CHUYÊN đề 1 căn THỨC và các bài TOÁN LIÊN QUAN copy

Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10) CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phần I Kiến thức bản: Căn bậc hai: 1) A xác định A  2) A2  A 3) AB  A B ( A  ; B  ) A A  B B 4) ( A  0; B  ) 5) A2B  A 6) A B = B A2B ( A  ; B  ) A B = - A2B A  B B 7) ( A  0; B  ) AB ( AB  B  ) A A B  B B 8) (B  0) (B  0) C C( A B) ( A  0,A  B2 )  AB A B 9) 10) C C( A B)  AB A B ( A  0,B  0,A  B )  Chú ý:  a    b   ( a  b)( a  b) a  b b   a    b    a  b  a  a  b b   a    b    a  b  a  ) a  b  ) a ) a 2 3 3 (với a,b  )  ab  b  ab  b (với a,b  ) (với a,b  ) Căn bậc ba: 1) A  B  A  B 2) A B  A.B Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10) 3) A 3A (B  0)  B B Phần II Các dạng tập phương pháp Dạng 1: Tìm điều kiện xác định (có nghĩa, tồn tại) biểu thức A) Phương pháp: Dựa vào định nghĩa thức bậc hai A xác định A  xác định A  A Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức 3x  12 Phân tích: Ta xét điều kiện 3x   (Chú ý không xét 3x  12  ) Lời giải: Ta có: 3x  12 xác định 3x    x  Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: 3 x2 Phân tích: Đây tốn tìm điều kiện biểu thức chứa căn, nhiên ta thêm điều kiện biến nằm mẫu Lời giải: Ta có: có nghĩa x2   x  x Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định biểu thức 2x   2 x5 Phân tích: Đây tập kết hợp nhiều điều kiện Ta tìm điều kiện đơn lẻ kết hợp lại Lời giải:  2x   x  Điều kiện: x       x    x  Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định biểu thức x2  x  Phân tích: Trong nhiều biểu thức thơng qua biến đổi ta nhận xét dấu biểu thức Lời giải: Các chun đề ơn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10) 1  1 Ta có: x  x   x  2.x     x     (với x ) 4  2 2 Vậy biểu thức xác định với x  R B) Vận dụng: Bài tập: Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: 1) 2x 2)  6x 3) 4)  3x 5) x    2x 7) x3 5x 8) 2x2  4x  5 2 x 6) x2  3x  Hướng dẫn:  x    x  x   6) x  3x    (x  1)(x  2)      x   x    x   7) 3  x  8) 2x2  4x   2(x2  2x  1)   2(x  1)2   (với x ) C) Bài tập tự luyện I Trắc nghiệm: Câu (Cần Thơ năm 18-19) Điều kiện x để  x có nghĩa A x  4 B x  C x  D x  - Đáp án: D Câu (Cần Thơ năm 18-19) Giá trị x thỏa mãn  4x  A x   B x  C x  1 D x  - Đáp án: C Câu (Bắc Giang năm 19-20) Tất giá trị x để biểu thức nghĩa A x  B x  C x  x  có D x  - Đáp án: A Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10) Câu (Bắc Giang năm 19-20) Với x  biểu thức (2  x)2  x  có giá trị A 1 B 2x  C  2x D - Đáp án: A Câu (Cần Thơ Năm 19-20) Điều kiện x đề biểu thức 2x  có nghĩa A x   B x  C x  2 D x  - Đáp án: B Câu Tất giá trị x để biểu thức A x  B x  x2  6x  xác định C x  3 D x  - Đáp án: D Câu Tất giá trị x để biểu thức P  A x  1;x  x 3 xác định là: x  3x  C x  1;x  B x  D x  - Đáp án: A II) Tự luận Bài (Lai Châu năm 19-20) Cho biểu thức M  1 x   Tìm x 2 x 2 4x giá trị thực x để biểu thức có nghĩa? 1 a2  Bài (Thanh Hóa 12-13) Cho biểu thức A  Tìm   2  a  a 1 a điều kiện xác định biểu thức A 1  x 2  Tìm điều  x 2 x  x 2  Bài (Nghệ An 12-13) Cho biểu thức A   kiện xác định biểu thức A Bài (Đồng Nai 19-20) Tìm số thực x để biểu thức M  3x   x2  xác định Hướng dẫn x   x   x 2   Bài 1: Điều kiện:  x   x 2 0 4  x   (*) Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10)  a0  a0   Bài 2: Điều kiện: 2  a   2  a   a  1 1  a  a   a  Bài 3: Điều kiện: x > x  5   3x   3x  x  x  Bài 4: Biểu thức M xác định      x   x      x  2 x  Vậy biểu thức M xác định x  ,x   Lời bình: Nhìn chung dạng tốn dễ chun đề đề thi thường đưa vào câu hỏi trắc nghiệm mang tính nhận biết, thơng hiểu Tuy nhiên dạng tốn lại đóng vai trị gián tiếp toán phức tạp như: rút gọn thức, giải phương trình vơ tỉ, … Dạng 2: Rút gọn biểu thức  Dạng 2.1 Rút gọn biểu thức chứa số (không chứa biến) A) Phương pháp: - Dùng đẳng thức A2  A - Đưa thừa số ngồi dấu căn, tạo bình phương, khử mẫu biểu thức lấy trục thức mẫu (Nhân biểu thức liên hợp) Ví dụ 1: (Vũng Tàu 18-19) Rút gọn biểu thức: P  16   12 Phân tích: Nhìn vào biểu thức thấy áp dụng cơng thức trực tiếp Lời giải: Ta có: P  16   12  42  422  Ví dụ 2: (Lạng Sơn 18-19) Tính giá trị biểu thức sau: B  11    Phân tích: Dễ thấy biểu thức dấu bình phương nên ta sử dụng đẳng thức A2  A để rút gọn Lời giải: Ta có: B  11    = 11    11 Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10) Ví dụ 3: (Bình Dương 18-19) Rút gọn biểu thức A   5   40 Phân tích: Chỉ cần khai triển đẳng thức:  5     Lời giải: Ta có: A     5    2   10 giải toán  40   10  10  Ví dụ 4: (Nam Định 19-20) Rút gọn biểu thức A     Phân tích: Đây tốn có dạng tổng qt A  B Ta viết biểu thức dấu thành bình phương: A2 B   a b   a  b  a  b (chú ý a  b ) a  b  A a.b  B Trong đó:  Lời giải: Cách 1: 2A=       1   1    1    1 1    1    Suy A = Cách 2: Ta có: A2 =       Do A > nên A = Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: M  3 2  1 1 Phân tích: Ta phân tích tử, mẫu thành nhân tử rút gọn Chú ý làm không nên quy đồng trục mẫu Lời giải: M 3 2 3(1  2) 2(1  2)     32 1 1 1 1 Ví dụ 6: (Bà Rịa–Vũng Tàu 19-20) Rút gọn biểu thức: A  28  2 3 Phân tích: Ta có mẫu số biểu thức  số Nếu ta quy đồng Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10) rút gọn phức tạp Vì thay cho việc quy đồng trực tiếp ta trục mẫu cách nhân với biểu thức liên hợp để đưa mẫu số nguyên đơn giản a  b a  b biểu thức liên hợp Chú ý: a  b a  ab  b2 biểu thức liên hợp a  b a  ab  b2 biểu thức liên hợp Lời giải: Ta có: A     28  2     3  2 1 2 3 3 3  Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức: C    2   2 3 Phân tích: Nếu ta quy đồng mẫu thấy phức tạp tốn Cịn nến sử dụng trục thức tương tự ví dụ tốn trở nên đơn giản Lời giải: Ta có: C 6 2(2  3) 6(3  3)     3  2  3 1 43 93 2 3 B) Vận dụng Bài Rút gọn biểu thức a) A  32   b) B =  22 (Đắc Lắk 19-20) 11  – 12  27 (Hải Phòng 1819) c) C  12  18   (Đà nẵng 19-20) d) D    (Cần Thơ 18-19) 2 Hướng dẫn C) Bài tập tự luyện Bài (Lai Châu 19-20) Rút gọn biểu thức sau: a)  25  b) 3  12  27 Bài (Lâm Đồng 19-20) Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10) a) Tính 27  12  b) Rút gọn biểu thức B   2 83 Bài Rút gọn biểu thức sau: a) A   2   2 b) B  12    2 1  (Nam Định 19-20) 3 (Quảng Nam 19-20) Bài (Thái Nguyên 19-20) Chứng minh A    (  1)2  2018 số nguyên Bài (Vĩnh Long 19-20) Tính giá trị biểu thức: a) A  48  75  108 b) B  19   19  Hướng dẫn Dạng 2.2 Rút gọn biểu thức chứa chữ (chứa biến) A) Phương pháp: Làm theo bước sau: - Tìm điều kiện xác định biểu thức - Quy đồng mẫu thức - Rút gọn biểu thức  15  x  x 1   : x  25 x    x 5 Ví dụ 1: (Hà Nội 19-20) Rút gọn biểu thức A   Phân tích: Trong bước tìm điều kiện x khơng cần trình bày bước tìm đề khơng u cầu mà cần ghi kết điều kiện đủ Trong bước quy đồng phải ý mẫu thức: x  25  x  x     Lời giải: Với x  , x  25 , ta có:   15  x  x 1  A      :  x  25 x  x        x 1  : x  5 x  x 5  15  x x 5   Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10)   15  x    x 5   x 5 x 5 x 5 x 5  x 5    : x  15  x  x  10 x   : x 5 x 5 x 5 x 5    x 5  x 1 x 1 Ví dụ (Hải Dương 18-19) Rút gọn biểu thức:  x 1  A   với x  0; x  : x 1 x  x 1 x x Phân tích: Với tốn có sẵn điều kiện x thực bước rút gọn khơng phải tìm lại điều kiện Với ta thực quy đồng biểu thức ngoặc ý mẫu x  x     x 1 Lời giải: Với x  0; x  , ta có:    x 1 1    A  1   : :  x x 1 x 1 x  x 1 x 1 x x     x  1     1 x x  x  1  x  1    1   x 1 x x 1   x 1 1 x   x 1  x x Ví dụ 3: (Hải Phòng 18-19) Rút gọn biểu thức:  x x   x x  M =     1   (với x  0; x  ) x +1   x    Phân tích: Đối với nhiều tập dạng đơn giản bước quy đồng không cần phải thực Chú ý tử mẫu số hạng rút gọn Lời giải: Với x  0; x  , ta có:     1  x  x x 1  x x   x x    M =          x +1   x    x +1          x 1   x 1      x  x   x Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10) Ví dụ 4: (Lai Châu 19-20) Cho biểu thức M  1 x   x 2 x 2 4x a) Tìm giá trị thực x để biểu thức có nghĩa? b) Rút gọn biểu thức Phân tích: Khi quy đồng thường có ý là: mẫu có bậc thấp thường nhân tử mẫu bậc cao Cụ thể: mẫu x  (có thể khác dấu) x  nhân tử mẫu  x hay x  Bài 7:  x  P      x   (với x  x  ) x  x         x   x 2 x 2   x 2     x 2    .x  4 x 2   x 2  x2 x 2 x 4 x  4  x  x4  Lời bình: Dạng tốn phong phú học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm “mạch tốn” tìm hướng đắn, tránh phép tính phức tạp Đây dạng tốn thường có đề thi, học sinh không rút gọn biểu thức dẫn đến ý sau không làm điểm câu Dạng 3: Các toán sau rút gọn – Bài tổng hợp A) Phương pháp: a a  a2 a   1 a 2  Ví dụ 1: Cho biểu thức: A    1 :  a     a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A b) Tìm a để A = c) Tính giá trị A a = + 2 d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên e) Tìm a để A < Hướng dẫn: 10 Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10) a  a) ĐKXĐ:  a    a   a  a a   a  a   a ( a  1)   a ( a  2)  A  1 :   1    1 :   1  a  a  a  a          a 1 a 1 b) Tìm a để A = (Dạng toán phụ thứ nhất) Phương pháp: Thay A biểu thức vừa rút gọn vào giải phương trình a 1   a   5( a  1)  a   a   a  a 1 Ta có: A    a  a  (TM) A = Vậy với a = c) Tính giá trị A a = + 2 (Dạng toán phụ thứ hai) Phương pháp: Thay giá trị biến vào biểu thức vừa rút gọn thực phép tính (Lưu ý: Có thể tính giá trị a thay vào) Ta có: a   2   ( 2)2  2.1  12  (  1)2 Suy a     Ta được: A = 11 2   1 2  1 d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng toán phụ thứ ba) Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu ước phần dư (một số), ý điều kiện xác định Ta có: A = a 1 =1+ a 1 Để A nguyên a 1 nguyên, suy a 1 a  ước (vì a  ) Ta có trường hợp:        a   1 a    a  (TMĐK) a 1   a  a   2 a 1  Vậy a = 0; 4; A có giá trị ngun e) Tìm a để A < (Dạng toán phụ thứ tư) 11 Các chuyên đề ôn thi vào 10 (Các tập lấy từ đề thi tuyển sinh vào 10) Phương pháp: Chuyển vế thu gọn đưa dạng M M < (hoặc > 0) N N dựa vào điều kiện ban đầu ta biết M N dương hay âm, từ dễ dàng tìm điều kiện biến a 1