Tìm điều kiện để ph−ơng trình, bất ph−ơng trình bậc hai có đúng một nghiệm thuộc tập hîp D cho tr−íc cã nghiÖm duy nhÊt trªn D Bµi to¸n 1a Tìm điều kiện để ph−ơng trình ax2+ bx + c = 0 c[r]
(1)TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG TỔ TOÁN - - NGUYỄN VĂN XÁ GIÁO ÁN PHỤ ðẠO MÔN TOÁN LỚP 10A13 2010 − 2011 Lop10.com (2) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt A - Hµm sè bËc nhÊt vµ Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt i hµm sè bËc nhÊt định nghĩa và tính chất a §Þnh nghÜa Hàm số bậc là hàm số cho công thức y = ax + b (a ≠ 0), đó a và b là số thực, x là biến số hay đối số VD: C¸c hµm sè y = 2x – 1, y = -3x + 5, y = x lµ hµm sè bËc nhÊt Hµm y = (m – 2).x + chØ lµ hµm bËc nhÊt m ≠ 2, víi m = th× hµm sè nµy lµ hµm h»ng, kh«ng ph¶i lµ hµm bËc nhÊt b Tập xác định và tập giá trị Hàm số bậc y = ax + b (a ≠ 0) có tập xác định D = ℝ , tËp gi¸ trÞ G = ℝ c ChiÒu biÕn thiªn V× ∀ x1, x2 ∈ ℝ , x1 ≠ x2, ta cã y1 = a x1+ b, y2 = ax2 + b, vµ y1 − y2 (ax1 + b) − (ax2 + b) = =a, x1 − x2 x1 − x2 nên a > thì hàm số bậc y = ax + b đồng biến trên tập ℝ , a < thì hàm số bậc y = ax + b nghịch biến trên tập ℝ Chẳng hạn hàm số y = 2x-1 đồng biến trên tập ℝ , hàm số y = -3x + nghịch biến trên tập ℝ , còn hàm số y = (m – 2)x đồng biến trên tập ℝ m > 2, và nghÞch biÕn trªn tËp ℝ m < Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x y=ax+b (a>0) -∞ +∞ +∞ x y=ax+b (a<0) -∞ +∞ +∞ -∞ -∞ d §å thÞ hµm bËc nhÊt §å thÞ hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a ≠ 0) lµ mét ®−êng th¼ng kh«ng song song vµ kh«ng trùng với các trục toạ độ Ox, Oy, cắt Ox, Oy lần l−ợt các điểm A( − b , 0), B(0, b), cã h−íng ®i lªn (®i xuèng) tõ tr¸i sang ph¶i nÕu a > (t−¬ng øng a a < 0) Nếu b = thì đồ thị hàm số qua gốc toạ độ O(0, 0) và điểm C(1, a) Xem hình 1.1 và 1.2 Để vẽ đồ thị hàm bậc ta cần xác định hai điểm tuỳ ý thuộc đồ thị vẽ đ−ờng thẳng qua hai điểm đó NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com (3) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt H×nh 1.1 H×nh 1.2 đ−ờng thẳng mặt phẳng toạ độ 1) §−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh y = ax + b (d) Nếu a ≠ thì (d) là đồ thị hàm số bậc nhất, nó cắt hai trục toạ độ Ox và Oy Xem h×nh 1.1 vµ 1.2 NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com (4) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt Nếu a = thì (d) là đồ thị hàm y = b, nó là đ−ờng thẳng cùng ph−ơng với Ox (vu«ng gãc víi Oy) vµ ®i qua ®iÓm B(0, b) Xem h×nh 1.3 H×nh 1.3 Trong c¶ hai tr−êng hîp trªn, mçi ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi Ox lu«n c¾t (d) t¹i nhÊt mét ®iÓm Gäi α lµ gãc t¹o bëi chiÒu d−¬ng trôc Ox vµ phÇn ®−êng th¼ng (d) n»m phÝa trªn Ox NÕu a = th× coi α = 0o Râ rµng 0o ≤ α < 180o vµ α ≠ 90o Ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng tanα = a V× thÕ hÖ sè a ®−îc gäi lµ hÖ sè gãc cña (d) Xem h×nh 1.4 vµ 1.5 Đ−ờng thẳng (d) luôn cắt Oy điểm B(0, b) nên hệ số b đ−ợc gọi là tung độ gốc (d) Cho hai ®−êng th¼ng (d) y = ax + b, (d/) y = a/x + b/ vµ xÐt hÖ ph−¬ng tr×nh y = ax + b (1) / / y = a x + b d ≡ d/ ⇔ a = a/ vµ b = b/ ⇔ HÖ (1) v« sè nghiÖm NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com (5) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt H×nh 1.4 H×nh 1.5 NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com (6) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt H×nh 1.6 d//d/ ⇔ a = a/ vµ b ≠ b/ ⇔ HÖ (1) v« nghiÖm d cắt d/ ⇔ a ≠ a/ ⇔ Hệ (1) có nghiệm (khi đó nghiệm (1) là toạ độ giao điểm nhÊt cña d vµ d/) §Æc biÖt d ⊥ d/ ⇔ a a/ = -1 2) §−êng th¼ng x = x0 Trong mÆt ph¼ng Oxy ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh x = x0 cïng ph−¬ng víi Oy, vu«ng gãc với Ox điểm có hoành độ x0, và vuông góc với tất các đ−ờng thẳng có ph−ơng trình d¹ng y = b Xem h×nh 1.6 Đ−ờng thẳng x = x0 không phải là đồ thị hàm số 3) §−êng th¼ng Ax + By + C = Trong mÆt ph¼ng Oxy cã hai lo¹i ®−êng th¼ng, lo¹i thø nhÊt lµ nh÷ng ®−êng th¼ng kh«ng cùng ph−ơng với Oy, chúng có ph−ơng trình dạng y = ax + b, và là đồ thị hàm số y = ax + b, lo¹i thø hai lµ nh÷ng ®−êng th¼ng cïng ph−¬ng víi Oy, chóng cã ph−¬ng tr×nh d¹ng x = x0, vµ không là đồ thị hàm số nào Ph−ơng trình hai loại đ−ờng thẳng nói trên có thể đ−a đ−ợc dạng Ax + By + C = 0, với A2 + B2 ≠ Nh− vậy, đ−ờng thẳng mặt phẳng cã d¹ng Ax + By + C = (A2+ B2 ≠ 0) Ng−îc l¹i, tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm mÆt phẳng có toạ độ (x, y) thoả mkn ph−ơng trình Ax + By + C = (A2+ B2 ≠ 0) là đ−ờng thẳng gäi lµ ®−êng th¼ng Ax + By + C = NÕu A = th× ®−êng th¼ng nµy cïng ph−¬ng víi Ox (vu«ng gãc víi Oy), nÕu B = th× ®−êng th¼ng nµy cïng ph−¬ng víi Oy (vu«ng gãc víi Ox), nÕu C = th× đ−ờng thẳng này qua gốc toạ độ O(0, 0) Nếu A, B, C đồng thời khác thì ph−ơng trình Ax + By + C = cã thÓ ®−îc viÕt ë d¹ng NguyÔn V¨n X¸ – x y + = và đ−ờng thẳng này cắt hai trục toạ độ Ox, Oy a b Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com (7) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt lÇn l−ît t¹i M(a, 0), N(0, b) kh¸c O(0, 0) Vµ ng−îc l¹i nÕu a ≠ 0, b ≠ th× ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M(a, 0), N(0, b) cã ph−¬ng tr×nh d¹ng y x + = 1, gäi lµ ph−¬ng tr×nh viÕt theo ®o¹n ch¾n b a Ph−¬ng tr×nh Ax + By + C = (A2 + B2 ≠ 0) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®−êng th¼ng mÆt ph¼ng Cho hai ®−êng th¼ng (D1) A1x + B1y + C1 = (A12 + B12 ≠ 0) (D2) A2x + B2y + C2 = (A22 + B22 ≠ 0) A1x + B1y + C1 = (2) Cã ba kh¶ n¨ng sau x¶y ra: A x + B y + C = 2 vµ xÐt hÖ ph−¬ng tr×nh D1 ≡ D2 ⇔ HÖ (2) v« sè nghiÖm ⇔ A1 B1 C1 = = (nÕu A2, B2, C2 ≠ 0) A2 B2 C2 A1 B1 C1 = ≠ (nÕu A2, B2, C2 ≠ 0) A2 B2 C2 D1 cắt D2 ⇔ Hệ (2) có nghiệm (khi đó nghiệm (2) là toạ độ giao điểm D1// D2 ⇔ HÖ (2) v« nghiÖm ⇔ cña D1 vµ D2) ⇔ A1 B1 ≠ (nÕu A2, B2 ≠ 0) §Æc biÖt D1 ⊥ D2 ⇔ A1A2+ B1B2= A2 B2 4) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng - §−êng th¼ng song song víi ®−êng th¼ng Ax + By + C = cã PT d¹ng Ax + By + C/ = - §−êng th¼ng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng Ax + By + C = cã PT d¹ng Bx - Ay + C/ = hoÆc -Bx + Ay + C/ = - §−êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(xo, yo) cã PT d¹ng A(x – xo) + B(y – yo) = 0, víi A2 + B2 ≠ - §−êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(xo,yo), hÖ sè gãc k, cã PT lµ y – yo= k(x – xo) hay y = k(x – xo) + yo - §−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm ph©n biÖt M1(x1,y1), M2(x2,y2) cã ph−¬ng tr×nh d¹ng (x2 – x1)(y – y1)= (y2 – y1)(x – x1) Trong đó x1 = x2 thì đ−ờng thẳng M1M2 có PT là x = x1, y1 = y2 th× nã cã ph−¬ng tr×nh y = y1, vµ nÕu x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 th× nã cã ph−¬ng tr×nh y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1 5) Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi ®−êng th¼ng Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M(xo,yo) tíi ®−êng th¼ng ()Ax + By + C = ( víi A2 + B2 ≠ 0) ®−îc Axo + Byo + C tÝnh theo c«ng thøc d(M/ ∆ ) = A2 + B 6) Gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng 1) Cho hai ®−êng th¼ng (1) A1x + B1y + C1 = (A12 + B12 ≠ 0) (2) A2x + B2y + C2 = (A22 + B22 ≠ 0) NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com (8) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt vµ gãc gi÷a chóng lµ ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π ) Ta cã c«ng thøc cosϕ = A1 A2 + B1 B2 A12 + B12 A22 + B22 Nh− vËy 1 ⊥ 2 ⇔ A1A2+ B1B2= 2) NÕu 1, 2 lÇn l−ît cã hÖ sè gãc lµ k1, k2 vµ chóng kh«ng vu«ng gãc víi th× tanϕ = k1 − k2 , cßn 1 ⊥ 2 ⇔ k1k2 = -1 + k1k2 7) Chïm ®−êng th¼ng TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®−êng th¼ng mÆt ph¼ng vµ ®i qua ®iÓm M cho tr−íc gäi lµ chïm ®−êng th¼ng t©m M Cho hai ®−êng th¼ng (d1) a1x + b1y + c1 = (a 12 +b 12 ≠ 0), (d2) a2x + b2y + c2 = (a 22 +b 22 ≠ 0), cắt M Mọi đ−ờng thẳng thuộc chùm đ−ờng thẳng tâm M có ph−ơng trình dạng λ( a1x + b1y + c1) + µ( a2x + b2y + c2) = 0, víi λ2 + µ2 ≠ 8) Ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c §−êng ph©n gi¸c cña c¸c gãc t¹o bëi hai ®−êng th¼ng (d1) a1x + b1y + c1 = (a 12 +b 12 ≠ 0), (d2) a2x + b2y + c2 = (a 22 +b 22 ≠ 0) cã ph−¬ng tr×nh d¹ng a1x + b1 y + c1 a12 + b12 = a x + b2 y + c2 a 22 + b22 9) Vị trí tr−ơng đối hai điểm so với đ−ờng thẳng Cho hai ®iÓm M1(x1, y1), M2(x2, y2) vµ ®−êng th¼ng ()Ax + By + C = NÕu (Ax1 + By1 + C).( Ax2 + By2 + C) > th× M1 vµ M2 n»m cïng phÝa so víi (), cßn nÕu (Ax1 + By1 + C).( Ax2 + By2 + C) < th× M1 vµ M2 n»m kh¸c phÝa so víi () VÍ DỤ Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số x + x − x ≥ −1 g)y = −2x x < −1 a)y = 2x − b)y = c)y = 3x − d)y = x − e)y = 3x + x + f )y = x − 2x − Tìm a, b ñể ñường thẳng y = ax + b ñi qua hai ñiểm A, B trường hợp sau: a) A(2; 1), B(1; 2) b) A(1; 3), B(3; 2) c) A(1; 2), B(2; 0) d) A(2; −5), B(−1; −1) Tìm a, b ñể ñồ thị hàm số (d) y = ax + b: a) Song song với ñường thẳng (d’) y = 2x, và cắt Ox ñiểm có hoành ñộ 3 b) Vuông góc với ñường thẳng (∆) : y = − x + 1, và cắt (∆ ') : y = x − ñiểm có tung ñộ c) ði qua M(1; 3) và góc chiều dương Ox với phần ñường thẳng (d) nằm phía trên Ox là 600 Cho (d) : y = (m − 1)x + m; (∆) : y = −5x + Tìm m ñể: a) (d) cắt Oy ñiểm có tung ñộ − b) (d) //(∆ ) c) (d) ⊥ (∆) e) (d) và (∆ ) ñối xứng với qua Oy d) (d) và (∆) ñối xứng với qua Ox NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com (9) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt f) (d) và (∆ ) ñối xứng với qua O g) Hàm số (d) ñồng biến trên R h) Hàm số (d) nghịch biến trên R i) Tìm ñiểm cố ñịnh mà (d) luôn ñi qua với m ñồng quy Tìm a ñể hai ñường thẳng (d) : x + ay + a = 0; (∆) : y = ax + 2a − cắt ñiểm M(x ; y0 ) thỏa Tìm a ñể ba ñường thẳng (d1 ) : 3x − y = 1, (d ) : −2x + ay = a, (d3 ) : y = x − x < 0, y0 < Cũng câu (d) : x − ay = −a; (∆) : y = −ax − mãn hỏi tương tự với hai ñường Tìm m, n ñể hai ñường thẳng (d) : mx − (n + 1)y − = 0; (∆) : nx + 2my + = cắt thẳng M(−1;3) Cho (d) : y = (1 − 4m)x + m − a) Tìm m ñể d//Ox b) Tìm m ñể (d) ñi qua gốc tọa ñộ c) Khi nào thì góc α (là góc chiều dương Ox với phần ñường thẳng d nằm phía trên Ox) là góc nhọn, là góc tù? d) Tìm m ñể (d) cắt Oy ñiểm có tung ñộ − Vẽ ñồ thị với m vừa tìm ñược e) Tìm m ñể (d) cắt Ox ñiểm có hoành ñộ âm Tìm a ñể ba ñường thẳng (d1 ) : ax − y = 2, (d ) : x + ay = 3, (d3 ) : y = x ñồng quy ii ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt §Þnh nghÜa Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = (a ≠ 0) víi a, b lµ c¸c h»ng sè thùc, x lµ biÕn sè, hay Èn sè Tập xác định ph−ơng trình ax + b = là D = ℝ Nghiệm ph−ơng trình là giá trị x cho thay vào ph−ơng trình ta đ−ợc đẳng thức đúng Tập hợp tất các nghiệm ph−ơng trình đ−ợc gọi là tập nghiệm ph−ơng trình Giải ph−ơng trình là tìm tập nghiệm ph−ơng trình đó Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + b = (a ≠ 0) cã nghiÖm nhÊt x = S = {- b , tËp nghiÖm a b } a c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b = + NÕu a ≠ th× ph−¬ng tr×nh ax + b = cã nghiÖm nhÊt x = + NÕu a = vµ b ≠ th× ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm + Nếu a = b = thì ph−ơng trình nghiện đúng với x vµi vÝ dô D¹ng 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh 1, m2 x + = x + 3m 2, m2 x + = (m − 1) x + m NguyÔn V¨n X¸ – b a 3, m( x − m + 3) = m( x − 2) + Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com (10) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt 4, m2 ( x + 1) = x + m 7, a( x − b) − = b(1 − x) 10, a x = a( x + b) − b mx + =2 13, x −1 m ( x − 2) + ( x + m)2 + =1 5, x2 + 8, a(ax + 2b2 ) − a = b2 ( x + a) mx − m − =1 11, x +1 x m = 14, x−2 x−2 6, (m + 1)2 x − m = (2m + 5) x + x+a x−a + = 2 b−a b+a a +b x − m x −1 + =2 12, x −1 x − m (m + 1) x + m − =m 15, x+3 9, D¹ng 2: ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr−íc Câu 1: Tìm m để ph−ơng trình sau vô nghiệm: Câu 7: Xác định m để các pt sau vô nghiệm: x−m x−2 a, (m − 1)2 x = x + m + + =2 x −1 x +1 b, m2 ( x − 1) = 2(mx − 2) Câu 2: Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm c, x − 3m − = m2 ( x − 1) − x +1 x + = nhÊt: Câu 8: Xác định m để các pt sau có nghiệm x −1 x − m nhÊt: Câu 3: Tìm m để ph−ơng trình sau có tập nghiệm x−m x−2 = a, lµ R: m(m2 x − 1) = − x x +1 x −1 Câu 4: Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm: b, a(ax + 2b ) − a3 = b2 ( x + a) 3x − m x + 2m − + x−2 = Câu 9: Xác định m để các pt sau có tập x−2 x−2 nghiÖm lµ R: Câu 5: Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm x a, m2 (mx − 1) = 2m(2 x + 1) tho¶ mkn: -1 < x < : b, a( x − 1) + b(2 x + 1) = x + (2m − x)2 + (1 − m)2 = ( x − m)2 + (1 − x) Câu 10: Tìm m để các pt sau có nghiệm: C©u 6: Cho pt: ( x − 1)(m2 − m + 1) = m3 + a, 2(| x | +m + 1) = m | x | +m2 + a, Cm ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm b, m2 ( x − 1) = x − 3m + víi x > b, Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña pt t−¬ng øng víi hai 2x + m x − 2m + gi¸ trÞ m1, m2 cña m CM: − x −1 = c, m1 + m2 = 2m1.m2 ⇔ 5( x1 + x2 ) − x1.x2 = 12 x −1 x −1 d, 2(| x | +m − 1) =| x | −m + Câu 11: Tìm ñiểm cố ñịnh mà ñồ thị hàm số y = mx + 2m – luôn ñi qua với m NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com (11) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 10 Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt B - Hµm sè bËc HAI vµ Ph−¬ng tr×nh bËc HAI I HÀM SỐ BẬC HAI KHÁI NIỆM BÀI TẬP Chứng minh hàm số y = 2x − x − có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất, trên ℝ Xét biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: b)y = − x + 2x a)y = x − 2x − c)y = x + 2x + a) Vẽ ñồ thị hàm số y = − x2 + 2x và tìm x ñể y > b) Vẽ ñồ thị hàm số y = x2 + 4x và tìm x ñể y ≤ c) Vẽ ñồ thị hàm số y = x2 − 2x và tìm giá trị nhỏ hàm số trên R Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số: b) y = x2 − 2x − trên ñoạn [− 3; 0] a) y = − x2 + trên ñoạn [− 2; 1] Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: a)y = x + | x | b)y = x | x − | x − 4x + x ≥ c)y = x < x + Vẽ ñồ thị hai hàm số y = x + và y = x2 − 2x + trên cùng hệ tọa ñộ và tìm giao ñiểm chúng Xác ñịnh các hệ số a, b, c ñể (P) y = ax2 + bx + c (a ≠ 0): a) ði qua A(0; − 3) và có ñỉnh I(1; − 2) b) ði qua M(0; 4), N(− 1; 1), và có ñỉnh nằm trên Ox c) ði qua B(−1; −8) và hàm số ñạt giá trị lớn x = d) ði qua Q(1; + b + c) và hàm số ñạt giá trị nhỏ −1 x = e) Cắt trục tung ñiểm có tung ñộ và ñi qua D(1; 5), E(−2; 8) f) Cắt trục tung ñiểm có tung ñộ 2, cắt trục hoành các ñiểm có hoành ñộ và a) Tìm a và m ñể ñồ thị hàm số y = a(x − m)2 ñi qua A(1; 4) và có trục ñối xứng x = −1 b) Tìm m ≠ ñể ñồ thị hàm số y = mx2 − 2mx −m − có ñỉnh nằm trên ñường thẳng y = 2x − Cho (P): y = x2 + 2mx − 2m a) Tìm quỹ tích ñỉnh parabol (P) b) Tìm ñiểm cố ñịnh mà (P) luôn ñi qua với m 10 Dùng ñồ thị, biện luận theo m số nghiệm phương trình: a)x − 3x − + m = b) | x + 1| (x − 3) = m 11 Chứng minh (P) y = 2x2 + x − và (d) y = mx luôn cắt hai ñiểm phân biệt A, B với m Tìm quỹ tích trung ñiểm I ñoạn AB 12 Cho (P) y = x2 + 2x, (d) y = −2x + m a) Tìm m ñể (P) và (d) có ñiểm chung b) Tìm m ñể (P) và (d) có hai giao ñiểm phân biệt A, B và tìm quỹ tích trung ñiểm ñoạn AB 13 Xác ñịnh dấu các hệ số a, b, c biết ñồ thị (P) y = ax2 + bx + c có dạng: NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com 10 (12) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 11 Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt a) b) c) 14 Tìm m ñể phương trình có nghiệm a) x − 2x = x − m b) x − 2m = − x c) x − m = x + x II TAM THỨC BẬC HAI CÁC ðỊNH NGHĨA Tam thøc bËc hai lµ biÓu thøc cã d¹ng f(x) = ax2+ bx + c (a ≠ 0) víi a, b, c lµ c¸c hÖ sè, cßn x lµ biÕn sè NghiÖm cña tam thøc lµ gi¸ trÞ cña x lµm cho f(x) cã gi¸ trÞ b»ng Nh− vËy, viÖc t×m nghiÖm cña tam thøc f(x) t−¬ng ®−¬ng víi viÖc gi¶i ph−¬ng tr×nh f(x) = ðỊNH LÍ Khi cho x mét gi¸ trÞ thùc th× f(x) = ax2+ bx + c (a ≠ 0) cã thÓ nhËn gi¸ trÞ ©m, d−¬ng, hoÆc Với tam thức f(x), vấn đề đ−ợc đặt là xét dấu nó trên miền định Định lí sau đây nêu lên mối liên hệ dấu tam thức f(x) với dấu biệt thức ∆ và dấu cña hÖ sè a a) §Þnh lÝ thuËn Cho tam thøc f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) vµ ∆ =b2 - 4ac - NÕu ∆ < th× af(x) > ∀ ∈ R - NÕu ∆ = th× af(x) > ∀ x ≠ −b −b , f( ) = 2a 2a - NÕu ∆ > th× f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 (x1< x2) vµ af(x) < 0, ∀x ∈ (x1 , x ), af(x) > 0, ∀x ∈ R\[x1 , x ] b) Định lí đảo Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) vµ sè thùc α NÕu a.f( α ) < th× f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ mkn x1 < α < x2 Chứng minh định lí này có thể áp dụng định lí Viét c) So s¸nh c¸c sè víi nghiÖm cña tam thøc NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com 11 (13) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 12 Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt Nội dung phần này trình bày các hệ đ−ợc suy từ hai định lí trên đây ta kí hiệu S b (nÕu a ≠ 0), c¸c sè thùc α , β cho tr−íc =− 2a f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R), ∆ =b2 - 4ac, tho¶ mkn α < β c1) So s¸nh sè α víi c¸c nghiÖn cña f(x) ∆>0 1) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α < x1 < x2 ⇔ af (α ) > S >α | | | | α x1 S x2 2) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α = x1 < x2 │ │ x1= α S a≠0 ⇔ f (α ) = S >α │ x2 3) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 < α < x2 ⇔ af( α ) < | x1 | α | x2 a≠0 4) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 < α = x2 ⇔ f (α ) = S <α │ │ │ S x1 x2 = α ∆>0 5) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 < x2 < α ⇔ af (α ) > S <α NguyÔn V¨n X¸ – │ │ │ │ x1 S x2 α Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com 12 (14) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 13 Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt a≠0 ⇔ ∆ =0 S >α 6) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α < x1 = x2 | | α x1 = x2 = 7) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 = α = x2 S a≠0 ⇔ ∆ =0 S =α | x1 = x2 = S =α 8) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 = x2 < α a≠0 ⇔ ∆ =0 S <α | | S x1 = x2 = α c2) So s¸nh c¸c sè α , β ( α < β ) víi c¸c nghiÖm cña f(x) ∆>0 1) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α < β < x1 < x2 ⇔ af ( β ) > S >β | | α β | | | x1 S x2 2) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α < β = x1 < x2 │ α NguyÔn V¨n X¸ – │ x1 = β │ x2 a≠0 ⇔ f (β ) = S >β Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com 13 (15) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 14 Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt 3) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α < x1 < β < x2 | α | x1 | | β x2 4) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α = x1 < β < x2 │ x1 = α │ β │ α f (α ) = ⇔ af ( β ) < │ x2 5) f(x) cã hai nghiÖm x1,x2 vµ α < x1 < β = x2 │ af (α ) > ⇔ af ( β ) < │ │ S x1 β = x2 6) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 = α < x2 = β │ x1 = α af (α ) > ⇔ f (β ) = S <β a≠0 ⇔ f (α ) = f (β ) = │ β = x2 af (α ) < 7) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 < α < β < x2 ⇔ af ( β ) < | x1 | α | β 8) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α < x1 < x2 < β | α | | x1 S | x2 ∆>0 af (α ) > ⇔ af ( β ) > α < S < β | | x2 β f (α ) = 9) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 = α < x2 < β ⇔ af ( β ) > S >α NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com 14 (16) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 15 Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt │ │ │ │ x1 = α S x2 β af (α ) < ⇔ f (β ) = 10) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 < α < x2 = β │ x1 │ α │ β = x2 af (α ) < ⇔ af ( β ) > 11) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 < α < x2 < β | x1 | α | x2 | β a≠0 ⇔ f (α ) = S <α 12) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 < x2 = α < β | | | S x1 | x2 = α β 13) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 < x2 < α < β │ │ │ S x1 x2 │ │ α β ∆>0 ⇔ af (α ) > S <α a≠0 14) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α < β < x1 = x2 ⇔ ∆ = S <β | | | S a≠0 15) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α < β = x1 = x2 ⇔ ∆ = S =β α NguyÔn V¨n X¸ – β x1 = x2 = │ │ α β = x1 = x2 = S Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com 15 (17) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 16 Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt a≠0 16) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α < x1 = x2 < β ⇔ ∆ =0 α<S <β │ │ │ α x1 = x2 = S β a≠0 17) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α = x1 = x2 < β ⇔ ∆ = S =α | | α = x1 = x2 = S β a≠0 18) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 = x2 < α < β ⇔ ∆ = S <α | x1 = x2 = S | | α β Chó ý 1) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α < x1 < β < x2 hoÆc x1 < α < x2 < β (tøc lµ f(x) cã mét nghiÖm n»m kho¶ng ( α , β ) vµ mét nghiÖm n»m ngoµi ®o¹n [ α , β ]) a≠0 ⇔ f (α ) f ( β ) < 2) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ α ≤ x1 ≤ β ≤ x2 hoÆc x1 ≤ α ≤ x2 ≤ β a≠0 ⇔ f (α ) f ( β ) ≤ C¸c ®iÒu kiÖn t−¬ng ®−¬ng nªu trªn ®−îc sö dông rÊt nhiÒu gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ nghiệm ph−ơng trình, bất ph−ơng trình có chứa tham số quy đựơc bậc hai Đối với bài toán cho biết số thông tin nào đó các hệ số a, b, c, yêu cầu so sánh nghiÖm (nÕu cã) cña f(x) víi c¸c sè thùc, ta ph¶i xÐt hai tr−êng hîp a = vµ a ≠ nÕu nh− hÖ sè a ch−a có khẳng định khác NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com 16 (18) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 17 Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt Trong số tr−ờng hợp, ng−ời ta còn đặt vấn đề sánh nghiệm (nếu có) f(x) với nhiều h¬n hai sè thùc, ch¼ng h¹n nh− ë chó ý sau ®©y Chó ý Biểu thức f(x) có hai nghiệm x1, x2 và α < x1 < β < x2 < γ (ở đó các số thực α , β , γ cho tr−íc vµ α < β < γ ) af ( β ) < af (α ) > ⇔ af ( β ) < ⇔ f (α ) f ( β ) > af (γ ) > f ( β ) f (γ ) > | α | x1 | β | x2 | γ ứng dụng tam thức bậc hai để gải ph−ơng trình và bất ph−ơng trình đại số có chứa tham số 3.1 Tìm điều kiện để ph−ơng trình, bất ph−ơng trình bậc hai có đúng nghiệm thuộc tập hîp D cho tr−íc (cã nghiÖm nhÊt trªn D) Bµi to¸n 1a Tìm điều kiện để ph−ơng trình ax2+ bx + c = có đúng nghiệm thuộc tập D⊂R cho trớc (có nghiệm trên D) Ph−¬ng ph¸p gi¶i - Tìm điều kiện để ph−ơng trình đk cho có nghiệm - Nếu ph−ơng trình có nghiệm đơn x = x0 (a = 0, b ≠ 0) thì cần phải có x0 ∈ D Nếu ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 th× cÇn cã mét c¸c kh¶ n¨ng sau: + x1 = x2 ∈D + x1 ∈ D, x2 ∉ D (hoÆc x1 ∉ D, x2 ∈ D) - ChuyÓn vÒ bµi to¸n so s¸nh c¸c sè víi nghiÖm cña f(x) = ax2+ bx + c Ví dụ 1: Tìm m để hệ sau đây có nghiệm − x + 3x + ≤ mx + (3 − m) x + = Lời giải: Ta có - x + 3x + ≤ ⇔ x ∈ D = (− ∞,−1] ∪ [4,+∞) Bây ta đặt f(x) = mx + (3 − m) x + Bài toán chuyển tìm m để f(x) có đúng nghiệm thuộc D Ta xét các tr−êng hîp sau: - Víi m = 0, ph−¬ng tr×nh f(x) = trë thµnh 3x + 1= 0, cã nghiÖm x = −1 ∈ D Do đó m = kh«ng tháa mkn NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com 17 (19) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 18 Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt - Với m ≠ 0, giả sử f(x) có đúng nghiệm thuộc D Khi đó có các khả sau: x1 = x2 ∈D hoÆn x1 ≤ -1 < x2 < hoÆc -1 < x1< ≤ x2, t−¬ng øng víi c¸c tr−êng hîp sau ®©y: i) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1 = x2 ∈ D m≠0 m≠0 ⇔ ∆ = m − 10m + = ⇔ m = 1∨ m = ⇔ m=1 S = m−3∈D m − ≤ −1 ∨ m − ≥ 2m 2m 2m ii) f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ x1< -1 < x2 < hoÆc -1< x1< < x2 13 m ≠ m≠0 − <m<0 ⇔ ⇔ 13 ⇔ 12 − < m < f ( − ) f ( ) < < m <1 12 13 13 iii) NÕu f(4) = th× m = - Víi m = - th× ph−¬ng tr×nh f(x) = cã hai nghiÖm 12 12 13 x1 = - ∉ D, x2 = ∈ D VËy m = - tháa mkn NÕu f(-1) = th× m = (tháa mkn i) 13 12 13 KÕt hîp c¸c tr−êng hîp trªn ta ®−îc - ≤ m < hoÆc < m ≤ 12 13 VËy víi - ≤ m < hoÆc < m ≤ th× hÖ ®k cho cã nghiÖm nhÊt 12 Ví dụ 2: Tìm m dể ph−ơng trình 2x2 - 2mx + 2m - = x − m có đúng hai nghiệm phân biÖt Lêi gi¶i: §Æt t = x − m , t ≥ 0, vµ t2 = 4x2 - 4mx + m2 ⇒ 2x2 - 2mx = t − m2 Ph−¬ng tr×nh ®k cho trë thµnh t2 -2t - m2 + 4m - = §Æt f(t) = t2 -2t - m2 + 4m - th× bµi to¸n chuyÓn tìm m để f(t) có đúng nghiệm thuộc D = (0,+ ∞ ) và không có nghiệm t = Có hai khả n¨ng sau x¶y ra: ∆/ = m − 4m + = m = i) f(t) cã nghiÖm kÐp t1 = t2 ∈ D ⇔ S ⇔ ⇔ >0 1> m = m < − ii) f(t) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ af(0) < ⇔ - m2 + 4m - < ⇔ m > + KÕt hîp c¸c tr−êng hîp trªn ta ®−îc m ∈ (- ∞ , 2- ) ∪ (2+ , + ∞ ) ∪ {1;3} Vậy với m ∈ (- ∞ , 2- ) ∪ (2+ , + ∞ ) ∪ {1;3} thì ph−ơng trình đk cho có đúng hai nghiÖm ph©n biÖt Ví dụ 3: Tìm m để ph−ơng trình sau có hai nghiệm phân biệt 4(m − 1) x 2(1 − 2m) x + + m + = (1 + x ) 1+ x2 2x Lêi gi¶i: §Æt t = th× ph−¬ng tr×nh ®k cho trë thµnh 1+ x2 NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com 18 (20) TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 19 Thi ®ua d¹y tèt– häc tèt (m - 1)t2 + (1- 2m)t + m + =0 NhËn thÊy t = 2x ⇔ tx2 -2x + t = (*) NÕu t = th× (*) cã nghiÖm nhÊt x = 1+ x NÕu t ≠ th× (*) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai Èn x víi ∆/ = - t2 V× thÕ nÕu < t < th× (*) cã hai t nghiÖm ph©n biÖt, cßn nÕu t = th× (*) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = , ph−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm t >1 Do đó ph−ơng trình đk cho có hai nghiệm phân biệt và biểu thức f(t) = (m - 1)t2 + (1- 2m)t + m + hoÆc cã nghiÖm nhÊt thuéc D = (-1, 0) ∪ (0, 1), vµ kh«ng cã nghiÖm {− 1,0,1}, hoÆc cã hai nghiÖm ph©n biÖt thuéc {− 1,0,1} i) Ta cã f(0) = ⇔ m = -5 Víi m = -5 th× f(t) = -6t2 + 11t vµ cã hai nghiÖm t1 = 0, 11 3 17 th× f(t) = - t + t + vµ cã hai ∉ {− 1,0,1} NÕu f(-1) = th× m = − Víi m = − 4 4 17 nghiệm t1 = -1, t2 = ∉ {− 1,0,1} Thành thử m = -5 , m = − không thỏa mkn Còn t2 = f(1) = kh«ng x¶y ii) f(t) cã nghiÖm nhÊt thuéc D vµ kh«ng cã nghiÖm thuéc {− 1,0,1} ⇔ f(t) cã mét nghiÖm n»m ngoµi ®o¹n [-1,1] vµ mét nghiÖm kh¸c thuéc kho¶ng (-1,1) m −1 ≠ ⇔ f (1) f (−1) < ⇔ f ( 0) ≠ m −1 ≠ m < −5 ( m + ) < ⇔ − < m < − m+5≠ Tõ c¸c tr−êng hîp trªn suy víi m < -5 hoÆc -5 < m < − th× ph−¬ng tr×nh ®k cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ví dụ 4: Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm Lêi gi¶i: Ta cã x − x3 + mx − x + = − x x − x3 + mx − x + = − x 1− x ≥ ⇔ 4 x − x + mx − x + = (1 − x) x ≤1 ⇔ (m − 6) x + 3x = nên đặt f(x) = (m – 6)x2 + 3x thì bài toán chuyển tìm m để f(x) có nghiệm trên D = (- ∞ , 1] Ta xÐt hai tr−êng hîp sau ®©y: 1) NÕu m – = ⇔ m = th× f(x) = 3x vµ cã nghiÖm nhÊt x = ∈ D Tøc lµ m = tho¶ mkn NguyÔn V¨n X¸ – Chuyên ñề phụ ñạo môn Toán – lớp 10A13 – năm học 2010 – 2011 Lop10.com 19 (21)