Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ.. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM THPT – NĂM HỌC 2018 - 2019
MƠN: TỐN
(Hướng dẫn chấm gồm trang)
Câu Nội dung Điểm
Câu I.1
1,0đ Cho hàm số
2 4 3
y x x có đồ thị ( )P Tìm giá trị tham số m để đường thẳng ( ) :dm y x m cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2 thỏa mãn
1
1 x x
Phương trình hồnh độ giao điểm x24x 3 x m x25x 3 m 0 (1) 0,25
Đường thẳng ( )dm cắt đồ thị ( )P hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 13 13
4
m m
0,25
Ta có 2
5 x x
x x m
0,25
1 2
1
1
2 2(3 )
1 1
2
0
x x x x m
m
x x m
x x
(thỏa mãn) 0,25
Câu I.2
1,0 đ Cho hàm số
2
( 1) 2
y m x mx m ,(
m
là tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (;2)Với m 1 y 2x Hàm số nghịch biến ¡ Do m1 thỏa mãn
0,25 Với m1 Hàm số nghịch biến khoảng (;2)
1 m
m m
0,25
1 m
0,25
Vậy 1 m 0,25
CâuII.1
1,0 đ Giải hệ phương trình
2 2
2
3
2 12
x y x xy y x y
x y x x
2 2
2 2
3 2
3
3( ) 3( ) 3( ) 3
x y x xy y x y
x y x xy y x y x y
x y x y x y
0,25
3
3
3 3
( 1) ( 1) 1
x x x y y y
x y x y y x
0,25
Thế y x vào phương trình (2) ta có
2( 2) 2 12 0 2 12 0
x x x x x x x 0,25
2
(x 3)(x 2x 4) x y
Hệ có nghiệm
1 x y
(2)CâuII.2
1,0 đ Giải phương trình
2
(x3) 1 x x 4 x 2x 6x3(1) Điều kiện 1x4
Phương trình (1) (x 3)( 1 x 1) x( 4 x 1) 2x26x
0,25
3
( 3)
1
1
( 3)
1
( 3)
1
2 (2)
1
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
0,25
( 3) 0;
x x x x (Thỏa mãn điều kiện)
0,25 Với điều kiên 1 x4 ta có
1
1
1 1 1 1 2
1 1
4 1 1
4
x x
x x
x
x
Dấu " " không xảy
ra nên phương trình (2) vơ nghiệm
Vậy phương trình cho có hai nghiệm x0 x3
0,25
CâuII.3
1,0 đ Giải bất phương trình
3 (3 4 4) 1 0
x x x x (1) Điều kiện x 1
3
3
3
(3 4) 4( 1) (2)
x x x x x x x x x
x x x x
0,25
Xét x 1, thay vào (2) thỏa mãn
Xét x 1 x 1 Chia hai vế (2) cho
x1
3 ta bất phương trình3
3
1
x x
x x
0,25
Đặt
1 x t
x
, ta có bất phương trình
3 3 4 0 ( 1)( 2)2 0 1
t t t t t 0,25
2
1 1 0
0
1 1 1 5
1
1
1
2
x x x
x x x
t x x
x x
x x x x
x
Kết hợp x 1là nghiệm, ta có tập nghiệm bất phương trình 1;1
(3)Câu III.1 1,0 đ
Cho tam giác ABC có trọng tâm G điểm N thỏa mãn uuurNB 3uuuur urNC 0 Gọi P giao điểm AC GN, tính tỉ số PA
PC
Gọi M trung điểm cạnh BC Đặt uuurAP k AC uuur
1
GPuuur uuur uuurAP AG k AC uuur uuur uuurAB AC
1
3
k AC AB
uuur uuur
0,25
1
3 6
GN GM MNuuur uuuur uuuur uuuur uuurAM BC uuur uuurAB AC uuur uuurAC AB uuurAC ABuuur
0,25 Ba điểm , ,G P N thẳng hàng nên hai vectơ GP GNuuur uuur, phương Do
1 1
2 4
3 3
7 5 3 15 5 5
6 6
k k
k k AP AC
uuur uuur 0,25
4
4
PA AP AC
PC
0,25
Câu III.2 1,0 đ
Cho tam giác nhọn ABC, gọi H E K, , chân đường cao kẻ từ đỉnh , ,
A B C Gọi diện tích tam giác ABC HEK SABC SHEK Biết SABC 4SHEK, chứng minh sin2 sin2 sin2
4 A B C Đặt S SABC từ giả thiết suy
3
3
EAK KBH HCE HCE EAK KBH
S S S S
S
S S
S S S
0,25
2
sin
2 . cos cos cos
1
sin
EAK AE AK A
S AE AK
A A A
S AB AC A AB AC
2
.sin
2 . cos cos cos
1
sin
KBH BK BH B
S BK BH
B B B
S AB BC B BC AB
2
.sin
2 . cos cos cos
1
sin
HCE CH CE C
S CH CE
C C C
S AC BC C AC BC
0,25
2 2
3
cos cos cos
4
HCE EAK KBH S
S S
A B C
S S S 0,25
2 2 2
1 sin sin sin sin sin sin
4
A B C A B C
0,25
P G
M A
B C N
H K
E A
(4)Câu III.3 1,0 đ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC cân A Đường thẳng AB có phương trình x y 3 0, đường thẳng AC có phương trình x7y 5 Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh BC, tìm tọa độ đỉnh A B C, ,
Toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình
7
x y x
x y y
Vậy A(2;1) 0,25
Phương trình đường phân giác góc A
2
x y x y
1
2 ( )
( )
3
d x y
d x y
0,25
Do tam giác ABC cân A nên đường phân giác kẻ từ A đường cao Xét trường hợp d1 đường cao tam giác ABC kẻ từ A
Phương trình đường thẳng BClà 3x y 7
Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình ( 1;4)
3
x y x
B
x y y
Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình
11
7 5 11 2;
3 5
5
x
x y
C x y
y
16 48 ( 2; 6), ;
5 5
MB MC MC MBM
uuur uuuur uuuur uuur
nằm ngồi đoạn BC Trường hợp khơng thỏa mãn
0,25
Nếu d2 đường cao tam giác ABC kẻ từ A Phương trình đường thẳng BC x3y31 0 Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình
3 11
( 11;14)
3 31 14
x y x
B
x y y
Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình
101
7 5 101 18;
3 31 18 5
5
x
x y
C
x y
y
96 32 ( 12;4), ;
5 5
MB MC MC MBM
uuur uuuur uuuur uuur
thuộc đoạn BC Vậy (2;1), ( 11;14), 101 18;
5
A B C
0,25
Câu IV
(5)Giả sử sản xuất ( )x kg sản phẩm loại I ( )y kg sản phẩm loại II Điều kiện x0,y0và 2x4y200 x 2y100
Tổng số máy làm việc: 3x1,5y Ta có 3x1,5y120
Số tiền lãi thu T 300000x400000y (đồng)
0,25
Ta cần tìm ,x y thoả mãn:
0, 100 1,5 120
x y
x y
x y
(I)
sao cho T 300000x400000y đạt giá trị lớn
0,25
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng 1: 100; 2: 1,5 120
d x y d x y
Đường thẳng d1 cắt trục hoành điểm A(100;0), cắt trục tung điểm B(0;50) Đường thẳng d2 cắt trục hoành điểm C(40;0), cắt trục tung điểm D
0;80
Đường thẳng d1 d2 cắt điểm E
20;40
Biểu diễn hình học tập nghiệm
hệ bất phương trình (I) miền đa giác OBEC
0,25
0
0
x
T y
;
0
20000000 50
x
T y
;
20
22000000 40
x
T y
;
40
12000000
x
T y
Vậy để thu tổng số tiền lãi nhiều xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I 40kg sản phẩm loại II
0,25
Câu V
1,0 đ Cho số thực dương , ,x y z thỏa mãn xy yz xz 3 Chứng minh bất đẳng thức
2 2
3 8 8 8
x y z
x y z Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
3
2
2
( 2) ( 4)
8 ( 2)( 4)
2
2
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
0,25
E
C D B
A
O x
(6)Tương tự, ta có 2 2 2
3
2
;
6
8
y y z z
y y z z
y z
Từ suy ra:
2 2 2
2 2
3 3
2 2
6 6
8 8
x y z x y z
x x y y z z
x y z (1)
Chứng minh bổ đề: Cho x y, 0 a b, ¡ ta có:
2
* a b
a b
x y x y
Ta có
2
2
2 2
2
2* a y b x a b a y b x x y xy a b ay bx
xy x y
Đẳng thức xảy a b x y Áp dụng bổ đề ta có
2
2 2
2 2 2
2
6 6 12
x y
x y z z
x x y y z z x y x y z z
2
2 2
2( )
( ) 18 x y z
x y z x y z
0,25
Đến đây, ta cần chứng minh:
2
2 2
2( )
1 ( ) 18
x y z x y z x y z
Do x2 y2 z2 (x y z) 18
2
2 18
12
x y z x y z xy yz zx x y z x y z
Nên
3 2(x y z )2 x2y2z2 (x y z) 18 x2y2z2 x y z 6 (4)0,25
Mặt khác, , ,x y z số dương nên ta có:
2 2 3
3( )
x y z xy yz zx x y z xy yz zx
Nên bất đẳng thức (4)
Từ (1), (2), (3) (4), ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y z
0,25