CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ Phương pháp giải: Để xác định vectơ ta cần biết độ lớn và hướng của vectơ, hoặc biết điểm đầ[r]
(1)Đỗ Trung Kiên Trường THPT Trần Quang Khải CHƯƠNG I: VECTƠ CÁC ĐỊNH NGHĨA A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Để xác định vectơ cần biết điều kiện sau: - Điểm đầu và điểm cuối vectơ - Độ dài và hướng Hai vectơ a và b cùng phương giá chúng // Hai vectơ a và b cùng phương thì chúng có thể cùng hướng ngược hướng Độ dài vectơ là khoảng cách điểm đầu và điểm cuối vectơ đó a = b a b và a , b cùng hướng Với diểm A ta gọi AA là vectơ không Vectơ không kí hiệu là và quy ước , vectơ không cùng phương và cùng hướng với vectơ B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Xác định vectơ, cùng phương và hướng hai vectơ Phương pháp giải: Để xác định vectơ ta cần biết độ lớn và hướng vectơ, biết điểm đầu và điểm cuối vectơ đó Ví dụ điểm phân biệt A, B ta có vectơ khác là AB và BA Vectơ a là vectơ-không và a a AA với A là điểm bất kì Bài tập: Câu 1: Cho ABC Có bao nhiêu vectơ lập từ các cạnh tam giác đó Câu 2: Cho điểm phân biệt A, B, C, D Có bao nhiêu vectơ lập từ điểm đã cho Câu 3: Cho ngũ giác ABCDE a Có bao nhiêu vectơ lập từ các cạnh và đường chéo ngũ giác b Có bao nhiêu vectơ lập từ các dỉnh ngũ giác Dạng 2: Khảo sát vectơ phương pháp giải: Để chứng minh vectơ có cách: a b a b a và b cùng huong ABCD là hbh AB DC và BC AD Nếu a = b , b = c thì a = c Bài tập: Câu 1: Cho tam giác ABC có D, E, F là trung điểm BC, CA, AB Tìm các vectơ và chứng minh Câu 2: Cho điểm M và a Dựng điểm N cho: a MN a b MN cùng phương với a và có độ dài a Câu 3: Cho hình vuông ABCD tâm O Liệt kê tất các vectơ (khác ) nhận đỉnh và tâm hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối Lop10.com (2) Đỗ Trung Kiên Trường THPT Trần Quang Khải Câu 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm các cạnh AD, BC Chứng minh MN AB và MN DC , thì ABCD là hình bình hành Câu 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh AB DC thì AD BC TỔNG HIỆU CỦA HAI VECTƠ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Định nghĩa tổng vectơ và quy tắc tìm tổng: a Cho vecto tùy ý a và b Lấy điểm A tùy ý, dựng AB a , BC b Khi đó a + b = AC b Với điểm A, B, C tùy ý ta luôn có: AB BC AC (Quy tắc điểm) c Tứ giác ABCD là hbh, ta có AB AD AC (Quy tắc hbh) Vectơ đối: a Vectơ là vectơ đối a b a và a , b ngược hướng Kí hiệu b = - a b Nếu a là vectơ đối b thì b là vectơ đối a hay –(– a )= a c Mỗi vectơ có vectơ đối Vectơ đối AB là BA Vectơ đối là Định nghĩa hiệu và quy tác tìm hiệu: a a - b = a +(- b ) b Với điểm A, B, O bất kì ta có: OB OA AB (Quy tắc trừ) Tính chất phép cộng các vectơ: Với a , b , c là vect bất kì ta có: a a + b = b + a (tính chất giao hoán) b ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (tính chất kết hợp) c a + = + a = a (tính chất vectơ-không) d a + (- a ) = - a + a = B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Tìm tổng hai vectơ và tổng nhiều vectơ phương pháp giải: Dùng định nghĩa tổng vectơ, quy tắc điểm, quy tắc hbh và các tính chất tổng các vectơ Bài tập: Câu 1: Cho hbh ABCD Hai điểm M và N là trung điểm BC và AD a Tìm tổng vectơ NC và MC ; AM và CD ; AD và NC b Chứng minh AM AN AB AD Câu 2: Cho lục giác ABCDEFF tâm O Chứng minh OA OB OC OD OE OF Câu 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E Hãy tính tổng AB BC CD DE Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu vectơ phương pháp giải: Theo định nghĩa, tìm hiệu a - b , ta làm hai bước sau: - Tìm vectơ đối b - Tính tổng a (b) Vận dụng quy tắc OA OB BA với ba điểm O, A, B bất kì Bài tập: Lop10.com (3) Đỗ Trung Kiên Trường THPT Trần Quang Khải Câu 1: Cho tam giac ABC Các điểm vàP lần trung M, N lượt là điểm AB, AC và BC a Tìm hiệu AM AN , MN NC , MN PN , BP CP b Phân tích AM theo vectơ MN và MP Câu 2: Cho điểmA, B, C, D Chứng minh AB CD AC BD Câu 3: Cho điểm kiện sau: điều phân biệt A và B Tìm điểm M thỏa mãn các a MA MB BA b MA MB AB c MA MB Câu 4: Chứng minh điểm I là trung điểm đoaạn thẳng AB và IA IB Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ phương pháp giải: Dùng định nghĩa Dùng qui tắc điểm, qui tắchình bình hành Tính chất trung điểm: IA IB ; MA MB MI M Tính chất trọng tâm : GA GB GC 0; MA MB MC 3MG Vectơ cùng phương Bài tập: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Cmr AB AC AD AC Bài 2: Cho ABCD Gọi M, N là trung điểm đường chéo AC và BD tứ giác Cmr AB CD MI Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là giao điểm đường chéo AC và BD hai a Với M tùy ý, Hãy chứng minh MA MC MB MD b Chứng minh rằng: AB AD AB AD Bài 4: là trọng ABC có G tâm, các điểm M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Chứng minh GM GN GP Bài 5: Gọi I, J là trung thẳngAB điểm củađoạn và CD Chứng minh rằng: IJ AC BD AD BC Bài 6: CMR G và G' là trọng tâm ABC và A'B'C' thì 3GG ' AA ' BB ' CC ' Bài 7: Cho ABC I là điểm trên cạnh AC cho CI AC , J là điểm mà BJ AC AB a Chứng minh BI AC AB b Chứng minh B, I, J thẳng hàng HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Định nghĩa tọa độ của vectơ, độ dài đại số vectơ trên trục a (a1 ; a2 ) a a1.i a2 j M có tọa độ là (x; y) OM ( x; y ) với O là gốc tọa độ; x = OM , y = OM , đó M và M là chân đường vuông góc hạ từ M xuống Ox và Oy A( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) AB xB x A ; yB y A Tọa độ a b, a b, k a Lop10.com (4) Đỗ Trung Kiên Cho a (a1 ; a2 ), b (b1 ; b2 ), k R Ta có a b (a1 b1 ; a2 b2 ) a b (a1 b1 ; a2 b2 ) k a ka1 ; ka2 Trường THPT Trần Quang Khải b ka1 Hai vectơ a và b ( a ) cùng phương và có số k thỏa mãn b2 ka2 x A xB x I I là trung điểm đoạn thẳng AB khi: y y A yB I x A xB xC xG G là trọng tâm tam giác ABC thì: y y A y B yC G B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng1: Xác định tọa độ véctơ và điểm trên mp tọa độ Oxy phương pháp giải: Căn vào định nghĩa tọa độ vectơ và tọa độ điểm trêm mp tọa độ Oxy * Để tìm tọa độ véctơ a ta làm sau: Vẽ OM a Gọi M1, M2 là hình chiếu vuông góc M lên trục Ox, Oy Khi đó a (a1 , a ) Trong đó a1 OM ; a OM * Để tìm tọa độ điểm A ta tìm tọa độ vectơ OA Như A(x;y) Trong đó x= OA1 ; y OA2 A1, A2 là chân đường vuông góc hạ từ A xuống Ox và Oy * Nếu biết tọa độ hai điểm A (xA,yA), B(xB, yB) thị ta tính tọa độ AB : AB ( x B x A ; y B y A ) * Nếu M và N có tọa độ là a, b thì MN b a Bài tập: Bài 1: Cho các điểm A, B, C trên trục Ox hình vẽ a)Tìm tọa độ các điểm A, B, C b)Tính AB, BC , CA, AB CB, BA BC , AB.BA Bài 2: Trên trục (O, i ) cho hai điểm M và N có tọa độ là -5; tìm tọa độ điểm P trên trục cho PM PN Bài 3: Cho hình vuông ABCD đó i và AD cùng hướng; j và AB cùng hướng Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông, giao điểm I hai đường chéo, trung điểm N BC và trung điểm N BC và trung điểm N CD Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chiều cao ứng với cạnh AD=3 góc BAD=600, chọn hệ trục (A; i, j ) cho i và AD cùng hướng Tìm tọa độ các vectơ AB, BC , CD, AC Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1) Tìm tọa độ đỉnh D Lop10.com (5) Đỗ Trung Kiên Trường THPT Trần Quang Khải Bài 6: Cho ABC, các điểm M(1;0); N(2;2) và P(-1;3) là trung điểm các cạnh BC; CA; AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác Bài 7: Cho ABC, các điểm M(1;1); N(2;3) và P(0;4) là trung điểm các cạnh BC; CA; AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác Bài 8: Cho ABC, các điểm A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3) Tìm tọa độ trung điểm I AC Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành Bài 9: Cho điểm A(2;5); B(1;1); C(3;3) a Tìm tọa độ điểm D cho AD AB AC b Tìm tọa độ điểm E cho tứ giác ABCE là hình bình hành Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó Bài 10: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C nằm trên Oy và trọng tâm G nằm trên Ox Tìm tọa độ C Dạng 2: Tìm tọa độ các vectơ u v; u v; ku u v; ku phương pháp giải: Tính theo công thức tọa độ u v; Bài tập: Bài 1: Cho a (2;1); b (3; 4); c (7; 2) a)Tìm tọa độ vectơ u 2a 3b c b)Tìm tọa độ vectơ x a b c c)Tìm hai số j; k cho c k a l b Bài 2: Cho a (1;2); b (3;1); c (4;2) 1 a)Tìm tọa độ các vectơ u 2a 4b c ; v a b c ; u 3a 2b c và xem vectơ nào các vectơ cùng phương với véctơ i và cùng phương với j b)Tìm các số m, n cho a mb nc Bài 3: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương a) a (2;3) va b (4; x) b) u (0;5) va b ( x;7) c) m ( x;3) va n (2;2 x) Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp giải: Sử dụng điều kiện cần và đủ sau: *Hai vectơ a, b 0) cùng phương và có số k để a k b *Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng và có số k để AB k AC Bài tập: Bài 1: Cho điểm A(-1;1); B(1;3) và C(-2;0) Chứng minh điểm A; B; C thẳng hàng Bài 2: Cho điểm M( ; ); N(2;1) và P(1;3) Chứng minh điểm M; N; P thẳng hàng 3 Bài 3: Cho điểm A(0; 1); B(-1; -2) và C(1; 5) Hỏi điểm A, B, C có thẳng hàng không Bài 4: Cho điểm A(-4; 1); B(2; 4) và C(2; -2) Hỏi điểm A, B, C có thẳng hàng không Bài 5: Cho điểm A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5) Tìm x để (-7; x) thuộc đường thẳng AB Bài 6: Cho điểm A(-3; 4); B(1; 1) và C(9; -5) a Chứng minh điểm A; B; C thẳng hàng b Tìm tọa độ điểm D cho A là trung điểm BD c Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox cho A; B; E thẳng hàng Lop10.com (6)