Tài liệu Tich luy chuyen mon thang 1. 2011

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ: I/ Tóm tắt kiến thức: Định nghóa: Bất đẳng thức hai biểu thức nối với mọt dấu >(lớn hơn), < (nhỏ hơn), ≥ (lớn bằng), ≤ (nhỏ bằng) Ta có: A > B ⇔ A – B > ; A ≥ B ⇔A–B ≥ − Trong bất đẳng thức A > B ( A < B, A ≥ B, A ≤ B), A gọi vế trái, B vế phải bất đẳng thức − Các bất đẳng thức A > B C > D gọi bất đẳng thức chiều Các bất đẳng thức A > B E < F gọi bất đẳng thức trái chiều − Nếu ta có A > B ⇒ C > D, ta nói bất đẳng thức C >D hệ bất đẳng thức A > B Nếu ta có A > B ⇔ E > F , ta nói hai bất đẳng thức A > B E > F hai bất đẳng thức tương đương A > B(hoặc A < B) bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( A ≤ B) bất đẳng thức không ngặt A ≥ B A > B A = B A ≠ B bất đẳng thức Hai bất đẳng thức chiều, hợp thành dãy không mâu thuẫn gọi bất đẳng thức kép Ví dụ: A Min (a + b) =2 p a = b = p - Giải phương trình, hệ phương trình II/ Bài tập áp dụng: Giải bất đẳng thức không điều kiện ràng buột biến: a2 b2 c2 Bài 1: Cho số thực dương a, b, c CMR: + + b +c a +c b +a ≥ a +b +c Bài giải: b +c a ≥ a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) + b +c a +c a +b b2 c2 ≥ b; vaø ≥c Tương tự ta có: + + 4 a +c b +a a +b +c a2 b2 c2 a2 b2 c2 ≥ a + b + c => => + + + + + b +c a +c b +a b +c a +c b +a 2 a +b +c a b c ≥ Vaäy + + b +c a +c b +a Với a, b, c > ta có: Bài 2: Cho3 số dương a, b, c CMR: a3 b + b3 c + c3 a ≥ a ac + b ba + c ab Bài giải: ≥ a +b +c (đpcm) Ta coù: a3 + b3 c3 = a3 + bc + b3 + ca + c3 + ab – (ac + cb + ab) = a3 + bc + b3 + ca + c3 + ab– ( a b c a b c a ab bc ab ac bc ac ab.bc ab.ac bc.ac a3 b3 c3 + + + + + ) ≥2 bc + ac + ab + -2 -2 = 2 2 2 4 c c a b c + = 2a ac +2b ba + 2c ab - a ac -b ba - c ab = a ac + b ba + c ab (ñpcm) 3 a b c ≥ a ac + b ba + c ab ∀ a, b, c > Vaäy + + b c a ab bc ca a+ b+c + + ≤ Baøi 3: CMR: ∀ a, b, c > ta coù: a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b Bài giải: 1 1 1 1 ≤ ( + + ) p dụng bất đẳng thức: ( + + )(a + b + c) ≥ 3 3 abc = ⇒ a b c a+ b+c a b c abc ab ab ab ( 1 ) = + + ≤ a + 3b + 2c a + c + b + c + 2b a + c b + c 2b bc bc 1 ca ca 1 + + ) + + ≤ ≤ Tương tự: ( ( ) b + 3c + 2a b + a a + c 2c c + 3a + 2b b + c b + a 2a ab 1 bc 1 ca 1 ab bc + + + + )+ + + VT ≤ ( )+ ( ( )=( + ) + a + c b + c 2b b + a a + c 2c b + c b + a 2a 9 a+c ab ca bc ca a b c b(a + c) a(b + c) c(b + a) a b c ( + ) +( + ) + + + = + + + + + = 9 b+c 9 b + a 18 18 18 9(a + c) 9(b + c) 9(b + a) 18 18 18 a b c a b c a b c a+ b+c = + + + + + = + + = = VP 9 18 18 18 6 6 ab bc ca a+ b+c + + ≤ ∀ a, b, c > Vaäy a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b ab bc ca a b c ≥ Baøi 4:Cho a, b, c > CMR: + + + + (1) c(c + a) a(a + b) b(b + c) a+c a+b b+c Bài giải: b a c b a c a b c ≥ Bất đẳng thức cho tương dương: ⇔ + + + + c c+a a a+ b b b+c a+c a+b b+c b c a 1 1 + a a + b b + a + b ⇔ c c c ≥ +1 +1 +1 +1 +1 +1 a b c a b c a b c a b c Đặt = x, = y, =z => = xyz = vaø z, y, x > b c a b c a ⇒ 1 1 1 ≥ + z + x + + y +1 z +1 x +1 z +1 x +1 y +1 ⇔ y(x+1)(y+1)+z( y + 1)(z + 1)+x(x + 1)(z + 1) ≥ (x + 1)(y + 1)+( y + 1)(z + 1)+(x + 1)(z + 1) ⇔ (y – 1)(x+1)(y+1)+(z – 1)( y + 1)(z + 1)+(x – 1)(x + 1)(z + 1) ≥ ⇔ y2x + y2 – x – + z2y + z2 – y – + x2z + x2 – z – ≥ ⇔ ( y2x+ x2z+ z2y) + ( y2+ z2+ x2) – (x + y + z) – ≥ (*) ⇒ BÑT:y Aùp dụng bất đẳng thức cô si, ta có: y x+ x z+ z2y ≥ 33 y x.x z.z y = 3xyz =3; y2+ z2+ x2 ≥ 33 y x z = 33 = 3;x + y + z ≥ 33 yxz = VT cuûa (*) ≥ + – – =0 = VP => (*) => (1) ab bc ca a b c ≥ Vaäy + + + + c(c + a) a(a + b) b(b + c) a+c a+b b+c 2 1 Bài 5:Cho số dương a, b, c CMR: a(1 + b) + b(1 + c) + c(1 + a ) ≤ abc (1 + abc ) Baøi giải: Đặt P =VT.p dụng bất đẳng thức: ∀ x, y, z số thực,ta có:(x + y + z)2 ≥3(xy + yz + zx), suy 1 3(c (1 + a ) + a (1 + b) + b(1 + c )) + + ) = ra:P2 ≥ 3( = abc (1 + a )(1 + b)(1 + c ) ab(1 + b)(1 + c) bc(1 + c)(1 + a) ca(1 + a)(1 + b) 3((1 + a )(1 + b)(1 + c) − abc −1) abc(1 + a )(1 + b)(1 + c) 3 => P2 ≥ abc − (1 + a )(1 + b)(1 + c) − abc(1 + a )(1 + b)(1 + c ) = (1) Đặt t = abc Theo bất đẳng thức Cô - si ta lại có: (1 + a)(1 + b)(1 + c) = + (a + b + c) + (ab + bc + ca) ≥ + 3t + 3t2 + t3 = (1 + t)3 Từ (1)và (2) suy ra: P2 ≥ 3 ⇒P ≥ t (1 + t ) = 3 3((1 + t ) − t − 1) − − = t (1 + t ) 3 = 3 t (1 + t ) t (1 + t ) t (1 + t ) abc (1 + abc ) Baøi 6: Cho a, b, c > Chứng minh: ( P > 0) a + b+c Đặt a + b + c = t b+c b+c+a t +1 b+c ≤ a = = hay a 2a a 2 2b 2c b c ≥ ≥ Tương tự: t t c+a a+ b b c + > c+a a+b Bài giải: a ≥ b+c 2a 2b + 2c = 2(a + b + c) = 2t = b + c ≥ + t t t t t c+a a+b b+c a+c b+a Dấu xảy khi: = 1, = 1, =1 a b c a = b + c  ⇒  b = a + c ⇔ a + b + c = 2(a + b + c) ⇔ a + b + c = (*) c = a + b  Theo giả thiết a + b + c ≠ ⇒ (*) không xảy Vậy dấu không xảy ⇒ a + b+c ⇒ a + b+c b + c > (ñpcm) c+a a+b Bài 7: Cho x, y, z số không âm.CMR: Bài giải: x y + y3 z3 + x z3 ≥ x2y2z2 Theo bất đẳng thức Cô – si, ta coù: ⇔ x3y3 + x3z3 + y3z3 ≥ 3x2y2z2 ⇔ 6x3y3 + 6x3z3 + 6y3z3 ≥ 18x2y2z2 (*) Lại có: (x3 – xyz)2 ≥ ⇔ x6 + x2y2z2 ≥ 2x4yz x y + y3 z + x z ⇔ x6 + ≥ 2x4yz (1) x y3 + y3 z3 + x z3 ≥ 2y4xz (2) Tương tự: y + 3 (2) x y + y3 z3 + x z3 ≥ 2z4xy (3) z + 3 3 3 Từ (1), (2), (3) ta có: x6 + y6 + z6 + x y + y z + x z ≥2x4yz + 2y4xz + 2z4xy (4) 3 3 3 Từ (4) (*) ta có: x6 + y6 + z6 +7 x y + 7y z + 7x z ≥ 2x4yz + 2y4xz + 2z4xy + 18x2y2z2 (*’) x6 + y6 + z6 x6 + y6 + z6 2 ≥x y z Do ñoù: x + ≥ 2x4yz Ta coù: 3 6 6 x +y +z x + y6 + z6 ≥ 2y4xz ; z6 + ≥2z4xy Tương tự: y6 + 3 Cộng theo vế ta có: 2(x6 + y6 + z6) ≥ 2x4yz + 2y4xz + 2z4xy ⇔ 7x6 + 7y6 + 7z6 ≥ 7x4yz + 7y4xz + 7z4xy (5) 3 3 3 Coäng theo vế (*’) và(5) ta có: 8x6+8y6+8z6+7 x y + 7y z + 7x z ≥9x4y+9y4xz+9z4xy+ 18x2y2z2 ⇔ 8(x6 + y6 + z6 + x y3 + 2y3 z3 + 2x3 z3 ) ≥ 9(x4y + y4xz + z4xy+ 2x2y2z2 + x y3 + y3 z3 + x z ) ⇔ 8(x3 + y3 + z3)2 ≥ 9(x2(y2z2 + x2yz + xy3 + xz3)+ yz(x2yz + xy3 + y2z2+ xz3) ⇔ 8(x3 + y3 + z3)2 ≥ 9(x2 + yz)( y2z2 + x2yz + xy3 + xz3) ⇔ 8(x3 + y3 + z3)2 ≥ 9(x2 + yz)(y2(z2 + xy) + xz(z2 + xy)) = 9(x2 + yz)(y2 + xz)(z2 + xy)(đpcm) Vậy 8(x3 + y3 + z3)2 ≥ 9(x2 + yz)(y2 + xz)(z2 + xy) Giải bất đẳng thức có điều kiện ràng buột biến: Bài 8: Cho xy = x > y Chứng minh: x2 + y2 x−y ≥2 Bài giải: Do x > y => x – y > Ta coù: x2 + y2 x−y = ( x − y ) + xy x−y = ( x − y) + x−y = (x – y) + x −y ≥2 ( x − y ) x −y =2 (Aùp duïng bất đẳng thức Cosi cho số dương) Vậy x2 + y2 x−y ≥2 xy = vaø x > y Bài 9: Cho số không âm a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = Chứng minh: a+b + b+c + c+d + d +a ≤ 2 Bài giải: Bất đẳng thức cho tương đương: ⇔ ( a + b + b + c )2 + ( c + d + d + a )2 + ( a + b + b + c ) ( c + d + d + a ) ≤ ⇔ a + b + c + d + (a + b)(b + c) + a + b + c + d + (c + d )(d + a ) + ( a + b)(c + d ) + ( a + b)( d + a) + (b + c )(c + d ) +2 (b + c)( d + a) ≤ ⇔ 2(a + b + c + d)+ (a + b)(b + c) + (c + d )(d + a) + (a + b)(c + d ) + (a + b)(d + a ) + (b + c)(c + d ) +2 (b + c )(d + a) ≤ p dụng bất đẳng thức Côsi: (a + b)(b + c) ≤ a + b + b+ c = a +2b + c; (b + c )(d + a) ≤ a + b + c + d (c + d )(d + a) ≤ c + d + d + a = c + 2d + a; ( a + b)(c + d ) ≤ a + b + c + d (a + b)(d + a ) ≤ a + b + d + a = 2a + b + d;2 (b + c)(c + d ) ≤ b + c + c + d = b + 2c + d Coäng theo veá:VT ≤ 2(a + b + c + d) + a +2b + c + c + 2d + a + a + b + c + d + 2a + b + d + b + 2c + d + a + b + c + d ≤ 8a + 8b + 8c + 8d = 8(a + b + c + d) = = VP (vì a + b + c + d = 1.) Vaäy a + b + b + c + c + d + d + a ≤ 2 Dấu xaûy khi: a = b = c = d = 1/4 2 2 Baøi 10: Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2.CMR: x y ( x + y ) ≤ Bài giải: 2 2 Ta có: x + y = ( x + y ) - 2xy = - 2xy = – 2xy Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có: x + y ≥ xy ⇔ ≥ xy ⇔ xy ≤ ⇒ x + y ≤ – = vaø x y ≤ ⇒ x y ( x + y ) ≤ 2.1 = (ñpcm) Bài 11:Cho số dương a, b, c thoả a + b + c = 1.CMR: a + b − c + b + c − a +c + a − b ≤ Bài giải: + + + b − c 3a + ba − ca p dụng bất đẳng thức cô si: a + b − c ≤ a = 3 3b + bc − ba 3c + ac − bc Tương tự: b + c − a ≤ vaø c + a − b ≤ 3 3a + ba − ca 3b + bc − ba 3c + ac − bc Cộng theo vế: a + b − c + b + c − a +c + a − b ≤ + + = 3 3a + ab − ca + 3b + cb − ab + 3c + ca − cb 3a + 3b + 3c 3(a + b + c) = = = = = (dpcm) 3 3 3 Vaäy a + b − c + b + c − a +c + a − b ≤ Dấu xảy a = b = c Bài 12: Cho số dương a,b,c thoả a2+b2+c2 =1.CMR: 1 a +b +c ≤ + +3 + 2 b +c c +a a +b 2abc 3 Bài giải: a +b +c a +b +c a b2 c2 ++ = +1 + +1+ +1= b2 + c2 a2 + b b + c2 c + a2 a + b2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a +b +c = + + +3 ≤ + + +3= + = VP 2 b +c c +a a +b 2bc 2ca 2ab 2abc 1 1 a +b +c ≤ Vaäy + + + Dấu xảy a = b = c = c + a2 a + b2 2abc b + c2 3 1 Baøi 13: Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c = CMR: B = (1+ )(1+ )(1+ ) ≥729 a b c Ta coù: VT = 2 2 2 3 3 3 Bài giải: 1 1 1 + + + 3 + 3 + 3 + 3 a b c ab ac bc abc 1 1 1 B ≥ +3 3 3 + 3 3 3 3 + 3 = + +3 2 + 3 =(1+ ) abc abc abc abc abc abcabc abc Ta coù: B = + a+b+c ⇒ Mặt khác: abc ≤ ( ) = ( )3= B ≥ (1+ 1: )3 = 93 =729 8 1 Vaäy B = (1+ )(1+ )(1+ ) ≥729 Dấu xảy a = b =c = : = a b c 2 =1 8 b+c a+ b c+a ≤ + + +2 Baøi 14: Cho a,b, c >0 thoaû ab+bc+ac ≤ abc CMR: + + a+b b+c a+c a c b Bài giải: 2 2 Vaäy: x y ( x + y ) ≤ Dấu xảy x = y = 1 1 1 ≤ (a + b)( + ) =8 ⇒ + ≥ ⇒ + ) ≥ 4ab (a + b) a b ab a b a+b a b + + 1 1 1 ⇒ ≤ (a + b)( + ) + (b + c)( + )+ (a + c)( + ) = a+b b+c a+c a b b c a c Ta coù: (a + b)2( = a+ b a+ b b+c b+c c+a c+a a+ b+c+a a+ b+ b+c b+c+c+a + + + + + = + + = a2 b b c a c a2 b2 c2 b+c 2a a + b 2c c+a 2b b+c a+ b c+a 2 + + + + + = + + + + + = a a c c b b a c b a b c b + c a + b c + a 2(ab + bc + ca) b + c a+ b c+a ≤ + + + (vì ab + bc + ac ≤ abc) (ñpcm) = + + + a c b abc a c b 8 b+c a+ b c+a ≤ + + +2 Vaäy + + a+b b+c a+c a c b a + bc b + ca c + ab ≥2 Bài 15:Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c =1.CMR: + + b+c c+a a+b Bài giải: a(a + b + c) + bc b(a + b + c) + ca c(a + b + c) + ab VT= + + b+c c+a a+ b a(a + c) + b(a + c) b(a + b) + c(a + b) c(b + c) + a(b + c) = + + b+c c+a a+b (a + c)(a + b) (a + b)(b + c) (b + c)(c + a) = + + b+c c+a a+ b Ñaët a + b = x, b + c = y, c + a = z VT bất đẳng thức tương đương: zx xy yz zx xy yz zx xy zy ≥2 + + +2 +2 = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z) = 2(BDTCoâ si) y z x 2y 2z 2x 2y 2z 2x a + bc b + ca c + ab ≥2 ∀ a a, b, c >0 thoả a + b + c =1 Vậy + + b+c c+a a+b 1 ≤1 Baøi 16:Cho a, b, c dương, abc = Chứng minh rằng: + + 3 a + b +1 b + c +1 c + a3 + Bài giải: 3 Vì abc = 1, nên từ: (*) : a + b + abc ≥ ab(a + b) + abc a3 + b3 + ≥ ab(a + b + c) 1 1 1 ≤ ≤ ≤ Tương tự, : , 3 a + b + ab( a + b + c) b + c + bc(b + c + a ) c + a + ca (c + a + b) 1 a+b+c 1 + + + + = ⇔ ≤ 3 3 a + b +1 b + c +1 c + a + ab( a + b + c) bc(b + c + a ) ca (c + a + b) abc( a + b + c) = =1 abc 1 ≤1 Vaäy + + 3 a + b +1 b + c +1 c + a3 + Ứng dụng vào chứng minh hình học: Bài 17: Cho tam giác ABC vuông C BC = a, AC = b, AB = c Gọi h c đường cao tam giác kẻ a+b+c ≥ 2(1 + ) C CMR: Bài giải: hc = Vì tam giác ABC vuông C, áp dụng định lý Pytago ⇒ c = a + b ⇒ c = a + b ab Vaø ab = chc ⇒ hc = ( hệ thức lượng tam giác vuông) c a+b+c a+b+c ( a + b + c )c ( a + b )c + c ( a + b ) a + b + a + b 2 ab 2ab + 2ab ⇒ ≥ = ab = = = = hc ab ab ab ab c = 2 +2 = 2(1 + ) a+b+c ≥ 2(1 + ) Dấu xảy a = b hay tam giác ABC vuông cân C Vậy hc Bài 18: Cho Λ ABC, tia đối AC, BA, CB lấy ba điểm A1,B1, C1 cho AA1 = BC, BB1= AC, CC1 = AB CMR: SABC1 + SACB1 + SBCA1 ≥ SABC A1 Bài giải: Đặt AB = c, BC = a, AC = b SABC BC1 a + c c Ta coù: = = =1+ ; SABC a a BC SBCA SABC ⇒ ⇔ A SACB CA1 b + a a AB1 c + b b = = 1+ ; = = = 1+ b b SABC AB c c CA = SABC SABC + SBCA SABC + SACB SABC SABC + SCBA + SACB 1 SABC = + c +1+ a +1+ b a b c =3+c+a+b ≥ a b c B C C1 B1 a b c = + = ⇔ SABC1 + SACB1 + SBCA1 ≥ SABC (ñpcm) b c a Bài 19: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả điều kiện: (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc CMR:a, b, c ba cạnh tam giác Bài giải: Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a + b ≥ ab ; b + c ≥ bc ; c + a ≥ bc ( áp dụng bất đẳng thức cô - si) ⇒ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ a2 b2 c2 = 8abc ≥3 + Dấu xảy a = b = c Vậy a, b, c ba cạnh tam giác Bài 20: Cho tam giác ABC miền tam giác có điểm m cho đường thẳng AM, BM, CM AM BM CM cắt cạnh điểm thoả điều kiện: A M + B M + C M = CMR: M laø trọng tâm tam 1 giác ABC Bài giải: Gọi s,s1, s2, s3 diện tích tam giaùc ABC, MBC, MCA, MAB B1 SABC AA1 s1 + s2 + s3 AM s2 s3 ⇒ = = = + A1M s1 s1 A1 M SMBC s1 M A1 C BM s1 s3 CM s2 s1 Tương tự: B M = + ; C M = + s2 s2 s3 s3 1 ⇒ A C1 B AM BM CM s2 s3 s1 s3 s2 s1 s s s s s s + + = + + + + + ≥ + + = 2+2+2 = A1 M B1 M C1 M s1 s1 s2 s2 s3 s3 s2 s1 s3 s1 s2 s3 Aùp dụng bất đẳng thức Cô – si Dấu xảy khi: s1 = s2 = s3 = s AM BM CM = B M = C M = Vậy M trọng tâm tam giác ABC A1 M 1 ng dụng tìm ,max biểu thức: 6 a6 + b + c Bài 21:Cho số dương a, b, c thoả abc = Tìm Min P = b+c c+a a+ b Bài giải: Ta có: a6 + b + c ≥ a6 b + c = a3 => a6 ≥ a3 - b + c 4 b+c b+c b+c c+a a+ b b6 c6 ≥ b3 ≥ c3 ; 4 c+a a+ b b+c c+a a+ b b+c+c+a+a+b b+c+a ⇒ P ≥ a3 +b3 + c3≥ = a3 +b3 + c3= a3 +b3 + c34 4 3 ≥ 33 y3 x3 z3 - abc = - = 2 Tương tự: 6 a6 = b + c vaø b = c + a vaø c = a + b a = b = c = Vaäy MinP = 4 c+a a+b b+c Bài 22:Tìm Min P = huyeàn) a2 (b + c) + b2 (a + c) a, b, c ba cạnh tam giác vuông(c cạnh abc Bài giải: p dụng bất đẳng thức Cô si:a + b ≥ 2ab Vì a, b, c ba cạnh tam giác vuông => c2 = a2 + b2 ≥ 2ab => c ≥ ab 2 a2 b + a2 c + b2 a + b2 c = ab(a + b) + c(a + b ) = a + b + c ≥ ab + ab.c = ab + 2.c = P= abc c ab c c ab ab abc ab c ( + 1)c ≥2 + ( − 1) 2ab = 2 + ( − 1) =2 + - = + ab ab ab Vậy Min P = + a = b => tam giác vuông cân = c + + Bài 23:Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện:x + xy + xyz = Tìm giá trị nhỏ x + y + z Bài giải: p dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: 1x 1 x   x x xyz y ≤  + y  ; (1) = y z ≤  + y + z  ; (2) 22 3 4   1x  1 x  Từ (1) (2) ⇒ = x + xy + xyz ≤  + y  +  + y + z  = (x + y + z)=> x + y + z ≥ 22  3  x Đẳng thức xảy (1) (2) đồng thời trở thành đẳng thức = y = 4z; kết hợp với giả 4 16 thieát x + xy + xyz = ta suy x = ;y= ;z= Vaäy x + y + z đạt giá trị nhỏ 21 21 21 xy = Bài 24: Cho x, y > 0; thoaû x + y = Tìm Min A = + Bài giải: xy x + y2 a+ b 1 ⇔ + ≥ ≥ p dụng bất đẳng thức (a + b)2 ≥ 4ab => (a, b > 0) ab a+ b a b a+ b (x + y)2 Mặt khác: x + y ≥ xy => xy ≤ = (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 4 1 1 4 ≥ 2 ≥4 + = + = A= + + + = + x + y + 2xy 2xy (x + y)2 2xy x + y 2xy 2xy Vaäy MinA = x = y = Bài 25:Với x, y, z số thực dương, tìm giá trị lớn biểu thức: xyz M = ( x + y )( y + z )( z + x ) Bài giải: p dụng bất đẳng thức Cosi với số dương: x + y = ⇒ (x + y)(y + z)(z + x) ≥8 Vaäy maxM = ( xyz ) xy ,y+z=2 yz xyz ,x+z=2 xyz xz = 8xyz ⇒ M = ( x + y )( y + z )( z + x ) ≤ xyz = x = y = z Bài 26: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x − 2001 + x +2 x − 2002 x Bài giải: Điều kiện: x ≥ 2002 Đặt a = x − 2001 ; a > 0; b = x − 2002 ; b ≥ Thì: x = a2 + 2001; x + = a2 + 2003; x = b2 + 2002, ta coù: 1 a b + A= = a + 2003 + b + 2002 a + 2003 b + 2002 a b 2003 2002 ≥ 2003 ; b + ≥ 2002 Theo bất đẳng thức Cosi: a + a b 1 2003 2002 + Do A ≤ Dấu đẳng thức xảy khi: a = b = a2 = 2003 vaø 2003 2002 a b b2 = 2002 x = 4004 Vaäy maxA = 1 + x = 4004 2003 2002 Bài 27: Giả sử x, y, z số dương thay đổi thoả mãn điều kiện xy2z2 + x2z + y = 3z2 Hãy tìm giá z4 trị lớn biểu thức: P = + z (x + y ) Baøi giải: y x2 Do z > nên từ: xy2+ + = p dụng bất đẳng thức Cosi với số dương: z z 2 y x y x2 (x2y2 + y2) + (x2 + ) + ( + ) ≥ 2(xy2+ + )=6 z z z z z ⇒P = z4 = + (x + y ) + z (x + y ) z 1 2 ; b = x ; c = y (a, b, c >0); ta coù P = z a + b2 + c2 Do a2 ≥ 2a – 1; b2 ≥ 2b – 1; c2 ≥ 2c – 1; a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; a2 + c2 ≥ 2ac ⇒ 3(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + ac + bc + a + b + c) – x2 y2 2 2 Maø ab + ac + bc + a + b + c = x y + y + x + + + ≥ z z z Đặt a = Do 3(a2 + b2 + c2) ≥ a2 + b2 + c2 ≥ Vaäy P ≤ Dấu đẳng thức xảy a = b = c = x = y = 1/z = x = y = z = maxP = x = y = z = ng dụng vào giải hệ phương trình phương trình: Bài 28: Nếu x0 nghiệm phương trình x2 + bx + c = |x0| ≤ b2 + c2 + Bài giải: Vì x0 nghiệm phương trình Thay vào ta coù: x02 + bx0 + c = ⇔ - x02 = bx0 + c ⇔ x04 = (bx0 + c)2 ≤ (b2 + c2)(x02 + 1) maø x04 – 1< x04 x04 − 2 ⇒ x0 – ≤ (b + c )(x0 + 1) ⇔ ≤ b2 + c2 ⇔ x02 - ≤ b2 + c2 ⇔ x02 ≤ b2 + c2 +1 x0 + ⇔ |x0| ≤ b2 + c2 + (đpcm) 2005 x y 2004 Bài 29: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + y + 2004 + 4009 + x + 2005 = (1) Bài giải: Ta giải toán tổng quát: Với a, b, c, d dương ta có: a b c d a b c d + + + + )+( + ) = =( b+c c+d d +a a+b b+c c+d d +a a+b a + c + ad + bc b + d + ab + cd a ( d + a ) + c (b + c ) b( a + b) + d (c + d ) + = (b + c)(d + a ) + (c + d )(a + b) ≥ (theoBĐT Cô –si) (b + c + d + a) (c + d + a + b ) 4 2 2 4( a + b + c + d + ab + ad + bc + cd ) = (2) (a + b + c + d ) F= Mặt khác: 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ab + ad + bc + cd) – (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 –2ac – 2bd = = (a – c)2 + (b – d)2 ≥ (3) Kết hợp (2) (3) ta suy F ≥ (4)Đẳng thức xảy a = c; b = d 2005 x y 2004 p dụng với a = 2005, b = x; c = y; d = 2004 ta coù: x + y + y + 2004 + 4009 + x + 2005 ≥ Đẳng thức xảy y = 2005, x = 2004 Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên dương (2004; 2005) x+ y+z =0  1 1 Bài 30: Tìm tất số thực dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình:  + + = − x y z xyz  Bài giải: 1 Dùng BĐT cosi cho số thực dương ta có:6=x+y+z= 33 xyz suy ra8 ≥ xyz (1) x + y + z ≥ xyz (2) 1 1 Kết hợp (1) (2) ta nhận được: (x + y + z)  x + y + z  ≥ 33 xyz xyz =     Suy x + y + z ≥ x + y + z = = (3) 1 1 4 Từ (1) (3) ta lại có: x + y + z + xyz ≥ + = 2 Vậy x; y; z số thực dương thoả mãn hệ phương trình ⇔ đẳng thức xảy bất phương trình ⇔ x = y = z =2 Do x = y = z =2 số thực dương thoả mãn điều kiện toán x y  + = xy (1)  y x Baøi 31: Giải hệ phương trình:  ( 2)  x 2008 + y 2008 = ( xy ) 2005  Bài giải: Từ (1) ta có x, y > p dụng BĐT Cosi cho số dương ta coù: x y + y x ≥2 xy yx = 24 xy Kết hợp với (1) ta có xy ≥ xy => (xy ) ≥ => xy ≥ 16 (3) 2008 2008 1004 2008 ≥ ( xy) p dụng BĐT cho số dương ta coù: x + y = 2(xy) 1004 2005 2005 ≥ 2(xy) => 16(xy) ≥ (xy)2008 => 16 ≥ xy Kết hợp với (2) ta có: ( xy) (4) y  x =  x < => x = y Từ (3) (4) ta thấy: (3) (4) đồng thời trở thành đẳng thức ⇔  y  x 2008 = y 2008  3 Khi 16 = xy nên x = y = Thử vào hệ thoả mãn Vậy hệ có nghiệm nhaát x = y = Bài 32: Giải phương trình: − x + + x + − x = Bài giải: ĐK: -1 ≤ x ≤ Theo bất đẳng thức Cô – si: − x = (1 − x)(1 + x) ≤ 1− x + 1+ x 1− x +1 ; 1− x ≤ ; 1+ x ≤ 2 1+ 1+ x => − x + + x + − x ≤ 1+ 1+ x 1− x + 1+ x + + 2 1− x +1 = + 1− x +≤ 1− x +1 1+ x +1 + =3 2 Dấu xảy − x = + x ; − x = 1; + x = Giải hệ ta x = Vậy phương trình có nghiệm x = ≤1 + ============= ... + b + 2c + d + a + b + c + d ≤ 8a + 8b + 8c + 8d = 8(a + b + c + d) = = VP (vì a + b + c + d = 1.) Vaäy a + b + b + c + c + d + d + a ≤ 2 Dấu xaûy khi: a = b = c = d = 1/4 2 2 Baøi 10: Cho hai... + y ≤ – = vaø x y ≤ ⇒ x y ( x + y ) ≤ 2.1 = (ñpcm) Bài 11:Cho số dương a, b, c thoả a + b + c = 1.CMR: a + b − c + b + c − a +c + a − b ≤ Bài giải: + + + b − c 3a + ba − ca p dụng bất đẳng thức... a + b − c + b + c − a +c + a − b ≤ Dấu xảy a = b = c Bài 12: Cho số dương a,b,c thoả a2+b2+c2 =1.CMR: 1 a +b +c ≤ + +3 + 2 b +c c +a a +b 2abc 3 Bài giải: a +b +c a +b +c a b2 c2 ++ = +1 + +1+