Baøi10Cho hai phöông trình x2+3x+2a=0 1 vaø x2+6x+5a=0 2.Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phương trình này có đúng[r]
(1)Kiến thức đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Moät soá heä phöông trình baäc hai , hai aån soá ñaëc bieät A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Heä hai phöông trình, moät phöông trình baäc nhaát, moät phöông trình baäc hai Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn ẩn qua ẩn còn lại Đem vào phương trình bậc hai giải phương trình nhận 2 x y Ví duï : Giaûi heä phöông trình : 2 x xy y Hệ phương trình đối xứng hai ẩn f ( x, y ) a) Hệ đối xứng loại I : có dạng đó f(x , y) , g(x , y) là các hàm hai biến x, y mà g ( x, y ) ta đổi x thành y và y thành x thì chúng không thay đổi Tức là: f(x , y) = f(y, x) vaø g(x , y) = g(y , x) Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y Giải hệ phương trình với các ẩn phụ, sau đó tìm các nghiệm với ẩn số x, y Hệ đã cho có nghiệm theo x, y với điều kiện là S2 – 4P x xy y 11 Ví duï : Giaûi heä phöông trình : 2 xy x y f ( x, y ) (1) b) Hệ đối xứng loại II : có dạng đổi x thành y và đổi y thành x thì phương g ( x, y ) (2) trình này hệ trở thành phương trình hệ và ngược lại Tức là: f(y , x) = g(x, y) vaø g(y , x) = f(x , y) Cách giải : Trừ vế hai phương trình (1) và (2) hệ ta thu phương trình biến đổi daïng : (x - y).h(x, y) = (3) x y Phöông trình (3) h ( x, y ) + Với x = y thay vào (1) (2) thì phương trình ẩn x (hoặc y) + Với h(x , y) = ta giải tìm x theo y tìm y theo x thay vào (1) (2) thì thu phương trình ẩn, giải tìm ẩn đó tính ẩn còn lại Ví duï : Giaûi heä phöông trình : x x y x y a) ; b) y y x x y x y c) Heä ñaúng caáp baäc hai theo hai aån f ( x, y ) m (1) Heä coù daïng : ,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức g ( x, y ) n (2) f(x , y) và g(x , y) có tất các số hạng là bậc hai theo hai ẩn x , y Caùch giaûi: + kiểm tra x = y = có thoả mãn là nghiệm hệ hay không +Xét trường hợp x (hoặc y 0) Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) đưa đến việc xác định k (hoặc t) và giải tiếp phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y) 2 3 x xy y 11 Ví duï : Giaûi heä phöông trình x xy y 17 GV: An Vaên Long Lop10.com Chuùc Caùc Em OÂân Taäp Toát (2) Kiến thức đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN x y m Baøi Cho heä phöông trình : (I) 2 x y m với m là tham số a) Giải hệ (I) với m = b) Với giá trị nào m thì hệ có nghiệm Kq: (-1;2), (2;-1) Kq: 2; 2 Bài Xác định giá trị m để hệ phương trình sau đây có nghiệm : x y xy m 2 x y Kq : m 24 2 Baøi Giaûi heä phöông trình : x y x y y x y x a) ; Kq: (0;0) v (-3;-3) Baøi Giaûi heä phöông trình : Kq: (1;2), (2;1), (-1;-2), (-2;-1) x xy y 2 x xy y 3 a) x xy y 1 3 x xy y 13 b) ; b) 2 x xy x y 3 x xy x y Kq: (-2;14/9), (-3;2) Kq : ( 3; 3), ( 3; 3), (1; 1) Baøi Giaûi heä phöông trình : x xy y 13 x y ; b) 2 x y xy x y x y Kq : (4;1), (1; 4), (2 3; 3), (2 3; 3) Kq: (0;1), (1;0) a) Baøi Giaûi heä phöông trình : x xy y 11 xy ( x y ) 30 a) ; KQ: (5;1), (1;5), (2;3), (3;2) x y x y x y 3 x y x y b) Kq : (0; ; c) 2 x y xy 12 13 13 ), (4; ) 2 Kq: (3;1), (1;3) Baøi Giaûi heä phöông trình : x y x 16 x y x y 16 y a) ; Kq: (0;0), (4;4) Baøi Giaûi heä phöông trình : GV: An Vaên Long ; c) 3 x x y y Kq: (-1;-2); (-2;-1) x x y x y y 1 x xy a) ; b) y (quy đồng); c) x x x xy y xy 78 y Kq: (2,;1), (3/2;1/2) x y x2 x 1 y2 y 1 (1 x).(1 y ) b) Kq: (4;9), (9;4) Kq: (1/2;1/2), (0;1), (1;0) ( x y ).1 xy (nhaân ra-ñaët a âp) x y 1 49 x y Kq: Kq : (1; Lop10.com 73 73 ), ( ; 1) 2 Chuùc Caùc Em OÂân Taäp Toát (3) Kiến thức đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Baøi 10 Giaûi heä phöông trình : 1 1 x y 4 a) x y x y (2 x x 1)( y 2) (2 y y 1)( x 2) ; b) x2 x y Kq: (1;1), (2;2 ) Kq: (1;1), (4;4) * Chia hai veá pt (1) cho (x+1).(y+2) C BAØI TẬP TỰ GIẢI 3 x y 13 Baøi 11 Giaûi vaø bieän luaän theo tham soá m heä phöông trình : 2 x y m x xy y 2m Bài 12 Chứng minh hệ phương trình : luôn luôn có nghiệm với 2 x y xy m m moïi giaù trò cuûa tham soá m Baøi 13 Giaûi heä phöông trình : x y 6x y x y 65 a) ; b) x y ( x 1)( y 1) 18 x xy y x xy y y ; c) Kq: (-6;-2), (-4;-4) Kq: (7;4), (4;7), (-1;-8), ( 8;-1) Hd: pt(2) nhaân 2ø coäng pt(1) ñöa (x+2y) Baøi 14 Giaûi heä phöông trình : x y xy 13 x y xy x y a) ; b) 3 2 x y x y x xy y 1 3 x xy y 13 ; c) Baøi 15 Giaûi heä phöông trình : x y x y 13 a) x y ; b) y x x y ; c) 3 x y 26 Baøi 16 Giaûi heä phöông trình : x x y x y x y y 18 xy y 12 x xy 28 a) ; b) x x y x y x y y Baøi17 Giaûi heä phöông trình : x x y y x y a) 2 y4 y x ; c) x x4 y 1 x y ; b) y y 6 x x Baøi 18 Giaûi heä phöông trình : x y xy 19x y 2 a) x y xy 7( x y ) GV: An Vaên Long ; y xy 30 x b) 1 x y 35 x 3 Lop10.com Chuùc Caùc Em OÂân Taäp Toát (4) Kiến thức đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Baøi 19 Giaûi heä phöông trình : xy ( x 2)( y 2) 24 a) ( x 1) ( y 1) 13 x y x y y x ; b) ; c) 4 x y 97 Baøi 20 Giaûi heä phöông trình : x xy 5 x 2y a) x 3 x y 1 x y x y ; c) x y x2 y2 2 x y x ; b) 2 y x y Baøi 21 Giaûi heä phöông trình : 1 x x y y a) y x3 x x y y x y ; b) 3 x y x y ; c) x y x y ax by c a ' x b ' y c ' HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN SOÁ Heä phöông trình daïng Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän caùc heä phöông trình sau (aån soá laø x vaø y) 4 x my m (2m 6) x y 2m mx y x my 2 1a) ; 1b) (m 1) x y m 2 x my 3(m 1) x 2m y 2a) ; 2b) (m 2) x my 2 nx my n m 3a) mx m y 4m x my m ; 3b) nx y n (2m n) x (2m n) y n 4a) (m n) x (m n) y m mx ny m n ; 4b) nx my 2mn (m 2) x 6my mx (m 1) y Baøi 2: 1) Cho heä phöông trình : a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình theo tham soá m b) Giả sử (x;y) là nghiệm hệ ,tìm hệ thức x và y độc lập m 6mx (2 m) y (m 1) x my 2) Cho heä phöông trình : a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình theo tham soá m b) Giả sử (x;y) là nghiệm hệ ,tìm hệ thức x và y độc lập m Bài 3: Tìm m là số nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên Lúc đó tìm (x;y) : GV: An Vaên Long Lop10.com Chuùc Caùc Em OÂân Taäp Toát (5) Kiến thức đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình (m 1) x (3m 1) y m 2 x (m 2) y mx y m 2a) 2 x my 2m 1a) mx y 3m x my 2m 2mx y m ; 2b) x y m ; 1b) Bài 4: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với : mx y n x y vaø 2 x y m x y mx y Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm : x my x y m PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-TAM THỨC BẬC HAI-BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Baøi 1)Giaûi vaø bieän luaän caùc baát phöông trình sau theo tham soá m 1) (m+1)x2-(2m+1)x+(m-2)=0 ; 2) mx2+2x+1=0 3) (m2-5m-36)x2-2(m+4)x+1=0 ; 4) 2x2-6x+3m-5=0 Bài 2)Giả sử x1,x2 là hai nghiệm phương trình 2x2-11x+13=0 Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau : 1) A = x13 x 23 ; 2) B = x14 x 24 3) C = x14 x 24 ; 4) D = x1 x x 22 x12 x2 x1 Bài 3)Chứng tỏ kb2 = (k+1)2.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax2+bx+c=0 (a 0) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này k lần nghiệm Bài 4)Tìm m và n để hai số m ,n là nghiệm phương trình x2+mx+n=0 Baøi 5)Cho a,b laø nghieäm cuûa phöông trình x2+px+1=0 vaø b,c laø nghieäm cuûa phöông trình x2+qx+2=0 Chứng minh : (b-a)(b-c)=pq-6 Baøi 6)Cho hai phöông trình x2+p1x+q1=0 (1) vaø x2+p2x+q2=0 (2) bieát p1p2=2(q1+q2) Chứng minh có ít hai phương trình đã cho có nghiệm Baøi 7)Cho hai soá ; laø caùc nghieäm cuûa phöông rình x2+px+q=0 Haõy laäp phöông trình baäc hai coù caùc nghieäm soá laø ( ) & ( ) Baøi 8)Cho phöông trình x2+4x+m+1=0 (1) GV: An Vaên Long Lop10.com Chuùc Caùc Em OÂân Taäp Toát (6) Kiến thức đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình 1.Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức x12 x 22 7 x 22 x12 2.Định m để phương trình (1) có đúng nghiệm âm 3.Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm dương x1 thì phương trình : (m+1)x2+4x+1=0 cuõng coù moät nghieäm döông x1 Baøi 9)Cho phöông trình 2x2+2(m+1)x+m2+4m+3=0 1.Tìm m để phương trình có ít nghiệm lớn hay 2.Gọi x1,x2 là hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x1 x 2( x1 x ) Baøi10)Cho hai phöông trình x2+3x+2a=0 (1) vaø x2+6x+5a=0 (2).Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a để phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm phương trình này có đúng nghiệm phương trình Bài11)Tìm các giá trị nguyên a,b để phương trình : x2+ax+b=0 có hai nghiệm x1và x2 thoả x1 1 1 x maõn ñieàu kieän : Bài12)Xác định m để phương trình mx2+(2m+1)x-1=0 có ít nghiệm dương Bài13)Giả sử x1,x2 là các nghiệm phương trình x2+2mx+4=0 Hãy tìm các giá trị m để x xảy đẳng thức : x2 2 x2 x1 Bài14)Tìm các giá trị a để hiệu hai nghiệm phương trình : 2x2-(a+1)x+a+3=0 Bài15)Hãy tìm các giá trị k để các nghiệm phương trình :2x2-(k+2)x+7=k2 trái dấu và là nghịch đảo giá trị tuyệt đối Bài16)Giả sử a,b là hai số thoả mãn a>b>0 Không giải phương trình abx2-(a+b)x+1=0 Hãy tính tỉ số tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm phương trình Bài17)Tìm các giá trị m để phương trình : x 2(m 1) x 9m có hai nghiệm âm (m 2) x 2mx m có hai nghiệm dương Baøi18)Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : (m 1) x 2(2m 1) x Baøi19)Cho phöông trình (m 2) x 2(m 1) x m 1.Xác định m để phương trình có nghiêïm x=-1 và tìm nghiệm còn lại 2.Xác định m để phương trình có đúng nghiệm dương Bài20)Xác định m để phương trình (x-2)[x2-2(m+1)x+m2+5]=0 có ba nghiệm phân biệt GV: An Vaên Long Lop10.com Chuùc Caùc Em OÂân Taäp Toát (7) Kiến thức đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Bài22)Tìm các giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : 1.(m+3)x4-3(m-1)x2+4m=0 ; (m-1)x4+(2m-3)x2+m-1=0 Baøi23)Cho phöông trình : x2-2(m-1)x+m2-3m+4=0 1.Xác định m để ptrình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm 2.Xác định m để x12 x 22 20 3.Xác định m để biểu thức x12 x 22 đạt giá trị nhỏ Bài24)Cho phương trình (m 4) x 2(m 2) x Tìm m để phương trình có đúng nghiệm Bài25)Cho phương trình x (m 5) x m Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x đó x1,x2 là hai nghiệm phương trình Bài26)Tìm m để phương trình (2m 1) x (m 1) x m có hai nghiệm x1,x2 cho : x1< < x2 Bài27)Tìm m để phương trình (m 4) x (m m) x 2m có hai nghiệm x1,x2 cho : x1 1 x Bài28)Tìm m để phương trình (m 1) x (2m 1) x m có nghiệm thoả điều kiện x1 <x2 Bài29)Tìm m để phương trình x (3m 1) x m có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;2) Bài30)Tìm các giá trị m để phương trình (m+1)x2-3mx+4m=0 : Coù moät nghieäm thuoäc (-1;1), coøn nghieäm nhoû hôn -1 Có nghiệm lớn Bài31) Tìm m để phương trình (m 2) x 2(m 3) x có hai nghiệm ,trong đó có nghiệm lớn còn nghiệm nhỏ Bài32)Tìm các giá trị m để số -4 nằm hai nghiệm phương trình : (m+3)x2-2(m-1)x+4m =0 Bài33)Tìm các giá trị m để phương trình (m-5)x2-(m-9)x+m-5=0 có: Hai nghiệm lớn -3 Hai nghiệm nằm -2 và Bài34)Cho phương trình (3m-5)x2-2(3m+2)x+4m-1=0 Xác định m để phương trình có : Hai nghiệm phân biệt nhỏ -1 GV: An Vaên Long Lop10.com Chuùc Caùc Em OÂân Taäp Toát (8) Kiến thức đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) và nghiệm nằm ngoài đoạn [-1;0] Bài35)Tìm m để bất phương trình sau đúng với x : x mx 2 x2 x 1 ; x mx 4 x2 x 1 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN SOÁ (OÂN CHUNG CHO LTÑH) Giaûi caùc heä phöông trình sau : x xy y 11 1) xy ( x y ) 30 x y x 16 x 4) y x y 16 y x x y y 7) x x y x xy 5 x 2y 10) x 3 x y x y x y 13 13) x y x y ; 2) 3 x y x y x2 x 1 y2 y 1 ; 5) (1 x).(1 y ) 2 x y xy 12 x y ; 6) 3 x x y y x ( x y ).1 y 1 xy x xy ; 8) y với x,y>0 ; 9) x y 1 49 x xy y xy 78 x y 1 x y x y 2 x y x ; 11) ; 12) 2 y x y x y x2 y2 x y ; 14) y x x x y x y x y y 18 x x y x y x y y GV: An Vaên Long x y ; 3) x y ; 15) 3 x y 26 16) xy y 12 ; 17) x xy 28 Lop10.com Chuùc Caùc Em OÂân Taäp Toát (9) Kiến thức đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình x x y y x y 18) 2 y xy 30 x 1 x y 35 x 21) 2 1 x y ; 19) y y 6 x x xy ( x 2)( y 2) 24 ; 22) 2 ( x 1) ( y 1) 13 x y xy 19x y 2 x y xy 7( x y ) ; 20) y4 y x ; 23) x x4 y x y x y 24) y x ; 25) 1 x x y y 26*) y x3 x x y y ; 27*) x y 1 1 x y 4 29*) x y x y (2 x x 1)( y 2) (2 y y 1)( x 2) ; 30*) x2 x y GV: An Vaên Long 4 x y 97 Lop10.com 3 x y x y ; 28*) x y x y Chuùc Caùc Em OÂân Taäp Toát (10)