đề cơng ôn tập cuối năm Môn toán lớp 9 A . Phần đại số * Những kiến thức cần nhớ 1. Căn bâc hai : x là căn bậc hai của a x 2 = a a là căn bậc hai dơng hay căn bậc hai số học của a - a là căn bậc hai âm của số a a chỉ có nghĩa ( xác định ) khi a 0 ( ) 0; bababa AA = 2 với A là một số hoặc một biểu thức chứa biến ( ) 0;0 = BABABA ( ) 0;0 >= BA B A B A ( ) 0 2 >= BBABA ( ) 0;0. 2 = BABABA ( ) 0;0. 2 <= BABABA ( ) 0;0 `1. 2 == BBABA B B BA B A ( Khử mẫu của biểu thức lấy căn ) ( ) 0 . >= B B BA B A ( Trục căn thức ở mẫu ) ( ) BABA BA BA BA = ;0;0 1 ( Trục căn thức ở mẫu ) ( ) ( ) 0= AAA n n nn AAAAAAAA 321321 = ( ) BABABA .2 2 += ( ) ( ) BABABA =+ . 2. Hàm số Khái niệm : Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x , x gọi là biến số. (Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc công thức) Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm có toạ độ (x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) nếu với mọi 21 xx < trên (a;b) ta có f( 1 x ) < f( 2 x ) * Hàm số y = f(x) nghịch biến trên ( a ; b ) nếu với mọi 21 xx < trên ( a ; b ) ta có f( 1 x ) > f( 2 x ) 3. Hàm số bậc nhất Định nghĩa : Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b Trong đó a;b là các số thực xác định và a 0 ( Khi b = 0, hàm số có dạng y = ax) Tính chất * Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R * Trên tập hợp số thực R ,hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0. Đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc tọa độ Đờng thẳng y = ax nằm trong góc ( I ) và ( III ) khi a > 0, nằm trong góc ( II ) và ( IV ) khi a < 0. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax * Xác định tọa độ điểm A(1;a) * Vẽ đờng thẳng qua O và A, đờng thẳng OA là đồ thị hàm số y = ax. Góc hợp bởi đờng thẳng y = ax và tia 0x. * Nếu a > 0 thì nhọn. * Nếu a < 0 thì tù. Đồ thị hàm số y = ax + b ( a 0 ) : Là một đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là b và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là a b * Đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) song song với đờng thẳng y = ax ( a 0 ) khi b 0 và trùng với đờng thẳng y = ax ( a 0 ) khi b = 0 * b gọi là tung độ gốc. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b ( a 0 ) ( Trờng hợp b 0 ) *Cách 1. Xác định hai điểm bất kì : - Cho x = 1 y = a + b , ta có điểm A(1 ; a+b) - Cho x = - 1 y = - a + b , ta có điểm B (- 1 ; - a + b) * Cách 2. Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ : - Cho x = 0 y = b , ta có điểm P ( 0 ; b ) - Cho y = 0 x = a b , ta có điểm Q ( a b ; 0 ) Vẽ đờng thẳng qua A và B hoặc qua P và Q ta đợc đồ thị của hàm số y = ax + b Hệ số góc của đờng thẳng Hai đờng thẳng song song Hai đờng thẳng cắt nhau Hai đờng thẳng trùng nhau : * Hai đờng thẳng song song : Đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) song song với đờng thẳng y , = a , x + b , ( b , 0 ) khi và chỉ khi a = a , và b b , * Hai đờng thẳng cắt nhau : Đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) cắt đờng thẳng y , = a , x + b , ( b , 0 ) khi và chỉ khi a a , * Hai đờng thẳng trùng nhau : Đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) trùng với đờng thẳng y , = a , x + b , ( b , 0 ) khi và chỉ khi a = a , và b = b , Hệ số góc của đờng thẳng : * Góc hợp bởi đờng thẳng y = ax + b và tia 0x - Nếu a > 0 thì nhọn , a càng lớn thì càng lớn , nhng < 90 0 - Nếu a < 0 thì tù , a càng lớn thì càng lớn , nhng < 180 0 * Các đờng thẳng song song với nhau sẽ tạo ra những góc bằng nhau. Hay các đờng thẳng có các hệ số a bằng nhau thì tạo với tia 0x những góc bằng nhau. * Ngời ta gọi a là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) và a còn gọi là hệ số về độ dốc của đờng thẳng này. 4. Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn : Định nghĩa : * Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng : ax + by = c ( 1) ( Trong đó a , b và c là các số đã biết ; a 0 hoặc b 0 ; x , y là ẩn ) * Nếu tại 0 xx = và 0 yy = mà vế trái của ( 1 ) có giá trị bằng vế phải thì cặp số ( 00 ; yx ) đợc gọi là một nghiệm của phơng trình ( 1 ) Tập hợp nghiệm và biểu diễn hình học của nó : * Phơng trình ( 1 ) có vô số nghiệm và nghiệm của nó là += b c x b a y Rx ( 2 ) * Trong công thức ( 2 ) b c x b a y += là một hàm bậc nhất với biến x nên đồ thị của nó là một đờng thẳng : - Đi qua gốc tọa độ nếu c = 0 . - Không đi qua gôc tọa độ nếu c 0. Nh vậy mỗi nghiệm của phơng trình ( 2 ) đợc biểu diễn tại một điểm trên đờng thẳng d và tập hợp nghiệm của ( 2 ) là đờng thằng d. * Nếu a = 0 ; b 0 ta có y = b c . Nên phơng trình (1) có nghiệm là : = b c y Rx Tập hợp nghiệm này là đờng thằng song song với trục hoành. Nếu a 0 ; b = 0 ta có a c x = . Nên phơng trình (1) có nghiệm là : = a c x Ry Tập hợp nghiệm này là đờng thẳng song song với trục tung. 5. Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn : Khái niệm * Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng : ( I ) =+ =+ )2( )1( ,,, cybxa cbyax Trong đó ax + by = c và a , x + b , y = c , là những phơng trình bậc nhất hai ẩn. * Nghiệm của hệ phơng trình là nghiệm chung của hai phơng trình ( 1 ) và ( 2 ) Nếu hai phơng trình này không có nghiệm chung thì hệ ( I ) vô nghiệm . *Giải hệ phơng trình là tìm tập hợp nghiệm của nó. Minh hoạ hình học *Các cặp số thoả mãn cả hai phơng trình ( 1 ) và ( 2 ) phải đồng thời nằm trên cả hai đờng thẳng ( 1 ) và ( 2 ) . Vậy chúng là điểm chung của hai đờng thẳng ( 1 ) và ( 2 ). Nh vậy ta có cách giải nh sau : -Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy đờng thẳng ( 1 ) và ( 2 ) - Xác định giao điểm ( nếu có ) của hai đờng thẳng ( 1) và ( 2 ) - Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phơng trình. *Hai đờng thẳng ( 1 ) và ( 2 ) có thể : - Cắt nhau tại 1 điểm . Hệ phơng trình ( I ) có một nghiệm duy nhất. - Song song với nhau . Hệ phơng trình ( I ) vô nghiệm . - Trùng nhau . Hệ phơng trình vô số nghiệm . Hệ phơng trình tơng đơng : * Hai hệ phơng trình gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Nghĩa là mỗi nghiệm của phơng trình này cũng là nghiệm của phơng trình kia và ngợc lại . ( Kí hiệu để chỉ sự tơng đơng là ) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số : Muốn giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số ta làm nh sau : * Nhân các vế của hai phơng trình với một số thích hợp ( nếu cần ) sao cho ẩn cùng tên trong hai phơng trình bằng nhau hay đối nhau. * Sử dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới trong đó có một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0. * Giải hệ phơng trình vừa thu đợc. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế : Muốn giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế ta làm nh sau : *Từ một trong các phơng trình của hệ biểu diễn x theo y ( hoặc y theo x ) * Dùng kết quả đó thế cho x ( hoặc y ) trong phơng trình còn lại rồi thu gọn . 6. Giải bài toán bằng cách lập hệ ph ơng trình : * Bớc 1. Chọn hai ẩn số thay thế cho hai đại lợng cha biết và đặt điều kiện cho hai ẩn đó. Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để lập nên một hệ hai phơng trình . * Bớc 2. Giải hệ phơng trình vừa tìm đợc. * Bớc 3. Đối chiếu nghiệm của hệ phơng trình với điều kiện của hai ẩn số, loại các nghiệm không phù hợp với điều kiện của hai ấn số. Sau đó trả lời . 7. Hàm số y = ax 2 ( a 0 ) * Tính chất Hàm số y = ax 2 ( a 0 ) xác định với mọi x trên tập R - Nếu a > 0 thì hàm số y = ax 2 nghịch biến khi x < 0 ; đồng biến khi x < 0. - Nếu a < 0 thì hàm số y = ax 2 đồng biến khi x < 0 ; nghịch biến khi x > 0. * Chú ý : - Nếu a > 0 thì y > 0 với mọi x 0 và y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số - Nếu a < 0 thì y < 0 với mọi x 0 và y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số . 8. Ph ơng trình bậc hai một ẩn : Định nghĩa . Phơng trình bâc hai một ẩn là phơng trình có dạng : ax 2 + bx + c = 0 ( x là ẩn số , a; b ;c là hệ số ; a 0 ) Cách giải : * Trờng hợp c = 0 , phơng trình có dạng ax 2 + bx = 0 x( a x + b ) = 0. Giải phơng trình này ta tìm đợc nghiệm của phơng trình * Trờng hợp b = 0 , phơng trình có dạng ax 2 + c = 0 x 2 = a c , muốn gải phơng trình phải khia phơng hai vế - Nếu c và a khác dấu thì a c x a c = ,0 - Nếu c và a cùng dấu thì phơng trình vô nghiệm. * Trờng hợp b và c khác 0 , giải phơng trình ax 2 + bx + c = 0 bằng cách biến đổi đa phơng trình về dạng : Vế trái là bình phơng của một tổng ( hoặc một hiệu )vế phải là một số .Sau đó giải nh trờng hợp thứ hai . Hoặc dùng công thức nghiệm. * Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) = b 2 4ac - Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm - Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = a b 2 - Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x 1 ; x 2 = a b 2 * Công thức nghiệm thu gọn : ( b = 2b , ) Ta có : , = b ,2 ac - Nếu , < 0 thì phuơng trình vô nghiệm - Nếu , = 0 thì phơng trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = a b - Nếu , > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x 1 ; x 2 = a b , 9. Hệ thức Vi - ét và ứng dụng : Hệ thức Viét: Nếu x 1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0 (a 0) Thì : a b xx =+ 21 và a c xx = 21 . ứng dụng : * Phơng trình ax 2 + bx +c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x 1 = 1 và x 2 = a c * Phơng trình ax 2 + bx +c = 0 (a 0) có a b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là x 1 = -1 và x 2 = - a c * Muốn tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P , ta chỉ cần giải phơng trình x 2 Sx + P = 0 . Nếu phơng trình có hai nghệm thì hai số đó là nghiệm của phơng trình này, nếu phơng trình vô nghiệm thì bài toán không có lời giải. 10. Ph ơng trình quy về bậc hai Phơng trình chứa ẩn ở mẫu Khi giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta làm nh sau : - Bớc 1. Tìm điều kiện xác định của phơng trình. - Bớc 2. Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu. - Bớc 3. Giải phơng trình vừa tìm đợc. - Bớc 4. Trong các giá trị tìm đợc của ẩn , loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phơng trình Phơng trình tích . Một phơng trình bậc cao muốn giải đợc thờng đa về dạng phơng trình tích. Giải phơng trình tích ta cho lần lợt các nhân tử bằng 0, nghiệm của phơng trình là tất cả các nghiệm làm cho các nhân tử bằng 0. Phơng trình trùng phơng . * Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng : ax 4 + bx 2 + c = 0 (a 0) * Cách giải : ( Bằng cách đặy ẩn phụ ) - Đặt x 2 = t ( điều kiện t > 0 ) , ta đợc phơng trình bậc hai đối với t : at 2 + bt + c = 0 - Giải phơng trình này để tìm t ( chỉ nhận những giá trị t > 0 ).Sau đó tìm x = t . 11. Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình Giải bài toán bằng cách lập phơng trình thờng qua những bớc sau : * Bớc 1. Đặt phơng trình - Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số. - Dùng ẩn số và các đại lợng đã biết biểu thị các đại lợng cha biết , đặt phơng trình là biểu thị mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán. * Bớc 2. Giải phơng trình : Giải phơng trình vừa tìm đợc để tìm nghiệm của phơng trình. * Bớc 3. Trả lời : Căn cứ vào điều kiện của ẩn số , giữ lại những nghiệm của phơng trình thoả mãn điều kiện của ẩn số và đó là lời giải của bài toán . . của đờng thẳng Hai đờng thẳng song song Hai đờng thẳng cắt nhau Hai đờng thẳng trùng nhau : * Hai đờng thẳng song song : Đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) song song với đờng thẳng y , = a , x. nghiệm này là đờng thằng song song với trục hoành. Nếu a 0 ; b = 0 ta có a c x = . Nên phơng trình (1) có nghiệm là : = a c x Ry Tập hợp nghiệm này là đờng thẳng song song với trục tung. 5 thì nhọn , a càng lớn thì càng lớn , nhng < 90 0 - Nếu a < 0 thì tù , a càng lớn thì càng lớn , nhng < 180 0 * Các đờng thẳng song song với nhau sẽ tạo ra những góc bằng nhau. Hay