Chuyên đề hình chữ nhật

HÌNH CHỮ NHẬT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT • Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng Tứ giác ABCD hình chữ nhật  C D   900  A B * Nhận xét: Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân * Tính chất: - Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành - Hình chữ nhật có tất tính chất hình thang cân - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường * Dấu hiệu nhận biết: -Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật - Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật * Áp dụng vào tam giác vuông: - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền - Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN A.CÁC DANG BÀI MINH HỌA CB-NC Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Phương pháp giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết đê chứng minh tứ giác hình chữ nhật TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA a) Chứng minh EFGH hình bình hành b) Tứ giác EFGH hình gì? Bài 2: Cho tam giác ABC vng cân C Trên cạnh AC , BC lấy điểm P, Q cho AP  CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC  M  AB  a) Chứng minh PM  CQ b) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Bài 3: Cho tam giác ABC , trung tuyến BM CN cắt G Gọi P điểm đối xứng M qua G , gọi Q điểm đối xứng N qua G a) Tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? b) Nếu ABC cân A tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? Dạng 2: Áp dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc đường chéo hình chữ nhật Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF  EC Vẽ FH FK vng góc với đường thẳng AB AD H K Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật; b) AF song song với BD; c*) Ba điểm E, H , K thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi E , F chân đường vng góc kẻ từ H đến AB , AC a) Tứ giác EAFH hình gì? TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Qua A kẻ đường vng góc với EF , cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC Dạng 3: Vận dụng định lý thuận định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Phương pháp giải: Sử dụng định lí tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông để chứng minh hình chứng minh tam giác vuông… Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I , K theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh:   900 ; a) IHK b) Chu vi IHK nửa chu vi ABC Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vng góc với AC , từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm tia Ax tia By Nối M với trung điểm P AB, đường MP cắt AC Q BQ cắt AI H a) Tứ giác AMBQ hình gì? b) Chứng minh CH ⊥ AB c) Chứng minh tam giác PIQ cân Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật Bài 8: Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH hình chữ nhật? Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác M , N , P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC , AC , AB a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Xác định vị trí điểm O để tứ giác MNPQ hình chữ nhật HƯỚNG DẪN Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA a) Chứng minh EFGH hình bình hành b) Tứ giác EFGH hình gì? Bài giải A E H D B F G C  EA  EB  gt  a) Ta có:   EF đường trung bình BAC  EF //AC EF  AC 1  FB  FC  gt   HA  HD  gt  Ta có:   HG đường trung bình DAC  HG //AC HG  AC   GC  GD  gt  Từ 1 ,   suy EF //HG EF  HG Vậy EFGH hình bình hành  3 b) Ta có: EFGH hình bình hành  EA  EB  gt  Ta có:   DE đường trung bình ABD  HE //BD  HA  HD  gt   EF //AC Ta có:   EF  BD  AC  BD  EF  BD Ta có:   EF  HE    HE //BD   90o nên EFGH hình chữ nhật Từ  3 ,   , suy hình bình hành EFGH có E TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC , BC lấy điểm P, Q cho AP  CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC  M  AB  a) Chứng minh PM  CQ b) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Bài giải A P C M Q B  ( ABC vng cân C ) 1 a) Ta có:  A B B  ( hai góc đồng vị)   Vì PM //BC nên PMA  ( B  ) Từ 1 ,   suy A  PMA  APM cân P  AP  PM ( hai cạnh bên nhau)  AP  CQ  gt  Ta có:   PM  CQ  AP  PM  PM //CQ b) Ta có:   PCQM hình bình hành ( tứ giác có cặp cạnh đối song song  PM  CQ nhau)   90o Lại có C Vậy PCQM hình chữ nhật Bài 3: Cho tam giác ABC , trung tuyến BM CN cắt G Gọi P điểm đối xứng M qua G , gọi Q điểm đối xứng N qua G a) Tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Nếu ABC cân A tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? Bài giải A M N G B P Q C a) Ta có: GM  GP (vì P điểm đối xứng M qua G ) (1) GN  GQ ( Q điểm đối xứng N qua G ) (2) Từ 1 ,   suy MNPQ hình bình hành ( có G trung điểm hai đường chéo MP NQ ) b) Nếu ABC cân A AB  AC , ta có AMB  ANC  c.g.c   MB  NC ta lại có MP  NQ Từ giác MNPQ hình chữ nhật Dạng 2: Áp dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF  EC Vẽ FH FK vng góc với đường thẳng AB AD H K Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật; b) AF song song với BD; c*) Ba điểm E, H , K thẳng hàng Bài giải TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com K F I A 1 H B E O C D   FKA   HAK   90o  AHFK hình chữ nhật a) FHA b) Gọi O giao điểm AC BD  EF  EC  gt  Ta có:   OE đường trung bình CAF OA  OC  AF //OE hay AF //BD c) Gọi I giao điểm AF HK    A B  A1 H A1  KH //AC , Ta có: H 1 Mà KH qua trung điểm I AF  KH qua trung điểm FC Mà E trung điểm FC  K , H , E thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi E , F chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB , AC a) Tứ giác EAFH hình gì? b) Qua A kẻ đường vng góc với EF , cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC Bài giải A F E B O H TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com I C  A  90o  AFH  90o  gt   EAFH hình chữ nhật ( tứ giác có ba góc vng) a) Ta có:    o  AEH  90  gt    BAH   90o , mà BAH   HAF   90o , suy B   HAF  1 b) Trong tam giác AHB ta có B Gọi O giao điểm hai đường chéo EF AH hình chữ nhật AEHF OA  OF ,   OFA   2 OAF cân O nên OAF  Từ 1   suy B AFE  C   90o IAC    ICA  , AIC cân I Mặt khác ta lại có B AFE  90o , từ ta có IAC nên IA  IC Tương tự IB  IA , IB  IC Dạng 3: Vận dụng định lý thuận định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I , K theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh:   900 ; a) IHK b) Chu vi IHK nửa chu vi ABC Bài giải B H I A K C a) Ta có BHA vng H (gt)  IH  IA  IB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB )   IAH  ( hai góc đáy nhau)(1)  IAH cân I  IHA TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com   HAK  (2) Tương tự KHA   KHA   IAH   HAK   90o (gt) Từ (1) (2) suy IHA   90o Vậy IHK b) Ta có: HI  AB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông AHB )(3) IK  AC ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông AHC )(4) IK  AC ( đường trung bình tam giác ABC )(5) Từ (3), (4), (5) suy : PIHK  IH  HK  IK  AB AC BC AB  AC  BC PABC     2 2 Vậy chu vi IHK nửa chu vi ABC Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vng góc với AC , từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm tia Ax tia By Nối M với trung điểm P AB, đường MP cắt AC Q BQ cắt AI H a) Tứ giác AMBQ hình gì? b) Chứng minh CH ⊥ AB c) Chứng minh tam giác PIQ cân Bài giải A Q H P y M x B I TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C  AQB  90o    90o  AMBQ hình chữ nhật a) Ta có:  MAQ  o  MBQ  90  AI  BC  gt  b) Ta có:   H trực tâm ABC (vì H giao điểm hai đường cao)  BQ  AC  gt  Suy CH  AB c) Ta có: PQ  PI  AB ( PQ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ABQ ) AB ( PQ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông AIB ) Từ (1) (2) suy PQ  PI  PIQ cân P Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật Bài 8: Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH hình chữ nhật? Bài giải E B A F H D G C  EA  EB  gt  Ta có:   EF đường trung bình BAC  EF //AC EF  AC 1  FB  FC  gt   HA  HD  gt  Ta có:   HG đường trung bình DAC  HG //AC HG  AC   GC  GD  gt  Từ 1 ,   suy EF //HG EF  HG 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) Tứ giác AFHE có ba góc vng nên hình chữ nhật  OA  OF  OH  OE Xét ABC vuông A có AD đường trung tuyến nên AD  DB  DC  DAC cân   A1  C  ); A  (cùng phụ với B Mặt khác, C   (hai góc đáy tam giác cân) A2  E  Suy  A1  E Gọi K giao điểm AD EF F   90     90  K   90 Xét AEF vng A có E A1  F 1 Do đó: AD  EF , (1)   OHM   90  EM  EF Ta có: OEM  OHM  c.c.c   OEM (2) Chứng minh tương tự, ta được: FN  EF (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: EM // FN // AD (vì vng góc với EF ) b) Ba đường thẳng EM , FN AD ba đường thẳng song song cách  KF  KE  K  O  AD  AH  ABC vuông cân Bài (h.5.18) Vẽ DE  BC , DF  AH F   90 ; AB  AD; HAB FDA có: H   FDA  (cùng phụ với FAD  ) HAB Do HAB  FDA (cạnh huyền-góc nhọn)  AH  FD (1) Tứ giác FDEH có ba góc vng nên hình chữ nhật 17 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  HE  FD (2) Từ (1) (2) suy ra: AH  HE Ta có AM  EM  BD  AHM  EHM  c.c.c    AHM  EHM Do tia HM tia phân giác góc AHC Bài 10 (h.5.19) Gọi M , N , P trung điểm HE , HF FG Theo tính chất đường trung bình tam giác, tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông, ta có: EF  MN ; FG  2CP; GH  NP; HE  AM Do chu vi hình tứ giác EFGH là: EF  FG  GH  HE   AM  MN  NP  PC  Xét điểm A, M , N, P, C , ta có: AM  MN NP  PC  AC (không đổi) AC  AB  BC  152  82  289  AC  17 Vậy chu vi tứ giác EFGH  2.17  34 (dấu "  " xảy  M , N , P nằm AC theo thứ tự  EF // AC // HG HE // BD // FG ) Do giá trị nhỏ chu vi tứ giác EFGH 34 Bài 11 (h.5.20) 18 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Gọi M trung điểm BC Vẽ AH  Oy , MD  Oy CE  Oy   30 nên Xét AOH vng H , có O AH  OA  1cm MDB  AHB  MD  AH  1cm Xét BCE , dễ thấy MD đường trung bình nên CE  2MD  2cm Điểm C cách Oy khoảng 2cm nên C di động đường thẳng a // Oy cách Oy 2cm Bài 12 (h.5.21) Gọi M trung điểm OB Khi G  AM AG  2GM Gọi N trung điểm AG , ta AN  NG  GM Vẽ AD, NE , GF vng góc với Oy Ba đường thẳng AD, NE GF ba đường thẳng song song cách nên DE  EF  FM Ta đặt FG  x EN  x EN  FG  AD x  AD Do x   AD  x 2 Xét DOA vuông cân D  OA2  DA2  Do DA2    DA   cm   FG  1cm Điểm G cách Oy khoảng không đổi 1cm nên điểm G di động đường thẳng a // Oy cách Oy 1cm C.PHIẾU TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO PHIẾU SỐ Dạng Chứng minh tứ giác hình chữ nhật 19 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điẻm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình ? Bài Cho tam giác ABC vng cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M  AB) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Dạng Vận dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Bài Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vng góc với đường thẳng AB AD h K Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật; b) AF song song với BD; c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng Bài Cho hình chữ nhật ABCD Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh AB Gọi I, K, M, N theo thứ tự trung điểm EF, FD, BE, BD Chứng minh IN = KM Dạng Sử dụng định lí thuận đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh:   900 a) IHK b) Chu vi IHK nửa chu vi ABC Bài Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vng góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm tia Ax tia By Nối M với trung điểm P AB, đường MP cắt AC Q BQ cắt AI H a) Tứ giác AMBQ hình ? b) Chứng minh CH  AB c) Chứng minh tam giác PIQ cân Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật 20 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH hình chữ nhật ? Bài Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC, AC, AB a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Xác định vị trí điểm O để tứ giác MNPQ hình chữ nhật Dạng Tổng hợp Bài Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I trung điểm AC Lấy E điểm đối xứng với H qua I Gọi M, N trung điểm HC, CE Các đường thẳng AM, AN cắt HE G K a) Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật b) Chứng minh HG = GK = KE Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A Về phía ngồi tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) ACE (EA = EC) Gọi M trung điểm BC, I giao điểm DM với AB, K giao điểm EM với AC Chứng minh: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) Tứ giác IAKM hình chữ nhật c) Tam giác DME tam giác vng cân Bài 11 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC, BC a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân c) Tìm hệ thức liên hệ AB CD để ABPN hình chữ nhật   900 ) có điểm E F thuộc cạnh AD cho AE Bài 12 Cho hình thang vng ABCD ( A  D   900 Chứng minh BEC   900 = DF BFC 21 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác Chứng minh: HEFG hình bình hành EF  HE  HEFG hình chữ nhật Chứng minh: PM = CQ Mà PM//CQ  PCQM hình bình hành   900 Lại có: C  PCQM hình chữ nhật   HAK  a) FHA AKF  900  AHFK hình chữ nhật b) Gọi giao điểm AC BD Chứng minh OE đường trung bình ACF  AF//OE  AF/BD c) Gọi I giao điểm AF HK Chứng minh  A B  H A1 ( H A1 )  KH / / AC mà KH qua trung điểm I 1 AF  KH qua trung điểm FC Mà E trung điểm FC  K, H, E thẳng hàng HS chứng minh IMNK hình chữ nhật  IN = KM a) Chứng minh:   IHA  , HAK  IAH AHK   IHA AHK  900   900  IHK b) Chú ý: Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác sử dụng 22 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com c) HS tự chứng minh a) HS tự chứng minh AMBQ hình chữ nhật (ahi đường chéo cắt trung điểm đường nhau) b) Sử dụng tính chất trực tâm tam giác c) Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông để chứng minh PI  PQ  AB Chứng minh EFGH hình bình hành Để EFGH hình chữ nhật   900  HE  EF  HEF  AC BD a) HS tự chứng minh b) O nằm đường cao xuất phát từ đỉnh A ABC a) Chứng minh: AHCE hình bình hành;  AHC  900  AHCE hình chữ nhật b) Chứng minh G, K trọng tâm tam giác AHC, AEC sử dụng tính chất đường chéo hình chữ nhật 10   1800 a) Chứng minh DEA b) Chứng minh    900 AIM   AKM  IAK   DEM   450 c) Chứng minh DME có EDM  DME vng cân M 11 a) HS tự chứng minh hình thang ABPN có hai đường chéo hình thang cân c) Cần thêm điều kiện NP = AB suy DC = 3AB 12 23 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Gọi I, K trung điểm BC, AD Chú ý FEI cân I Chứng minh: UIE =IB = IC  EBC vuông E   900  BEC PHIẾU SỐ Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Bài 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc O Gọi E , F , G , H trung điểm cạnh AB, BC , CD , DA Chứng minh rằng: a) OE  OF  OH  OG nửa chu vi tứ giác ABCD b) Tứ giác EFGH hình chữ nhật Bài 2: Cho tam giác ABC , đường cao AH Gọi I trung điểm AC , E điểm đối xứng H qua I Gọi M , N trung điểm HC , EC Các đường thẳng AM , AN cắt HE G K a) Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật b) Chứng minh HG  GK  KE Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Về phía ngồi tam giác ABC , vẽ hai tam giác vuông cân ADB  DA  DB  ACE  EA  EC  Gọi M trung điểm BC , I giao điểm DM với AB , K giao điểm EM với AC Chứng minh: a) Ba điểm D , A, E thẳng hàng b) Tứ giác IAKM hình chữ nhật c) Tam giác DME tam giác vuông cân Dạng 2: Áp dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF  EC Vẽ FH , FK vng góc với đường thẳng AB , AD H K Chứng minh: 24 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật b) AF song song với BD c) Ba điểm E , H , K thẳng hàng Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Điểm E thuộc cạnh AD , điểm F thuộc cạnh AB Gọi I , K , M , N theo thứ tự trung điểm EF , FD , BE , BD Chứng minh IN  KM Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E chân đường vng góc kẻ từ B đến AC , I trung điểm AE , M trung điểm CD , H trung điểm BE a Chứng minh CH // IM  b Tính góc BIM Dạng 3: Vận dụng định lý thuận định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi I , K theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh:   90o a) IHK b) Chu vi IHK nửa chu vi ABC Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC , từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm tia Ax tia By Nối M với trung điểm P AB , đường thẳng MP cắt AC Q BQ cắt AI H a) Tứ giác AMBQ hình gì? b) Chứng minh CH  AB c) Chứng minh tam giác PIQ cân Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác M , N , P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC , AC , AB a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành 25 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Xác định vị trí điểm O để tứ giác MNPQ hình chữ nhật Bài 10: Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G , H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC , CD , DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH hình chữ nhật Bài 11: Cho hình thang cân ABCD  AB // CD, AB  CD  Gọi M , N , P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC , BC a) Chứng minh điểm M , N , P, Q thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân c) Tìm hệ thức liên hệ AB , CD để ABPN hình chữ nhật HƯỚNG DẪN Bài 1: 26 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) OE  OF  OH  OG  1  AB  BC  CD  DA   PABCD 2 b) Dựa vào tính chất đường trung bình ta chứng minh:     EF  HG   AC     Tứ giác EFGH hình bình hành.(*)   EF // HG  //AC   Dễ có  AC  BD   90o (**)  EF  BD mà BD // EH nên EF  EH suy FEH   AC // EF Từ (*) (**) suy Tứ giác EFGH hình chữ nhật (DHNB) Bài 2: a) Chứng minh: AHCE hình bình hành;  AHC  90o , suy AHCE hình chữ nhật b) Chứng minh G , K trọng tâm AHC , AEC sử dụng tính chất hai đường chéo hình chữ nhật suy dpcm Bài 3: 27 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com   180o a) Chứng minh DAE b) Chứng minh    90o AIM   AKM  IAK   DEM   45o c) Chứng minh DME có EDM Bài 4:   HAK  a) FHA AKF  90o suy AHFK hình chữ nhật b) Gọi {O}  AC  BD Chứng minh OE đường trung bình tam giác ACF  AF // OE  AF // BD c) Gọi I giao điểm AF HK     Suy A1   A2  B Chứng minh H 1 KH // AC , mà KH qua trung điểm I AF nên qua trung điểm FC Mà E trung điểm FC  K , H , E thẳng hàng Bài 5: 28 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Dễ có dựa vào tính chất đường trung bình tam giác ta chứng minh IMNK hình chữ nhật  IN  KM Bài 6: a) Dựa vào tính chất đường trung bình ta  IH // AB CM // AB  IH // CM   ;   IMCH hình bình hành (dhnb)  1 IH  CM IH  AB CM  CD  AB    2 b) Dễ có H trực tâm tam giác IBC nên CH  IB   90o Theo câu a) ta có CH // IM suy IM  IB  BIM Bài 7: I a) Dựa vào tính chất đường trung tuyến tam giác vuông hai tam giác  HCA;  HAB 29 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com có ta có: HK  KC  KA; HI  IB  IA  IHA; KHA cân I , K   KHA    HAI   CAB   90o? Do KHI AHI  KAH b) PIHK  IH  IK  KH  1 1 AC  AB  CB   AB  AC  CB   PABC 2 2 Bài 8: a) Ta chứng minh tứ giác AMBQ hình chữ nhật ( hai đường chéo cắt trung điểm đường nhau) b) Tứ giác AMBQ hình chữ nhật nên  AQB  90o  BQ  AC mà AI  BC nên H trực tâm tam giác ABC c) Ta chứng minh PI  1 AB; PQ  MQ  AB 2 Bài 9:  QN // AO  a) Dựa vào tính chất đường trung bình tam giác ta suy  PM // AO  QN  PM  AO  nên tứ giác QNMP hình bình hành 30 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Để hình bình hành QNMP thành hình chữ nhật   90o  NQ  QP mà NQP  NQ // AO  AO  BC  O thuộc đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC  QP // BC Bài 10: Dựa vào tính chất đường trung bình tam giác ta có tứ giác HGFE hình bình hành Do vậy, tứ giác muốn trở thành hình chữ nhật   90o  HC  EH EHG mà HC // AC ; EH // BD  AC  BD Vậy tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc tứ giác HGFE hình chữ nhật Bài 11:  MN // DC  a) Ta chứng minh qua điểm M nằm ngồi đường thẳn DC có  MP // DC  M , N , P , Q thẳng hàng  MQ // DC   NP // AB  b) Ta có   ABPN hình thang cân 1 AP=NB= AC  DB c) ABPN hình chữ nhật AB  NP 1  ta có DC  MQ  AB   MN  NP  PQ   AB   AB  AB  AB   AB  AB 2  31 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... HEFG hình bình hành EF  HE  HEFG hình chữ nhật Chứng minh: PM = CQ Mà PM//CQ  PCQM hình bình hành   900 Lại có: C  PCQM hình chữ nhật   HAK  a) FHA AKF  900  AHFK hình chữ nhật b)... hành ABCD Biết AD    DAC  Chứng minh hình AC BAC 2 bình hành ABCD hình chữ nhật Bài Cho hình chữ nhật ABCD, AB  8, BC  Điểm M nằm hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ tổng: S  MA2  MB  MC... song với BC (M  AB) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Dạng Vận dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Bài Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên