Tich luy chuyen mon thang 5. 2011

BàI 1: Phơng pháp giải toán (3 tiết) I. Mục tiêu: - Cung cấp cho hs phơng pháp giải toán nói chung giải bàn toán hình học nói riêng - Rèn luyện kỹ giải toán hình học theo quy trình II. Nội dung: I) Quy trình giải toán 1. Tìm hiểu đề toán: Để giải đợc toán, trớc hết phải tìm hiểu đề ham thích giải toán đó. Để hiểu rõ đề toán, trớc hết phải đọc kĩ đề toán cho thấy đợc toàn toán rõ ràng, sáng sủa tốt, tránh vội vã vào chi tiết. Bắt đầu sâu nghiên cứu đề toán; trớc hết phân tích toán, tách yếu tố toán, xem xét yếu tố nhiều lần, nhiều mặt. Nếu toán chứng minh yếu tố giả thiết kết luận. Nếu toán tìm tòi yếu tố ẩn (cái cần tìm, cha biết), dự kiện (những biết) điều kiện (mối liên quan cần tìm cho) toán. Có toán liên quan tới hình vẽ, phải vẽ hình. Có toán lại cần đa vào kí hiệu. Điều có ý nghĩa giúp ta hiểu toán. a) Hình vẽ: Đối với toán hình học. Nói chung phải vẽ hình. Hình vẽ làm lên yếu tố nh chi tiết mối liên hệ chi tiết cho đề bài. Vì thế, thờng sau vẽ hình đúng, đề toán đợc hiểu rõ ràng, cụ thể hơn. Khi vẽ hình cần ý: - Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trờng hợp đặc biệt nh dễ gây nên ngộ nhận. Chẳng hạn, đoạn thẳng, không nên vẽ nhau. Đối với đờng thẳng, không nên vẽ vuông góc với nhau, tam giác không nên vẽ cân hay vuông nh toán không đòi hỏi. - Hình vẽ phải rõ ràng, xác, dễ nhìn thấy quan hệ (song song, cắt nhau, vuông góc ) tính chất (đờng trung trực, phân giác, tam gíac cân, tam giác vuông ) mà toán cho. Có trờng hợp phải khéo léo lựa chọn trình tự vẽ phần tử hình bài. Ngoài ra, để làm bật vai trò khác đờng, hình, hình vẽ vẽ nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt, dùng màu khác nhau. Đối với toán hình học, ta dùng biểu diễn hình học để diễn tả đề toán, chẳn hạn sơ đồ đoạn thẳng. Cảm nhận trực giác biểu diễn hình học giúp ta đẽ nắm bắt đợc nội dung đề toán nh Pôlya nêu: Tìm biểu diễn hình học rõ ràng, sáng sủa cho toán toán hình cho phép tiến bớc rõ rệt tới cách giải. b) Kí hiệu: Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trờng hợp phải chọn kí hiệu đa kí hiệu vào cách thích hợp. Dùng kí hiệu toán học ghi lại đối tợng mối liên quan chúng toán cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát. Cách kí hiệu thích hợp nhanh chóng giúp ta hiểu đợc đề toán. Thời gian dành để chọn kí hiệu đợc trả công hậu thời gian tiết kiệm đợc nhiều tránh khỏi dự lẫn lộn(Pôlya) Khi chọn kí hiệu cần ý: - Một kí hiệu phải có nội dung dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hiểu nớc đôi. - Thứ tự kí hiệu quan hệ chúng phải giúp ta liên tởng đến thứ tự quan hệ đaị lợng tơng ứng. - Không dùng kí hiệu để hai đối tợng khác nhau. Các kí hiệu loại để đối tợng loại. Chẳng hạn, với tam giác ABC: A, B, C đỉnh; a, b, c độ dài cạnh tơng ứng đối diện với qua đỉnh A, B, C; 2. Xây dựng chơng trình giải: Tìm tòi lời giải bớc quan trọng hoạt động giải toán. Nó định thành công hay không thành công, đến thành công nhanh hay chậm việc giải toán. Điêù bớc biết định hớng để tìm đợc đờng đúng. Không có thuật toán tổng quát để giải đợc toán cả, sau lời khuyên ngời có kinh nghiệm giải toán. a) Sử dụng toán giải: Việc tìm đờng việc giải toán nhiều thuận lợi ta nhớ lại đợc ta tìm đờng đến cách giải toán tơng tự gần giống với toán cần giải. Thực tế cho thấy ngời đề khó mà đặt toán hoàn toàn mới, không giống hay liên quan chút với toán có. Mặt khác có nhiều toán liên quan đến toán phải giải. Cần phải chọn lựa đợc hay số mà thực có lợi: Hãy xét cho kĩ cha biết thờng nghĩ tới toán quen thuộc cha biết hay cha biết tơng tự. Hãy nhớ lại toán đợc giải gần giống với toán xét. Cần phải lợi dụng toán giải phơng pháp giải, kết quả, kinh nghiệm. b) Biến đổi toán: Để đến cách giải toán cần phải huy động tổ chức kiến thức học từ trớc. Cần phải nhớ lại vận dụng hàng loạt yếu tố cần thiết cho việc giải toán. Việc biến đổi toán tạo liên hệ mới, khả gợi lại trí nhớ liên quan đến toán xét. Chẳng hạn, phải chứng minh m3- m chia hết cho với số nguyên m. Ta thử biến đổi toán cách phân tích biểu thức thành nhân tử: m3- m = m(m2- 1) = m(m-1)(m+1) Đến đây, kí hiệu ta nhớ lại m-1, m m+1 số nguyên liên tiếp. Với ba số nguyên liên tiếp ta lại nhớ lại rằng: số nguyên liên tiếp có số chẵn, (tức chia hết cho 2) số chia hết cho 3. Từ việc chứng minh không khó nữa. c) Phân tích toán thành toán đơn giản hơn: Một toán, đặc biệt toán khó thờng tạo từ kết hợp toán đơn giản hơn. Ngời giải toán có kinh nghiệm thờng phải biết phân tích toán xét thành toán nhỏ để giải, sau lại kết hợp chúng để có đợc lời giải toán ban đầu. Ví dụ, để giải toán: Chứng minh p - chia hết cho 240 với p số nguyên tố lớn 5. Từ nhận xét 240 = 3.5.16, với ba thừa số đôi nguyên tố nhau, ta đa toán toán đơn giản hơn: Chứng minh p - chia hết cho 3,Chứng minh p4 - chia hết cho Chứng minh p - chia hết cho 16 với p số nguyên tố lớn 5. d) Mò mẫm, dự đoán cách thử số trờng hợp xảy ra: Trờng hợp đặc biệt, trờng hợp tổng quát. Hãy xem số trờng hợp riêng, kết đơn giản, gợi ý quý báu để đến lời giải toán Chẳng hạn, cho toán: Qua điểm M cạnh BC tam giác ABC, dựng đờng thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích Trớc hết ta xét số tròng hợp đặc biệt: - Nếu M trung điểm BC đờng thẳng cần dựng trung tuyến AM - Nếu M trùng với B C đờng thẳng phải dựng trung tuyến BI Trong trờng hợp tổng quát, ta đa toán hai trờng hợp đặc biệt xem nh tìm lời giải Chẳng hạn đa trờng hợp thứ hai: Giả sử BM < CM. Ta phải dựng tam giác có đỉnh M có diện tích diện tích tam giác ABC cách kẻ BD//AM SMCD=SABC. Khi trung tuyến MI tam giác MCD đờng thẳng cần dựng. e) Một số gợi ý xây dựng chơng trình giải: - Bạn gặp toán lần cha ? Hay gặp toán dạng khác ? - Bạn có biết toán có liên quan không ? Một định lí dùng đợc không ? - Xét kĩ cha biết (ẩn) thử nhớ lại toán quen thuộc có ẩn hay có ẩn tơng tự - Đây toán liên quan mà bạn có lần giải rồi. Có thể sử dụng đợc không ? Có thể sử dụng kết không ? Hay sử dụng phơng pháp ? có cần phải đa thêm số yếu tố phụ sử dụng đợc không ? - Có thể phát biểu toán cách khác không ? Một cách khác nữa? Quay định nghĩa. - Nếu bạn cha giải đợc toán đề ra, thử giải toán có liên quan mà dễ không ? Một toán tổng quát ? Một trờng hợp riêng ? Một toán tơng tự ? Bạn giải phần toán đợc không ? Hãy giữ lại phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó, ẩn đợc xác định đến chừng mực đó, biến đổi nh ? Bạn từ kiện rút yếu tố có ích không ? Bạn nghĩ dự kiện khác giúp bạn xác định đợc ẩn không ? Có thể thay chủ đôỉ ẩn, hay kiện hay hai cần thiết, cho ẩn giữ kiện đợc gần - Bạn sử dụng kiện cha ? Đã sử dụng toàn điều kiện cha ? Đã để ý hết khái niệm chủ yếu toán cha ? 3. Thực chơng trình giải: Sau tìm đợc cách giải tiến hành thực chơng trình giải. Việc tiến hành thực công việc chủ yếu, kết đánh giá hoạt động giải toán. Khi tìm thấy cách giải việc thực giải khó khăn nữa, nhng tính chất công việc có khác nhau. Khi tìm kiếm lời giải tự mò mẫm, dự đoán không ngại mà không dùng cách lập luận tạm thời. Nhng thực giải phải thay đổi quan niệm thừa nhận lí lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại chi tiết. Một điều quan trọng việc trình bày lời giải trình tự chi tiết, toán phức tạp. Phải trình bày cho tờng minh liên hệ chi tiết, nh liên hệ chi tiết đoạn lời giải toàn lời giải ấy. Trình tự mà ta trình bày lời giải khác với trình tự mà ta theo để tìm kiếm lời giải ấy. Trình tự trình bày chi tiết lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa. 4. Kiểm tra nghiên cứu lời giải: Đây bớc cần thiết bổ ích mà thực tế ngời giải toán thực nó. Trong thực chơng trình giải, ta mắc phải thiếu sót, lầm lẫn chỗ đó. Việc kiểm tra lại lời giải giúp sửa chữa sai sót đáng tiết đó. Mỗi sai lầm cho ta kinh nghiệm quý báu giải toán. Mặc khác việc nhìn nhận, xem xét, phân tích lại đờng phơng pháp tiến hành giúp ta tìm thấy cách giải khác tốt phát kiện bổ ích giúp ta khai thác sáng tạo toán mới. Khai thác toán sau giải thòng đợc tiến hành theo hớng: Thay đổi phần tất giả thiết kết luận. Phải kiên nhẫn chịu khó nghiên cứu lời giải tìm đợc để hoàn thiện cách giải giúp ta hiểu cách giải sâu sắc hơn. Chính điều làm phong phú thêm kinh nghiệm giải toán, củng cố phát triển lực giải toán II) Các phơng pháp suy luận thờng gặp giải toán: 1. Phân tích tổng hợp: Theo tâm lí học, phân tích tổng hợp hai thao tác t bản. Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh cần coi trọng việc rèn luyện cho học sinh lực phân tích tổng hợp Phân tích dùng trí óc để chia tách toàn thể phần, tách thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm toàn thể đó. Ngợc lại, tổng hợp dùng trí óc hợp lại phần toàn thể, hợp lại thuộc tính hay khía cạnh khác nằm toàn thể. Tuy thao tác trái ngợc nhng phân tích tổng hợp liên hệ chặt chẽ với nhau, hai mặt trình thống Trong hoạt động giải toán, tiên phải nhìn nhận bao quát đề toán cách tổng hợp, xem toán thuộc loại gì, phân tích toán thành cho phải tìm, tìm mối liên hệ chúng. Việc giải toán đòi hoải học sinh phải biết phân tích toán thành nhiều toán khác đơn giản hơn, chia trờng hợp khác nhau, giải chúng tổng hợp lại. Để tìm kiếm lời giải cho toán, ta có phơng pháp suy nghĩ theo hai hớng ngợc phân tích tổng hợp. Có thể nói phân tích từ cha biết, phải tìm đến cho, biết. Ngợc lại, phuơng pháp tổng hợp từ biết, phải tìm, cha biết. Ngời ta thờng kết hợp hai phơng pháp giải toán: Dùng phơng pháp phân tích để tìm lời giải, sau trình bày lời giải theo phơng pháp tổng hợp. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x2-x-1 >0, với x Bằng phơng pháp phân tích ta trình bày nh sau: x2-x+1 >0 x2-2. x+1 >0 x2-2. x+ + >0 (x- )2+ >0, điều với x. Bằng phơng pháp tổng hợp ta trình bày lời giải nh sau: Ta có: (x- )2+ >0, x Từ suy ra: x2-2. x+ + >0 Hay: x2-2. x+1 >0 Do đó: x2-x+1 >0 2. Quy nạp: Nếu khẳng định số trờng hợp riêng ta rút kết luận chung cho tất trờng hợp. Suy luận gọi quy nạp. Ngời ta chia quy nạp thành hai loại: quy nạp hoàn toàn quy nạp không hoàn toàn Quy nạp quy nạp mà kết luận chung đợc khẳng định cho tất trờng hợp đợc xét (số trờng hợp hữu hạn) Quy nạp quy nạp mà kết luận chung đợc khẳng định từ số trờng hợp cụ thể. Do kết luận không xác sai lầm. Vì kết luận trờng hợp xem dự đoán, giả thuyết. Tuy nhiên, kết luận nh thể có ý nghĩa to lớn phát triển toán học qua việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ giả thuyết. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: m3-m 3, với m Z - Với m=3k (k Z); Ta có: m3- m =3(9k3-k) - Với m=3k+1 (k Z); Ta có: m3- m =3(9k3+9k2+2k) - Với m=3k+2 (k Z); Ta có: m3- m =3(9k3+18k2+4k+2) Kết luận: m3-m 3, với m Z 3. Tơng tự: Từ hai đối tợng giống số dấu hiệu ta rút kết luận hai đối tợng giống dấu hiệu khác suy luận gọi tơng tự Chẳng hạn, hai đối tợng X, Y có tính chất a, X có tính chất b ta kết luận Y có tính chất b. Nh vậy, nh quy nạp không hoàn toàn, kết luận suy luận tơng tự dự đoán, giả thuyết góp phần thúc đẩy toán học phát triển. Trong giải toán, phơng pháp giúp ta liên hệ toán cần giải với toán giải giúp ta nhanh chóng tìm lời giải. Ví dụ 3: Tơng tự toán chia tam giác thành hai tam giác có diện tích (Kẻ đờng trung tuyến). Ta giải đợc toán chia tam giác thành ba tam giác có diện tích 4. Đặc biệt hoá: Đặc biệt hoá suy luận chuyển từ việc khảo sát tập hợp đối tợng sang tập hợp đối tợng nhỏ nằm tập hợp ban đầu Đặc biệt hoá có tác dụng kiểm tra kết lời giải trờng hợp riêng. Nói chung sử dụng phơng pháp đặc biệt hoá giải toán giúp ta tìm thấy cách giải phơng hớng giải. Ví dụ 4: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M nằm tam giác cho trớc (M nằm cạnh tam giác) đến ba cạnh tam giác không dổi. Ta xét số trờng hợp đặc biệt: (a) (b) (c) (a) M trùng đỉnh tam giác, tổng khoảng cách từ M đến cạnh tam giác chiều cao tam giác (b) M nằm cạnh tam giác, cách kẻ đờng phụ ta chứng minh đợc tổng khoảng cách từ M đến cạnh tam giác chiều cao tam giác (c) Từ trờng hợp đặc biệt việc tìm lời giải đợc định hớng rõ rệt: Tổng khoảng cách từ M đến cạnh tam giác chiều cao tam giác (không đổi) 5. Tổng quát hoá Tổng quát hoá suy luận chuyển từ việc khảo sát tập hợp đối tợng sang tập hợp đối tợng lớn chứa tập hợp ban đầu Tổng quát hoá có ý nghĩa lớn toán học nh lĩnh vực khoa học khác. Trong giải toán, việc tổng quát hoá cho ta toán rộng hơn, có tính khái quát có lại giúp ta dễ dàng tìm đợc lời giải. Ví dụ 5: Từ ví dụ ta tổng quát thành toán: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M nằm đa giác giác cho trớc (M nằm cạnh đa giác) đến tất cạnh đa giác không dổi. Việc tìm lời giải cho ví dụ tơng tự ví dụ cách xét trờng hợp đặc biệt III) ví dụ áp dụng Bài 1: a)Tìm đa thức bậc ba cho: f(x)-f(x-1) = x2 b) Từ kết tính tổng: T= 12 + 22 + .+ n2 Bớc 1: Phân tích, tìm cách giải: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh a) Đa thức cần tìm có bậc nên có f(x) = ax3 + bx2 + cx +d dạng nào? a, b, c, d Nh toán yêu cầu ta phải tìm f(x) - f(x-1) =(ax3+bx2 +cx+d)-[a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1) +d] ? Theo điều kiện toán ta có điều ? = x2 Để tìm đa thức f(x) ta sử dụng Phơng pháp hệ số bất định phơng pháp ? 3ax2 + (2b - 3a) x + (a-b+c) = x2 Khai triển rút gọn vế trái ta có: 3a=1; 2b-3a=0; a-b+c=0 Từ ta có đẳng thức ? Vậy f(x)= x3 + 1 x + x +d (d tuỳ ý) Suy ra: a= ; b= ; c= b) Với đa thức tìm đợc đặc biệt tính chất x2=f(x) - f(x-1), ta cho x lần Cho x lần lợt nhận giá trị 1, 2, 3n lợt nhận giá trị 1, 2, 3n thay thay vào T ta đợc: T= 12 + 22 + .+ n2 vào T đợc điều ? = f(1)-f(0)+f(2)-f(1)++f(n)-f(n-1) =f(n)-f(0) 1 n + n n(n + 1)(2n + 1) = = n3 + Bớc 2: Trình bày lời giải: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Cho học sinh trình bày a) Đa thức cần tìm có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx +d lời giải Theo ta có: f(x)-f(x-1)=(ax3+bx2+cx+d)-[a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d] = x2 3ax2 + (2b - 3a) x + (a-b+c) = x2 Do 3a=1 2b-3a=0 a-b+c=0 Vậy f(x)= x3 + b= c= a= x + x +d (d tuỳ ý) b) T= 12 + 22 + .+ n2 = f(1)-f(0)+f(2)-f(1)++f(n)-f(n-1) =f(n)-f(0) = n3 + n(n + 1)(2n + 1) n + n = 6 Bớc 3. Khai thác toán: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Bằng phơng pháp tơng Bài 1.1 tự ta sáng tạo a)Tìm đa thức bậc bốn cho: f(x) - f(x-1) = x3 toán từ b)Từ kết tính tổng: T= 13 + 23 + .+ n3 toán cho hay không Bài 1.2 ? a)Tìm đa thức bậc năm cho: f(x) - f(x-1) = x4 b)Từ kết tính tổng: T= 14 + 24 + .+ n4 Bài 1.3 a)Tìm đa thức bậc sáu cho: f(x) - f(x-1) = x5 b)Từ kết tính tổng: T= 15 + 25 + .+ n5 . Ngày soạn: 22/12/2009 Ngày dạy:24/12/2009 Phơng pháp giải toán chứng minh hình học 1. Chứng minh hai đoạn thăng nhau: 1. Một số gợi ý để chứng minh hai đoạn thẳng nhau: - Hai đoạn thẳng có số đo - Hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba - Hai đoạn thẳng tổng, hiệu, trung bình nhân hai đoạn thẳng đôi - Dựa vào t/c tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác - T/c trung điểmđoạn thẳng, trung tuyến tam giác, trung trực, phân giác - T/c hình bình hành, chữ nhật,thoi, vuông . - T/c đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 300 tam giác vuông - Tính chất ba đờng phân giác, ba đờng trung trực tam giác - Đờng trung bình tam giác, hình thang - Mối quan hệ cung, dây cung - Tính chất tỉ sô - Một số định lý: Pitago, Talet - Tính chất đoạn chắn - T/c phép đối xứng, tịnh tiến, quay 2. Một số ví dụ minh hoạ: Bài 1: Trong ABC lấy điểm P cho PAC = PBC. Từ P dựng PM BC; PK CA. Gọi D trung điểm AB. Chứng minh: DK = DM. a) Lời giải: (0,25 đ) Gọi E, F lần lợt trung điểm PA PB Ta có: EPFD hình bình hành (EP//DF; ED//PF) Nên: DF = EP DE = FP Mà: KE= EP (KE trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông APK) MF=FP(MF trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông BPM) Suy ra: DF=KE (1) DE=MF(2) Mặt khác: PED= PFD(EPFD hình bình hành) Mà: KEP= PAC+ AKE=2 PAC ( AKE cân E) MFP= PBC+ BMF=2 PBC ( BMF cân F) PAC = PBC (gt) Suy ra: KEP= MFP (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: KED= DFM (c.g.c) Do đó: DK=DM b) Khai thác toán: - Thay đổi kết kuận: Gọi N trung điểm KM, chứng minh KM DN Bài 2: Cho tam giác ABC đều, AP phân giác.Trên mp bờ BC chứa A, vẽ tia Px cho góc CPx góc BAC, tia cắt AC E. c/m PB=PE a) Cách giải: b) Khai thác: 2.1. Thay tam giác ABC tam giác cân 2.2. Thay tam giác cân ABC tam Kẻ PE AB, PH AC Ta có: PK=PH Mà: BPK+ KPE+ CPx=1800 EPH+ KPE+ BAC=1800 CPx= BAC Suy : BPK= EPH Do PKB= PHE Nên: PB=PE Bài 3. Cho tam giác ABC có B BC có đờng chéo AC BD vuông góc với O. Trên đáy AD lấy điểm M cho AM = MAC cân. AD + CB . Chứng minh Gọi EF đờng trung bình hình thang ABCD Từ C kẻ đờng thẳng song song với BD cắt AD N Ta có: AC BD nên CN AC (1) Mà : BCND hình bình hành (BC//DN; CN//BD), nên: CB=DN; Mặt khác: AM = AD + CB AD + DN = 2 Suy ra: AD+DN = 2AM Hay M trung điểm AN (2) 11 Từ (1) (2) suy ra: CM trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông ACN nên CM= AN =AM Vậy MAC cân M Bài 6. Cho tứ giác lồi ABCD có A+C=1800, ABAB), đoạn AC lấy E cho CE=AB. Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm BC AE. CM PQ//đờng phân giác góc BAC Gợi ý: Dựng tam giác cân ACN Bài 3. Cho hình thang ABCD, BC lấy E, AD lấy F cho DE//BF. CM AE//CF Gợi ý: Dùng Talet, nhân tỷ lệ với Bài 4. Cho đ tròn (O) (O) tiếp xúc A. Vẽ cát tuyến qua A cắt hai đờng tròn B C. CM tiếp tuyến B C // với Bài 5. Cho đ tròn (O) (O) tiếp xúc A. vẽ hai cát tuyến qua A cắt (O) B C, cắt (O) D E. CM: BC//DE 14 Bài 6. Cho đ tròn (O) (O) tiếp xúc A. vẽ hai cát tuyến qua A cắt (O) B C, cắt (O) D E. CM: BC//DE Gợi ý: Kẻ tt chung A Bài 7. Cho đ tròn (O) (O) cắt B C. Từ A thuộc (O) vẽ cát tuyến cắt đtròn (O) D E. CM: DE// tiếp tuyến A (O). Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc: 1. Một số gợi ý: - Tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù - Dựa vào t/c tổng ba góc tam gíac - Quan hệ vuông góc // - Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn - Tính chất ba đờng cao, ba đờng trung trực tam giác - T/c tam giác cân, - Định lý Pitago - Quan hệ đờng kính dây cung - T/c trung tuyến tam giác - T/c tiếp tuyến đờng tròn 2. Ví dụ: Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD (A=D=900) có CD=2.AB. Gọi H chân đờng vuông góc hạ từ D xuống AC M trung điểm HC. Chứng minh đờng thẳng DM vuông góc với đt BM. Gợi ý: Gọi E trung điểm DC, O giao điểm AE BD Ta có: ABED hình vuông, EM HC suy tam giác AME vuông M Nên: OA=OB=OE=OD=OM Do tam giác BMD vuông M (đpcm) Cách 2: Gọi F trung điểm DH, c/m AFMB hbh 15 Bài Cho tam giác cân ABC, H trung điểm BC, E hình chiếu H AC, O trung điểm HE. c/m AO BE Gợi ý: Cách 1: Gọi F trung điểm EC, ta có: BE//HF, FO//HC nên FO AH Do O trực tâm tam giác AHF suy AO HF Vậy AO BE Cách 2: Ta có: AHE : HCE (g.g) Nên AH HC = HE CE AH 2HC = 2Ho 2CE AH BC = Ho CE Mà AHO= BCE Do đó: AHO : BCE Suy ra: HAO= CBE nên tứ giác AMHB nội tiếp Vậy AO BE Khai thác: 2.1. c/m AHO : BCE 2.2. c/m tứ giác AMHB nội tiếp 2.3. . Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC nt đt (O;R), hai đ cao BD CE. C/m AO DE Gợi ý: Kẻ tt Ax 16 Cách 2: Kéo dài CE BD cắt đt M N, c/m MN//ED, MN AO Bài 4. Cho tam giác ABC nt đt (O:R) (AC>AB). Đt (I) tiếp xúc với AB qua C cắt AD D. C/m BD AO Gợi ý: Kẻ tt Ax Bài Cho tam giác ABC cân A nt đt (O). D trung điểm AB , E trọng tâm tam giác ACD. C/m OE CD Gợi ý: 17 Gọi M,N trung điểm AD, AC G giao điểm AO DC nên G trọng tâm tam giác ABC C/m DO AB, GE//AB, GE DO, GO DE, nên O trực tâm tam giác DEG Suy ra: OE CD Bài Ngày soạn: 9/2/2009 Ngày dạy: 11/2/2009 Bài toán tìm số Bài 1. Tìm số chẵn lớn có chữ số mà chữ số đầu (giữ nguyên vị trí từ trái sang phải) tạo thành số phơng chữ số cuối (giữ nguyên vị trí từ trái sang phải) tạo thành số lập phơng đúng. Giải: Gọi số cần tìm là: A=abcde. Ta có: abc=x2; cde=y2 Vì chẵn nên e chẵn ,y chẵn Vì y3 số có chữ số nên: 5[...]... điểm của OB Gợi ý: OEK đồng dạng với AOK BEK đồng dạng với ABK Khai thác: a) C/m AOK= AEC Bài 5 Cho hình thang ABCD (AD//CB), AD > BC có các đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM = MAC cân AD + CB Chứng minh rằng 2 Gọi EF là đờng trung bình của hình thang ABCD Từ C kẻ đờng thẳng song song với BD cắt AD tại N Ta có: AC BD nên CN AC (1) Mà : BCND là hình... vuông góc với AB (H thuộc AB) Vẽ (C,CH) cắt (O) tại D và E, DE cắt Ch tại M C/m MH=MC Phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau I Mục tiêu: - Cung cấp cho hs phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau - Rèn luy n kỹ năng giải toán hình học II Nội dung: 1 Một số gợi ý để chứng minh hai góc bằng nhau: 1 Hai đoạn thẳng có cùng số đo 2 Hai góc cùng bằng góc thứ ba 3 Cùng bằng tổng, hiệu, của hai góc bằng nhau... với nhau Bài 2 Cho tam giác ABC (AC>AB), trên đoạn AC lấy E sao cho CE=AB Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của BC và AE CM PQ//đờng phân giác của góc BAC Gợi ý: Dựng tam giác cân ACN Bài 3 Cho hình thang ABCD, trên BC lấy E, trên AD lấy F sao cho DE//BF CM AE//CF Gợi ý: Dùng Talet, nhân các tỷ lệ với nhau Bài 4 Cho 2 đ tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A Vẽ một cát tuyến qua A cắt hai đờng tròn... cao, ba đờng trung trực trong tam giác - T/c tam giác cân, đều - Định lý Pitago - Quan hệ giữa đờng kính và dây cung - T/c trung tuyến của tam giác - T/c tiếp tuyến của đờng tròn 2 Ví dụ: Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD (A=D=900) có CD=2.AB Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm HC Chứng minh đờng thẳng DM vuông góc với đt BM Gợi ý: Gọi E là trung điểm DC, O là giao điểm của... (x3)2=0 (x3)2=82 hoặc 3-y)2=82 (x (x3-y)2=0 Vậy x=0; y= 8 hoặc x= 2; y= 8 20 12.(x2-10x+2y)(y2+6y+14)=20 [(x-5)2+4][(y+3)2+5]=20 13.x2+x+6=y2 Nhân cả 2 vế với 4 14.x2-4xy+5y2=169 IV Các phơng pháp khác: 15.1 2x2+6xy+3y2=28(x+y) 12x2 +6xy+3y2=28(x+y) 3y2+(6x-28y)+12x2-28x=0 =-27x2+196 Để pt có nghiệm thì 0; là số chính phơng Vậy x=0 hoặc x= 1 Nghiệm: (0;0); (1;8); (1;10) 16.1!+2!+3!+ +x!=y2 x=1 thì . nên: 5& lt;=y<=9 nên y=6 hoặc y=8 Nếu y=6 thì y 3 =216 nên c=2 Nếu y=8 thì y 3 =51 2 nên c =5; d=1; e=2 Vì abc=x 2 không có tận cùng = 2 nên c =5 Vì x 2 có 3 chữ số; c =5 nên x= 15 hoặc x= 25 Mà. 2 4 + + n 4 Bài 1.3 a)Tìm đa thức bậc sáu sao cho: f(x) - f(x-1) = x 5 b)Từ kết quả đó hãy tính tổng: T= 1 5 + 2 5 + + n 5 Ngày soạn: 22/12/2009 Ngày dạy:24/12/2009 Phơng pháp giải bài toán. z =5 hoặc y =5; z=2 hoặc y=3; z=3 Vậy pt có nghiệm (3;3;3); (3 ;5; 2) và các hoán vị của nó 4. Tìm nghiệm nguyên tố của pt: x y +1=z x,y,z nguyên tố nên x,y,z>=2 nên x y >=4 do đó z> =5 và