 2
2
x m x m
x m x m
Bài 4.100: Tìm m để bất phương trình 2x2 2m x m2 2m nghiệm với
;2
x
Bài 4.101: Cho phương trình: x2 2mx m2 m 1 0 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x
(10)➢ DẠNG TỐN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC
1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải bất phương trình :
a) 2x x2 x b) x4 5x2 2x Lời giải
a) Bảng xét dấu x
2
2
1
2 2x | + | +
2 1
x x + – | – + VT + + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho là:
1 1
S ; ;
2 2
b) Bất phương trình (x4 4x2 4) (x2 2x 1)
2 2
(x 2) (x 1) (x2 x 3)(x2 x 1) 0 Bảng xét dấu
x
13
1
2
1 13
1
2
2 3
x x + – | – + | +
2 1
x x + | + – | – + VT + – + – + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho là:
1 13 13
; ;
2 2
S
Ví dụ 2: Giải bất phương trình : a)
2
2
1
0
3
x
x x x b)
2
2
2
10
8 x x
x
Lời giải
a) Bảng xét dấu
x
3 1
x + | + | + + | + | + 3
x + | | | + | +
3x 2x | + + | + | + VT || + || + || + || Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho là:
4
3; 1;1 3;2
3
S
b) Ta có
2
2
2
2
10 10
8
x x
x x
(11)2 2 4
2
2 2
2
2 10 81
0
8
9 9
0
8
x x x x
x x
x x x
x x
Bảng xét dấu
x 3 2 2 2 2 3
9 x + | + | + 8
x + | + | + | + VT + || || + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho
[ 3; 2) (2 2;3]
S
Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau a) 2 x x
x x b)
2 1 x x x x Lời giải
a) Vì x2 x nên
2 2
2
2 2
2 2
2
0 0
1 1
x x x x x x x x
x x
x x x x x x
Bảng xét dấu x
1
2
2 2
x x + | | +
2 2
x x + | + | + | + | +
2 1
x x + | + || || + +
2
2
2
1
x x x x
x x
+ || + || + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho
1 5
( ; 1] ; [2; )
2
S
b) ĐKXĐ: 2
1
1
3
3
2
x
x x
x
x x x
x
Vì x2 x nên
2
2
2
2
1 1
1
0
3 6
0
3
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
(12)x 2 3 0 1 3
x x + + + | +
2 3 6
x x + | | +
2 3 6
x x
x x
+ || + || +
Dựa vào bảng xét dấu đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình cho 1;0 [1; 3)
S
Nhận xét: Ở câu b phải đặt điều kiện phép biến đổi đảm bảo phép biến đổi tương đươc
Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình
3
3 (*)
3
x
x m m
x x x có nghiệm
Lời giải Ta có 2 2 2
2 3
1 0
3
* 3
x x x
x
x x
x x x
x m m x m m
(**)
Bảng xét dấu
x 3 57
6
3 57
6
x + + +
2
x +
2
3x 3x + + + + +
2 3
x + + + +
2
2 3
x x x
x x + || + || + || +
Tập nghiệm bất phương trình
2
2 3
0
1
x x x
x x
3 57 57
; ;1 3;2
6
S
Do bất phương trình (*) có nghiệm hệ bất phương trình (**) có nghiệm
2 2 2 0 2 1
m m m m m
Vậy m giá trị cần tìm 2 Bài tập luyện tập
Bài 4.102: Giải bất phương trình sau
a) (4 )( 2x x2 3x 1) b) 2
x x
x x
c) x4 x2 2x d)
2
2
4
0
x x x
x x e) 2 2 x x
x x f)
(13)Bài 4.103: Ta có
3
2
1
2
3
3
x
x x
bpt
x m m
m m x
Bất phương trình cho có nghiệm
2 3 1 3 1 0 5
2
(14)➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
1 Phương pháp giải
• Ta đưa bất đẳng thức dạng ax2 bx c 0
, ax2 bx c 0,
2 0
ax bx c ax2 bx c chứng minh(theo thứ tự) 0 a
,
0 a
,
0 a
0 a
• Nếu BĐT cần chứng minh có dạng: A2 4BC
(hoặc A2 BC) ta chứng minh tam thức f x( ) Bx2 Ax C (hoặc f x( ) Bx2 2Ax C) ln dấu với B Khi ta có
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai số thực x y, Chứng minh 3x2 5y2 2x 2xy 1 0 Lời giải
Viết bất đẳng thức lại dạng 3x2 2(y 1)x 5y2 1 0 Đặt f x( ) 3x2 2(y 1)x 5y2 1
xem y tham số f x tam thức bậc hai ẩn x có hệ số ax
2 2
' ( 1) 3(5 1) 14 2
x y y y y
Xét tam thức g y 14y2 2y 2
có hệ số ay 14 'y 27 Suy 'x
Do f x với x y,
Nhận xét: * Khi gặp tốn chứng minh BĐT có dạng: f a a( , , , )1 2 an 1, , ,2 n
a a a mà f a a( , , , )1 2 an g a( )i tam thức bậc hai với ẩn ai có hệ số a 0, ta sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh Khi g a( )i 0
i
a Ví dụ 2: Cho x y z, , số thực Chứng minh
2 2 2 4 2 2 1 0
x y z x y z xyz y z yz
Lời giải
Bất đẳng thức viết lại 1 y z x2 2 4xyz y2 z2 y z2 2yz 1 0
Đặt f x 1 y z x2 2 4xyz y2 z2 y z2 2yz 1, f x
tam thức bậc hai ẩn x có hệ số a y z2 'x 4y z2 y z2 y2 z2 y z2 2yz
2 2 3 4
(1 2 )
'x y yz z y z y z y z y z y z
Áp dụng BĐT a2 b2 2ab ta có 2 2 3
y z y z y z , y z4 2y z2 y2 z2 2yz Cộng vế với vế lại suy 'x
Do f x 0, x y z, , ĐPCM
(15)Chứng minh rằng: xy yz zx Lời giải
* Nếu ba số x,y,z có số 0, chẳng hạn x b y2 c z2
2
2
c
xy yz zx yz z
b
* x y z, , 0.Do a x2 b y2 c z2
2 2 b y c z x
a
xy yz zx
2 2
(y z)b y c z yz a
2 2 2 2
( ) ( )
f y b y b c a yz c z
Tam thức f y( ) có y (b2 c2 a2 2) 4b c z2 2
Vì |b c | a 2bc b2 c2 a2 2bc
b c a
2 2 2
(b c a ) 4c b y 0, z f y( ) ,y z
Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số a a1, , , , , , ,2 a b bn 1 2 bn Chứng minh :
2 2 2 2
1 2 2
(a b a b a bn n) (a a an)(b b bn) Lời giải
* Nếu 2
1 n
a a a BĐT hiển nhiên
* Nếu 2
1 n
a a a Xét tam thức :
2 2
1 1 2
( ) n 2( n n)
f x a a a x a b a b a b x
b12 b22 bn2
(a x1 b1)2 (a x2 b2)2 (a xn bn)2 x
1 2
(a b a b a bn n)
(a12 a22 an2)(b12 b22 bn2)
2 2 2 2
1 2 2
(a b a b a bn n) (a a an)(b b bn) Đẳng thức có
1
n
n
a a a
b b b
3 Bài tập luyện tập
Bài 4.104: Tìm tất giá trị y cho BĐT sau với x z, R
2 9 5 6 4 12 2 1 0
x y z xy xz yz z
Bài 4.105: Cho x, y, z 0thỏa mãn: xy yz zx xyz Chứng minh : x y z xy yz zx
Bài 4.106: Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng:
2 2
2( ) 5( )
xzy x y z x y z (THTT)
Bài 4.107: Cho số thực x y, thỏa mãn bất phương trình5x2 5y2 5x 15y Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x y
(16)Bài 4.109: Cho số thực x y z, , thỏa mãn x2 y2 z2 x y z Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức
2
x y
P
z
Bài 4.110: Cho a b c, , số thực Chứng minh
2
2(a b c ab bc ca 1) (ab bc ca 2)
Bài 4.111: Cho a b số thực thỏa mãn 9a2 8ab 7b2 Chứng minh 7a 5b 12ab
https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/