Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác

ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜN G TRUNG TUYẾ N Cho UABC coù trung tuyeá n AM thì:... DIEÄN TÍCH TAM GIAÙC Goï i.[r]

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC T Trruunngg ttââm mV Vĩĩnnhh V Viiễễnn hhttttpp::////llaaiissaacc ppaaggee ttll Lop10.com HỆ THỨ C LƯỢ N G TRONG TAM GIÁ C I ÑÒNH LYÙ HAØ M SIN VAØ COSIN Cho ΔABC có a, b, c lầ n lượ t là ba cạ n h đố i diệ n củ a A, B, C, R là bá n kính đườ n g trò n ngoạ i tiế p ΔABC , S là diệ n tích ΔABC thì a b c = = = 2R sin A sin B sin C a = b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − 4S.cotgA b2 = a + c − 2ac cos B = a + c − 4S.cotgB c2 = a + b2 − 2ab cos C = a + b2 − 4S.cotgC Bài Cho ΔABC Chứ n g minh: A = 2B ⇔ a = b2 + bc Ta coù : a = b2 + bc ⇔ 4R2 sin2 A = 4R2 sin2 B + 4R2 sin B.sin C ⇔ sin A − sin B = sin B sin C 1 ⇔ (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) = sin B sin C 2 ⇔ cos 2B − cos 2A = sin B sin C ⇔ −2 sin ( B + A ) sin ( B − A ) = sin B sin C ⇔ sin ( B + A ) sin ( A − B ) = sin B sin C ⇔ sin ( A − B ) = sin B ( sin ( A + B ) = sin C > ) ⇔ A − B = B ∨ A − B = π − B ( loại ) ⇔ A = 2B Caù c h khaù c : sin A − sin B = sin B sin C ⇔ (s in A − sin B) (s in A + sin B) = sin B sin C A+B A−B A+B A−B ⇔ cos sin sin co s = sin B sin C 2 2 ⇔ sin ( B + A ) sin ( A − B ) = sin B sin C ⇔ sin ( A − B ) = sin B ( sin ( A + B ) = sin C > ) ⇔ A − B = B ∨ A − B = π − B ( loại ) ⇔ A = 2B Lop10.com Bài Cho ΔABC Chứ n g minh: sin ( A − B ) a − b2 = sin C c2 a − b2 4R sin2 A − 4R sin2 B = Ta coù c2 4R sin2 C 1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) sin A − sin B ( = = sin C sin C cos 2B − cos 2A −2 sin ( A + B ) sin ( B − A ) = = sin C sin C sin ( A + B ) sin ( A − B ) sin ( A − B ) = = sin C sin C ( sin ( A + B ) = sin C > 0) Bài Cho ΔABC bieá t raè n g tg Chứ n g minh a + b = 2c A B ⋅ tg = ⋅ 2 A B A B A B ⋅ tg = ⇔ 3sin sin = cos cos 2 2 A B ⎛ ⎞ ⎜ cos > 0, cos > ⎟ 2 ⎝ ⎠ A B A B A B ⇔ sin sin = cos cos − sin sin 2 2 2 A+B A − B⎤ A+B ⎡ ⇔ − ⎢cos − cos = cos ⎥ 2 ⎦ ⎣ A−B A+B ⇔ cos = cos ( *) 2 Maë t khaù c : a + b = 2R ( sin A + sin B ) A+B A−B = 4R sin cos 2 A+B A+B = 8R sin cos ( ( *) ) 2 = 4R sin ( A + B ) Ta coù : tg Caù c h khaù c : a + b = 2c = 4R sin C = 2c ⇔ 2R ( sin A + sin B ) = 4R sin C Lop10.com A+B A−B C C cos = sin cos 2 2 C ⎞ A−B C A+B ⎛ A+B ⇔ cos = sin = cos = cos ⎟ ⎜ sin 2 ⎝ 2 ⎠ A B A B A B A B ⇔ cos cos + sin sin = cos cos − sin sin 2 2 2 2 A B A B ⇔ sin sin = cos cos 2 2 A B ⇔ tg ⋅ tg = 2 Bài Cho ΔABC , n g minh nế u cotgA, cotgB, cotgC tạ o mộ t cấ p số cộ n g thì ⇔ sin a , b2 , c2 cuõ n g laø caá p soá coä n g Ta coù : cot gA, cot gB, cot gC laø caáp soá coäng ⇔ cot gA + cot gC = cot gB ( * ) Caù c h 1: Ta coù: ( *) sin ( A + C ) cos B = ⇔ sin B = sin A sin C cos B sin A sin C sin B ⇔ sin B = − ⎡⎣cos ( A + C ) − cos ( A − C ) ⎤⎦ ⎡⎣ − cos ( A + C ) ⎤⎦ ⇔ ⇔ sin B = cos2 ( A + C ) − cos ( A − C ) cos ( A + C ) [cos 2A + cos 2C] ⇔ sin 2B = (1 − sin B ) − ⎡⎣(1 − sin A ) + (1 − sin C ) ⎤⎦ 2 ⇔ sin B = sin A + sin C ⇔ sin B = cos2 B − 2b2 a2 c2 = + 4R 4R 4R ⇔ 2b2 = a + c2 ⇔ ⇔ a , b2 , c2 laø caâùp soá coäng • Caù c h 2: Ta coù: a = b2 + c − 2ab cos A ⎛1 ⎞ ⇔ a = b2 + c − ⎜ bc sin A ⎟ cotgA ⎝2 ⎠ 2 ⇔ a = b + c − 4S cot gA b2 + c − a 4S a + c − b2 a + b2 − c Tương tự cotgB = , cotgC = 4S 4S 2 2 b +c −a a + b − c2 a + c − b2 + = 2⋅ Do đó: ( *) ⇔ 4S 4S 4S 2 ⇔ 2b = a + c Do đó cotgA = Lop10.com Bài Cho ΔABC coù sin2 B + sin2 C = 2sin2 A Chứ n g minh BAC ≤ 600 Ta coù: sin B + sin C = sin A b2 c2 2a ⇔ + = 4R 4R 4R ⇔ b2 + c = 2a ( *) Do ñònh lyù haø m cosin neâ n ta coù a = b2 + c2 − 2bc cos A ( b2 + c ) − b2 − c b2 + c − a ⇔ cos A = = ( ( *)) 2bc 4bc b2 + c 2bc = ≥ = ( Cauchy ) 4bc 4bc Vaïây : BAC ≤ 600 Caù c h khaù c: ñònh lyù haø m cosin cho a = b2 + c2 − 2bc cos A ⇒ b2 + c2 = a + 2bc cos A Do đó (*) ⇔ a + 2bc cos A = 2a ⇔ cos A = a2 b + c2 = ≥ ( Cauchy) 2bc bc Cho ΔABC Chứ n g minh : R ( a + b2 + c ) cotgA+cotgB+cotgC = abc 2 b + c − a2 cotgA = Ta coù: 4S 2 a +c −b a + b2 − c Tương tự: cot gB = , cot gC = 4S 4S 2 a +b +c a + b2 + c Do đó cot gA + cot gB + cot gC = = abc 4S 4R 2 a +b +c =R abc Bài Cho ΔABC coù goù c A, B, C taï o thaø n h moä t caá p soá nhaâ n coù coâ n g boä i q = Giả sử A < B < C 1 = + Chứ n g minh: a b c Bài Lop10.com Do A, B, C laø caá p soá nhaâ n coù q = neâ n B = 2A, C = 2B = 4A π 2π 4π Maø A + B + C = π neân A = , B = ,C = 7 Caù c h 1: 1 1 + = + Ta coù: b c 2R sin B 2R sin C ⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ = + ⎜ ⎟ 2π 4π ⎟ 2R ⎜ sin ⎜ sin ⎟ 7 ⎠ ⎝ 4π 2π + sin sin 7 = 2π 4π 2R sin sin 7 3π π sin cos 7 ⎛ sin π = sin 3π ⎞ = ⋅ ⎟ 2π 3π ⎜⎝ 2R 7 ⎠ sin sin 7 π cos 1 = ⋅ = π π 2R sin A R sin cos 7 = a Caù c h 2: Bài 1 1 1 = + ⇔ = + a b c sin A sin B sin C 1 sin 4A + sin 2A ⇔ = + = sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A sin 3A cos A cos A cos A ⇔ = = = sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin A cos A 3π 4π = sin = sin 4A • : sin 3A = sin 7 Tính caù c goù c cuû a ΔABC neá u sin A sin B sin C = = Do ñònh lyù haø m sin: neâ n : a b c = = = 2R sin A sin B sin C sin A sin B sin C = = ( *) Lop10.com a b c = = 2R 2R 4R ⇔ ⇔a= ( Ta coù: c = 4a = a ) b c ⎪⎧ b = a = ⇔⎨ ⎪⎩c = 2a + a2 ⇔ c = b2 + a Vaïây ΔABC vuoâng taïi C Thay sin C = vào ( *) ta sin A sin B = = ⎧ ⎪⎪sin A = ⇔⎨ ⎪sin B = ⎪⎩ ⎪⎧ A = 30 ⇔⎨ ⎪⎩B = 60 Ghi chuù: Trong tam giaù c ABC ta coù a = b ⇔ A = B ⇔ sin A = sin B ⇔ cos A = cos B II ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜN G TRUNG TUYẾ N Cho UABC coù trung tuyeá n AM thì: AB2 + AC2 = 2AM2 + 2 hay : c + b = 2ma + BC2 a2 Cho UABC coù AM trung tuyeá n , AMB = α , AC = b, AB = c, S laø dieä n tích UABC Vớ i < α < 900 b2 − c a/ Chứ n g minh: cotgα = 4S b/ Giả sử α = 45 , n g minh: cotgC – cotgB = Bài HM MB − BH = AH AH a BH ⇒ cotgα = − (1 ) 2AH AH a/ UAHM vuoâ n g ⇒ cotgα = Lop10.com 2 b2 − c ( a + c − 2ac cos B ) − c Maë t khaù c : = 4S 2AH.a Ñaë t BC = a b2 − c a c cos B a BH ⇒ = − = − (2) 4S 2AH AH 2AH AH b2 − c Từ (1) và (2) ta đượ c : cotg α = 4S Caù c h khaù c: Gọ i S , S lầ n lượ t là diệ n tích tam giá c ABH và ACH Aù p duï n g ñònh lyù haø m cos tam giaù c ABH vaø ACH ta coù : AM2 + BM2 − c cotg α = (3) 4S1 − cotg α = AM2 + CM2 − b2 4S2 (4) Laá y (3) – (4) ta coù : b2 − c S cotg α = ( vì S =S = ) 4S HC HB HC − HB − = b/Ta coù : cotgC – cotgB = AH AH AH ( MH + MC ) − ( MB − MH ) = AH 2MH = cotg α = cotg 450 = = AH Caù c h khaù c: Aù p duï n g ñònh lyù haø m cos tam giaù c ABM vaø ACM ta coù : BM2 + c − AM2 cotg B = (5) 4S1 cotg C = CM2 + b2 − AM2 4S2 (6) Laá y (6) – (5) ta coù : b2 − c S cotg C − cot gB = = cot gα =2 ( vì S =S = vaø caâ u a ) 2S Lop10.com Cho UABC có trung tuyế n phá t xuấ t từ B và C là mb , mc thỏ a Bài 10 c mb = ≠ Chứ n g minh: 2cotgA = cotgB + cotgC b mc m2b c2 Ta coù : = b mc 1⎛ b2 ⎞ + − a c ⎜ ⎟ 2 ⎠ c2 ⇔ = ⎝ b 1⎛ c2 ⎞ + − b a ⎜ ⎟ 2⎝ 2⎠ c4 b4 = a b2 + b2 c − 2 ⇔ a c − a b2 = ( c − b4 ) ⇔ a ( c − b2 ) = ( c − b2 )( c + b2 ) c ⎛ ⎞ ⇔ 2a = c + b2 (1) ⎜ ≠ ⎟ ⎝ b ⎠ 2 Thay b + c = a + 2bc cos A vaø o (1), ta coù (1) thaø n h a = 2bc cos A a2 4R sin A ⇔ cos A = = 2bc ( 2R sin B ) ( 2R sin C ) ⇔ b2 c + a c − sin ( B + C ) cos A sin A = = sin A sin B sin C sin B sin C sinBcosC+ sinCcosB ⇔ cotgA = = cotgC+ cotgB sin B sin C ⇔2 Bà i 194: Chứ n g minh nế u UABC có trung tuyế n AA’ vuô n g gó c vớ i trung tuyế n BB’ thì cotgC = (cotgA + cotgB) UGAB vuoâ n g taï i G coù GC’ trung tuyeá n neâ n AB = 2GC’ Vaä y AB = CC′ ⇔ 9c = 4m c2 ⎛ c2 ⎞ ⇔ 9c = ⎜ b2 + a − ⎟ 2⎠ ⎝ ⇔ 5c = a + b2 ⇔ 5c2 = c2 + 2ab cos C (do ñònh lyù haø m cos) ⇔ 2c = ab cos C ⇔ ( 2R sin C ) = ( 2R sin A )( 2R sin B ) cos C Lop10.com ⇔ sin2 C = sin A sin B cos C sin C cos C ⇔ = sin A sin B sin C sin ( A + B ) ⇔ = cotgC sin A sin B ( sin A cos B + sin B cos A ) ⇔ = cotgC sin A sin B ⇔ ( cotg B + cotgA ) = cotgC III DIEÄN TÍCH TAM GIAÙC Goï i thì S: dieä n tích UABC R: bá n kính đườ ng trò n ngoạ i tiế p UABC r: bá n kính đườn g trò n nộ i tiế p UABC p: nử a chu vi củ a UABC 1 a.h a = b.h b = c.hc 2 1 S = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 abc S= 4R S = pr S= S = p ( p − a ) ( p − b )( p − c ) Cho UABC n g minh: Bài 11 sin 2A + sin 2B + sin 2C = Ta coù : sin2A+ ( sin2B + sin2C ) = = = = = sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C) 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C) 2sinA[cosA + cos(B - C)] 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)] 2sinA.[2sinB.sinC] a b c abc 4RS 2S = = = = 2 R3 2R 2R 2R R R Bài 12 Cho UABC Chứ n g minh : S = Dieä n tích (UABC) = a sin 2B + b2 sin 2A ) ( Lop10.com 2S R2 Ta coù : S = dt ( ΔABC ) = ab sin C ab sin ( A + B ) = ab [sin A cos B + sinB cos A ] ⎡⎛ a ⎤ ⎞ ⎛b ⎞ = ab ⎢⎜ sin B ⎟ cos B + ⎜ sin A ⎟ cos A ⎥ (do ñl haøm sin) ⎠ ⎝a ⎠ ⎣⎝ b ⎦ = ⎡⎣a sin B cos B+ b2 sin A cos A ⎤⎦ = ( a sin 2B + b2 sin 2A ) = Bài 13 : Cho ΔABC coù troï n g taâ m G vaø GAB = α, GBC = β, GCA = γ Chứ n g minh: cotgα + cotgβ +cotgγ = ( a + b2 + c ) 4S Goï i M laø trung ñieå m BC, veõ MH ⊥ AB AH ΔAMH ⊥⇒ cos α = AM BH 2BH ΔBHM ⊥⇒ cos B = = MB a Ta coù : AB = HA + HB a ⇔ c = AM cos α + cos B ⎛ a ⎞ ⇔ cos α = (1 ) ⎜ c − cos B ⎟ AM ⎝ ⎠ Maë t khaù c aù p duï n g ñònh lyù haø m sin vaø o ΔAMB ta coù : MB AM a = ⇔ sin α = MB sin B = sin B (2) sin α sin B AM 2AM Lấ y (1) chia cho (2) ta đượ c : a c − cos B 2c − a cos B cotgα = = a b sin B a 2R R ( 4c − 2a cos B ) R ( 4c − 2ac cos B ) = = ab abc 2 2 3c + b − a 3c + b − a = = abc 4S R Lop10.com Chứ n g minh tương tự : 3a + c − b2 4S 3b + a − c cotgγ = 4S Do đó : cotgα + cotgβ + cotgγ cotgβ = = = 3c2 + b2 − a 3a + c − b2 3b2 + a − c + + 4S 4S 4S 2 (a + b + c ) 4S Caù c h khaù c : Ta coù m2a + m2b + mc2 = cotgα = c2 + m2a − 4SΔABM Tương tự cotgβ = a + b2 + c2 ) (*) ( a2 2 = 4c + 4ma − a (a) 8S 4a + 4m2b − b2 4b2 + 4m2c − c2 (b), cotgγ = (c) 8S 8S Cộ n g (a), (b), (c) và kế t hợ p (*) ta có : cotg α + cotg β + cotg γ = ( a + b2 + c ) 4S IV BÁN KÍNH ĐƯỜ N G TRÒ N Gọ i R bá n kính đườ n g trò n ngoạ i tiế p ΔABC và r bá n kính đườ n g trò n nộ i tiế p ΔABC thì a abc = R= sin A 4S S r= p A B C r = ( p − a ) tg = ( p − b ) tg = ( p − c ) tg 2 Bài 14 Gọ i I là tâ m đườ n g trò n nộ i tiế p ΔABC Chứ n g minh: Lop10.com A B C sin sin 2 2 b/ IA.IB.IC = 4Rr a/ r = 4R sin B BH = IH B ⇒ BH = rcotg C Tương tự HC = r cotg a/ Ta coù : ΔIBH ⊥⇒ cotg Maø : BH + CH = BC neâ n B C⎞ ⎛ r ⎜ cotg + cotg ⎟ = a 2⎠ ⎝ ⎛B + C⎞ r sin ⎜ ⎟ ⎝ ⎠=a ⇔ B C sin sin 2 A B C ⇔ r cos = ( 2R sin A ) sin sin 2 A A A B C ⇔ r cos = 4R sin cos sin sin 2 2 A B C A ⇔ r = 4R sin sin sin (do cos >0) 2 2 b/ Ta coù : Tương tự Do đó : r Α IK = ⇒ IA = A IA sin r r IB = ; IC = B C sin sin 2 r IA.IB.IC = A B C sin sin sin 2 Δ ⊥ ΑΚΙ ⇒ sin r3 = = 4Rr (do keát quaû caâu a) r 4R : Cho ΔABC có đườ n g trò n nộ i tiế p tiế p xú c cá c cạ n h ΔABC tạ i A’, B’, C’ ΔA 'B 'C ' có cá c cạ n h là a’, b’, c’ và diệ n tích S’ Chứ n g minh: Bài 15 Lop10.com a' b ' C⎛ A B⎞ + = sin ⎜ sin + sin ⎟ a b 2⎝ 2⎠ S' A B C b/ = sin sin sin S 2 a/ 1 C 'IB ' = ( π − A ) = ( B + C ) 2 AÙ p duï n g ñònh lyù hình sin vaø o ΔA 'B 'C ' a/ Ta coù : C ' A 'B ' = a' = 2r (r: bá n kính đườ ng trò n nộ i tiế p ΔABC ) sin A ' B+C (1) ΔABC coù : a = BC = BA '+ A 'C ⇒ a ' = 2r sin A ' = 2r sin B C + r cot g 2 B+C sin (2) ⇒a=r B C sin sin 2 ′ a B C (1) = sin sin Laá y ta đượ c a 2 (2) ⇒ a = r cot g Tương tự b' A C = sin sin b 2 Vaä y a ' b' C⎛ A B⎞ + = sin ⎜ sin + sin ⎟ a b 2⎝ 2⎠ b/ Ta coù : A 'C 'B ' = 1 B 'IA ' = ( π − C ) = ( A + B ) 2 Lop10.com Vaä y Ta coù : A+B C = cos 2 a ' b 'sin C ' S ' dt ( ΔA 'B 'C ') = = S dt ( ΔABC ) ab sin C S ' ⎛ a ' ⎞ ⎛ b ' ⎞ sin C ' ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ S ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ sin C sin C ' = sin B C A = sin sin sin ⋅ 2 = sin cos sin B C A ⋅ sin ⋅ sin 2 C C C cos 2 Cho ΔABC có trọ n g tâ m G và tâ m đườ n g trò n nộ i tiế p I Biế t GI vuô n g Bài 16 gó c vớ i đườ n g phâ n giá c củ a BCA Chứ n g minh: a+b+c 2ab = a+b Veõ GH ⊥ AC, GK ⊥ BC, ID ⊥ AC IG caé t AC taï i L vaø caé t BC taï i N Ta coù : Dt(ΔCLN) = 2Dt(ΔLIC) =ID.LC = r.LC (1) Maë t khaù c : Dt(ΔCLN) = Dt(ΔGLC) + Dt(ΔGCN) ( GH.LC + GK.CN ) (2) Do ΔCLN caâ n neâ n LC = CN = Từ (1) và (2) ta đượ c : LC ( GH + GK ) ⇔ 2r = GH + GK Gọ i h a , h b là hai đườ n g cao ΔABC phá t xuấ t từ A, B rLC = Ta coù : Do đó : GK MG GH = = = vaø MA hb 2r = ( + h b ) Lop10.com (3) Maø : S = Dt ( ΔABC ) = pr = = Do đó : 1 a.ha = b.h b 2 2pr 2pr vaø h b = a b ⎛1 1⎞ pr ⎜ + ⎟ ⎝a b⎠ ⎛a + b⎞ ⇔ = p⎜ ⎟ ⎝ ab ⎠ a+b+c a+b ⇔3= ⋅ ab 2ab a+b+c ⇔ = a+b Từ (3) ta có : 2r = Lop10.com BAØI TAÄP Cho ΔABC có ba cạ n h là a, b, c R và r lầ n lượ t là bá n kính đừ ng trò n ngoạ i tiế p và nộ i tiế p ΔABC Chứ n g minh: C A B a/ ( a − b ) cotg + ( b − c ) cotg + ( c − a ) cotg = 2 r b/ + = cos A + cos B + cos C R A B C c/ Neá u cotg , cotg , cotg laø caá p soá coä n g thì a, b, c cuõ n g laø caá p soá coä n g 2 d/ Dieä n tích ΔABC = R r ( sin A + sin B + sin C ) e/ Neá u : a = b4 + c4 thì ΔABC coù goù c nhoï n vaø 2sin2 A = tgB.tgC Neá u dieä n tích ( ΔABC ) = (c + a -b)(c + b -a) thì tgC = 15 Cho ΔABC có ba gó c nhọ n Gọ i A’, B’, C’ là châ n cá c đườ n g cao vẽ từ A, B, C Gọ i S, R, r lầ n lượ t là diệ n tích, bá n kính đườ n g trò n ngoạ i tiế p , nộ i tiế p ΔABC Gọ i S’, R’, r’ lầ n lượ t là diệ n tích, bá n kính đườ n g trò n ngoạ i tiế p , nộ i tiế p củ a ΔA 'B 'C ' Chứ n g minh: a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC R b/ R ' = c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC ΔABC có ba cạ n h a, b, c tạ o mộ t cấ p số cộ n g Vớ i a < b < c Chứ n g minh : a/ ac = 6Rr A −C B = sin b/ cos 2 3r ⎛ C A⎞ c/ Coâ n g sai d = ⎜ tg − tg ⎟ ⎝ 2⎠ Cho ΔABC có ba gó c A, B, C theo thứ tự tạ o cấ p số nhâ n có cô n g i q = Chứ n g minh: 1 a/ = + a b c b/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = Lop10.com