Đang tải... (xem toàn văn)
d) Tam giác ABC vuông tại A và AH là đường cao là điều kiện đủ để AB 2 BC BH. là điều kiện cần để nó vuông tại A và AH là đường cao.. b) Tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba[r]
(1)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC
A: TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định lí chứng minh định lí
Trong tốn học định lý mệnh đề Nhiều định lý phát biểu dạng "
,
x X P x Q x ", P x Q x, mệnh đề chứa biến Có hai cách để chứng minh định lí dạng
Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm bước sau: - Lấy x Xbất kỳ mà P x
- Chứng minh Q x đúng(bằng suy luận kiến thức toán học biết) Cách 2: Chứng minh phản định lí gồm bước sau:
- Giả sử tồn x0 X cho P x0 Q x0 sai - Dùng suy luận kiến thức toán học để đến mâu thuẫn
2 Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ
Cho định lí dạng " x X P x, Q x " (1) Khi
P x điều kiện đủ để có Q x
Q x điều kiện cần để có P x
Mệnh đề x X Q x, P x gọi định lí đảo định lí dạng (1) Lúc (1) gọi định lý thuận gộp lại thành định lí
,
x X Q x P x , ta gọi "P x điều kiện cần đủ để có Q x " Ngồi cịn nói "P x Q x ", "P x Q x ",
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
➢ DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG 1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n n3 chia hết cho n chia hết cho
Lời giải
Giả sử n không chia hết cho n 3k n 3k 2, k Z
Với n 3k ta có n3 3k 27k3 27k2 9k khơng chia hết cho ba (mâu thuẫn)
(2)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Vậy n chia hết cho 3.
Ví dụ 2: Cho tam thức f x ax2 bx c a, Chứng minh tồn số thực cho a f phương trình f x ln có nghiệm
Lời giải
Ta có
2
2
,
2
b
f x a x b ac
a a
Giả sử phương trình cho vơ nghiệm, nghĩa
Khi ta có:
2
2 0,
2
b
af x a x x
a
Suy không tồn để af 0, trái với giả thiết
Vậy điều ta giả sử sai, hay phương trình cho ln có nghiệm
Ví dụ 3: Cho a b c, , dương thỏa mãn abc Chứng minh
1 1
a b c
a b c có ba số a b c, , lớn Lời giải
Giả sử ngược lại, ta có trường hợp sau:
TH1: Với ba số lớn ba số nhỏ mâu thuẫn với giả thiết
abc
TH2: Với hai ba số lớn 1, khơng tính tổng qt giả sử a 1,b Vì abc nên c
1 1
a b c abc a b c ab bc ca
1 1
a b c ab bc ca a b c
a b c (mâu thuẫn)
Vậy có ba số a b c, , lớn
Ví dụ 4: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa phân giác xuất phát từ đỉnh tam giác cân đỉnh
(3)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Giả sử tam giác ABC có AH vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác khơng cân A
Khơngmất tính tổng qt xem nhưAC AB Trên AC lấy D cho AB AD
Gọi L giao điểm BD AH
Khi AB AD BAL, LAD AL chung nên ABL ADL Do AL LD hay L trung điểm BD
Suy LH đường trung bình tam giác CBD / /
LH DC điều mâu thuẫn LH DC, cắt A Vậy tam giác ABC cân A
2 Bài tập luyện tập
Bài 1.14: Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai
2 0
ax bx c vơ nghiệm a c dấu
Bài 1.15: Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu hai số ngun dương có tổng bình phương chia hết cho hai số phải chia hết cho
Bài 1.16: Chứng minh : Nếu độ dài cạnh tam giác thỏa mãn bất đẳng thức
2 5
a b c c độ dài cạnh nhỏ tam giác
Bài 1.17: Cho a, b, c dương nhỏ Chứng minh ba bất đẳng thức
sau sai 1
a b , 1
4
b c , 1
4
c a
Bài 1.18: Nếu a a1 2 b1 b2 hai phương trình
2
1 0, 2
x a x b x a x b có nghiệm
Bài 1.19: Chứng minh số vô tỉ
Bài 1.20: Cho số a b c, , thỏa điều kiện :
0 (1) (2)
0 (3)
a b c
ab bc ca
abc
Chứng minh ba số a b c, , dương
Bài 1.21: Chứng minh phản chứng định lí sau : “Nếu tam giác ABC có đường phân
giác BE, CF nhau, tam giác ABC cân”
Bài 1.22: Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh ln tìm
được đoạn để ghép thành tam giác
L H
B C
A
(4)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
➢ DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG THUẬT NGỮ ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho định lí : “Cho số tự nhiên n Nếu n5 chia hết cho n chia hết cho 5” Định lí
này viết dạng P Q a) Hãy xác định mệnh đề P Q
b) Phát biểu định lí cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần” c) Phát biểu định lí cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”
d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) định lí dùng thuật ngữ “điều kiện cần đủ” phát biểu gộp hai định lí thuận đảo
Lời giải.
a) P : “n số tự nhiên n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5”
b) Với n số tự nhiên, n chia hết cho điều kiện cần để n5 chia hết cho ; phát biểu
cách khác : Với n số tự nhiên, điều kiện cần để n5 chia hết cho n chia hết cho
c) Với n số tự nhiên, n5 chia hết cho điều kiện đủ để n chia hết cho
d) Định lí đảo : “Cho số tự nhiên n, n chia hết cho n5 chia hết cho 5” Thật vậy, n
= 5k n5 = 55.k5 : Số chia hết cho
Điều kiện cần đủ để n chia hết cho n5 chia hết cho
Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ "Điều kiện cần", "Điều kiện đủ" a) Nếu hai tam giác chúng có diện tích
b) Nếu số nguyên dương chia hết cho chia hết cho
c) Nếu hình thang có hai đường chéo hình thang cân d) Nếu tam giác ABC vng A AH đường cao AB2 BC BH
Lời giải
a) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có diện tích Hai tam giác có diện tích điều kiện cần để chúng b) Số nguyên dương chia hết cho điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương chia hết cho điều kiện cần để chia hết cho
c) Hình thang có hai đường chéo điều kiện đủ để hình thang cân Hình thang cân điều kiện cần để có hai đường chéo
(5)Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
a) Tam giác ABC vuông AB2 AC2 BC2
b) Tứ giác hình chữ nhật có ba góc vng
c) Tứ giác nội tiếp đường trịn có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho có chữ số tận số chẵn
Lời giải
a) Tam giác ABC vuông điều kiện cần đủ để AB2 AC2 BC2
b) Tứ giác hình chữ nhật điều kiện cần đủ để có ba góc vng
c) Tứ giác nội tiếp đường tròn điều kiện cần đủ để có hai góc đối bù
d) Một số chia hết cho điều kiện cần đủ để có chữ số tận số chẵn
2 Bài tập luyện tập
Bài 1.23: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm " Điều kiện cần", " Điều kiện đủ "
a) Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với
b) Nếu số nguyên dương có chữ tận chia hết cho c) Nếu tứ giác hình thoi đường chéo vng góc với
d) Nếu tam giác chúng có góc tương ứng e) Nếu số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho
Bài 1.24. Dùng thuật ngữ điều kiện cần đủ để phát biểu định lí sau a) Một tam giác tam giác cân, có hai góc
b) Tứ giác hình bình hành tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường
c) x y x 3y
d) Tứ giác MNPQ hình bình hành MN QP
Bài 1.25: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau:
a) “Nếu tứ giác hình vng có bốn cạnh nhau” Có định lí đảo định lí khơng , sao?
b) “Nếu tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc” Có định lí đảo định lí khơng , sao?
Bài 1.26: Dùng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lí sau :
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/