Phương pháp 2 Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các hằng đẳng thức véc tơ và thường phối hợp với phương pháp 1.. Phương pháp 4 Sử dụng biểu thức tọa độ.[r]
(1)BÁM SÁT TOÁN 10 Tuần 10,11,12 TÍCH VO HƯỚNG CỦA HAI VECTO Phương pháp r r r r r r Sử dụng định nghĩa : đưa hai véc tơ a vàb cùng gốc để xác định góc ( a ,b ) tính a b = r r a b r r cos( a ,b ) Phương pháp Sử dụng các tính chất tích vô hướng, các đẳng thức véc tơ và thường phối hợp với phương pháp Phương pháp uuur uuur uuur uuuuur uuur uuur Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ AB và CD , ta có : AB CD uuu = AB C ' D ' = AB CD r Trong đó C’,D’ là hình chiếu C và D trên đường thẳng chứa véc tơ AB Phương pháp Sử dụng biểu thức tọa độ VÝ dôuuu 1:r Cho tam gi¸c c©n ABC t¹i A,¢= 120 , AB=AC=a, I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp a) uur uuur uur uuur uuur uuur uur uur uuur tÝnh AB CA ; AB I H ; b)tÝnh AB BC + BC CA + CA AB gi¶i: A a) uuur uur uuur uur AB CA =a2cos( AB , CA )=a2cos60= a2 BC=2BH=2ABsin60= I 3a B ¸p dông c«ng thøc: IH= r = uuur uur VËy AB I H =a uuur uuur a cos 60o = 4(2 + 3) r uuur uur H C SVABC a sin 120 a = = p 2(2a + a 3) 4a(2 + 3) uuur o a2 8(2 + 3) uur b) AB + BC + CA = ( AB + BC + CA )2=0 uuur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur uuur uur uur uuur AB2+BC2+CA2+2( AB BC + BC CA + CA AB )=0 AB BC + BC CA + CA AB = VÝ dô 2: Cho tam gi¸c ABC cã BC=a, AB=c, CA=b uuur uuur tÝnh ABuuu rACuuurtheouuua, b, c r uur uur uuur suy AB BC + BC CA + CA AB uuur uuur Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos( AG , BC ) Gi¶i: uuur uuur uuur uuur uuur Ta cã BC2= BC =( AC - AB )2=AC2+AB2-2 AC AB uuur uuur uur uuur CA AB Do đó AC AB = (AC + AB - BC ) = b) Tõ (1) : Tương tự: uuur uuur AB BC = = (b2+c2-a2) 2 2 (a -b -c ) (b2-c2-a2) Vµ uuur uur BC CA = Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com (1) Ghi nhí c«ng thøc (1) 2 (c -a -b ) 5a 2 (2) BÁM SÁT TOÁN 10 uuur uuur uuur uuur uuur uur AB BC + AB BC + BC CA = 2 1 (a -b -c )+ (b2-c2-a2)+ (c2-a2-b2)=- (a2+b2+c2) 2 2 Chó ý : cã thÓ lµm theo c¸ch nh vÝ dô (C©u b) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 9 c) AG = ( AB + AC ) ; AG2= AG 2= ( AB + AC )2= (AB2+AC2+2 AB AC )= (c2+b2+ b2+c2-a2) 1 (2b2+2c2-a2) AG= 2b2 + 2c2 - a2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AG BC Cos( AG , BC )= uuur uuur (1) AG BC = ( AB + AC ).( AC - AB )= (b2-c2) (2) 3 AG BC = uuur uuur Thay (2) vµo (1) : Cos( AG , BC )= b2 - c2 a 2b2 + 2c2 - a Ví dụ : Cho hình thang vuôngABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD= a uuur uuur uuur uuur uuur uuur Tính các tích vô hướng AB CD , BD BC vµ AC BD uur uuur Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD, tÝnh AI BD Suy gãc cña AI vµ BD Gi¶i : uuur uuur a) BA lµ h×nhuuchiÕu cña CD lªn ®êng ur th¼ng chøa BA uuur uuur uuur uuur uuur Ta cã AB CD = AB BA =- AB 2=-4a2 uuur uuur uuur uuur BD BC = BH BC =a.3a=3a2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC BD =( AB + BC ) BD = AB BA + BC BD =-4a2+3a2=-a2 uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur A D I uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 b) AI BD = ( AD + AC ).( AD - AB ) = ( AD 2- AD AB + AC BAD - AC AB ) uuur uuur ìï uuur ïï AD = a ; AD AB = ïï uuur uuur uuur uuur Mµ ïí AC AD = AK AD = 3a2 ïï uuur uuur uuur uuur ïï AC AB = AB AB = 4a ïï î uur uuur VËy AI BD = (a2+3a2-4a2)=0 AI BD Bµi tËp : uuur uuur uuur uuur 1.Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC, AB=AC=a TÝnh AB AC ; AC CB 2.Cho tam gi¸c ABC cã AB=4, BC=7, ca=9 uuur uuur uuur uur uuur a) TÝnh BC råi suy AB AC vµ tÝnh cos¢; b) TÝnh CA CB uur uuur c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC TÝnh CI CB 3.Cho tam gi¸c ABC cã BC=4 , CA=3, AB=2 uuur uuur uuur uuur a) TÝnh AB b) G lµ träng t©m tam gi¸c ABC TÝnh AC suy cos¢; AG BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur + GB GC + GC GA ; c) TÝnh GAGA uuur uuur uuur d) AD lµ ph©n gi¸c cña gãc BAC (DBC).TÝnh AD theo AB vµ AC suy : AD cho tam gi¸c ABC cã AB=2, AC=3, ¢= 2p Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com C (3) BÁM SÁT TOÁN 10 a) TÝnh BC, AM (M lµ trung ®iÓm cña BC) b) Tính IJ đó I, J xác định : Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a Hãy tính AB các trường hợp sau : uur uur uuur uuur uuur uuur a) AC AB =a2 b) AC BD =-a; c) I C I D =a2 (I lµ trung ®iÓm cña AB) A Cho h×nh thang vu«ng ABCD vu«ng ë A vµ B víi AD=2a , AB=BC =a uuur uuur a) TÝnh AC BD uuuuur uuur uuur b) Suy h×nh chiÕu A 'C ' cña AC lªn BD D A D C’ A’ C’ B A’ C B r»ng : C Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng t¹i A ; Mlµ trung ®iÓm cña BC Biªt uuuur uuur AM BC = a2 TÝnh AB, AC r r r rr r Cho c¸c vÐc t¬ a, b biÕt r»ng 2a - b = TÝnh a.b ? 9.Cho tam gi¸c ABC víi BN vµCP lµ c¸c trung tuyÕn uuur uur uuur uuur BiÕt BN CP =x ; BN CA =y ; CP AB =z (x, y, z R) H·y tÝnh c¹nh AB, BC, CA theo x, y, z uuur uuur 10 Cho tam giác ABC, độ dài cạnh là 3a Lấy M, N, P nằm trên các cạnh BC, CA, AB cho BM=a, CN=2a, AP=x (0<x<3a) uuuur uuur uuur b) Tính x để AM PN a) TÝnh AM theo AB vµ AC §¸p sè vµ gi¶i : uuur uuur uuur uuur ®s: AB AC =0; AC CB =-a2 ®s: a) 49; 24; cos¢= ®s : a) ; cos¢= - uur uur uur uuur 57 ; 2I A + I B = 0; JB = 2JC uuur uuur 29 c) = - (AB + BC + CA ) = AG BC = 6 b) 57 b) ®s : a) BC= 19 ; AM= uuuuur uuur d) H×nh chiÕu A 'C ' cña AC lªn ®s : a) AB=a; b) AB= a ; uuur BD c) b) IJ= 133 uuuuur uuur ngược hướng với BD và có A 'C ' = a c) AB=2a uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur d) §Æt AB=x>0 Ta cã BD= x + a2 ; AC BD =( AB + BC )( BA + AD )=- AB 2+ BC AD =x2+2a2 uuur uuur uuuuur uuur uuuuur uuur Mặt khác theo định lý hình chiếu : AC BD = A 'C ' BD = A 'C ' BD cos180=Dẫn đến phương trình : 2a2-x2=- a a x + a2 x + a Giải phương trình ta x= a Vậy AB= a Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com (4) BÁM SÁT TOÁN 10 ®s: AB=a, AC= a rr 8.®s : a.b = Hướng dẫn giải : uuur uuur uuur uuur uuur ph©n tÝch BN = BA + AN = - AB + AC uuur uuur uuur (1) ; uuur uuur uur uuur uur uuur CP = CA + AP = CA + AB uur uuur uuur uuur (2) uuur uuur Thay (1),(2) vµo BN CP =x(- AB + AC ).( CA + AB )=x5 AB AC -2 AB 2-2 AC 2=4x uuur uuur §Æt AB AC =t; AB=c; AC=b Ta ®îc : 5t-2c2-2b2=4x uuur uur Gi¶i hÖ uuur uuur BN CA =y -b2+2t=2y ; Tương tự : CP AB =z-c2+2t=2z ìï AB = ìï 5t - 2c2 - 2b2 = 4x ìï t = (4y - 4x - 4z) / ïï ïï ïï ï ï ïí - b2 + 2t = 2y í c = (8y - 8x - 2z) / ïí AC = ïï ïï ï ïï - c + 2t = 2z ïï b = (2y - 8x - 8z) / ïïï BC = ïî ïî ïî (8y - 8x - 2z) / (2y - 8x - 8z) / (2y - 8x - 2z) / 10.Gi¶i : a) BM=a; BC=3a Suy : uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur r r uuur uuur 2MB + MC = Û 2(AB - AM ) + (AC - AM ) = Û 2AB + AC = 3AM Û AM = AB + AC 3 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur b) AM PN AM PN =0 ( AB + AC ).( AN - AP )=0 uuur uuur uuur ( AB + AC ).( AC Tuần 13,14,15 x uuur x 4a AB )=0 (2- ) +9a2-18ax=0x= 3a a Chứng minh đẳng thức tích vô hướng Chøng minh hai vÐc t¬ vu«ng gãc ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn vu«ng gãc Phương pháp : sử dụng quy tắc vấn đề uuur uuur uuur Về độ dài , chú ý : AB2= AB 2=( (OA - OB ) với O là điểm tùy ý ur r ur r b vu«ng gãc ta chøng minh a b =0 r ur Để thiết lập điều kiện vuông góc chúng ta sử dụng mệnh đề : a b §Ó chøng minh hai vÐc t¬ a vµ VÝ dôuuu 1r : Cho tam gi¸c ABC , G lµ träng t©m , Chøng minh r»ng : uuur uur uuuur uuur uuur a) MA BC + MB CA + MC AB =0 Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com ur r a b =0 (5) BÁM SÁT TOÁN 10 b) MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2, víi M lµ mét ®iÓm tïy ý Suy vị trí M để MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ uuur uuur Gi¶i : uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur a) MA BC = MA ( MC - MB )= MA MC - MA MB uuur uur Tương tự: uuur uuur uuur uuuur MB CA = MB MA - MB MC uuuur uuur ; MC AB uuuur uuur uuuur uuur = MC MB - MC MA Céng tõng vÕ ta cã kÕt qu¶ c©u a) uuuur uuur uuur uuuur uuur b) Ph©n tÝch AM2= MA 2=( MG + GA )2=MG2+GA2+2 MG GA uuuur uuur Tương tự uuuur uuur MB2=MG2+GB2+2 MG GB ; MC2=MG2+GC2+2 MG GC Cộng vế đẳng thức ta được: MA2+MB2+MC2= 3MG2+GA2+GB2+GC2 Từ đó MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ và M trùng B VÝ dô : Cho tam gi¸c ABC , M lµ trung ®iÓm cña BC vµ H lµ trùc t©m cña tam gi¸c uuuur uuur a) MH MA = BC2 Chøng minh r»ng : b) MA2+MH2=AH2+ Gi¶i : BC2 A uuuur uuuur uuuur uuur a) Ta cã : MH MA = -4 MH AM = uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uur -2 MH ( AB + AC ) =2 MH BA +2 MH CA = uuuur uuur H uuur uur =2( MC + CH ) BA +2( MB + BH ) CA uuuur uuur uuur uuur uuur uur uuuur uuur uur uuur uuur uuur =2 MC BA +2 MB CA =2 MC ( BA - CA )= BC BC = BC 2= BC2 uuuur uuur uuuur uuur b) AH2=( MH - MA )2=MH2+MA2-2 MH MA =MH2+MA2- B M C 1 BC2 MA2+MH2=AH2+ 2 BC2 VÝ dô : Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD M lµ mét ®iÓm tïy ý Chøng minh : uuur uuuur uuur uuur a) MA + MC = MB + MD uuur uuuur uuur uuur b) MA MC = MB MD c) MA2+MC2=MB2+MD2 A Gi¶i : a ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ DB uuur uuuur uuur uuur O uuur uuur Ta cã : MA +uuu MC =2 MO ; MB + MD =2 MO r uuuur uuur uuur VËy MA + MC = MB + MD uuur uuuur uuur uuur uuur uuur B uuur uuur D uuur uuur b) MA MC =( OA - OM ).( OC - OM )=( MO + OA ).( MO - OA )=MO2-OA2 Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com C (6) BÁM SÁT TOÁN 10 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MB MD =( OB - OM ).( OD - OM )=( MO + OB ).( MO - OB )=MO2-OA2 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur c) Theo c©u a) : MA + MC = MB + MD ( MA + MC )2=( MB + MD )2 uuur uuuur uuur uuur MA2+MC2+2 MA MC =MB2+MD2+2 MB MD MA2+MC2=MB2+MD2 (theo c©u b) Bµi tËp : Cho tø gi¸c ABCD cã E, F lµ trung ®iÓm c¸c ®êng chÐo uuur uuur a) Chøng minh : AC BD =AB2-BC2+CD2-DA2 b) Suy điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là : AB +CD2=BC2+DA2 c) Chøng minh : AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4EF2 Cho bèn ®iÓm A, B, C vµ M tïy ý Chøng minh hÖ thøc : uuur uuur uuur uur uuuur uuur a) MA BC + MB CA + MC AB =0 b) áp dụng: chứng minh tam giác ba đường cao đồng quy Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB vµ E lµ träng t©m tam gi¸c ACD Chøng minh r»ng OE vu«ng gãc víi CD Cho đường tròn (O, R) Chứng minh điều kiện cần và đủ uuur uuur để AM là tiếp tuyến với đường tròn M là: OA OM =R2 Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O, ®êng kÝnh AB=2R Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng AM vµ BN uuuur uur uuur uur uuur uur uuur uur a) chøng uuu minh : AM AI = AB AI ; BN BI = BA BI ur uur uuur uur b) TÝnh AM AI + BN BI theo R Cho tam gi¸c ABC , trung tuyÕn AM, ®êng cao AH Chứng minh các đẳng thức sau : uuur uuur a) AB AC =AM2- BC uuur uuuur c) AB2-AC2=2 AB MH ; = 1 (AB2+AC2-BC2); b) AB2+AC2= 2AM2+ BC2 2 uuur uuur AB AC - (AB AC )2 d) SABC= Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD=h, cạnh đáy AB=a , CD=b T×m hÖ thøc gi÷a a, b, h cho: a)AC vu«ng gãc víi BD ; b) BD vu«ng gãc víi trung tuyÕn AM cña tam gi¸c ABC Cho tam gi¸c ABC vµ hai trung tuyÕn BM, CN §Æt BC=a, CA=b,AB=c T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a, b, c BMvu«ng gãc víi CN Cho hình thang vuông ABCD , đường cao AB =h ; cạnh đáy AD = a , BC =b T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a, b, h cho : a) CI vu«ng gãc víi DI (I lµ trung ®iÓm cña AB ); b) BD vu«ng gãc víi CI c) AC vu«ng gãc víi DI d) Trung tuyÕn BM cña tam gi¸c ABC vu«ng gãc víi trung tuyÕn CN cña tam gi¸c BCD 10 Cho tø gi¸c ABCD Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh b×nh hµnh vµ chØ : uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AD + BA BC + CB CD + DC DA = Lời giải và đáp số : A Gv: Trần Thị Duyên E Lop10.com D O (7) BÁM SÁT TOÁN 10 Gi¶i : uuur uuur Ta chøng minh OE CD =0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur ThËt vËy : OE CD =( AE - AO ).( AD - AC )= uuur uuur uuur ( AC + AD ) (v× E lµ träng t©m cña tam gi¸c ADC) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OE CD =[ ( AC + AD )- AO ].( AD - AC )= uuur uuur uuur uuur = (AD2-AC2)- AO AD + AO AC (1) uuur uuur uuur uuur Thay AO AC = AF AC (định lý hình chiếu, với F là trung điểm AC AC2 uuur uuur uuur uuur Và AO AD =AD2 (định lý hình chiếu) Vào (1) , ta OE CD = (AC2- 4AD2)= Mµ AE = Gi¶i : uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur XÐt ®iÓm uuur M tïy ý(O, R) ( OA OM OA OM =0 OM + MA ) OM =0 OM2+ MA OM uuuur uuur uuuur =0 OM AM =OM2 OM AM =R2 Gi¶i : uuuur uuur a) AM lµ h×nh chiÕu cña AB trªn ®êng th¼ng AI uuur uur uuuur uur Vậy AB AI = AM AI (định lý h×nh chiÕu) uuur uuur uuur uur uuur uur BN lµ h×nh chiÕu cña BA lªn ®êng th¼ng BI VËy : BA BI = BN BI uuuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur uuur b) AM AI + BN BI = AB AI + BA BI = AB ( AI - BI )= AB 2=4R2 A a B Gi¶i : uuur uuur h M a) Ta chøng minh : AC BD =0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC BD = AC ( AD - AB )= AC AD - AC AB (1) uuur uuur uuur uuur D C Mµ AC AD =uuu AD AD =h2 r uuur uuur uuur uuur uuur Và AC AB = DC AB =b.a (định lý hình chiếu) Do đó (1) trở thành : AC BD =h2-ab VËy AC BD h2-ab=0 uuur uuuur b) BD AM BD AM =0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BD ( AB + AC ) = BD AB + BD AC = (2) uuur uuur Vµ BD AC =h2-ab (kÕt qu¶ trªn) Mµ BD AB = BA AB =-AB2=-a2 Do đó (2) trở thành : -a2+h2-ab=0 Gi¶i : VËy BD AM h2 =a(a+b) uuur uuur uur uuur ( BA + BC ) ( CA + CB ) =0 2 uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur BA CA + BA CB + BC CA + BC CB = uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur AB AC - BA BC - CB CA - CB 2= 1 (AB2+AC2-BC2) (AB2+BC2-AC2) – (BC2+AC2-AB2) 2 A uuur uuur N BM CN BM CN =0 B N – BC2= AC2+AB2-5BC2 = 0 b2+c2= 5a2 ®s : A a D I N M Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com M (8) BÁM SÁT TOÁN 10 ab- h2 = 2 h -ab = a) ab- h2 = b) c) d) h2-2b2+ab = 10 Gi¶i : uuur uuur uuur uuur uuur uuur A uuur uuur B AB AD + BA BC + CB CD + DC DA = uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( AB AD + BA BC ) +( CB CD + DC DA ) = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB ( AD - BC ) - DC ( AD - BC ) = uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( AD - BC ).( AB - DC ) = éêêAuuDur = BC ABCD lµ h×nh b×nh hµnh uuur D C ê A B = DC ê ë Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức tích vô hướng độ dài Tuần 16,17 Phương pháp : Cã thÓ sö dông mét c¸c c¸ch sau : uuur uuur Đưa đẳng thức cho trước dạng MA MB =k( A, B :cố định; k : giá ttrị không đổi.) uuuur r r Đưa đẳng thức cho trước dạng AM v = , đó A là điểm cố định và v là véctơ cố định Đưa đẳng thức cho trước dạng AM2 = k , đó A là điểm cố định và k là số dương không đổi VÝ dôuuu 1r : uuu chor tam gi¸c ABC, t×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M tháa : a) MA MB =k (k là giá trị cho trước) Biện luận uuur uuur b) MA + MA uuu MB = ur uuur c) 2MB + MB MC = a2 (với a : độ dài cạnh BC) Gi¶i : a) Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB ThÕ th× : uuur uur uuur uuur uuur uur MA MB =k ( MI + I A ).( MI - I A ) =k IM2-IA2=k IM2= BiÖn luËn : NÕu AB AB +k +k > k >- AB NÕu AB AB A : th× tËp hîp nh÷ng ®iÓm M lµ mét ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh NÕu k = - M : tËp hîp M lµ ®iÓm I +k < th× tËp hîp M lµ §Æc biÖt : nÕu k = th× tËp hîp M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com AB +k I B (9) BÁM SÁT TOÁN 10 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) MA2 + MA MB =0 MA ( MA + MB ) = MA MI = tËp hîp M lµ ®êng trßn ®êng trßn ®êng kÝnh AI uuur uuuur uuur uuur uuuur c) 2MB2+ MB MC =a MB (2 MB + MC ) = a2 (1) r uuur uuuur uuur uuuur uuuur Xét điểm cố định K thỏa mãn : KB + KC = , thì MB + MC =2(2 MB - MK ) +( MC r uuur uuuur MK ) =0 uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur (2 MB + MC ) = MK đó : (1) MB MK = a Gọi O là trung điểm BK ,biến đổi câu a) ta : 2 2 (1) MO2- BK = a MO2 = a + BK r uuur uuur a Tõ : KB + KC = KB = 3 Nªn (1) MO2= 13a 36 MO = a 13 a 13 VÝ dô : Cho tam gi¸c ABC , t×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M tháa : uuuur uuur uuur uuur uuur a) AM BC = k (k :số cho trước ) b) ( MA - MB ).(2 MB - MC ) = VËy tËp hîp M lµ mét ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R= c) MA2-MB2+CA2-CB2 = e) 3MA2-2MB2-MC2 = uuur uuur uuur d) MA MB - MA MC =MC2-MB2+BC2 ; Gi¶i : a) Gäi H vµ K thø tù lµ h×nh chiÕu cña A vµ M lªn BC uuuur uuur áp dụng định lý hình chiếu , ta có : AM BC = HK BC =k HK BC k k HK : giá trị không đổi BC Mà H cố định nên K cố định Vậy tập hợp điểm M lµ mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC t¹i K r uuur b) Xét điểm cố định I thỏa : IB IC = 2 MB - MC = MI uuur uuur uuur VËy ( MA - MB ).(2 MB - MC ) = 0 BA MI =0 MI BA Tập hợp M là đường thẳng vuông góc với AB điểm cố định I uur uur r Chú ý : điểm I thỏa : a I B + bI C = (với + ; B, C cố định) gọi là tâm tỷ cự hai điểm B, C ứng với hai hệ số , , đó + 0.( câu b) : =2, =-1) 2-MB2 +CA2-CB2 =0 c) MAuuu r uuur uuur uuur uur uuur uur uuur ( MA - MB ).( MA + MB ) +( CA + CB ).( CA - CB ) =0 uur uuur BA ( MI + CI ) = (1) uur uur Dùng vÐc t¬ I J = CI , thÕ th× uuur (1) BA MJ = Điểm J cố định VËy tËp hîp M lµ mét ®êng th¼ng qua J Vµ vu«ng gãc víi AB Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com (10) BÁM SÁT TOÁN 10 10 uuur uuur uuur d) MA MB - MA MC =MC2-MB2+BC2 uuur uuur uuur MA MB - MA MC +MB2-MC2=BC2 uuur uuur uuur uuur MA ( MB - MC )+( MB + MC ).( MB - MC )=BC2 uuur uuur A uuur M ( MB - MC ).( MA + MB + MC ) = BC2 uuur 3CB MC =BC2 (1) (G lµ träng t©m tam gi¸c ABC) Gäi G’ vµ H thø tù lµ h×nh chiÕu cña G vµ M lªn BC ThÕ th× : (1) BC G ' H = BC G ' H = G BC B G’ H C BC không đổi H cố định và tËp hîp c¸c ®iÒm M lµ mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC t¹i H G’ cố định, e) Gäi O lµ t©m ®êng trßn A ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Ta ph©n tÝch : uuur uuur uuur uuur MA2 =( MO +OA )2 = MO2+OA2+2 MO OA uuur uuur uuur uuur B C MB2 =( MO +OB )2 = MO2+OB2+2 MO OB uuur uuur uuur uuur MC2 = ( MO +OC )2 = MO2+OC2+2 MO OC r Do đó : uuur uuur uuur uuur -v 3MA2-2MB2-MC2=2 MO (3OA -2OB -OC )+ +3OA2-2OB2+OC2 (1) Mµ OA=OB=OC=R3OA2-2OB2+OC2=0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Và 3OA -2OB -OC =3OA -2(OA + AB )-(OA + AC )= -(2 AB + AC ) là véc tơ cố định v uuur r Nªn : 3MA2-2MB2-MC2= MO v =0 VËy : tËp hîp M lµ mét ®êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi vec-t¬ r v Bµi tËp : Cho tam gi¸c ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cho : uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) MB MC - MB MG =AB2 (G lµ träng t©m); b) (2 MA - MB ).( MA +2 MB ) = Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A BC = 6a T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cho : uuur uuur uuuur uuuur ( MB + MC ).( MA + MB + MC ) = a2 uuur Cho ®o¹n th¼ng AB=2a cã I lµ trung ®iÓm uuur uuur a) P lµ mét ®iÓm bÊt kú TÝnh uuu PB theo PI vµ a PA r uuur b) T×m tËp hîp ®iÓm M tháa MA MB = a2 uuur uuuur uuur uuur Cho tam gi¸c ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa : AB AM = AB AC 5.Cho tam gi¸c ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n mét uuu c¸c hÖuuuthøc sau : uuur uuur uuur uuur r uuur r uuuur uuur uuur uuuur uuuur a) MA MB = MA MC ; b) MA 2+ MA MB + MA MC =0; c) MA = MB MC Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com (11) BÁM SÁT TOÁN 10 11 Cho tam gi¸c ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cho : a) a MA + b.MB = k(a + b ¹ 0) ; b) a MA + b MB + gMC = k(a + b + g ¹ 0) Cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cho : MA2+MB2+MC2+MD2=k2 ,víi kR cho tam gi¸c ABC , gãc A nhän, trung tuyÕn AI T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M di động góc BÂC, cho : AB.AH AC AK =AI2 (1) Trong đó H, K thứ tự là các hình chiếu vuông góc M lên AB và AC Cho tø gi¸c ABCD I, J thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, CD T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M uuur uuur uuuur uuur cho : MA MB + MC MD = IJ2 (1) uur uur uur r 10 Cho tam gi¸c ABC I lµ trung ®iÓm cña AB J lµ ®iÓm tháa m·n: JA +3 JB -2 JC = a) Chøng minh BCIJ lµ h×nh b×nh hµnh uuur uuur uuuur uuuur uuuur b) T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cho: MA MC +3 MB MC = MC Hướng dẫn - đáp số ®s : a) Tập hợp M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng GC H, xác định hÖ thøc : B1H = AB GC b) TËp hîp M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh IJ ®s : Gäi O lµ trung ®iÓm cña BC, G lµ träng t©m cña tam gi¸c , I lµ trung ®iÓm cña OG Th× tËp hîp M lµ ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R = a 12 3.Hướng dẫn giải : uuur uuur uur uur uur uur uur uur uur uur a) ph©n tÝch PA PB =( PI + I A ) ( PI + I B )=( PI + I A ).( PI - I A )= PI - a b) Sö dông kÕt qu¶ c©u a) , ta tÝnh ®îc IM=a VËy tËp hîp M lµ ®êng trßn (I,R= a ) C 4.®s: TËp hîp M lµ ®êng th¼ng (d) qua C vµ vu«ng gãc víi AB A 5.®s : a) tËp hîp M lµ ®êng th¼ng (d) qua A vµ vu«ng gãc víi BC A uuur uuur b) Ta chứng minh MA MG =0. Tập hợp M là dường tròn đường kính AG víi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC vµ J lµ trung ®iÓm cña AI uuur uuuur Lu ý : MB MC = MI - C d B d B BC A M d H Gv: Trần Thị Duyên J Lop10.com B I C (12) BÁM SÁT TOÁN 10 12 uuur uuur BC Nªn = MI 2- MA 2= 4 uur uuur BC uuur uuur uuur uuur BC ( MI - MA ).( MI + MA )= AI MJ = 4 uur uuur BC I A.JM = (1) uuur uuur uuuur uuur BC 2 MC MA =MI MB MA Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AI,thÕ th× : (1) I A.JH = JH= BC BC (không đổi).H cố định 8I A Vậy tập hợp M là đường thẳng (d) qua H cố định và vuông góc với AI 6.Gi¶i : uur uur r a) Gọi I là điểm xác định hệ thức : a I A + b I B = (1) (thì I là điểm cố định nằm trên ®êng th¼ng AB) Th× : MA2+MB2= uur uuur uur uuur uur uuur2 uur a (MI + I A)2 + b(MI + I B )2 = (a + b )MI + (a I A + b I B ) = (a + b )MI + k0; k0 = a I A + b I B VËy: a MA + b MB = k Û (a + b )MI + k0 = k Û MI = Từ đó tập hợp M là ; là điểm I; hay là đường tròn (I, R= (k - k0 ) a+b k - ko ) tïy theo a+b k - k0 nhá h¬n, b»ng hay lín h¬n a+b Chú ý :Giá trị k0có thể tính theo , AB cách bình phương vô hướng biểu thức (1) dẫn đến kết : k0= ab AB a+b uur uur uur r b) Gọi I là điẻm xác định hệ thức : a I A + b I B + gI C = (1) làm tương tự câu a) , ta có : a MA + b MB + gMC = (a + b + g)MI + a I A + b I B + gI C Đặt : IA2+IB2+IC2=k0 không đổi Giá trị k0có thể tính cách ab AB + bgBC + gaCA bình phương hai vế (1) , dẫn đến k0 = VËy MI2= a+ b+ g (k - k0 ) a+ b+ g Do đó tập hợp M có thể ,, là đường tròn (I, R= Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com k - k0 ) a+ b+ g (13) BÁM SÁT TOÁN 10 Tïy theo 13 k - k0 nhá h¬n,b»ng, hay lín h¬n a+ b+ g 7.Hướng dẫn giải : Sử dụng kết bài tập 6, “vấn đề 2” : Từ đó dẫn đến : MO2= MA2+MC2=2MO2+ Tïy theo k2 nhá h¬n, b»ng, hay lín h¬n AC2+BD2 8.Gi¶i : Sử dụng định lý hình chiếu, đưa (1) dạng : uur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur AI 2= AB AH + AC AK = AB AM + AC AM uuur uuur uuuur uur uuuur =( AB + AC ) AM =2 AI AM (2) Gäi M0 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn AI, th× : uur uur uuuur (2) AI 2=2 AI AM AI = 2AI AM AI ; MB2+MD2=2MO2+ BD 2 (k - AC - BD ) VËy tËp hîp M cã thÓ lµ hay ®êng trßn (O; R= AM = AC M0 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AI AC + BD ) A K H M B M0 I C VËy tËp hîp M lµ mét ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi AI t¹i M0 lµ trung ®iÓm cña AI Vµ n»m tam gi¸c ABC 9.Gi¶i : uuur uuur uuuur uuur (1) MA MB +4 MC MD =2IJ2 B uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur ( MA + MB )2-( MA - MB )2+( MC + MD )2-( MC - MD )2=2IJ2 I A 4MI2-AB2+4MJ2-CD2=2IJ2 2 2 4MI +4MJ =AB +CD +2IJ (*) Gäi O lµ trung ®iÓm cña IJ O uuur uuur uuur uuur (*) 2( MI + MJ )2+2( MI - MJ )2 -2IJ2 = AB2+CD2 2.(2MI2+2MJ2)-2IJ2=AB2+CD2 D J 4(MI2+MJ2) -2IJ2=AB2+CD2 4.(2MO2+ IJ2) -2IJ2=AB2+CD2 2(AB + CD ) 8MO2=AB2+CD2 MO= A tËp hîp M lµ ®êng trßn J I 2(AB + CD ) ) (O;R= K 10 ®s : B C b) tËp hîp M lµ ®êng trßn (K; R= JC) Víi K lµ trung ®iÓm cña JC Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com C (14) BÁM SÁT TOÁN 10 Tuần 18,19 14 Gi¶i tam gi¸c A 44 30'; C A 64 TÝnh gãc A vµ c¸c c¹nh b,c cña Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC BiÕt a=17,4; B tam giác đó A 470 20' TÝnh hai gãc B, C vµ c¹nh c Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC biÕt a=49,4; b=26,4; C Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC BiÕt a=24; b=13; c=15 TÝnh c¸c gãc A, B, C Bài 4: Đường dây cao nối thẳng tù vị trí A đến vị trí B dài 10km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8km, góc tạo hai đường dây trên bằn 750 Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C Bài 5: Một người ngồi trên tàu hoả từ ga A đến ga B Khi tàu đỗ ga A, qua ống nhòm người đó nhìn thấy tháp C Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng tàu góc 600 Khi tàu đỗ ga B, người đó nhìn lại thầy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng ngược với hướng tàu góc 450 Biết đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga B dµi km Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu? Bài 6: Cho hai điểm phân biệt P và Q Tìm tập hợp các điểm M cho MP2+MQ2=k2, đó k là số cho trước Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(3;4) và B(6;0) a) Nhận xét gì tam giác OAB? Tính diện tích tam giác đó b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB c) Viết phương trình đường phân giác đỉnh O tam giác OAB d) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB Gv: Trần Thị Duyên Lop10.com (15)