ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ MÔN TOÁN 2016

Bài 1. (3 điểm)Giải phương trình:22 ( 1)(2 ) 41x xxx x    .Bài 2. (4 điểm)Giải hệ phương trình:22 223 31( )( 2) 2ln1( 2)log log 1y yx y x xy yx xx x y y x            Bài 3. (3 điểm)Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 2 2 32( )2x  y   x

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP THÀNH PHỐ KHÓA THI NGÀY 09/03/2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (đề thi gồm 01 trang) Bài (3 điểm) Giải phương trình: x2   ( x  1)(2  x)  x x Bài (4 điểm) Giải hệ phương trình:  y  y2  2 ( x  y )( x  xy  y  2)  2ln  x  x2   ( x  2) log x  y log y  x  Bài (3 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn: x  y   2( x  y ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:  2( x  1)( y  1) P ( x  1)2  ( y  1)2 Bài (3 điểm) Tìm m để phương trình: m(sin x  1)   (m  3)(sin x  cos x) có  hai nghiệm phân biệt đoạn [0; ] Bài (4 điểm) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết AB = 2, CD = ,    900 góc AD BC 300 ABC  BAD Bài (3 điểm) Trong buổi tọa đàm “Tình yêu tuổi học đường” lớp 12A, có tất 21 bạn tham gia có cặp có tình cảm với (không có học sinh thuộc nhiều cặp) Cô giáo chọn bạn để tham gia trò chơi tập thể Hỏi có cách chọn mà đó, có cặp có tình cảm với nhau? HẾT ĐÁP ÁN Bài (3 điểm) ( x  1)(2  x) Giải phương trình: x    x x (*) Lời giải ( x  1)(2  x)   x   1;0   1; 2 (0,5đ) x Vế trái (*) dương nên   x  , đó, ta cần xét x  1;2 ta có: x Điều kiện x3  x  x( x  1)(2  x)   x3  x   x( x  1)(2  x)  (0,5đ)  ( x  x)  2(2  x)  ( x  x)(2  x)  3 Đặt u  x3  x  0, v   x  ta có u  2v  uv   (u  v)(u  2v)  u  v  u  2v  (1đ) Phương trình thứ hai vô nghiệm u, v đồng thời Do u  v  x3  x   x  x3  x   x  x   x  So sánh điều kiện, ta thấy nghiệm thỏa mãn nên phương trình (*) có nghiệm x  Bài (4 điểm) Giải hệ phương trình:  y  y2  ( x  y )( x  xy  y  2)  2ln  x  x2   ( x  2) log x  y log y  x  Lời giải Điều kiện xác định: x, y  R (1đ) Phương trình đầu  x3  y  2( x  y)  2ln( y  y  1)  2ln( x  x  1)  x3  x  2ln( x  x  1)  y  y  2ln( y  y  1) Xét f (t )  t  2t  2ln(t  t  1) Tập xác định: R f '(t )  3t   t 1 Đặt u  t  1; u  3u  5u   3(u  1)    => 3t   u u t2 1 (u  1)(3u  3u  2)  u  = u 2 (1đ)  f / (t )  t  R hay f (t ) hàm đồng biến R Từ f ( x)  f ( y )  x  y Thay vào phương trình thứ hai, ta được: (2 x  2)log x  x  (1đ) x = không nghiệm  x  (0,25đ) x 1 ( x  0, x  1) 2x  VT hàm đồng biến (0, ) VP nghịch biến khoảng (;1) (1;+) nên phương trình có không nghiệm Nhẩm x  x  nghiệm Suy phương trình có nghiệm x  x  Phương trình  log x  1   Kết luận : Tập nghiệm hệ : (x ;y)  (3;3);( ; )  3   (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) (0,5đ) Bài (3 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn: x  y   2( x  y ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:  2( x  1)( y  1) P ( x  1)2  ( y  1)2 Lời giải x  y   2( x  y )  ( x  1)  ( y  1)  2 Đặt a  x  1, b  y  1 2 2 Do (a  b )  2ab  a  b nên 11  P  13 3 1 GTLN P 13 ( x, y)   ;  2 2 1 1 GTNN P 11 ( x, y)   ;  2 2 Ta có P = 12 – 4ab với a2 + b2 = (1đ) (1đ) (0,5đ) (0,5đ) Bài (3 điểm) Tìm m để phương trình: m(sin x  1)   (m  3)(sin x  cos x) (*) có  hai nghiệm phân biệt đoạn [0; ] Lời giải Đặt t  sin x  cos x (1  t  2) , (0,5đ) 2 (*)  mt   (m  3)t  m(t  t )  3t  (**) t = không thỏa phương trình (**) 3t   f (t ) (1  t  2) (**)  m  (0,5đ) t  t2 3t  2t  f / (t )   t  (1; 2] (t  t )2 (0,5đ) Suy f đồng biến (1; 2]  Ứng với t  (1; 2) ptrình t  sin x  cos x có nghiệm x  (0; ) (0,75đ)  Như (*) có hai nghiệm phân biệt đoạn [0; ] 87 (0,75đ) m  f ( 2)   Bài (4 điểm)   900 góc ABC  BAD Cho tứ diện ABCD có AB = 2, CD = ,  AD BC 300 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Lời giải D K O E J A C I B Dựng hình chữ nhật ABCE Ta có AB, CE vuông góc với mp(ADE) (AD,AE) =300 Gọi I, J trung điểm AC, AE; K tâm đường tròn ngoại tiếp tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp D.ABCE Suy OK  (ADE) OI  (ABCD), KJ  AE  OIJK hình chữ nhật  ADE; O (1đ) (1đ) (0,5đ) Ta có DE  DC  CE  2 DE  AK  2 2sin( AD, AE ) (0,5đ)  OA  AK  OK  AK  IJ  Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (0,5đ) (0,5đ) Bài (3 điểm) Trong buổi tọa đàm “Tình yêu tuổi học đường” lớp 12A, có tất 21 bạn tham gia có cặp có tình cảm với (không có học sinh thuộc nhiều cặp) Cô giáo chọn bạn để tham gia trò chơi tập thể Hỏi có cách chọn mà đó, có cặp có tình cảm với nhau? Lời giải Gọi A nhóm học sinh có tình cảm với (gồm học sinh) B nhóm học sinh lại (gồm 13 học sinh) (0,25đ) * Trường hợp 1: Có cặp có tình cảm với  Đầu tiên chọn cặp có tình cảm với nhau: Có cách chọn (0,25đ)  Tiếp theo ta chọn học sinh em có tình cảm với nhau, có trường hợp: + HS thuộc nhóm A: Có 23 cách chọn (0,25đ) 2 + HS thuộc nhóm A HS thuộc nhóm B: Có C3 C13 cách chọn (0,25đ) + HS thuộc nhóm A HS thuộc nhóm B: Có C31.2.C132 cách chọn + HS thuộc nhóm B: Có C cách chọn (0,25đ) (0,25đ) 13 Như số cách chọn trường hợp 4(2  C C  C 2.C  C ) =3672 (0,25đ) * Trường hợp 2: Có cặp có tình cảm với  Đầu tiên chọn cặp có tình cảm với nhau: Có C42  cách chọn (0,25đ) 3  Tiếp theo ta chọn học sinh lại: có C17 cách chọn 13 13 13 (0,25đ) Như số cách chọn trường hợp 6C17 (0,25đ)  102 Vậy tổng cộng có 3774 cách chọn bạn mà đó, có cặp có tình cảm với (0,5đ)