Chuyên đề định lí đảo và hệ quả của định lí Talét

ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lí Ta-lét đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác A D   ABC    AD AE  DE  BC     EC   DB B E C Hình 269 Hệ định lí Ta-lét Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho  ABC AB AC BC      BC  B C  AB  AC  B C   Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng a song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại A C' B' C' B A a C B' a B C II.BÀI TẬP MINH HỌAHình 270a Hình 270b A CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN DẠNG Tính độ dài đoạn thẳng Chia đoạn thẳng cho trước thành phần PHƯƠNG PHÁP GIẢI Tính độ dài đoạn thẳng: Xác định đường thẳng song song với cạnh tam giác Áp dụng hệ định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức đoạn thẳng Thay số vào hệ thức giải phương trình Chia đoạn thẳng cho trước thành phần cách sử dụng hệ định lí Ta-lét A tính chất đường thẳng song song cách VÍ DỤ 9,5 Ví dụ Tính độ dài x, y hình 271 D E Lời giải a) Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho DE  BC , ta được: x 28, BC AB hay   9, DE AD x 8.28, 456   31, 58 9, 19 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 28,5 B x Hình 271a C b) B' Từ hình 271b ta thấy A B   AB vng góc với AA Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho A B   AB , ta được: x   x  4, 2.2  8, 4, A' 4,2 AB AO hay  A B  A O O y C x A Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác OAB vng A , ta được: OB  BA2  AO hay y  8, 42  62  106, 06  y  10, 32 Hình 271b Ví dụ Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD  8cm DB  4cm Tính tỉ B số khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC Lời giải (hình 272) D Kẻ DH BK vng góc với AC DH  BK DH , BK khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho DH  BK thu hay DH   BK 12 DH AD  BK AB H A C K Hình 272 Ví dụ Hãy chia đoạn AB cho trước thành đoạn Hỏi có cách chia vậy? Hãy nêu rõ cách làm Lời giải (hình 273) Có hai cách chia đoạn AB cho trước thành phần Cách 1: Sử dụng hệ định lí Ta-lét Kẻ đường thẳng a  AB Từ điểm C a , đặt liên tiếp đoạn thẳng nhau: CD  DE  EF  FG  GH Gọi O giao điểm AH BC Vẽ đường thẳng DO, EO, FO,GO cắt AB theo thứ tự I , K , L, M điểm chia đoạn AB thành phần Thật vậy: Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho CD  MB,GH  AI , ta được: CO CD HO HG    OB MB OA AI  MB  AI CD  GH Chứng minh tương tự, ta được: AI  IK  KL  LM  MB Cách 2: Sử dụng tính chất đường thẳng song song cách Kẻ tia Ax , đặt liên tiếp đoạn thẳng nhau: CD  DE  EF  FG  GH Nối GB Từ C , D, E, F kẻ đường thẳng song song với GB , chúng cắt AB I , K , L, M CI , DK , EL, EM ,GB lằ năm đường thẳng song song cách nên chúng chắn đường thẳng AB đoạn thẳng liên tiếp AI  IK  KL  LM  MB TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C 1 D E t 10 F G H O A I K L M B Hình 273a x G F E D C A I K L Hình 273b M B B DẠNG Chứng minh hệ thức hình học PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Xác định đường thẳng song song với cạnh tam giác  Áp dụng hệ định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức đoạn thẳng  Sử dụng tính chất tỉ lệ thức cộng hay nhân theo vế đẳng thức hình học VÍ DỤ Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB  CD ) có O giao điểm hai đường chéo Đường thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD, BC E F Chứng minh OE  OF Lời giải (hình 274) Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho EO  DC , OF  DC AB  DC , A B ta được: E F O  EO AO    DC AC  OF BO EO OF      EO  OF  C D  DC BD DC DC Hình 274  AO BO    AC BD Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB  CD ) Một đường thẳng qua giao điểm O hai đường chéo song song với hai đáy, cắt BC I Chứng minh 1   AB CD OI Lời giải (hình 275) Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho OI  AB, OI  DC , ta được: A B OI CI OI BI (1); (2)   AB CB DC BC I O Cộng theo vế đẳng thức (1) (2), ta được: OI OI BI  IC BC 1 C D    1   Hình 275 AB CD BC BC AB CD OI Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB  CD, AB  CD ) có O giao điểm AC BD , I giao điểm AD BC Đường thẳng IO cắt AB CD theo thứ tự M N Chứng minh M trung điểm AB, N trung điểm CD Có nhận xét kết tốn Lời giải (hình 276) Đặt AM  a, MB  b, DN  c, NC  d Ta phải chứng minh a  b, c  d Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho AM  CN , MB  ND AM  DN , MB  NC , ta được:  AM   CN   MB   ND  AM   DN   MB   NC MO ON  AM  MB , hay a  b  a  c (1); MO CN ND c d b d  ON I  IM IN  AM  MB , hay a  b  a  d IM DN NC d c b c  IN  TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a Mb B A O (2) D d N Hình 276 c C a  cd a Nhân theo vế đẳng thức (1) (2) ta    1 1a b  b  cd b Thay a  b vào (1) ta c  d Nhận xét: Trong hình thang có hai đáy khơng giao điểm hai cạnh bên, giao điểm hai đường chéo trung điểm hai đáy bốn điểm thẳng hàng Đây nội dung của: Bổ đề hình thang DẠNG Chứng minh hai đường thẳng song song PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Sử dụng định lí Ta-lét, lập tỉ lệ thức đoạn thẳng  Áp dụng định lí Ta-lét đảo, kết luận hai đường thẳng song song VÍ DỤ Ví dụ Trên đường chéo AC hình bình hành ABCD lấy điểm I Qua I kẻ hai đường thẳng cho đường thứ cắt AB,CD E F , đường thẳng thứ hai cắt AD, BC theo thứ tự G H Chứng minh GE  FH Lời giải (hình 277) ABCD hình bình hành nên AB  CD AD  BC , suy AE  FC , AG  HC Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho AE  FC AG  HC , ta được:  EI AI    IF IC  EI  GI  GI AI IF IH   IC  IH Điều chứng tỏ đường thẳng EG cắt hai cạnh IF , IH tam giác E A G B H I D C F IHF định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên EG  HF (theo định lí Ta-lét đảo) Hình 277 Ví dụ Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G Chứng minh EG  CD B Lời giải (hình 278) Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho AE  BC BG  AD , ta được: A OE OA OB OG (1); (2)   OB OC OD OA O E G Nhân theo vế đẳng thức (1) (2), ta được: C D Hình 278 OE OB OA OG OE OG    OB OD OC OA OD OC Điều chứng tỏ đường thẳng EG cắt hai cạnh OD,OC tam giác OCD định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên EG  DC (theo định lí Ta-lét đảo) Ví dụ Cho hình thang ABCD điểm E cạnh bên BC Qua C vẽ đường thẳng song song với AE cắt AD K Chứng minh BK  DE Lời giải (hình 279) Gọi I , M giao điểm AE với BK CK với AB Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho AI  MK IE  KC , thu được: TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com M A K I B E   AI BI     MK BK  AI  IE  AI  MK (1)   BI IE MK KC IE KC     BK KC   Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho MA  DC , ta được: MK AK (2)  KC KD AI AK Điều chứng tỏ đường thẳng KI cắt hai cạnh AD, AE tam  IE KD giác ADE định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên KI  DE , hay Từ (1) (2) suy KB  DE (theo định lí Ta-lét đảo) DẠNG 4* Vẽ thêm đường thẳng song song để chứng minhhệ thức hình học , tính tỉ số hai đoạn thẳng PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Vẽ thêm đường thẳng song song  Áp dụng hệ định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức đoạn thẳng  Biến đổi tỉ lệ thức VÍ DỤ A F Ví dụ Cho tam giác ABC , I điểm tam giác, IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC ,CA, AB M , N , P Chứng minh NA PA IA   NC PB IM P Lời giải (hình 280) Qua A kẻ đường thẳng song song với BC Đường thẳn cắt BN , CP B E F Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho AE  BC FA  BC , ta được: E I N M C Hình 280 NA EA PA AF (1); (2)   NC BC PB BC NA PA IA   NC PB IM Ví dụ Cho tam giác ABC , lấy D  AB, E  AC cho BD  CE Gọi K giao điểm Cộng theo vế đẳng thức (1) (2), ta được: DE BC Chứng minh tỉ số KE AB  KD AC Lời giải Đặt BD  CE  a Cách 1: (hình 281) Kẻ DH  AC DH  EC Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho DH  EC DH  AC , ta được: A D E a H B C K Hình 281 KE EC a (1);   KD DH DH A DH BD a a AB (2)     AC BA BA DH AC D I E a TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com B C K Từ (1) (2) suy KE AB  KD AC Cách 2: (hình 282) Kẻ DI  BC DI  CK Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho DI  CK DI  BC , ta được: KE CE a CI BD a BA a (3); (4)       KD CI CI CA BA BA CA CI Từ (3) (4) suy A KE AB  KD AC Cách 3: (hình 283) Kẻ EM  AB EM  BD D a Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho EM  BD M B EM  AB , ta được: C K Hình 283 KE EM EM CE EM a EM AB (5); (6)       KD BD a CA AB CA a CA A KE AB Từ (5) (6) suy  KD AC Cách 4: (hình 284) Kẻ EN  BC EN  BK D a N Áp dụng hệ định lí Ta-lét cho EN  BK EN  BC , ta được: B KE BN BN BN CE a BN BA (7); (8)       KD BD a BA CA CA a CA Từ (7) (8) suy E E a C K Hình 284 KE AB  KD AC PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG CƠ BẢN Bài 1: Tìm x hình Biết MN //PQ Hình Hình Hình Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm I nằm tam giác, tia AI, BI, CI cắt cạnh BC, AC, AB theo thứ tự D, E, F Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI H cắt tia BI K Chứng minh: a) AK HA  ; BD DC b) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com AF AE AI   BF CE ID Bài 3: Tam giác ABC có đường cao AH Đường thẳng d song song với BC cắt cạnh AB, AC đường cao AH B’, C’ H’ a) Chứng minh AH ' B ' C '  AH BC Áp dụng: Cho biết AH '  AB 'C ' AH diện tích tam giác ABC 67,5cm2 Hãy tính diện tích tam giác Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC Kẻ IM song song với BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC Bài 5: (Định lý Céva) Trên ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy tương ứng ba điểm P, Q, R Chứng minh AP, BQ, CR đồng quy PB QC RA  PC QA RB Bài 6: Cho tứ giác ABCD Qua E  AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC G Qua G kẻ đường thẳng song song với CB cắt AB H Chứng minh rằng: a)  HE //BD b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CD, cắt đường thẳng Ac I Qua C kẻ đường thẳng song song với BA, cắt BD F Chứng minh IF //AD Bài 7: Cho hình thang ABCD AB //CD  M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK //AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự E F Chứng minh EI  IK    KF Bài 8: Cho ABC có AD trung tuyến Từ điểm M cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB AC E F Gọi I trung điểm EF Chứng minh : a) ME  MF  2AD b) ADMI hình hình hành LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: Hình Trong tam giác ABC, OPQ, MN / / PQ ta có:  OP PQ ( hệ định lí Ta-let)  ON MN x 5, 5, 2.2 52  x   cm  3 15 Hình Ta có: EF  AB; EF  QD Suy AB / / QD Trong OQF , QF / / EB suy ra: OF FQ ( hệ định lí Ta-let)  OE EB TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  x 3, 3.3,5  x  5, 25  cm  2 Hình 3.Áp dụng định lí Pytago AMN , A  900 ta có: MN  AM  AN  162  122  MN  400  20  cm  Trong AMN , MN / / BC suy ra:  16 12 24.12   AC   18  cm  ; NC  18  12   cm  24 AC 16 Trong AMN , MN / / BC suy ra:  AM AN ( hệ định lí Ta-let)  AB AC AM MN ( hệ định lí Ta-let)  AB BC 16 20 24.20   BC   30  cm  24 BC 16 AI AK  ID BD AI AH Từ AH / / DC   ID DC AK AH Do  BD DC AK AH AK  AH HK AI b) Ta có:     BD DC BD  DC BC ID Ta chứng minh AF AH AE AK  (2);  (3) BF BC CE BC AE AF AI Từ (1), (2), (3) ta có (đpcm)   CE BF ID Bài 2: a) AK / / BD  Bài 3: TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A H K F E I B D C a) Trong ABH , B ' H '/ / BH suy Từ (1), (2) (3) suy ra: b) Ta có: (1) AH ' AC ' ( hệ định lí Ta-let)  AH AC Trong ACH , C ' H '/ / CH suy Trong ABC , B ' C '/ / BC suy AH ' AB ' (hệ định lí Ta-let)  AH AB (2) AB ' AC ' ( hệ định lí Ta-let)  AB AC (3) AH ' B ' C '  AH BC AH ' B ' C ' B 'C ' 1 ( câu a);    B ' C '  BC BC 3 AH BC Từ suy ra: S AB 'C ' S ABC AH '.B 'C ' AH ' B 'C ' 1 67,     S AB 'C '  S ABC   9, cm AH BC 9 AH BC  Bài 4: Từ IM //BK KN //IC ta suy AI AM  AB AK A AN AK  AI AC N M K I Do AN AM  MN //BC  AB AC C B Bài 5: A M N R Q B P C Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ CR N M QC BC Ta chứng minh được:  (1) AQ AN RA AM BP AN (3)  (2) ;  BR BC CP AM PB QC RA Từ (1), (2), (3) suy    (đpcm) PC QA RB TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  Bài 6: AE AG    AD AC   AE  AH  EH / /BD AD AB a)GH //BC  AG  AH   AC AB  EG //DC  b) Gọi O giao điểm AC BD OI OB  BI//DC    OC OD   OI  OF  AD / IF OC OF  OA OD AB //CF    OA OB  Bài 7: IM MD    IA AB   IM  MK  IK / /AB a) MK MC  IA KB AB //MC    KB AB  AB // DM  b) Ta có:   IE ID     AB DB   IK IM   IE  IK  EI  IK AB //IK     AB MA AB AB  DI IM DI IM   AB //DM      BI IA BD AM     AB //EI  Tương tự IK  KF Do EI  IK  KF Bài 8: a) MF //AD  AD //ME   MF CM  AD CD ME BM  AD BD MF ME CM BM mà CD  BD (gt)    AD AD CD BD MF  ME CM  BM BC     ME  MF  2AD AD CD CD (đpcm)  b) ME  MF  2AD (cmt) Mà ME  MF  FE  MF  MF  FE  2MF  2IF  2MF  2IM 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  AD  IM    ADIM hình bình hành AD / / IM  B.DẠNG BÀI NÂNG CAO TỔNG HỢP TALET VÀ LIÊN QUAN Ví dụ Cho tam giác ABC có A  120 , AD đường phân giác Chứng minh rằng: 1   AB AC AD Ví dụ Một đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC cắt cạnh AB, AC M N Chứng minh rằng: AB AC BM CN a) b)   3;   AM AN AM AN Ví dụ Cho ABCD hình bình hành có tâm O Gọi M, N trung điểm BO; AO Lấy F cạnh AB cho FM cắt cạnh BC E tia FN cắt cạnh AD K Chứng minh rằng: BA BC a) b) BE  AK  BC   4; BF BE Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn có AH đường cao Trên AH, AB, AC lấy điểm D, E, F cho  EDC   FDB  90 Chứng minh rằng: EF//BC Ví dụ Cho tam giác ABC có AD đường trung tuyến Gọi M điểm tùy ý thuộc khoảng BD Lấy E thuộc AB F thuộc AC cho ME // AC; MF // AB Gọi H giao điểm MF AD IB Đường thẳng qua B song song với EH cắt MF K Đường thẳng AK cắt BC I Tính tỉ số ? ID LỜI GIẢI PHIẾU BÀI NÂNG CAO Ví dụ Cho tam giác ABC có A  120 , AD đường phân giác Chứng minh rằng: 1   AB AC AD Giải Kẻ DE // AB, ta có:  D  A  60; A  60 nên tam giác ADE Suy AD = AE = DE 1 DE CE AD CE hay   AB AC AB AC AD AE AD AD CE AE AC Mặt khác nên       AC AC AB AC AC AC AC 1 Suy   AB AC AD Nhận xét Những tốn chứng minh đẳng thức có nghịch đảo độ dài đoạn thẳng, bạn nên biến đổi chứng minh hệ thức tương đương có tỉ số hai đoạn thẳng Ví dụ Một đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC cắt cạnh AB, AC M N Chứng minh rằng: Áp dụng hệ định lý Ta-lét: 11 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) AB AC   3; AM AN b) BM CN   AM AN Giải AB AC cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có ; AM AN yếu tố song song cần kẻ thêm yếu tố song song Kẻ đường thẳng song song với MN từ B C vừa khai thác yếu tố trọng tâm, vừa tạo tỉ số yêu cầu * Trình bày lời giải Trường hợp Nếu MN // BC, lời giải giản đơn (dành cho bạn đọc) Trường hợp Xét MN không song song với BC a) Gọi giao điểm AG BC D  BD  CD * Tìm cách giải Để tạo tỉ số Kẻ BI // CK // MN  I ,K  AD  Xét BDI CDK có BD  CD; IBD   KCD; IDB   KDC nên BDI  CDK  g.cg   DI  DK Áp dụng định lý Ta-lét, ta có AB AI (vì MG // BI);  AM AG AC AK (vì GN // CK)  AN AG AB AC 2.AD Suy (1) (vì AD  AG )   3 AM AN AG BM GI CN KG b) Xét  ;  AM AG AN AG BM CN GI  GK 2.GD BM CN hay     1, suy   AM AN AG AG AM AN Nhận xét Từ kết (1), thấy G trọng tâm nên AD  Vậy G không AG phải trọng tâm ta có tốn sau: - Một đường cắt cạnh AB, AC đường trung tuyến AD tam giác ABC M, AB AC AD N G Chứng minh rằng:   AM AN AG - Nếu thay yếu tố trung tuyến hình bình hành, ta có tốn sau: Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB, AD AC M, N G Chứng minh rằng: AB AD AC   AM AN AG Ví dụ Cho ABCD hình bình hành có tâm O Gọi M, N trung điểm BO; AO Lấy F cạnh AB cho FM cắt cạnh BC E tia FN cắt cạnh AD K Chứng minh rằng: BA BC a) b) BE  AK  BC   4; BF BE Giải * Tìm cách giải Với phân tích suy luận câu a, ví dụ câu a, ví dụ khơng q khó 12 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com AD AB AD AB AB BC   suy     để liên kết AK AF AK AF BF BE BE + AK với nhau, mà với suy luận BE, AK nằm mẫu số, liên 1 tưởng tới bất đẳng thức đại số   cho yêu cầu Với suy luận đó, có x y x y Tương tự câu a, có kết quả: lời giải sau: * Trình bày lời giải a) Kẻ CI //AH // EF (với I ,H  BD ) Xét AOH COI có  AOH   COI (đối đỉnh); OA = OB;  HAO   ICO (so le trong)  AOH  COI (c.g.c)  IO  OH Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: BA BC BH BI BH  BI BO  OH  BO  OI 2.BO        BF BE BM BM BM BM BM b) Tương tự ta có: AD AB AD AB AB BC  4    8 AK AF AK AF BF BE      BC.     AB    (1)  AK BE   AF BF  Áp dụng bất đẳng thức 1   (với x; y  ) x y x y 1 4      AB   AF BF AF  BF AB  AF BF   Từ (1) (2) suy ra: BC.  4  AK BE  Ta có: Mà    (2)  1  4BC     BC    AK BE AK  BE  AK BE  AK  BE 4BC   AK  BE  BC AK  BE Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn có AH đường cao Trên AH, AB, AC lấy điểm D, E, F  cho  EDC   FDB  90 Chứng minh rằng: EF//BC 13 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Giải * Tìm cách giải Để chứng minh EF//BC , suy luận cách tự nhiên cần vận dụng định lý AB AC Ta-let đảo Do cần chứng minh tỉ lệ thức Nhận thấy  AE AF để định hướng tỉ lệ thức khai thác  EDC   FDB  90 cần kẻ BO  CD;CM  DB , để có đường thẳng song song vận dụng định lý Ta-let Từ có lời giải sau: * Trình bày lời giải Kẻ BO  CD;CM  DB , BO CM cắt I  D trực tâm BIC  DI  BC  I, D, A thẳng hàng AI AB DE//BI   AD AE AI AC AB AC suy IC//FD     EF//BC AD AF AE AF (Định lý Ta-let đảo) Ví dụ Cho tam giác ABC có AD đường trung tuyến Gọi M điểm tùy ý thuộc khoảng BD Lấy E thuộc AB F thuộc AC cho ME // AC; MF // AB Gọi H giao điểm MF AD IB Đường thẳng qua B song song với EH cắt MF K Đường thẳng AK cắt BC I Tính tỉ số ? ID Giải Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AI P Áp dụng định lý Ta-let, cho đoạn thẳng song song ta có: IB AB AB HK (1) DP//AB    ID DP HK DP AB AB BC (2) ME//AC    HK BE BM HK AH BM HK//DP MH//AB  (3)   DP AD BD Từ (1), (2) (3) suy ra: IB BC BM BC IB    Vậy  ID BM BD BD ID ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 14 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... có: (1) AH ' AC ' ( hệ định lí Ta-let)  AH AC Trong ACH , C ' H '/ / CH suy Trong ABC , B ' C '/ / BC suy AH ' AB ' (hệ định lí Ta-let)  AH AB (2) AB ' AC ' ( hệ định lí Ta-let)  AB AC (3)... (theo định lí Ta-lét đảo) DẠNG 4* Vẽ thêm đường thẳng song song để chứng minhhệ thức hình học , tính tỉ số hai đoạn thẳng PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Vẽ thêm đường thẳng song song  Áp dụng hệ định lí Ta-lét... PQ ta có:  OP PQ ( hệ định lí Ta-let)  ON MN x 5, 5, 2.2 52  x   cm  3 15 Hình Ta có: EF  AB; EF  QD Suy AB / / QD Trong OQF , QF / / EB suy ra: OF FQ ( hệ định lí Ta-let)  OE EB