Đang tải... (xem toàn văn)
LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 8 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 8 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 8 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 8 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 8 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 8 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 8
LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN LỚP ƠN TẬP LÍ THUYẾT Các cơng thức lũy thừa: an = a.a a 123 n thua so m n an a m = (n a ) m = a n am.an = am+ n n k a = nk a 10 m a n (am)n = (an)m = am.n a0 = ∀a ≠ a− n = a an ( )n = b bn a − m− n =a a m n = 11 n n n (a.b) = a b n 12 m an = n m a a, voi n = 2k + a = a voi n = 2k n Bảy đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2+2AB+B2 (A-B)2 = A2-2AB+B2 A2-B2 = (A+B)(A-B) (A+B)3= A3+3A2B+3AB2 +B3 (A+B)3= A3+B3 +3AB(A+B) (A-B)3= A3-3A2B+3AB2 -B3 (A-B)3= A3-B3 -3AB(A-B) A3+B3= (A+B)(A2-AB+B2) A3-B3= (A-B)(A2+AB+B2) 2 2 (a1+a2+a3+ +an-1+an)2 = a1 + a2 + a3 + + an + 2a1a2 + 2a1a3 + + 2a1an + 2a2a3 + an−1an an + bn =(a+b)(an-1 – an-2 b + an-3.b2+ + bn-1) ĐƠN THỨC-ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN: - Đơn thức: biểu thức gồm số, biến tích số biến: VD: 3; 3xy; … - Bậc đơn thức tổng số mũ biến: VD: 3xy2z3: bậc - Đơn thức đồng dạng: đơn thức giống phần biến khác hệ số LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP - Đa thức: tổng đơn thức, bậc đa thức bậc đơn thức cao DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA ĐA THỨC: PP: - Cộng, trừ đơn thức ta cộng hệ số giữ nguyên phần biến Cộng trừ đa thức ta cộng đơn thức đồng dạng với Nhân(chia) hai đơn thức ta nhân (chia) phần hệ số cho hệ số, biến cho biến Nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức Nhân hai đa thức: ta lấy hạng tử đa thức nhân với hạng tử đa thức Chia hai đa thức ta xắp xếp theo lũy thừa giảm dần rôi thực phép chia BÀI TẬP: NHÂN ĐA THỨC Bài 1: Thực phép tính sau: (x2 – 1)(x2 + 2x) (x + 3)(x2 + 3x – 5) (2x − 1)(3x + 2)(3– x) a) b) (x + 1)(x2 – x + 1) c) (2x3 − 3x − 1).(5x + 2) (x2 − 2x + 3).(x − 4) e) d) f) Bài 2: Thực phép tính sau: −2x3y(2x2 – 3y + 5yz) a) (x – 2y)(x2y2 − xy + 2y) b) 2 x y.(3xy – x2 + y) c) (x – y)(x + xy + y ) (2x + 3y) a) f) e) ( x − 3).( x + x + 9) i) Bài 4: Cho a) (2x + y ) (5x – y) a+ b = S A = a2 + b2 c) 2 x − 3 d) b) 2 2 x + y ÷ x − y÷ y÷ (3x2 – 2y)3 g) (x − 3y)(x2 + 3xy + 9y2) h) (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) (x + 2y + z)(x + 2y – z) k) ab = P f) b) 1 x+ ÷ 4 1 xy – 1÷.(x – 2x – 6) 2 d) e) Bài 3: Thực phép tính cách sử dụng đẳng thức: 2 xy(x2y – 5x + 10y) l) Hãy biểu diễn theo S P, biểu thức sau đây: B = a3 + b3 c) C = a4 + b4 (5+ 3x)3 m) LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP Bài 5: Cho a+b+c=0, Chứng minh M=N=P M=a(a+b)(a+c); N=b(b+a)(b+c); P=c(c+a)(c+b) Bài 6: Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 28 chữ số 1, chứng minh a.b-1 chia hết cho Bài 7: Số 350+1 có phải tích số tự nhiên liên tiếp khơng Bài 8:Thực phép tính: (−2)5 :(−2)3 (− y)7 :(− y)3 a) x12 :(− x10) b) (2x6) :(2x)3 c) (−3x)5 :(−3x)2 d) Bài 9: Thực phép tính: (xy2)4 :(xy2)2 e) f) (x + 2)9 :(x + 2)6 (x2 + 2x + 4)5 :(x2 + 2x + 4) b) (x-y)4: (x-y)3 a) 2(x2 + 1)3 : (x2 + 1) 5(x − y)5 : (x − y)2 6xy2 :3y 6x2y3 : 2xy2 d) e) Bài 10: Thực phép tính: a) 8x2y : 2xy b) 5x2y5 : xy3 c) (−4x4y3) : 2x2y d) g) c) e) 3 2 x y : − x y ÷ xy3z4 :(−2xz3) f) 9x2y4z :12xy3 (2x3y)(3xy2) : 2x3y2 h) i) (3a2b)3(ab3)2 (2xy2)3(3x2y)2 (a2b2)4 (2x3y2)2 k) l) Bài 11:Thực phép tính: (2x3 − x2 + 5x) : x (3x4 − 2x3 + x2):(−2x) a) b) (x3 – 2x2y + 3xy2): − x÷ d) Bài 12:Thực phép tính: 3 e) c) 3(x − y)5 − 2(x − y)4 + 3(x − y)2 : 5(x − y)2 2 (3x y + 4x y − 5x y ) : 2x y a) (−2x5 + 3x2 – 4x3) : 2x2 b) 3 5 3 a x + a x − ax ÷: ax 10 5 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP (9x2y3 − 15x4y4) :3x2y − (2 − 3x2y)y2 c) (6x2 − xy) : x + (2x3y + 3xy2): xy − (2x − 1)x d) e) (x2-xy):x + (6x2y5-9x3y4+15x4y3): x2y3 Bài 13: Thực phép tính: (x3 – 3x2) :(x – 3) a) (2x2 + 2x − 4) :(x + 2) b) (x4 – x – 14) :(x – 2) c) (x3 − 3x2 + x − 3) :(x − 3) d) (x3 + x2 – 12) :(x – 2) e) (2x3 − 5x2 + 6x – 15) :(2x – 5) f) (−3x3 + 5x2 − 9x + 15) :(5− 3x) g) Bài 14: Thực phép tính: (− x2 + 6x3 − 26x + 21) :(2x − 3) h) (2x4 − 5x2 + x3 − 3− 3x) :(x2 − 3) a) (x5 + x3 + x2 + 1) :(x3 + 1) b) (2x3 + 5x2 – 2x + 3) :(2x2 – x + 1) c) (8x − 8x3 − 10x2 + 3x4 − 5) :(3x2 − 2x + 1) d) (− x3 + 2x4 − − x2 + 7x) :(x2 + x − 1) e) Bài 15: Thực phép tính: (5x2 + 9xy − 2y2) :(x + 2y) (x4 − x3y + x2y2 − xy3) :(x2 + y2) a) b) (4x5 + 3xy4 − y5 + 2x4y − 6x3y2) :(2x3 + y3 − 2xy2) c) Bài 16: Thực phép tính: (2a3 + 7ab2 − 7a2b − 2b3) :(2a − b) d) (2x + 4y)2 :(x + 2y) − (9x3 − 12x2 − 3x) :(−3x) − 3(x2 + 3) a) (13x2y2 − 5x4 + 6y4 − 13x3y − 13xy3) :(2y2 − x2 − 3xy) b) Bài 17: Cho x,y nguyên: a) Cho 5x+y 19 Chứng minh A=4x-3y 19 b) Cho 4x+3y 13 Chứng minh rằng: B=7x+2y 13 Bài 18: a) Cho số lẻ lien tiếp, Chứng minh hiệu tích hai số cuối với tích hai số đầu chia hết cho 16 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP b) Cho số nguyên lien tiếp Hỏi tích số đầu với số cuối nhỏ tích hai số đơn vị? c) Cho số nguyên liên tiếp, giả sử tích số đầu với số thứ ba nhỏ tích số thứ hai số thứ tư 99 Tìm bốn số ngun đó? Bài 19: Cho b+c=10 Chứng minh (10a+b)(10a+c)=100a(a+1) +bc Áp dụng: Tính 62.68; 43.47 Bài 20: ĐÁP SỐ Bài 1: a,( x2-1)(x2+2x)=x2(x2+2x)-1(x2+2x)=x4+2x3-x2-2x b, -6x3+17x2+5x-6 c, x3+6x2+4x-15 d, x3+1 e, 10x4+4x3-15x2-11x-2 f, x3-6x2+11x-12 Bài 2: a, -4x5y+6x3y2-10x3y2z b, x3y2-x2y+2xy-2x2y3+2xy2-4y2 c, x3y2-2x2y+4xy2 d, 2x3y2- x4y +x2y2 e, x3-y3 f, x4y-x2y-3xy-x3+2x+6 Bài 3: a, 4x2+12xy+9y2 b, 25x2-10xy+y2 c, 8x3+12x2y2+6xy4+y6 d, x4 - y2 e, x2+ x+ f, x6 - x4y + x2y2 - y3 g, 27x6-54x4y+36x2y2-8y3 h, x3-27y3 i, x6-27 k, x2+4y2-z2+4xy l, 8x3-1 m, 125+225x+135x2+27x3 Bài 4: a, a2+b2= (a2+2ab+b2)-2ab=(a+b)2-2ab=S2-2P b, a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=S(S2-2P-P)=S3-3PS ( thay a2+b2=S2-2P) c, a4+b4= a4+2a2b2+b4-2a2b2=(a2+b2)2-2a2b2=(S2-2P)2-2S2 Bài 5: Vì a+b+c=0 nên a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a Ta có: M=a.(-c)(-b)=abc; N=b(-c)(-a)=abc; P=c(-b)(-a)=abc Vậy M=N=P Bài 6: a chia dư nên a=3m+1, b chia dư nên b=3n+1 Suy ra: a.b-2=(3m+1)(3n+1)-1=9mn+3n+3m+1-1=9mn+3n+3m chia hết cho đpcm Bài 7: số chia dư nên khơng tích số liên tiếp Bài 8: a, (-2)2=4 b, y4 c, -x2 d, x3 e, (-3x)3 f,( xy2)2=x2y4 Bài 9: a, (x+2)3 b, x-y c, (x2+2x+4)4 d, 6(x2+1)2 e, 6(x-y)3 Bài 10: LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP a, 2xy b, 3xy c, 4x d, 5xy2 e, -2x2y2 f, -1/2y3z g, -3/2xy h, 3/4xyz i, 3xy Bài 11: a, 2x2-x+5 b, -3/2.x3+x2-1/2.x c, -x3+3/2-2x d, -2x2+4xy-6y2 e, 3/5.(x-y)3-2/5.(x-y)2+3/5 Bài 12: a, 3/2.x3+2xy-5/2.y2 b, a5+5/7.a2x-3/2.x2 c, y2-2x2y3 d, 7x+2y e, x-y+4y2-6xy+10x2 Bài 13: a, x2 b, 2(x-1) c, x3+2x2+4x+7 d, x2+1 e, x2+3x+6 f, x2+3 g, x2+3 h, 3x2+4x-7 Bài 14: Các em xắp xếp lại đa thức bị chia theo lũy thừa giảm dần thực phép chia dùng phương pháp phân tích thành nhân tử: a, 2x2+x+1 b, x2+1 c, x+3 d, x2-2x-5 e, 2x2-3x+4 Bài 15: Các em dùng phép chia phân tích đa thức thành nhân tử: a, 5x-y b, x2-xy c, 2x2+xy-y2 d, a2-3ab+2b2 Bài 16: a, 4(x+2y)-(-3x2+4x-1)-3x2-9=8y-8 b, 5x2-2xy+3y2 Bài 17: a, Vì 5x+y 19 nên 3(5x + y) 19 Ta có: 19x 19 nên 19x-3(5x+y) 19 hay 4x-3y 19 b, Ta có: 3B-2(4x+3y)=13x 13 mà 2(4x+3y) 13 nên 3B 13 Mà ƯC(3;13)=1 nên B 13 Bài 18: a, Gọi số lẻ 2n+1; 2n+3; 2n+5; 2n+7 Ta có: hiệu tích hai số cuối với tích hai số đầu là: (2n+7)(2n+5)-(2n+1)(2n+3)=(4n2+24n+35)-(4n2+8n+3)=16n+32 16 đpcm b, Gọi số nguyên liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 Ta có: (n+1)(n+2)-n(n+3)=2 Vậy tích số đầu với số cuối nhỏ tích hai số đơn vị c, Tương tự câu c, ta có: (n+1)(n+3)-n(n+2)=99 suy 2n+3=99, n=48 Bài 19: Ta có: (10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc= 100a2+100a+bc=100a(a+1) +bc Áp dụng: 62.68=(10.6+2)(10.6+8)=100.6(6+1)+2.8=4200+16=4218; 43.47=(10.4+3)(10.4+7)=…… DẠNG : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: PP: - Ta rút gọn biểu thức, sau thay giá trị x vào biểu thức rút gọn LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP - Chú ý tốn có quy luật: để tính giá trị biểu thức x=a ta thường phân tích thừa số để suất tích (x-a) BÀI TẬP: Bài 1: Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: A = (x − 2)( x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16) a) với x= B = (x + 1)(x7 − x6 + x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1) b) với C = (x + 1)( x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1) c) với D = 2x(10x2 − 5x − 2) − 5x(4x2 − 2x − 1) với d) x= x= x = −5 HD: a, Thực phép nhân đa thức rút gọn ta được: A=x5-32 nên A(3)=35-32=211 Tương tự: b, B=x8-1 nên B(2)=255 c, C=x7+1 nên C(2)=129 d, D= x nên D(-5)=-5 Bài 2: Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: 2 x = 2, y = − A = (x − x y + xy − y )(x + y) a) với B = (a − b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) b) a = 3, b = −2 với C = (x2 − 2xy + 2y2)(x2 + y2) + 2x3y − 3x2y2 + 2xy3 với c) HD: Thực phép nhân đa thức rút gọn ta được: a, A=x4-y4 Thay x=2; y=-1/2 ta A=255/16 b, B=a5-b5 nên B=275 c, C=x4+2y4 nên C=3/16 Bài 3: Tính giá trị đa thức: 1 x = − ,y = − 2 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP P (x) = x7 − 80x6 + 80x5 − 80x4 + + 80x + 15 a) với Q(x) = x14 − 10x13 + 10x12 − 10x11 + + 10x2 − 10x + 10 b) với R(x) = x4 − 17x3 + 17x2 − 17x + 20 c) với P(79) = 94 x = 79 HD: x= Q(9) = HD: x = 16 S(x) = x10 − 13x9 + 13x8 − 13x7 + + 13x2 − 13x + 10 với d) x = 12 e) L(x)=x6-20x5-20x4-20x3-20x+3 với x=21 HD: a, P(x)=x7-79x6-x6+79x5+x5….+79x+x+15=x6(x-79)-x5(x-79)… -x(x-79)+x+15 P(79)=79+15=94 b, Q(x)=x14-9x13-x13+9x12+x12….-9x-x+10=x13(x-9) – x12(x-9)……+x(x-9) – x+10 Q(9)=-9+10=1 c, R(x)=x3(x-16)-x2(x-16)+x(x-16)-x+20 nên R(16)=-16+20=4 d, S(x)=x9(x-12)-x8(x-12)… +x(x-12) – x +10 nên S(12)= -12+10=-2 e, L(x)=x6-21x5+x5-21x4+x4…+x2-21x +x+3=x5(x-21)+x4(x-21)….+x(x-21)+x+3 nên L(21)=21+3=24 Bài 4: Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức: A = x3 + 3x2 + 3x + x = 19 B = x3 − 3x2 + 3x a) với b) HD: a) A=(x+1)3+5 nên A(19)=(19+1)3+5=8005 b) B=(x3-3x2+3x-1)+1=(x-1)3+1 nên B(11)=(11-1)3+1=1001 Bài 5: Cho x+y=9 ; xy=14 Tính: 2 với x = 11 a) x-y ; b) x +y ; c)x +y HD: a, Đặt P=x-y suy P2=(x-y)2=x2+y2-2xy=(x2+2xy+y2)-4xy=(x+y)2-4xy=92-4.14=25 nên P= P=-5 b, x +y2=(x2+2xy+y2)-2xy=(x+y)2-2xy=92-2.14=53 c, x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=9(53-14)= 351 Bài 6: Cho x>y>0; x-y=7; x.y=60 Khơng tính x,y tính giá trị biểu thức sau: A=x2-y2 B=x4-y4 HD: Ta có: (x+y)2=(x-y)2+4xy=72+4.60=289 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP nên x+y=17 x+y=-17 A=(x-y)(x+y) Với x-y=7 x+y=17 A=119 Với x-y=7 x+y=-17 A=-119 B=(x2-y2)( x2+y2) Ta có: x2+y2=(x+y)2-2xy=289-2.60=169 Với x2-y2=119 x2+y2=169 B=20111 Với x2-y2=-119 x2+y2=169 B=-20111 Bài 6: Tính giá trị: A= x3+9x2+27x+27 x=-103 B= x3-15x2+75x x=25 C= (x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1) x=-3 D=2(x3-y3)-3(x+y)2 với x-y=2 HD: A=(x+3)3 nên A(-103)=( -103+3)3=-1000000 B=x3-3.x2.5+3.x.52-53 +75=(x-5)3+75 nên B(25)=(25-5)3+75=8075 C=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6-1 nên C(-3)=(-3)6-1=728 D=2(x-y)(x2+xy+y2)-3(x2+2xy+y2)=4(x2+xy+y2)-3(x2+2xy+y2)= x2-2xy+y2=(x-y)2=4 DẠNG 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM NGHIỆM ĐA THỨC: PP: - Dùng phân tích, đặt nhân tử chung đưa tốn tìm x - Chú ý trị tuyệt đối, căn, dạng tích, dạng tổng bình phương, dạng phương trình - bậc 2, bậc nhẩm nghiệm dùng phương pháp tách Nghiệm nguyên đa thức ước số hạng tự Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên đa thức: f(x)=2x 4+7x3-2x2-13x+ phân tích đa thức thành nhân tử Hạng tử tự 6; Ư(6)=+ ±1; ±2; ±3; ±6 Có:f(-1)=2-7-2+13+6=12 ≠ nên -1 nghiệm đa thức f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 nghiệm đa thức f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 nghiệm đa thức f(1)=2+7-2-13+6=0 nên nghiệm đa thức f(2)=32+56-8-26+6=60 ≠ nên nghiệm đa thức f(3)=162+189-18-39+6=300 ≠ nên nghiệm đa thức LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN LỚP Đa thức có nghiệm hữu tỷ mẫu số phải ước 2, Do 1,2,-1,-2 mẫu số nghiệm Nên −1 −3 ; ; ; 2 2 nghiệm đa thức 1 1 f( ) = + − − 13 + = 16 2 Suy nghiệm đa thức Vì đa thức f(x) có bậc nên có tối đa nghiệm, suy nghiệm là: 1;-2;-3; *Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-2;x+2;x+3;x- =>f(x)= 2(x-1)(x+2)(x+3)(x- ) Ví dụ : Tìm nghiệm đa thức phân tích đa thức thành nhân tử: f(x)=x3-6x2+11x-6 Hạng tử tự do:6 ⇒ Ư(6)= ±1; ±2 ;+-3 ; ±6 f(1)=1-6+11-6=0 => nghiệm f(x) f(2)=8-24+22-6=0 => nghiệm f(x) f(3)=27-54+33-6=0 => nghiệm f(x) Vì đa thức f(x) có bậc nên có tối đa nghiệm, suy nghiệm 1,2,3 Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3 ⇒ f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3) BÀI TẬP: Tìm x a) b) c) d) e) f) 3x(12x-4)-9x(4x-3)=30 x(5-2x)+2x(x-1)=15 (12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x)=81 (x+2)2=9 (x+2)2-x2+4=0 (2x-1)2+(3y-9)2=0 HD: a, x=2 b, x=3 c, x=1 d, x=1 x=-5 10 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP H a) Chứng minh: AA.AH = AB.AC b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC Chứng minh: A′A = 3A′B.A′C HD: a) Chứng minh BAH ∽ BBC, CAA ∽ CBB Bài 15 b) GH // BC A′H = A′A Cho hình thang KLMN (KN // LM) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ 1 = + đường thẳng song song với LM, cắt MN F Chứng minh: EF KN LM EF EF , HD: Tính tỉ số LM KN Bài 16 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh: AF BE CN + + =1 AB BC CA AF KC CN KE = , = HD: Chứng minh AB BC CA BC đpcm Bài 17 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, OA′ OB′ OC′ + + =1 AA′ BB′ CC′ CA, AB A, B, C Chứng minh: SBOC OA′ OA′ OI SBOC = OI = = SABC AH SABC AA′ ′ AA AH HD: Vẽ AH BC, OI BC ; Tương tự: Bài 18 SCOA OB′ SAOB OC′ = , = SABC BB′ SABC CC′ đpcm Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng PB QC RA =1 PC QA RB minh đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy O (định lí Ceva) HD: Qua C A vẽ đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP E cắt đường 164 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP PB OB RA AD QC EC = , = , = PC EC RB OB QA AD đpcm thẳng CR D Chứng minh Bài 19 Trên đường thẳng qua cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R (không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng PB QC RA =1 hàng PC QA RB (định lí Menelaus) HD: Gọi khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR m, n, p PB n QC p RA m = , = , = PC p QA m RB n đpcm Ta có: Bài 20: Cho DEG vng D có DE=6cm, DG=8cm, đường cao DH a Chứng minh GEDDEH DE2=EH.EG b Tính EG, DH c Phân giác góc DEG cắt DG K, tính EK HD: a, GEDDEH (g.g) nên b, Dùng Pytago cho tam giác DEG tính EG=10cm, Theo a) suy : từ tính DH=4,8cm c, Dùng Pytago cho tam giác DEK tính EK= Bài 21: Cho hình bình hành MNPQ có E trung điểm PQ, G trọng tâm MPQ, F thuộc cạnh MQ cho FG//NM a b Tính tỉ số Chứng minh QGE NGM tìm tỉ số đồng dạng HD: a, FG//QE nên (tính chất trọng tâm) b, QGE NGM (g.g) tỉ số đồng dạng k= Bài 22: Cho hình bình hành ABCD, F thuộc BC Tia AF cắt BD DC E G CMR: a BEF DEA DGE BAE b AE2=EF.EG c BF.DG không thay đổi HD: a, BEF DEA (g.g) DGE BAE(g.g) b, Theo a) suy c, BEF DEA nên ; DGE BAE nên suy hay BF.DG=AD.AB (không đổi) Bài 23: Cho ABC nhọn có đường cao AD,BE,CF cắt H a Chứng minh AB.AF=AC.AE b Chứng minh AEF ABC 165 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP c Chứng minh d Chứng minh EH phân giác ( hai cách) e Chứng minh BH.BE+CH.CF=BC2 f Cho AE=3cm, AB=6cm, AH=5cm: Chứng minh dt(ABC)=4.dt(AEF); Tính dt(BEC); kẻ HM//AC Tính HM g Chứng minh : HD: a, ABE ACF (g g) nên ; b, Xét AEF ABC có góc A chung nên AEF ABC (c.g.c) c, Vì AEF ABC nên d, Theo câu b) suy ra: ; Chứng minh tương tự câu b) suy ra:CED CBA nên => mà nên e, BHD BCE (g.g) nên BH.BE=BD.BC.(1) ; CHD CBF nên CH.CF=BC.CD (2) cộng vế (1) (2) ta được: BH.BE+CH.CF=BC(CD+DB)=BC2 f, Vì AEF ABC(g.g) theo tỉ số đồng dạng - Dùng Pytago cho AEB EAH tính EB= ; EH=4cm Suy Vì ABE HCE theo tỉ số k= suy EC=2.:EB= Từ tính g, Bài 24: Cho ABC vuông A, đường cao AH, AB=5cm, AC=12cm, Gọi D, E hình chiếu H AB,AC a Tính BC,DE b Chứng minh ACB ADE c Đường vng góc với DE D E cắt BC M N, Chứng minh M trung điểm BH, N trung điểm CH d Chứng minh BN2-CN2=AB2 HD: a, Pytago cho ABC: AB2+AC2=BC2 Thay số BC=13cm Ta có: EHDA hình chữ nhật nên AH=ED, mà AH.CB=AB.AC => AH= b, => ACB ADE (g.g) c, Từ (1)(2) suy N trung điểm HC Chứng minh tương tự M trung điểm HB d, BN2-CN2=(BN+CN)(BN-CN)=BC.BH (3) mà ABC HBA(g.g) nên (4) Từ (3)(4) suy BN2-CN2=AB2 đpcm Bài 25: Cho ABC vuông A, đường cao AH, a Chứng minh AHB CAB b Phân giác BD cắt AH E, cho AB=12cm, BC=16cm, Tính tỉ số diện tích EBH/DBA c Chứng minh EA.DA=EH.DC 166 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP d Giả sử ABC vuông cân A, lấy M trung điểm AC, đường thẳng qua A vng góc BM cắt BC F, chứng minh BF=2FC HD: a, = => AHB CAB(g.g) b, Dùng Pytago cho ABC : AB2+AC2=BC2 => AC=4 Có AH.BC=AB.AC => AH=3 mà AH2+HB2=AB2 nên HB= 9cm Xét EBH DBA có (phân giác DB) nên EBH DBA(g.g) theo tỉ số k= nên c, d, Bài 26: Cho ABC trung tuyến AD, AB=4cm, AC=8cm qua B dựng đường thẳng cắt AC F cho a b c Chứng minh: ABF ACB Chứng minh : Gọi O giao BF AD, CO cắt AB E, Từ A,C dựng đường thẳng song song với BF cắt CO J cắt AD I Chứng minh FC.JA=CI.FA HD: a, ABF ACB(g.g) chung, => AF=2cm nên FC=6cm, b, Vì 2DC=BC nên c, Vì OF//IC nên Dùng tính chất đường đồng quy: Bài 27: Cho hình chữ nhật ABCD kẻ AH vuông BD a Chứng minh AHD BDC BC2=DH.DB b Gọi S trung điểm BH, R trung điểm AH Chứng minh: SH.BD=SR.DC c Gọi T trung điểm DC chứng minh DRST hình bình hành d Tính HD: Bài 28: Cho ABC vng A có góc B=2C, đường cao AD a Chứng minh: ADB ABC b Kẻ phân giác góc B cắt AD F cắt AC E CMR: AB 2=AE.AC c Chứng minh: d Cho AB=2BD, Chứng minh : HD: Bài 29: Cho ABC nhọn , M N trung điểm BC AC Đường trung trực BC AC cắt O Qua A kẻ đường thẳng // với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt H Gọi G trọng tâm ABC a ABH đồng dạng với tam giác nào? 167 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP b Chứng minh HAG OMG c Chứng minh H,G,O thẳng hàng HD: Bài 30: Cho ABC vuông B, đường cao BK a Chứng minh AKB ABC b Chứng minh AK.BC=AB.BK c Cho AB=15cm, BK=12cm, - Tính AK,KC,BC - Kẻ KM vuông AB M, KN vuông BC N, gọi O giao điểm BK MN, trung tuyến BQ tam giác ABC cắt MN I Tính diện tích BOI HD: Bài 31: Cho ABC nhọn, hai đường cao AK BH cắt O a Chứng minh AKC BHC từ suy ra: CH.CA=CK.CB b Chứng minh CHK CBA c Cho HD: c, nên HK=1/2AC( cạnh đối diện với góc 300) mà CHK CBA theo k= Nên => Bài 32: Chu vi tam giác ABC cân A 80cm, phân giác góc A góc B cắt I, AI cắt BC D Cho Tính cạnh ABC HD: Bài 33: Cho ABC, lấy D BC cho DC=2DB Qua D kẻ đường thẳng //AC cắt AB F, qua D kẻ đường thẳng //AB cắt AC E, gọi M trung điểm AC a So sánh b Chứng minh EF//BM c Giả sử: , Tìm k để EF//DC HD: Bài 34: Cho ABC điểm D cạnh AB, đường thẳng qua D song song BC cắt AC E cắt đường thẳng qua C song song với AB G, BG cắt AC H, qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt BC I a CMR: DA.EG=DB.DE b HC2=HE.HA c HD: a, nên DE.DB=DA.EG b, nên HC2=HA.HE 168 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP c, nên chia vế cho CG.AB ta được: a mà BG.IH=HB.GC nên Vậy đpcm Bài 35: Cho hình vng ABCD điểm E BC Kẻ Ax vuông AE cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Qua E kẻ đường thẳng song song AB cắt AI G a Chứng minh AE=AF b Tứ giác EGFK hình thoi c FIK đồng dạng FCE d chu vi tam giác ECK không đổi E chuyển BC HD: a, => FAD=EAB(ch-gn) nên AE=AF b, AEF cân nên AI trung trực FE, Vì GE//FK nên => IEG=IFK nên GI=IK mà GK vng góc FE nên EGFK hình thoi c, Xét FIK FCE Có: FIK đồng dạng FCE (g.g) d, Theo b) ta có: EK=KF=DK+DF=DK+BE( theo câu a DF=BE) Ta có: EC+CK+KE=EC+CK+(BE+DK)=DC+BC=2BC không đổi Bài 36: Cho ABC vuông A, AB=8cm, AC=6cm, phân giác AD, a Tính CD BD b Từ D kẻ DE DF vuông góc với AB AC Tính chu vi diện tích AEDF HD: a, Dùng Pytago: BC2=AB2+AC2 nên BC=10cm, Vì AD phân giác nên : nên CD=cm; DB= cm b, CFD CAB nên FD=AB.CD/CB=24/7 cm BED BAC nên DE=CA.DB/BC=24/7 cm Chu vi : 96/7 cm, diện tích: 576/47 cm2 Bài 37: Cho ABC có AC>AB, phân giác AD, Qua C kẻ Cx cho tia CB nằm hai tia CA Cx , AD giao Cx E a DCE DAB b EBC cân c ABD AEC từ suy ra: AB.AC=AD2+ BD.DC HD: a, Xét DCE DAB có: (gt) (đối đỉnh) nên DCE DAB(g.g) b, Xét DEB DCA có: (theo câu a) (đối đỉnh) nên DEB DCA Suy ra: mà AD phân giác nên Vậy EBC cân c, Vì DCE DAB nên nên ABD AEC(g.g) Có: nên AB.AC=AD.AE=AD(AD+DE)=AD2+AD.DE mà AD.DE=DB.DC suy ra: AB.AC=AD2+BD.DC Bài 38: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, kẻ BH, CM, CN, DI vng góc với AC, AB, AD, AC 169 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP a Chứng minh AH=CI b Chứng minh : AB.CM=CN.AD c Tứ giác BIDH hình gì? d AD.AN+AB.AM=AC2 HD: a, Xét AHB CID có AB=CD nên AHB = CID(ch-gn) => AH=CI b, nên hay AB.CM=AD.CN (đpcm) c, Theo câu a, BH=ID BH//ID ( vuông góc AC) nên BIDH hình bình hành d, ANC nên AD.AN=AC.AI (1) ACM nên AB.AM=AC.AH mà AH=IC nên AB.AM=AC.IC (2) Lấy (1)+(2) theo vế ta được: AD.AN+AB.AM=AC.AI+AC.IC=AC(AI+IC)=AC (đpcm) Bài 39: Cho ABC vuông A, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài 9, gọi D E hình chiếu H lên AB, AC a Tính AB, AC, DE b Các đường vng góc với DE D E cắt BC M N, Chứng minh M trung điểm BH, N trung điểm CH c Tính diện tích DEMN HD: a, BAC nên AC 2=CH.CB=4.13=52 nên AC=cm, Tương tự: AB 2=HB.BC=9.13=117 nên AB=cm Ta có AH=DE( AEHD hình chữ nhật) mà AH2=AC2-CH2 (pytago) nên AH=6cm hay DE=6cm b, (cùng phụ ) mà (cùng phụ ) nên suy DM đường trung tuyến DHB nên M trung điểm BH Chứng minh tương tự: N trung điểm HC c, DEMN hình thang vng nên: với EN=CH:2=2cm, DM=HB:2=4,5cm DE=6cm Suy =19,5cm2 Bài 40: Cho ABC vuông A, đường cao AH, gọi E, F hình chiếu H lên AB AC a Chứng minh AEFH hình chữ nhật b Chứng minh AE.AB=AF.AC c Đường thẳng qua A vng góc với EF cắt BC I, Chứng minh I trung điểm BC d Chứng minh rằng: Nếu diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật tam giác ABC tam giác vuông cân HD: Bài 41: Cho ABC đường cao BK CI cắt H, đường thẳng kẻ từ B vng góc với AB đường thẳng kẻ từ C vng góc với AC cắt D a b Chứng minh BHCD hình bình hành Chứng minh : AI.AB=AK.AC 170 LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP c d Chứng minh AIK ACB ABC có thêm điều kiện để đường thẳng DH qua A? Khi tứ giác BHCD hình gì? HD: Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB//CD, góc A D vng, AB=2cm, AD=CD=8cm, a Tính BC b Gọi O trung điểm AD, chứng minh BOC vuông c Chứng minh AOB DOC; ABO OBC HD: Bài 43: Cho ABC đều, gọi O trung điểm BC Tại O dựng góc xOy=60 0, Ox cắt AB M, Oy cắt AC N a BOM CNO b BC2=4BM.CN c BOM ONM OM phân giác góc BMN d Chứng minh ON2=CN.MN HD: Bài 44: Cho ABC vng C( AC