áp dụng : Viết công thức nghiệm tổng quát của các phương trình sau : a 3x - y = 2 b 2x + 0y = 6 2 Phát biểu và chứng minh định lí về sự liên hệ giữa số đo góc nội tiếp trong một đường tr[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN TP HỒ CHÍ MINH * Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (3 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x2 + 6x + b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) - 12 Bài : (4 điểm) a) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz b) Rút gọn phân thức : * Thời gian : 90 phút Bài : (4 điểm) Cho x, y, z là độ dài ba cạnh tam giác A = 4x2y2 - (x2 + y2 - z2)2 Chứng minh A > Bài : (3 điểm) Tìm số dư phép chia biểu thức : (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x2 + 8x + 12 Bài : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M là trung điểm BE Tính góc AHM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN (BẮC NINH) * Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài : (2 điểm) Xét biểu thức : 1) Rút gọn y Tìm x để y = 2) Giả sử x > Chứng minh : y - |y| = 3) Tìm giá trị nhỏ y ? Bài : (2 điểm) Giải hệ phương trình : Bài : (2 điểm) Cho hình vuông có cạnh 1, tìm số lớn các điểm có thể đặt vào hình vuông (kể các cạnh) cho không có điểm nào số các điểm đó có khoảng cách bé 1/2 đơn vị Bài : (2 điểm) Cho hai đường tròn đồng tâm và điểm M cố định trên đường tròn nhỏ Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, đường cắt đường tròn nhỏ A khác M, đường cắt đường tròn lớn B và C Khi cho hai đường thẳng này quay quanh M và vuông góc với nhau, chứng minh : Lop10.com (2) 1) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi 2) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định Bài : (2 điểm) 1) Chứng minh tích số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương 2) Cho tam giác ABC và điểm E nằm trên cạnh AC Hãy dựng đường thẳng qua E và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN 10-TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002 - 2003 * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút Bài : (3 điểm) Giải phương trình : |x2 - 1| + |x2 - 4| = x2 - 2x + Bài : (3 điểm) Chứng minh đẳng thức : với a, b trái dấu Bài : (3 điểm) Rút gọn : Bài : (3 điểm) Trong các hình chữ nhật có chu vi là p, hình chữ nhật nào có diện tích lớn ? Tính diện tích đó Bài : (4 điểm) Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN B và C Chứng minh : a) Tứ giác MNCB là hình thang cân b) MA MB = R2 c) K thuộc cung nhỏ MN Kẻ tiếp tuyến K cắt AM, AN P và Q Chứng minh : BP.CQ = BC2/4 Bài : (4 điểm) Cho đường tròn tâm O và đường kính AB Kẻ tiếp tuyến (d) B đường tròn (O) Gọi N là điểm di động trên (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O)) a) Tìm quỹ tích tâm P đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB b) Tìm quỹ tích tâm Q đường tròn nội tiếp tam giác MNB ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BẮC NINH * Môn thi : Toán * Khoá thi : 2002 - 2003 Bài : (2,5 điểm) Cho biểu thức : Lop10.com * Thời gian : 150 phút (3) 1) Rút gọn B 2) Tìm các giá trị x để B > 3) Tìm các giá trị x để B = - Bài : (2,5 điểm) Cho phương trình : x2 - (m+5)x - m + = (1) 1) Giải phương trình với m = 2) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = - 3) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : S = x12 + x22 = 13 Bài : (2 điểm) Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và chia thành các dãy có số chỗ ngồi Nếu thêm cho dãy chỗ ngồi và bớt dãy thì số chỗ ngồi phòng họp không thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành bao nhiêu dãy Bài : (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B Đường kính AC đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai E Đường kính AD đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F 1) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp 2) Chứng minh C, B, D thẳng hàng và tứ giác OO’EF nội tiếp 3) Với điều kiện và vị trí nào hai đường tròn (O) và (O’) thì EF là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) và (O’) ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN TỈNH HÀ TÂY * Môn : Toán (chung) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (2 điểm) Cho biểu thức : với x ≥ ; x ≠ 1) Rút gọn P 2) Tìm x cho P < Bài : (1,5 điểm) Cho phương trình : mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn : x12 + x22 = 2003 Bài : (2 điểm) Một bè nứa trôi tự (với vận tốc vận tốc dòng nước) và ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng sông Ca nô xuôi dòng 144 km thì quay trở bến A ngay, lẫn hết 21 Trên đường ca nô trở bến A, còn cách bến A 36 km thì gặp bè nứa nói trên Tìm vận tốc riêng ca nô và vận tốc dòng nước Bài : (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C là trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên I K là điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D 1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên đường tròn 2) Chứng minh ΔMNK cân 3) Tính diện tích ΔABD K là trung điểm đoạn thẳng CI 4) Chứng minh : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên đường thẳng cố định Bài : (1 điểm) Cho a, b, c là các số bất kì, khác và thỏa mãn : Lop10.com (4) <DD.CHứNG (ax2 + bx + c)(bx2 + cx + a)(cx2 ac + bc + 3ab ≤ + ax + b) = ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG (NAM ĐỊNH) * Môn : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (1,5 điểm) Cho phương trình x2 + x - = Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu Gọi x1 là nghiệm âm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức : Bài : (2 điểm) Cho biểu thức : Tìm giá trị nhỏ và lớn P ≤ x ≤ Bài : (2 điểm) a) Chứng minh không tồn các số nguyên a, b, c cho a2 + b2 + c2 = 2007 b) Chứng minh không tồn các số hữu tỉ x, y, z cho x2 + y2 + z2 + x + 3y + 5z + = Bài : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường cao AH Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác A Trên tiếp tuyến M đường tròn (O) lấy hai điểm D và E cho BD = BE = BA Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N a/ Chứng minh tứ giác BDNE nội tiếp b/ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với Bài : (2 điểm) Có n điểm, đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hai điểm bất kì nối với đoạn thẳng, đoạn thẳng tô màu xanh, đỏ vàng Biết có ít đoạn màu xanh, đoạn màu đỏ và đoạn màu vàng ; không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ ba màu và không có tam giác nào tạo các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu a/ Chứng minh không tồn ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng điểm b/ Hãy cho biết có nhiều bao nhiêu điểm thỏa mãn đề bài ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH * Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút ; * Khóa thi : 2003 - 2004 Câu : 1) Chứng minh : phương trình (a2 - b2)x2 + 2(a2 - b2)x + a2 - b2 = luôn có nghiệm với a, b 2) Giải hệ phương trình : Câu : 1) Với số nguyên dương n, đặt an = 22n + - 2n + + ; bn = 22n + + 2n + + Chứng minh với n, an.bn chia hết cho và an + bn không chia hết cho 2) Tìm tất các ba số nguyên dương đôi khác cho tích chúng tổng chúng Câu : Cho ΔABC vuông A, có đường cao AA1 Hạ A1H vuông góc với AB, A1K vuông govd với AC Đặt A1B = x, A1C = y 1) Gọi r và r’ là bán kính đường tròn nội tiếp ABC và AHK Hãy tính tỉ số r'/r theo x, y, tìm giá trị lớn tỉ số đó 2) Chứng minh tứ giác BHKC nội tiếp đường tròn Tính bán kính đường tròn đó theo x, y Câu : Lop10.com (5) 1) Cho đường tròn (C) tâm O và điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi, qua A không qua O cắt (C) M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn qua điểm cố định khác O 2) Cho đường tròn (C) tâm O và đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn I là điểm di động trên (D) Đường tròn đường kính IO cắt (C) M, N Chứng minh đường thẳng MN luôn qua điểm cố định Câu : 1) Cho bảng vuông x ô Trên các ô hình vuông này, ban đầu người ta ghi số và số cách tùy ý (mỗi ô số) Với phép biến đổi bảng, cho phép chọn hàng cột bất kì và trên hàng cột chọn, đổi đồng thời các số thành số 1, các số thành số Chứng minh sau số hữu hạn các phép biến đổi vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu bảng gồm toàn các số 2) vương quốc “Sắc màu kì ảo” có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác mà gặp thì tóc họ đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ, hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì hai đổi sang tóc xanh) Hỏi có thể xảy trường hợp sau số hữu hạn lần gặp vương quốc “Sắc màu kì ảo”, tất các hiệp sĩ có cùng màu tóc không ? ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG * Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (1,5 điểm) Cho hai số dương a và b Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng : T = {ax + by, x > ; y > ; x + y = 1} Chứng minh các số : thuộc tập T Bài : (2,0 điểm) Cho ΔABC, D và E là các tiếp điểm đường tròn nội tiếp ΔABC với các cạnh AB, AC Chứng minh đường phân giác góc B, đường trung bình (song song với cạnh AB) ΔABC và đường thẳng DE đồng quy Bài : (2,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình : 2) Tìm các số hữu tỉ a, b, c cho các số : a + 1/b , b + 1/c , c + 1/a là các số nguyên dương Bài : (1,0 điểm) Tìm các đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên cho : Bài : (1,5 điểm) Tìm số nguyên tố p để 4p2 + và 6p2 + là các số nguyên tố Bài : (1,5 điểm) Cho phương trình x2 + ax + b = 0, có hai nghiệm là x1 và x2 (x1 ≠ x2), đặt un = (x1n - x2n)/(x1 - x2) (n là số tự nhiên) Tìm giá trị a và b cho đẳng thức : un + 1un + - unun + = (-1)n với số tự nhiên n, từ đó => un + un + = un + ĐỀ THI GIẢI LƯƠNG THẾ VINH QUẬN - TP HỒ CHÍ MINH * Môn thi : Toán lớp * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (5 điểm) Tìm x biết : Lop10.com (6) Bài : (3 điểm) Tính : a) A = + - - + + - - + … - 1999 - 2000 + 2001 + 2002 - 2003 b) B = (1/4 - 1)(1/9 - 1)(1/16 - 1)(1/25 - 1) (1/121 - 1) Bài : (4 điểm) a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30 b) Tìm hai số nguyên dương cho : tổng, hiệu (số lớn trừ số nhỏ), thương (số lớn chia cho số nhỏ) hai số đó cộng lại 38 Bài : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân B, có trung tuyến BM Gọi D là điểm bất kì thuộc cạnh AC Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K thuộc đường thẳng BD) Chứng minh : a) BH = CK b) Tam giác MHK vuông cân Bài : (2 điểm) Cho tam giác ABC cân A, có góc A = 20o, BC = cm Trên AB dựng điểm D cho = 10o Tính độ dài AD ? ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH NAM ĐỊNH * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : Rút gọn biểu thức : Bài : Gọi a và b là hai nghiệm phương trình bậc hai x2 - x - = Chứng minh các biểu thức P = a + b + a3 + b3, Q = a2 + b2 + a4 + b4 và R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 là số nguyên và chia hết cho Bài : Cho hệ phương trình (x, y là các ẩn số) : a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m cho hệ phương trình (1) có nghiệm Bài : Cho hai vòng tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với T Hai vòng tròn này nằm vòng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng M và N Tiếp tuyến chung T (C1) (C2) cắt (C3) P PM cắt (C1) điểm thứ hai A và MN cắt (C1) điểm thứ hai B PN cắt (C2) điểm thứ hai D và MN cắt (C2) điểm thứ hai C Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp Chứng minh các đường thẳng AB, CD và PT đồng qui Bài : Một ngũ giác có tính chất : Tất các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp ngũ giác có diện tích Tính diện tích ngũ giác đó ĐỀ THI GIẢI LÊ QUÍ ĐÔN QUẬN TÂN BÌNH - TP HỒ CHÍ MINH Lop10.com (7) * Môn thi : Toán lớp * Thời gian : 90 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (3 điểm) Tìm số nguyên x biết : a) - < 5x/13 < b) 1/(2x - 4) = 2/28 Bài : (3 điểm) 1) Một dưa hấu nặng 2/7 khối lượng nó 2,5 kg Hỏi dưa hấu đó nặng bao nhiêu kg ? 2) Cho a thuộc Z Hỏi số x = a/3 + a2/3 + a6/3 có phải là số nguyên không ? Vì ? Bài : (4 điểm) 1) Trong hình vẽ sau : a Có tam giác nào có cạnh là EF ? b Có tất bao nhiêu góc có đỉnh là E, hãy kể c Nếu biết số đo góc BDC = 60o thì tia DE có phải là tia phân giác góc EDF không ? Vì ? 2) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau : Hãy vẽ điểm là : A, B, C, M, N, P, Q, R, S cùng hình và phải thỏa mãn tất các điều kiện sau đây : a) A, P, Q thẳng hàng b) A, M, N thẳng hàng c) R, M, C thẳng hàng d) A, P, R thẳng hàng e) M, C, S thẳng hàng f) A, B, S thẳng hàng g) B, C, Q thẳng hàng h) B, C, N thẳng hàng i) M, N, R không thẳng hàng k) B, P, Q không thẳng hàng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN YÊN LẠC - TỈNH VĨNH PHÚC * Môn thi : Toán * Thời gian :150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Câu : (2 điểm) Cho : A = (a2 + 4a + 4) / (a3 + 2a2 - 4a - 8) a) Rút gọn A b) Tìm a ẻ Z để A là số nguyên Câu : (2,5 điểm) a) Cho a + b + c = và 1/a + 1/b + 1/c = Tính a2 + b2 + c2 b) Cho ba số a, b, c đôi khác thỏa mãn : a / (b - c) + b / (c - a) + c / (a - b) = Chứng minh ba số a, b, c phải có số âm, số dương Lop10.com Câu : (2 điểm) (8) Giải phương trình : a) |x + 1| = |x(x + 1)| b) x2 + / x2 + y2 + / y2 = Câu : (1 điểm) Tổng số tự nhiên và các chữ số nó 2359 Tìm số tự nhiên đó Câu : (2,5 điểm) Cho tam giác vuông ABC vuông A và điểm H di chuyển trên BC Gọi E, F là điểm đối xứng qua AB, AC H a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng b) Chứng minh BEFC là hình thang Có thể tìm vị trí H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật không ? c) Xác định vị trí H để tam giác EHF có diện tích lớn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THỊ XÃ HÀ ĐÔNG HÀ TÂY * Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (5 điểm) a) Tính : b) Tìm x biết : Bài : (3 điểm) So sánh : Bài : (2 điểm) Chứng minh số là hợp số Bài : (4 điểm) Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia số kẹo đựng gói Gói thứ có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ tư có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ sáu có 15 Hồng và Lan đã nhận gói và số kẹo hồng gấp hai số kẹo Lan Tính số kẹo nhận bạn Bài : (6 điểm) Cho điểm O trên đường thẳng xy, trên nửa mặt phẳng có bờ là xy, vẽ tia Oz cho góc xOz nhỏ 90o a) Vẽ các tia Om, On là tia phân giác các góc xOz và zOy Tính góc mOn ? b) Tính số đo các góc nhọn hình số đo góc mOy 35o c) Vẽ đường tròn (O ; cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On, Oy các điểm A, B, C, D, E Với các điểm O, A, B, C, D, E kẻ bao nhiêu đường thẳng phân biệt qua các cặp điểm ? Kể tên đường thẳng đó ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH THÁI BÌNH Lop10.com (9) * Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (4 điểm) Cho dãy : 1, -5, 9, -13, 17, -21, 25, … 1) Tính tổng 2003 số hạng đầu tiên dãy trên 2) Viết số hạng tổng quát thứ n dãy đã cho Bài : (4 điểm) Tìm x thỏa mãn : 1) 2003 - |x - 2003| = x 2) |2x - 3| + |2x + 4| = Bài : (3 điểm) Vẽ đồ thị hàm số sau : y = |1 - |1 - x|| Bài : (3 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x ; y), cho : 2x - 5y + 5xy = 14 Bài : (6 điểm) Cho DABC có các tia phân giác các góc B và C cắt I, các đường phân giác ngoài các góc B và C cắt K Gọi E là giao điểm các đường thẳng BI và KC 1) Tính các Đ BIC, Đ BEC , Đ BKC góc A = 60o 2) Tính các Đ BIC, Đ BEC, Đ BKC Đ A = ao ( 0o < ao < 180o) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ PLEIKU-GIA LAI * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : Tìm số có chữ số , biết đem số nhân với trừ 1004 thì kết nhận là số có chữ số viết các chữ số số ban đầu theo thứ tự ngược lại Bài : a) Phân tích đa thức : x - 30x + 31x - 30 thành nhân tử b) Giải phương trình : x4 - 30x2 + 31x - 30 = Bài : 2 2 Cho m + n = và a + b = Chứng minh -1 am + bn Bài : Cho tam giác ABC có Đ B = Đ C = 70o ; đường cao AH Các điểm E và F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC cho Đ ABE = Đ CBE = 30o Gọi M là trung điểm AB a) Chứng minh tam giác AMF đồng dạng với tam giácBHE b) Chứng minh AB x BE = BC x AE ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH BẮC NINH * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (2,5 điểm) 1) Tìm các số tự nhiên x ; y thỏa mãn : x2 + 3y = 3026 2) Tìm các số nguyên x ; y thỏa mãn : Bài : (3,5 điểm) 1) Tìm các giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt lớn m : x2 + x + m = 2) Tìm các giá trị a để phương trình có hai nghiệm phân biệt : 4x.|x| + (a - 7)x + = Lop10.com (10) 3) Tìm x thỏa mãn : Bài : (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB cố định trương cung 120o Lấy C thay đổi trên cung lớn AB (C không trùng A và B) ; M trên cung nhỏ AB (M không trùng A và B) Hạ ME, MF thứ tự vuông góc với AC và BC 1) Cho M cố định, hãy chứng minh EF luôn qua điểm cố định C thay đổi 2) Cho M cố định, hãy chứng minh giá trị không thay đổi C thay đổi 3) Khi M thay đổi, hạ MK vuông góc với AB Hãy xác định vị trí M cho đạt giá trị nhỏ Bài : (1 điểm) Cho tam giác ABC Lấy điểm M ngoài tam giác cho MA = ; MB = (cùng đơn vị đo độ dài với cạnh tam giác) ; góc AMC = 15o (tia CM nằm hai tia CA và CB) Tính độ dài CM và số đo góc BMC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TINH BẮC GIANG * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Câu : (4 điểm) a) Tìm phân số tối giản lớn mà chia các phân số cho phân số ta kết là các số tự nhiên b) Cho a là số nguyên có dạng : a = 3b + Hỏi a có thể nhận giá trị nào các giá trị sau ? Tại ? a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537 Câu : (6 điểm) 1) Cho : A = - + - + + 99 - 100 a) Tính A b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ? 2) Cho A = + + 22 + 23 + 24 + + 22001 + 22002 và B = 22003 So sánh A và B 3) Tìm số nguyên tố P để P + ; P + ; P + 12 ; P + 14 là các số nguyên tố Câu : (4 điểm) Có bình, đổ đầy nước vào bình thứ rót hết lượng nước đó vào bình còn lại, ta thấy : Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba 1/3 dung tích Nếu bình thứ ba đầy thì bình thứ hai 1/2 dung tích Tính dung tích bình, biết tổng dung tích ba bình là 180 lít Câu : (4 điểm) Cho tam giác ABC có BC = 5,5 cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm a) Tính độ dài BM b) Biết Đ BAM = 800, Đ BAC = 600 c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = cm Câu : (2 điểm) Cho a = + + + + n và b = 2n + (với n thuộc N, n > 1) Chứng minh : a và b là hai số nguyên tố cùng ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ TP HỒ CHÍ MINH * Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Lop10.com (11) I Lí thuyết : (2 điểm) Chọn hai câu sau : 1) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số áp dụng : Viết công thức nghiệm tổng quát các phương trình sau : a) 3x - y = b) 2x + 0y = 2) Phát biểu và chứng minh định lí liên hệ số đo góc nội tiếp đường tròn với số đo cung bị chắn (chỉ chứng minh trường hợp tâm đường tròn nằm trên cạnh góc nội tiếp) II Các bài toán : (8 điểm) Bắt buộc Bài : (1 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình : a) 4x4 - 5x2 - = b) Bài : (1,5 điểm) Vẽ đồ thị hàm số : y = - x2/4 (P) và đường thẳng (D) : y = 2x + trên cùng hệ trục tọa độ Tìm tọa độ các giao điểm (P) và (D) phép tính Bài : (1 điểm) Tuổi nghề 25 công nhân cho sau : 4 14 7 10 4 Hãy xếp số liệu đó dạng bảng phân phối thực nghiệm gồm cột : giá trị biến lượng, tần số, tần suất Bài : (1 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Bài : (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có bán kính R và điểm S ngoài đường tròn (O) Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) hai điểm M, N với M nằm hai điểm S và N (đường thẳng a không qua tâm O) a) Chứng minh SO vuông góc với AB b) Gọi H là giao điểm SO và AB, gọi I là trung điểm MN Hai đường thẳng OI và AB cắt điểm E Chứng minh IHSE là tứ giác nội tiếp c) Chứng minh OI.OE = R2 d) Cho biết SO = 2R và MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THỊ XÃ HÀ ĐÔNG, HÀ TÂY * Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (5 điểm) Thực phép tính : Lop10.com (12) Bài : (3 điểm) a) Cho a/b = c/d , chứng minh : ab/cd = (a + b)2/(c + d)2 b) Tìm số có chữ số, biết số đó chia hết cho 18 và các chữ số nó tỉ lệ với ; ; Bài : (5 điểm) a) Rút gọn biểu thức : A = |x - 1| + |x - 2| ; (x thuộc Q) b) Tìm giá trị nguyên y để biểu thức B = (42 - y)/(y - 15) có giá trị nguyên nhỏ Bài : (5 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác các góc B và C cắt AC và AB E và D a) Chứng minh : BE = CD và AD = AE b) Gọi I là giao điểm BE và CD, AI cắt BC M Chứng minh các tam giác MAB, MAC là các tam giác cân c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường này cắt BC K và H Chứng minh : KH = KC Bài : (2 điểm) Cho DABC có AB > AC và Đ A = α Đường thẳng qua A vuông góc với phân giác góc A cắt đường thẳng BC M cho BM = BA + AC Tính số đo Đ B và Đ C ? ĐỀ THI VÀO LỚP 10 BC ĐH SƯ PHẠM TP HẢI PHÒNG * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (2 điểm) Cho hệ phương trình : 1) Giải hệ phương trình (1) a = 2) Với giá trị nào a thì hệ (1) có nghiệm Bài : (2 điểm) Cho biểu thức : với x > và x ≠ 1) Rút gọn biểu thức A 2) Chứng minh < A < Bài : (2 điểm) Cho phương trình : (m - 1)x2 + 2mx + m - = (*) 1) Giải phương trình (*) m = 2) Tìm tất các giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Bài : (3 điểm) Từ điểm M ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm) và đường thẳng qua M cắt đường tròn C và D Goi I là trung điểm CD Goi E, F, K là giao đường thẳng AB với các đường thẳng MO, MD, OI 1) Chứng minh R2 = OE.OM = OI.OK 2) Chứng minh điểm M, A, B, O, I cùng thuộc đường tròn 3) Khi cung CAD nhỏ cung CBD Chứng minh số đo góc DEC lần góc DBC Bài : (2 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh : 3/(xy + yz + zx) + 2/( x2 + y2 + z2) > 14 Lop10.com (13)