CHUYE DE HE THUC VIET

3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.. Do đó biểu thứ[r]

Toán nâng cao

ứng dụng định lí vi- ét

I LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x x1;

Ví dụ : Cho x1 3; x2 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm

Theo hệ thức VI-ÉT ta có 2

5

S x x

P x x

  

 

 



;

x x nghiệm phương trình có dạng:

2 0 5 6 0

x  Sx P   x  x 

Bài tập áp dụng:

1 x1 = vµ x2 = -3

2 x1 = 3a vµ x2 = a

3 x1 = 36 vµ x2 = -104

4 x1 = 1 vµ x2 = 1

2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước:

V

í dụ: Cho phương trình : x2 3x 2 0

   có nghiệm phân biệt x x1; Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn :

1

y x

x

  2 1

2

y x

x

 

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:

1

1 2 1 2

1 2

1 1

( ) ( )

2

x x

S y y x x x x x x

x x x x x x

  

               

 

1 2 1

1 2

1 1

( )( ) 1 1

2

P y y x x x x

x x x x

            

Vậy phương trình cần lập có dạng:

0 y  Sy P 

hay 9 2 9

2

y  y   y  y 

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình 3x2 5x 6 0

   có nghiệm phân biệt x x1; Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm 1

2

y x

x

  2 2

1

y x

x

 

(Đáp số: 0

6

y  y  hay 6y25y 0 )

2/ Cho phương trình : x2 5x 1 0

   có nghiệm x x1; Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn

1

y x y2 x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y2 727y 1 0

   )

-3/ Cho phương trình bậc hai: x2 2x m2 0

   có nghiệm x x1; Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y y1; cho :

a) y1 x1 y2 x2 b) y12x11 y2 2x21

(Đáp số a) 2

4

y  y  m  b) y2 2y (4m2 3) 0 )

II TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình :

0

x  Sx P  (§iều kiện để có hai số S2  4P  )

Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  3 tích P = ab =  4

Vì a + b =  3 ab =  4 n ên a, b nghiệm phương trình : x2 3x 4 0

  

giải phương trình ta x1 1 x2 4

Vậy a = b =  4

nếu a =  4 b = 1

Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P =

2 S =  3 và P = 6

3 S = P = 20 S = 2x P = x2  y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết

1 a + b = a2 + b2 = 41 a  b = ab = 36

3 a2 + b2 = 61 v ab = 30

Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm

tích a v b

T    

2

2 2 81

9 81 81 20

2

a b

a b   a b   a  ab b   ab   

Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : 2

4 20

5

x

x x

x  

    

 

Vậy: Nếu a = b = a = b =

2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b

Cách 1: Đ ặt c =  b ta có : a + c = a.c =  36

Suy a,c nghiệm phương trình : 2

4 36

9

x

x x

x  

    

 

Do a =  4 c = nên b =  9

nếu a = c =  nên b =

Cách 2: Từ a b 2 a b 2 4ab a b 2a b 24ab169

 2 132 13

13

a b a b

a b   

    

  

*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : 2

4 13 36

9

x

x x

x  

    

 

-Vậy a =4 b = 9

*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : 2

4 13 36

9

x

x x

x  

    

 

Vậy a = b =

3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:

T ừ: a2 + b2 = 61  2 2

2 61 2.30 121 11

a b a b ab

         11

11

a b a b

  

   



*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: 2

5 11 30

6

x

x x

x  

    

 

Vậy a =5 b = 6 ; a =6 b = 5

*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : 2

5 11 30

6

x

x x

x  

    

 

Vậy a = b = ; a = b =

III TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối toán dạng điều quan trọng c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm

cho biểu thức có chứa tổng nghiệm x1x2 tích nghiệm x x1 để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giỏ tr ca biu thc

1.Ph ơng pháp: Bin đổi biểu thức để làm xuất : (x1x2) x x1

D¹ng 1 x12x22 (x122x x1 2x22) 2 x x1 (x1x2)2 2x x1

D¹ng 2. x13x23 x1x2x12 x x1 2x22x1x2  x1x22 3x x1 2

D¹ng 3 x14x24 ( )x12 2( )x22 x12x222 2x x12 22 (x1x2)2 2x x1 22 2x x12 22

D¹ng 4 x15x25 =( )( ) ( 1 2)

2 2 2 3

1 x x x x x x x

x    

1 2

1 x x

x x x x



 

D¹ng 5 x1 x2 ? Ta biết x1 x22 x1x22 4x x1 2  x1 x2  x1x22 4x x1 2 D¹ng 6 x12 x22 x1 x2 x1x2= ( ) 2.( 2)

2

1 x x x x x

x   



D¹ng 7 x13 x23 =       

2

2

1 1 2 2

x  x x x x x  x  x  x x  x x 

  =……

D¹ng 8 x14 x24 =    

2 2

1 2

x x x  x =……

D¹ng 9 x16x26 =    

2 3 2 2

1 2 1 2

( )x ( )x  x x x  x x x = ……

D¹ng 1 0 x16 x26 (x12)3 (x22)3 (x12  x22)(x12)2 x12.x22 (x22)2 D¹ng 11

D¹ng13

1

1

1

x  x

2 Bài tập áp dụng: Khụnggii phng trình, tính giá trị biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2 8x 15 0

   Khơng giải phương trình, tính

-1 2

1

x x (34)

1

1

x x

8 15

 

 

 

3

2

x x

x  x

34 15

 

 

   

2

x x (46)

b) Cho phương trình : 8x2 72x 64 0

   Không giải phương trình, tính:

1

1

1

x x

9

   

 

2

1

x x (65)

c) Cho phương trình : x2 14x 29 0

   Khơng giải phương trình, tính:

1

1

1

x x

14 29

 

 

 

2

1

x x (138)

d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0

   Khơng giải phương trình, tính:

1

1

1

x x (3)

1

1

1 x x

x x

 

 (1)

3 x12x22 (1)

1

2 1

x x

x  x 

5

     

e) Cho phương trình x2 4 3x 8 0

   có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính

2

1 2

3

1 2

6 10

Q

5

x x x x

x x x x

 





HD:

 

2 2

1 2 2

3 2

1 2 1 2 1 2 1 2

6 10 6( ) 6.(4 3) 2.8 17

Q

5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

    

   

       

 

IV TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

Để làm toán loại này, c¸c em làm theo bước sau:

1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a   0)

2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT:

a c x x a

b x

x1  2  ; 1 2 

3- Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ

các nghiệm x1 v x2 không phụ thuộc vào tham số m.

Ví dụ : Cho phương trình : m1x2 2mx m  0 (1) có nghiệm x x1; 2 Lập hệ thức liên hệ

giữa x x1; 2 cho chúng không phụ thuộc vào m.

(Bài cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta khơng biện luận bớc 1)

Gi¶i:

B

íc2 : Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

-1 2

1 2

2

2 (1)

1

4

(2)

1

m

x x x x

m m

m

x x x x

m m

 

    

 

   



 



    

   

 

B

íc2 : Rút m từ (1) ta có :

1

1

2

2

1 x x m

m      x x  (3)

Rútm từ (2) ta có :

1

3

1

1 x x m

m       x x (4)

B

íc : Đồng vế (3) (4) ta có:

 2    2

1 2

2

2 3

2 x x x x x x x x

x x    x x          

Ví dụ 2: Gọi x x1; nghiệm phương trình :  

1

m x  mx m   Chứng minh biểu thức A3x1x22x x1 2 không phụ thuộc giá trị m

Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :

1 2

1

1

m

x x

m m x x

m 

 



 





 

 



§K:(m10 m1) ;Thay vào A ta c ó:

 2

2 8( 1)

3 8

1 1

m m m m m

A x x x x

m m m m

    

         

   

Vậy A = với m1 Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng:

1 Cho phương trình : x2 m 2x 2m 1 0

     Hãy lập hệ thức liên hệ x x1; cho x x1; độc lập m

Hướng dẫn:

B1: Dễ thấy m 22 4 2 m 1 m2 4m 8 m 22 4 0

            Do phương trình cho ln

có nghiệm phân biệt x1 x2 B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2

1 2

2(1)

1

(2)

2

m x x

x x m

x x

x x m m

  



  

 



  

  

 

B3 : Từ (1) (2) ta có:

- 

1

1 2

1

2

2

x x

x x     x x  x x  

Cho phương trình : x2 4m 1 x 2m 4 0

    

Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1)2 4.2(m 4) 16m2 33 0

        phương trình cho ln có

nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2

1 2

(4 1) ( ) 1(1)

2( 4) 16(2)

x x m m x x

x x m m x x

     

 



 

   

 

Từ (1) (2) ta có:

1 2 2

(x x ) 2x x 16 2x x (x x ) 17

         

V.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO

Đối với tốn dạng này,c¸c em làm sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a   0)

- Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm

Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 6m 1x 9m 3 0

    

Tìm giá trị tham số m để nghiệmx1 x2 thoả mãn hệ thức : x1x2 x x1 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l :

     

0 0 0

' 9 27 ' 1

' 21 9( 3)

m m m m

m m m m m

m m m

 

     

  

  

   

           

         

   



Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:

1

1

6( 1) 9( 3)

m

x x

m m x x

m  

 

  



 

 

v t gi ả thi ết: x1x2 x x1 Suy ra:

6( 1) 9( 3)

6( 1) 9( 3) 6 27 21

m m

m m m m m m

m m

 

            

(thoả mãn điều kiện xác định )

Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1x2 x x1

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 2m 1x m2 2 0

     .

Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 2 5x1x2 7 Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1&x2 :

2

' (2m 1) 4(m 2)

     

-2

4m 4m 4m

     

7

4

4

m m

    

Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 2

2

2

x x m

x x m

  

 

 



và từ giả thiết 3x x1 2 5x1x2 7 Suy

2

2

2

3( 2) 5(2 1)

3 10

2( )

3 10 4

( )

3

m m

m m

m TM

m m

m KTM

    

     

  

    

 



Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 2 5x1x2 7

Bài tập áp dụng

1 Cho phương trình : mx22m 4x m  7

Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 2x2 0 Cho phương trình : x2 m 1x 5m 6 0

    

Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: 4x13x2 1 Cho phương trình : 3x2 3m 2x 3m 1 0

    

Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6 Hướng dẫn cách giải:

Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ

+ Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1x2 tích nghiệm x x1 2nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m

+ Còn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1x2 tích nghiệm

1

x x từ vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ BT1: - ĐKX Đ: & 16

15

m m

-Theo VI-ÉT:

1

1

( 4) (1)

m

x x

m m x x

m

 



 

  



 

 

- Từ x1 2x2 0 Suy ra:

1 2

1 2

1

3

2( )

2( )

x x x

x x x x

x x x

 



  



 

 (2)

- Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m2127m128 0  m11;m2 128

-BT2: - ĐKXĐ: m2 22m 25 0 11 96 m 11 96

         

- Theo VI-ÉT: 2

1 (1)

5

x x m

x x m

  

 

 



- Từ : 4x13x2 1 Suy ra:

   

1

1 2

2

2

1 2

1 3( )

1 3( ) 4( )

4( )

7( ) 12( )

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

  



     



  



     

(2)

- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12 ( 1) 0

m m m

m  

   



 (thoả mãn ĐKXĐ)

BT3: - Vì (3m 2)2 4.3(3m 1) 9m2 24m 16 (3m 4)2 0

           với số thực m nên phương

trình ln có nghiệm phân biệt - -Theo VI-ÉT:

1

1

3

3 (1) (3 1)

3

m

x x

m x x

 

 

  

 

 

 

- Từ giả thiết: 3x1 5x2 6 Suy ra:

   

1

1 2

2

2

1 2

8 5( )

64 5( ) 3( )

8 3( )

64 15( ) 12( ) 36

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

  



     



  



     

(2)

- Thế (1) vào (2) ta phương trình:

0

(45 96) 32

15

m

m m

m   

  

 



(thoả mãn )

VI XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax2 bx c 0

   (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:

trái dấu, dấu, dương, âm …. Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm x1 x2 S x1x2 P x x  Điều kiện chung

trái dấu   P < 0  0  ; P < 0.

cùng dấu,   P >   ; P >

cùng dương, + + S > P >   ; P > ; S >

cùng âm   S < 0 P > 0  0  ; P > ; S < 0.

Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình:

 

2

2x  3m1 x m  m 0 có nghiệm trái dấu.

Để phương trình có nghiệm trái dấu

2

2

(3 1) 4.2.( 6)

0 ( 7)

2

6

0 ( 3)( 2)

2

m m m

m m

m

m m

P P P m m

      

      

 

     

    

      

  



Vậy với 2m3 phương trình có nghi ệm trái dấu

-Bài tập tham khảo:

1 mx2 2m2x3m 2 0 có nghiệm dấu. 3mx2 2 2 m 1x m 0

    có nghiệm âm 3.m 1x2 2x m 0

    có nghiệm khơng âm

VII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta phân tích được:

A m C

k B    

 (trong A, B biểu thức không âm ; m, k số) (*)

Thì ta thấy : C m (v ì A0)  minC m  A0

C k (v ìB0)  maxC k  B0

Ví dụ 1: Cho phương trình : x22m1x m 0

Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để :

2

1

A x x  x x có giá trị nhỏ Bài giải: Theo VI-ÉT:

1

(2 1)

x x m

x x m

  

 

 

Theo đ ề b ài :  

2

2

1 2

A x x  x x  x x  x x

 2

2

2

2

4 12

(2 3) 8

m m

m m

m

  

  

   

Suy ra: minA8 2m 0 hay

2

m

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 mx m 1 0

   

Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau:

 

1

2

1 2

2

2

x x B

x x x x

 

  

Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :

1

x x m

x x m

 

 

  

 

1 2

2 2 2

1 2

2 3 2( 1)

2 ( ) 2

x x x x m m

B

x x x x x x m m

    

    

      

Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn

-Ta biến đổi B sau:

   2

2

2

2 1

1

2

m m m m

B

m m

    

  

 

Vì    

2

2

1 0

2

m

m B

m 

     



Vậy max B=1 m =

Với cách thêm bớt khác ta lại có:

     

 

2 2 2

2 2

1 1

2 4 2 1

2 2

2 2 2

m m m m m m m

B

m m m

       

   

  

Vì    

 

2

2

2

2 0

2

2

m

m B

m 

     



Vậy

2

B  m

Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B là tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m

2

2

2

2

m

B Bm m B

m 

     

 (Với m ẩn, B tham số) (**)

Ta có: 1 B B(2 1) 2B2 B

      

Để phương trình (**) ln có nghiệm với m 

hay 2B2 B 1 0 2B2 B 1 0 2B 1 B 1 0

           

1

2 2

1 1

1

2 1

2

1

B B

B B

B B

B B

B  

  

   

 

 

   

 



      

   

 

 

   

  

   

Vậy: max B=1 m =

1

min

2

B  m

Bài tập áp dụng

1 Cho phương trình : x2 4m 1x 2m 4 0

     Tìm m để biểu thức Ax1 x22 có giá trị nhỏ

2 Cho phương trình x2 2(m 1)x 3 m 0

     Tìm m cho nghiệm x x1; 2 thỏa mãn điều kiện

2

1 10

x x 

3 Cho phương trình : x2 2(m 4)x m2 8 0

     xác định m để phương trình có nghiệm x x1; 2thỏa mãn

a) A x 1x2 3x x1 đạt giá trị lớn

b) 2

1 2

B x x  x x đạt giá trị nhỏ

-4 Cho phương trình : x2 (m 1)x m2 m 2 0

      Với giá trị m, biểu thức Cx12x22 dạt giá trị nhỏ

5 Cho phương trình x2 (m 1) m 0

    Xác định m để biểu thức Ex12x22 đạt giá trị nhỏ

-