Phương trình tổng quát của đường thẳng - Chuyên đề Hình học 10

b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC. d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB. b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BC làm vec[r]

(1)

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

§1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vectơ pháp tuyến phương trình tổng quát đường thẳng :

a Định nghĩa : Cho đường thẳng Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n vng góc với

Nhận xét :

- Nếu n VTPT kn k VTPT

b Phương trình tổng quát đường thẳng

Cho đường thẳng qua M x y0( ; )0 0 có VTPT n ( ; )a b

Khi M x y( ; ) MM0 n MM n0 a x( x0) b y( y0)

0

0 ( )

ax by c c ax by (1)

(1) gọi phương trình tổng quát đường thẳng

Chú ý :

- Nếu đường thẳng :ax by c n ( ; )a b VTPT

c) Các dạng đặc biệt phương trình tổng qt

• song song trùng với trục Ox :by c

• song song trùng với trục Oy :ax c

• qua gốc tọa độ :ax by

• qua hai điểm A a; , B 0;b : x y

a b với ab

• Phương trình đường thẳng có hệ số góc k y kx m với k tan , góc hợp tia Mt phía trục Ox tia Mx

2 Vị trí tương đối hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1 :a x1 b y1 c1 0; d2 :a x2 b y2 c2 • d1 cắt d2 1

2

0

a b a b

• d1 / /d2 1

2

0

a b

1 2

0

b c

b c ,

1 2

0

a b

1 2

0

c a

• d1 d2 1 1 1

2 2 2

0

a b b c c a a b b c c a

Chú ý: Với trường hợp a b c2 2 .2 + Nếu

1

a a

b b hai đường thẳng cắt + Nếu

1 2

a a c

(2)

+ Nếu

1 2

a a c

b b c hai đường thẳng trùng

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng 1 Phương pháp giải:

• Để viết phương trình tổng quát đường thẳng ta cần xác định - Điểm A x y( ; )0 0

- Một vectơ pháp tuyến n a b;

Khi phương trình tổng quát a x x0 b y y0 Chú ý:

o Đường thẳng có phương trình tổng quát ax by c 0,a2 b2 0

nhận

;

n a b làm vectơ pháp tuyến

o Nếu hai đường thẳng song song với VTPT đường thẳng VTPT đường thẳng

o Phương trình đường thẳng qua điểm M x y0; 0 có dạng

0

:a x x b y y với a2 b2 ta chia làm hai trường hợp

+ x x0: đường thẳng song song với trục Oy + y y0 k x x0 : đường thẳng cắt trục Oy

o Phương trình đường thẳng qua A a;0 ,B 0;b với ab có dạng x y a b

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A 2;0 , B 0;4 , (1;3)C Viết phương trình tổng quát a) Đường cao AH

b) Đường trung trực đoạn thẳng BC c) Đường thẳng AB

d) Đường thẳng qua C song song với đường thẳng AB

Lời giải

a) Vì AH BC nên BC vectơ pháp tuyến AH

Ta có BC 1; suy đường cao AH qua A nhận BC vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt x y 0 hay x y

b) Đường trung trực đoạn thẳng BC qua trung điểm BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến

Gọi I trung điểm BC 1, 7;

2 2 2

B C B C

I I

x x y y

x y I

Suy phương trình tổng quát đường trung trực BC 1

2

x y hay

3

x y

c) Phương trình tổng qt đường thẳng AB có dạng

2

x y

(3)

d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT n 2;1 đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB nên nhận n 2;1 làm VTPT có phương trình tổng quát

2 x 1 y hay 2x y

Cách 2: Đường thẳng song song với đường thẳng AB có dạng 2x y c Điểm C thuộc suy 2.1 c c

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng qt 2x y

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d x: 2y điểm M 1;2 Viết phương trình tổng quát đường thẳng biết:

a) qua điểm M có hệ số góc k b) qua M vng góc với đường thẳng d c) đối xứng với đường thẳng d qua M

Lời giải:

a) Đường thẳng có hệ số góc k có phương trình dạng y 3x m Mặt khác

2

M m m

Suy phương trình tổng quát đường thẳng y 3x hay 3x y

b) Ta có 3

2

x y y x hệ số góc đường thẳng d

2 d

k Vì d nên hệ số góc k k kd k

Do :y 2x m, M 2 m m

Suy phương trình tổng quát đường thẳng y 2x hay 2x y c) Cách 1: Ta có 2.2 M d đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua M song song với đường thẳng d suy đường thẳng có VTPT

1;

n

Ta có A 1;2 d, gọi A' đối xứng với A qua M A' Ta có M trung điểm AA'

'

' '

2 1

2 ' 3;2

2 2.2 2

2 A A

M A M A

A A A M A

M

x x

x x x x

A

y y y y y

y

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng x y hay

2

x y

Cách 2: Gọi A x y0; 0 điểm thuộc đường thẳng d, A x y' ; điểm đối xứng với A qua M

Khi M trung điểm AA' suy

0

0 0

1 2

2

4

2

M

x x x x

x x x

y y y y y y

y

Ta có A d x0 2y0 suy

(4)

Vậy phương trình tổng quát đối xứng với đường thẳng d qua M x 2y

Ví dụ 3: Biết hai cạnh hình bình hành có phương trình x y

3

x y , tọa độ đỉnh hình bình hành 2;2 Viết phương trình cạnh cịn lại hình bình hành

Lời giải

Đặt tên hình bình hành ABCD với A 2;2 , tọa độ điểm A khơng nghiệm hai phương trình đường thẳng nên ta giả sử BC x: y 0, CD x: 3y Vì AB / /CD nên cạnh AB nhận nCD 1;3 làm VTPT có phương trình

1 x y hay x 3y

Tương tự cạnh AD nhận nBC 1; làm VTPT có phương trình

1 x y hay x y

Ví dụ 4: Cho điểm M 1;4 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai tia Ox, tia Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ

Lời giải:

Giả sử A a;0 , B 0;b với a 0,b Khi đường thẳng qua A, B có dạng

1

x y

a b Do M AB nên

1

a b

Mặt khác

2

OAB

S OAOB ab

Áp dụng BĐT Cơsi ta có 1 4 ab 16 SOAB

a b ab

Suy SOAB nhỏ a b

1

a b a 2;b Vậy phương trình đường thẳng cần tìm

2

x y

hay 4x y

3 Bài tập luyện tập

Bài 3.1: Cho điểm A 1; Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A a) Vng góc với trục tung

b) song song với đường thẳng d x: 2y

Bài 3.2: Cho tam giác ABC biết A 2;1 , B 1;0 , (0;3)C a) Viết phương trình tổng quát đường cao AH

b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực đoạn thẳng AB c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC

d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC

Bài 3.3: Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng  trường hợp sau: a)  qua điểm M 2;5 song song với đường thẳng d : 4x 7y b)  qua P 2; có hệ số góc k 11

(5)

 DẠNG 2: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 Phương pháp giải:

Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 :a x1 b y1 c1 0; d2 :a x2 b y2 c2

Ta xét hệ 1

2 2

0

a x b y c

a x b y c (I) + Hệ (I) vô nghiệm suy d1 / /d2 + Hệ (I) vô số nghiệm suy d1 d2

+ Hệ (I) có nghiệm suy d1 d2 cắt nghiệm hệ tọa độ giao điểm

Chú ý: Với trường hợp a b c2 2 .2 + Nếu 1

2

a b

a b hai đường thẳng cắt + Nếu 1

2 2

a b c

a b c hai đường thẳng song song + Nếu 1

2 2

a b c

a b c hai đường thẳng trùng

2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) 1 :x y 0; 2 : 2x y b) 1 : x 2y 0; 2 : 2x 4y 10 c) 1 : 2x 3y 0; 2 : x

d) 1 : 2x 3y 0; 2 : 4x 6y

Lời giải:

a) Ta có 1

2 suy cắt

b) Ta có

2 10 suy trùng

c) Ta có

2 suy cắt

d) Ta có

2 suy / /

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB BC CA, ,

: 2 ; : ; : 3

AB x y BC x y CA x y

(6)

Tọa độ điểm A nghiệm hệ 2 1;0

3 0

x y x

A

x y y

Ta xác định hai điểm thuộc đường thẳng BC M 1;1 , N 1;

Đường cao kẻ từ đỉnh A vng góc với BC nên nhận vectơ MN 2; làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x 3y hay 2x 3y

Ta có

2 suy hai đường thẳng cắt

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 1 : (m 3)x 2y m2

2 : x my (m 1)

a) Xác định vị trí tương đối xác định giao điểm (nếu có) 1 2 trường hợp m 0,m

b) Tìm m để hai đường thẳng song song với

Lời giải:

a) Với m xét hệ 1

1

x y x

x y suy cắt điểm có tọa độ

1;2

Với m xét hệ 2 0

0

x y x

x y y suy cắt gốc tọa độ

b) Với m m theo câu a hai đường thẳng cắt nên không thỏa mãn Với m m hai đường thẳng song song

2

3

2

1 1

m m

m

m m

Vậy với m hai đường thẳng song song với

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, tìm tọa độ đỉnh tam giác trường hợp sau a) Biết A 2;2 hai đường cao có phương trình d1 : x y

2

; d : 9x 3y

b) Biết A(4; 1), phương trình đường cao kẻ từ B : 2x 3y 0; phương trình trung tuyến qua đỉnh C ' : 2x 3y

Lời giải

a) Tọa độ điểm A không nghiệm phương trình d d1, 2 suy A d A1, d2 nên ta giả sử B d C1, d2

Ta có AB qua A vng góc với d2 nên nhận u 3;9 làm VTPT nên có phương trình

3 x y hay 3x 9y 24 0; AC qua A vng góc với d1 nên nhận v 1;1 làm VTPT nên có phương trình x y hay

0

x y

(7)

2

1;3

3 24

x y x

B

x y y

Tương tự tọa độ C nghiệm hệ

2

9 3 2 2

;

0 3

3 x

x y

C

x y

y

Vậy A 2;2 , B 1;3 2;

3

C

b) Ta có AC qua A(4; 1) vng góc với nên nhận u 3;2 làm VTPT nên có phương trình

3 x y hay 3x 2y 10

Suy toạ độ C nghiệm hệ 10 6;

2

x y x

C

x y y

Giả sử B x yB; B suy trung điểm 4;

2

B B

x y

I AB thuộc đường thẳng '

4

2

B B

x y

hay 2xB 3yB (1) Mặt khác B suy 2xB 3yB (2)

Từ (1) (2) suy 5;

4

B Vậy A(4; 1), 5;

4

B C 6;

3 Bài tập luyện tập:

Bài 3.5: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau:

1

) : 0; : 2

a d x y d x y

1

) : 0; :

b d x y d x y

1

) : 0; :

c d x y d x y

Bài 3.6: Cho hai đường thẳng 1: 3x y 0, 2: x y điểm M(0;2) a) Tìm tọa độ giao điểm 1 2

b) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt 1 2 A B cho B trung điểm đoạn thẳng AM

Bài 3.7: Cho hai đường thẳng có phương trình:

2

1 : (a b x) y 1; : (a b x) ay b với

2 0

a b

a) Tìm quan hệ a b để 1 2 cắt

b) Tìm điều kiện a b để 1 2 cắt điểm thuộc trục hoành

(8)

a) Đường thẳng 1 qua điểm cố định với k b) 1 cắt 2 Xác định toạ độ giao điểm chúng

Bài 3.9: Cho hai đường thẳng 1 :mx y m 0; 2 : x my Biện luận theo m vị trí tương đối hai đường thẳng

Bài 3.10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 0;1 , B 2; đường thẳng

1 : ( 1) ( 2)

d m x m y m , d2 : (2 m x) (m 1)y 3m

a) Chứng minh d1 d2 cắt

b) Gọi P giao điểm d1 d2 Tìm m cho PA PB lớn

Bài 3.11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng

'

: 0, :

m mx y m m x my m , (với m tham số thực) Chứng

minh với m R hai đường thẳng ln cắt điểm nằm đường tròn cố định

Bài 3.12: Tam giác ABC biết AB : 5x 2y AC : 4x 7y 21

(0; 0)

H trực tâm tam giác Tìm tọa độ điểm A B,

Bài 3.13: Cho điểm A 2;1 đường thẳng d : 3x y Tìm hình chiếu A lên d

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	643,37 KB