P = 210 - C105 = 772 Nhận xét: - Trong hai bài tính tổng trên, học sinh cần hiểu được rằng đề bài đưa ra không nhất thiết là tình tổng tất cả các hệ số trong công thức khai triển, mà c[r]
(1)SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần đây các kì thi tú tài và thi vào các trường đại học và cao đẳng, đề thi thường cho các bài toán phải vận dụng đến công thức nhị thức Niutơn để giải các bài tốn đĩ, hạn chế thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không đồng nên sách giáo khoa đưa số tình bài toán này, vì học sinh gặp nhiều hạn chế kiến thức khả phân tích giải các bài toán này Mặt khác theo chương trình mới, thì kiến thức chương trình 11 giải số dạng toán với số mũ nguyên Đối với đối tượng là học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằm nâng cao kiến thức và khả vận dụng kiến thức “ nhị thức Niutiơn” cách hiệu các kì thi là thật cần thiết Trước yêu cầu đó tôi cố gắng viết chuyên đề này với các nội dung sau: NỘI DUNG ĐỀ TAØI: A Nhắc lại công thức nhị thức Niu – tơn và vài chú ý khai triển cơng thức nhị thức Niu – Tơn B Một số dạng toán nhị thức Niu – tơn thường gặp Trong phần này, tôi trình bày số bày toán dành cho đối tượng là học sinh lớp 11 ( theo chương trình ) gồm các nội dung sau: Khai triển nhị thức Niu – tơn, vận dụng kiến thức tam giác Pax – can khai triển nhị thức Niu – tơn Xác định số hạng khai triển nhị thức Niutơn Xác định hệ số khai triển số hạng chứa xk Xác định tổng các hệ số khai triển nhị thức NIutơn C Phần kiến thức mở rộng: Trong phần này, đề tài đề cặp đến số bài toán có dạng khó và bài toán mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình ) không giải : Một vài dạng toán nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng Xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Các bài toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn Các bài toán có liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn Bài toán có liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn Xin cảm ơn các thầy cô trường THPT Phước Thiền đã chân thành góp ý kiến cho tôi hoàn thành đề tài Mặt dù có nhiều cố gắng, kinh nghiệm không nhiều nên thiếu sót là điều không tránh khỏi, mong quý thầy cô chân thành góp ý để tôi có kinh nghiệm tốt công tác dạy học môn toán Chân thành cảm ơn Phước thiền, ngày 25 tháng 11 năm 2008 -1Lop10.com (2) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU MUÏC LUÏC A LÝ THUYẾT NHỊ THỨC NEU-TƠN B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Khai triển nhị thức Niutơn Xác định số hạng nào đó khai triển nhị thức Niutơn Xác định hệ số khai triển số hạng chứa xk Tính các hệ số khai triển 10 C MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG 13 Một vài dạng toán nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực 14 Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng 18 Xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn 19 Các bài toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn 21 Các bài toán có liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn 22 Bài toán có liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn 23 -2Lop10.com (3) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU A LÝ THUYẾT NHỊ THỨC NEU-TƠN I CÔNG THỨC: n a b n Cnk an k bk C0n an C1n an1 b C2n an2 b2 Cnk an k bk Cnn1abn1 Cnn bn (1) k 0 II TÍNH CHẤT: Khi khai triển nhị thức (a b)n ta cần để ý: 2) Ở vế phải có n + số hạng, đó đầu tiên là an , cuối cùng là bn , các vị trí còn lại là tích an-kbk với số mũ a giảm từ n đến và số mũ b tăng từ đến n cho số hạng, tổng số mũ a và b phải n tức là n – k + k = n 3) Số hạng thứ k + 1, kí hiệu: Tk 1 với k = 0, 1, 2, , n và có dạng Tk 1 Cnk an k b k 3) Hệ số khai triển (1) có tính chất đối xứng Chuù yù: Cnk Cnn k vaø C0n Cnn III KẾT QUẢ ĐÁNG NHỚ: 1) Cho a = 1, b = ta coù: C0n C1n C2n Cnn 2n 2) Cho a = 1, b = 1 ta coù: C0n C1n C2n C3n (1)n Cnn 3) Cho a = 1, b = x ta coù: (1 x)n C0n C1n x C2n x C3n x3 Cnn x n 4) Cho a = 1, b = x ta coù: (1 x)n Cn0 C1n x C2n x2 C3n x3 (1)n Cnn x n Chuù yù: a) Đối với (1 x)n thì hệ số x k là Cnk b) Đối với tích (1 x)n (1 x)m thì hệ số x k là Cmk n và định bởi: k i j Cm n Cn Cm , (i + j = k) c) Đối với a x m thì hệ số x m.k là an k Cnk n IV Tam giaùc Paxcan vaø heä soá khai trieån nhị thức Niu – tơn Lủy thừa n (a + b)n 1 Tam giác Paxcan – Hệ số khai triển (a + b)n 3 (a + b)1 = 1a + 1b (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 4 5 10 10 6 15 20 15 Ví dụ minh họa (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 -3Lop10.com - (4) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Trong phần này, đề tài đề cặp đến số bài toán thường gặp có liên quan đến kiến thức nhị thức Niutơn chương trình toán lớp 11 ( chương trình ) sau: Khai triển nhị thức Niutơn Xác định số hạng nào đó khai triển nhị thức Niutơn Xác định hệ số khai triển số hạng chứa xk Tính tổng các hệ số khai triển -4Lop10.com (5) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU I VẤN ĐỀ 1: Khai triển nhị thức Ghi chú: Khi khai triển nhị thức (a b)n , ta cần nắm kĩ sau: Soá haïng tổng quát khai triển là : Cnk an k b k (0 k n) Từ đó ta có các số hạng khai triển sau: Khi k = ta coù số hạng đầu thứ là: Cnk an k b k Khi k = ta có số hạng thứ hai là: C1n an 1 b Khi k = ta có số hạng thứ là: C2n an 2 b2 …………………………………………… Khi k = n ta có số hạng thứ (n + 1) ( số hạng cuối )là: Cnn an n bn Cnn bn Chuù yù: Nếu khai triển (a b)n thì ta cần chú ý qui tắc dấu số hạng thứ k có dấu là : ( - )k ( k n ) Ví dụ: Khai triển nhị thức sau: (2a + b)5 Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – ton ta có: 2a b C50 (2a)5 C15 (2a)4 b C25 (2a)3 b2 C35 (2a)2 b3 C54 2ab4 C55 b5 = 32a5 80a4 b 80a3 b2 40a2 b3 10ab4 b5 Nhận xét: - Trong khai triển trên ta đã vận dụng công thức (1), nhiên số khai triển nhị thức Niu – tơn với lũy thừa đủ nhỏ ta có thể vận dụng hệ số khai triển nhị thức tam giác Pax – can để khai triển như: Từ tam giác Pax – can ta thấy hệ số khai triển lủy thừa là: 10 10 (2a + b)5 = 1.(2a)5 + 5.(2a)4.b +10.(2a)3b2 + 10.(2a)2b3 + 5.2a.b4 + 1.b5 Bài tập: a) (2x 1)5 ; b) (x 2y)6 ; d) (a 2) ; 2 e) x ; y 6 -5Lop10.com c) (a 2b)5 ; f) x x (6) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU II VẤN ĐỀ 2: Tìm số hạng thứ k + Trong dạng toán này, theo chương trình sách giáo khoa không đưa kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển (a + b)n , nên học sinh gặp nhiều lúng túng lập luận, để thuận tiện truyền đạt kiến thức tôi kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) là Tk + = Cnk an k b k 10 Ví dụ : Tìm số hạng thứ bảy khai triển nhị thức x , x > x Giaûi: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển là: Tk + = C k 10 Áp dụng cho k = 6, ta có: T7 T61 C10 x Vậy số hạng thứ bày khai triển là: C10 x 10 k 1 x k 1 6 C10 x C10 x x4 x x4 Bài tập tương tự: Tìm số hạng thứ k đây các khai triển 1) Thứ sáu (1 2y)21 2) Thứ mười ba ÑS: 32 C521y5 2 15 ÑS: 192 C12 15 15 3) Thứ tám x 3 ÑS: C15 27 x 315 Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x khai triển x , x > x Giaûi: Caùch 1: Cách sử dụng kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) k Số hạng thứ k + 1: Tk 1 C6k x = C6k x 6 k x 6 k x k C6k 6 3k k=2 k A , k n Để hạng tử Tk 1 không chứa x là: Vậy số hạng không chứa x là: T3 15 -6Lop10.com x 6 k x 2k C6k x 63k (7) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU Caùch 2: 6 Ta coù: x C6k x k 0 x 6 k k 1 C6k x 6 k x k 0 6 3k k=2 k A , k n Để hạng tử Tk 1 không chứa x là: Vậy số hạng không chứa x là: T3 15 Nhận xét: - Khi gặp đề bài có yêu cầu ví dụ 2, học sinh cần chú ý : a0 =1, a > Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa x các khai triển 1) x x 12 , với x 10 2) x3 , với x > x ÑS: 924 ÑS: 210 12 3) 2x , với x > x ÑS: 3168 -7Lop10.com (8) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU III VẤN ĐỀ 3: Tìm hệ số số hạng nào đĩ khai triển nhị thức Trong phần này học sinh cần nắm số hạng khai triển và hệ số khai triển n Ví dụ: ta có 2 3x Cnk 2n k 3k x k thì số hạng thứ (k + 1) khai triển là Cnk 2n k 3k n k 0 .xk và hệ số khai triển nó là Cnk 2n k 3k x a Ví dụ 1: Tìm hệ số x2 khai triển nhị thức với a, x ≠ a x Giaûi: 8 x a k x C a a x2 k 0 8 k k a C8k a8 k x83k 2 x k 0 8 3k k = k A Điều kiện để x2 xuất là: Vaäy heä soá cuûa soá x2 laø a3 C38a4 Ví duï 2: Tìm heä soá cuûa x4 khai trieån P(x) = x(1 x)2 x2 (1 x)3 x3 (1 x)4 x (1 x)5 Giaûi Ta có: x(1 x) x k 0 C2k x k C2k x k 1 x (1 x)3 x C3m x m m 0 (1) k 0 C3m xm 2 (2) m 0 4 n0 n0 x3 (1 x)4 x Cn4 x n Cn4 x n 3 x (1 x) x p0 C5p x p (3) C3p x p (4) p0 Để có số hạng chứa x4 khai triển P(x) thì : k m n p 0 k 0 m 0 n 0 p k A m A n A p A m = n = p = Hệ số chứa x4 khai triển P(x) là : C32 C14 C50 = Nhận xét: -8Lop10.com (9) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU - Trong biểu thức đại số viết dạng khai triển có dạng: n ak xak b (a, b, k là k 0 các số nguyên thỏa đk bài toán ) Thì hệ số xak +b là ak và điều kiện để có xm là : a.k + b = m ( với a, b, k phải thỏa điều kiện nào đó bài toán) - Trong ví dụ 2, học sinh chú ý chút thì thấy x4 có các khai triển x2 (1 x)3 ; x3 (1 x)4 ; x (1 x)5 Vì ta cần tìm hệ số x4 các khai triển x2 (1 x)3 ; x3 (1 x)4 ; x (1 x)5 và sau đó cộng lại các kết đó lại để xác định hệ số khai triển x4 khai triển P(x) Bài tập tương tự: Tìm hệ số xk các khai triển 1) Cuûa x7 (2 – x)10 ÑS: –960 2) Cuûa x6 1 x ÑS: 56 3) Cuûa x3 (1 x)2 (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 ÑS: 15 4) Cuûa x9 (1 x)9 (1 x)10 (1 x)14 ÑS: 3003 n Ví dụ 2: Xác định hệ số số hạng chức x11 khai triển x2 cho biết tổng x các hệ số nhị thức 1024 Giải n n Ta có: x2 Cnk x2n3k x k 0 n Tổng các hệ số khai triển x2 xác định là: x n C0n C1n Cnn 1024 210 1 1 210 n 10 Để có số hạng chứa x-11 thì 2n – 3k = 11 3k = 2.10 – 11 = k = Hệ số khai triển x11 là : C103 120 Bài tập tương tự: Tìm hệ số xk các khai triển 1) Của số hạng chức baèng 4096 x11 n khai triển x2 cho biết tổng các hệ số nhị thức x HD: C0n C1n Cnn 4096 C12 n 2) Của số hạng không chứa x khai triển x2 biết tổng các hệ số nhị thức thứ nhất, nhì, ba 46 HD: C0n C1n -9Lop10.com C2n x 46 84 (10) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU IV VẤN ĐỀ 4: Tính tổng các hệ số Ví dụ 1: a Tính tổng các hệ số khai triển nhị thức (1 2x)10 b Tính A = 25 C50 24 C15 23 C52 22 C35 2C54 35 C55 c Tính B = 35 C50 34 2C15 33.22 C25 32 23 C35 2.34 C54 35 C55 Giaûi: 10 10 a Ta coù: 1 2x C10k 110 k 2x C10k 2x = a0 a1x a2 x2 a10 x10 10 k k 0 k k 0 ( Với a0 , a1 ,a2 , ,a10 là các hệ số xK ( k 10 ) ) Toång caùc heä soá khai trieån treân laø: S a0 a1 a2 a10 310 Cho x = ta coù : S a0 a1 a2 a10 310 59049 Tổng quát bài toán trên là : n n a bx Cnk an k bx Cnk an k b x n k 0 k k k 0 k n = a0 a1 a2 an a b ( Trong đó a , b là hai số thực cho trước, Với a0 , a1 ,a2 , ,an là các hệ số xK ( k n ) ) b Tính A = 25 C50 24 C15 23 C52 22 C35 2C54 35 C55 Aùp duïng khai trieån (a + b)n cho a = 1; b = 2; n = ta coù: A = 25 C50 24 C15 23 C52 22 C35 2C54 35 C55 = (1 + )5 = 243 c B = 35 C50 34 2C15 33.22 C25 32 23 C35 2.34 C54 35 C55 Aùp duïng khai trieån (a + b)n cho a = 3; b = - 2; n = ta coù: B = 35 C50 34 2C15 33.22 C25 32 23 C35 2.34 C54 35 C55 ( – 2)5 = Nhaän xeùt: - Dĩ nhiên học sinh không nắm kiến thức nhị thức Niutơn học sinh có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị A và B, nhiên trường hợp n lớn thì việc tính là không khả thi - Để vận dụng cơng thức nhị thức Niutơn (a + b)n để tính các giá trị tổng A và B học sinh cần chú ý: công thức khai triển thì lủy thừa a giảm từ n tới giá trị 0, lủy thừa b tăng từ lủy thừa đến n Từ đó ta suy giá trị a, b, n cần áp dụng để tính tổng là bao nhiêu - Trong tính B, học sinh chú ý đây là tổng có dấu nên cẩn thận a hay b có dấu trừ - 10 Lop10.com (11) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU Ví vụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a S C07 C27 C47 C67 b P C10 C10 C10 C10 C10 10 Giaûi: b) Từ khai triển nhị thức Newton (a b)7 Cho a = 1, b = ta coù: C07 C17 C27 C37 C67 C77 Suy ra: C07 C27 C47 C67 C17 C37 C57 C77 (1) Cho a = 1, b = ta coù: C07 C17 C27 C77 27 (2) Từ (1), (2) C07 C27 C47 C67 27 Hay S = 64 c) P C10 C10 C10 C10 C10 10 Từ khai triển nhị thức Newton (a b)10 Cho a = 1, b = ta coù: 1 1 10 210 C10 C110 C10 C10 C10 C10 10 10 ;C110 C10 ;C10 C10 ;C10 C10 ;C10 C10 Do C100 C10 P = 210 - C105 = 772 Nhận xét: - Trong hai bài tính tổng trên, học sinh cần hiểu đề bài đưa không thiết là tình tổng tất các hệ số công thức khai triển, mà có thể tính số giá trị nào đó khai triển, đó ta phải tìm qui luật tổng quát tổng, từ đó vận dụng kiến thức cách linh hoạt - Cần chú ý tới số Cnk để nắm qui luật tổng Ví vụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau: 2n 1 C2n C22n C2n C2n 22n 1 2n Cn Cn Cn C2n Giải Từ khai triển (a + b)2n Cho a = 1, b = -1, ta có: 1 2n 2n C2n C12n C22n C32n (1)2n 1 C2n 2n (1) C2n 0 2n 1 C2n C22n C2n C2n 2n Cn Cn Cn C2n Cho a = 1, b = 1, ta có: - 11 Lop10.com (12) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU 1 2n 2n C2n C12n C22n C32n C2n 2n C2n 2n 1 2n C2n C22n C2n C2n 2n Cn Cn Cn C2n điều phải chứng minh Bài tập tương tự: Tính caùc toång sau 1) A C60 C17 C26 C66 HD: a = b = 1, n = 6, S = 64 2) B C59 C69 C99 HD: a = b = 1, n = 9, S = 256 C10 C10 3) C C10 10 HD: a = b = 1, n = 10, S = 386 4) D C50 2C15 22 C25 25 C55 HD: a =1, b = 2, n = 5, D = 243 5) E C60 3C16 9C26 27C36 81C64 243C56 729C66 HD: a = 1, b = - 3, n = 6, E = 64 6) F 25 C50 24.3C15 23.32 C25 22.33 C35 2.34 C54 35 C55 HD: a = 2, b = 3, n = 5, F = 3125 7) G 25 C50 23 C15 2C52 21 C35 23 C54 25 C55 HD: a = 2, b , n = 5, G Tính tổng các hệ số khai triển các nhị thức 1) (3x 4)17 ÑS:– 2) (2x 1)5 ÑS:243 3) (1 x)2 (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 ĐS: 60 Chứng minh rằng: C0n C1n C2n C3n (1)p Cnp (1)p Cnp1 - 12 Lop10.com 243 32 (13) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU C MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG Trong phần này, đề tài đề cặp đến số bài toán có dạng khó và bài toán mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình ) không giải : Một vài dạng toán nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng Xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Các bài toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn Các bài toán có liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn Bài toán có liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn - 13 Lop10.com (14) SÁNG KIẾN DẠY HỌC I GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU VẤN ĐỀ 1: Khai triển nhị thức Niutơn với số a, b có số mũ là hữu tỉ, số mũ thực: Ví dụ 1: Tìm số hạng không chứa khai triển 2 24 Giaûi: 24 Ta có : 24 k 0 k C24 24 24 k k k 0 24 k k k C24 24 k 5n Điều kiện để cĩ số hạng không chứa là: k 7m n,m A * k 14 (nhaän) k A , k 24 2 14 Vaäy soá haïng phaûi tìm laø: T15 C14 24 36 C24 Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa các khai triển 2 2) 3) 2 1) 3 ÑS: 60 ÑS: 4526 vaø 10 ÑS: T1, T4, T7, T10 Ví dụ 2: Tìm số hạng chứa x7 12 cuûa khai trieån x2 x 4 Giaûi: 12 33 2 4 x x Để x7 12 k 0 12 k k C12 3 x3 4 k k 24 2k k 12 k 12 2 2 k 3 x C12 x x 3 4 3 k 0 2 (12 k) k k xuaát hieän laø: k A , k 12 Vaäy soá haïng chứa x7 là C12 4 6 2 x C12 x 3 Bài tập tương tự: Tìm số hạng chứa xk các khai triển x 1) y y x 21 maø soá muõ cuûa x vaø y baèng ÑS: T10 C921 (xy) 16 1 a 2) x x là số hạng đứng chính - 14 Lop10.com ÑS: T9 12870 a8 x4 (15) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU n Ví dụ 3: Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức x5 , x > biết x Cnn 14 Cnn 3 7(n 3) (Khoái A – 2003) Giaûi: Ta thaáy Cnn14 Cnn3 7(n 3) n = 12 12 Ta cóo: x5 x Để x8 k C12 x 3 12 k k 72 11k 5 k x C12 x 72 11k 8 k xuaát hieän thì: k A , k 12 495 Vaäy heä soá cuûa x8 laø : C12 Bài tập tương tự: Tìm hệ số xk các khai triển n 28 1) Của số hạng không chứa x khai triển nhị thức x x x 15 biết Cnn Cnn 1 Cnn 2 79 ÑS: n = 12, a6 = 792 n 2) Của số hạng thứ mười ba khai triển 9x biết hệ số số hạng thứ 3x ba khai trieån laø 105 3) Của số hạng chứa x3 HD: C2n 105, a13 455 x y khai trieån x x3 n biết tổng các hệ số nhị thức các số hạng đứng vị trí lẻ 2048 HD: Toång heä chaün, leû baèng a8 = –264 Ví dụ 3: Xác định x để số hạng thứ tư khai triển nhị thức: 11 a4 a.x 1 ax 1 baèng 56a ( a > ) x ax 1 a4 Giaûi: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển a.x 1 ax 1 x ax 1 Tk 1 1 x k C8 a a x 8 k k 1 x 1 1 x x a T4 C8 a a x 1 x 1 a x 1 - 15 Lop10.com là: (16) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU 11 1 x x 1 11 Vaäy: T4 56a với x > 1 x x 1 5 x 3x 10 x2 x0 Bài tập tương tự: 1) Xác định n để khai triển nhị thức (1 x)n mà các hệ số của: a) Số hạng thứ hai, thứ ba, thứ tư tạo thành cấp số cộng b) Số hạng thứ năm, thứ sáu, thứ bảy tạo thành cấp số cộng HD: Hệ số nhị thức a, b, c là cấp số cộng a + c = 2b ÑS: a) n = 7; b) n = vaø n = 14 n 1 1 2) Tìm n để ba số hạng đầu tiên khai triển x x với x > tạo thành caáp soá coäng ÑS: n = 3) Tìm x để khai triển x 21 4x mà số hạng thứ ba 240 4 ÑS: x = n 4) Số hạng thứ ba khai triển 2x không chứa x Tìm x để số hạng x số hạng thứ hai khai triển 1 x3 30 ÑS: x = n x x 1 5) Trong khai triển cho biết C3n 5C1n và số hạng thứ tư 20n Tìm x vaø n ÑS: n = 7, x = (Khoái A/2002) Ví dụ :Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ khai triển 3 100 Giaûi: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển 243 100 100 k 2m m, p A k 4p Để Tk+1 là số hữu tỉ, cần phải có: Từ (1) suy ra: m = 50 – 2p m, p A p = 0, 1, , 25 Do đó k = 4p, với p = 0, 1, , 25 - 16 Lop10.com k là: Tk 1 C100 (1) 100 k k (17) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU Hay ta coù k = 0, 4, 8, 12, , 100 Vậy có 26 số hạng hữu tỉ khai triển 3 100 Bài tập tương tự: Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ các khai triển 1) 2 3 ÑS: 34 3 3) 4) 5) 12 20 ÑS: 50 ÑS: 13 100 2) 3 100 ÑS: 30 ÑS: - 17 Lop10.com (18) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU II Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng Ví dụ:Tìm heä soá cuûa x9 khai trieån 1 2x 3x Giaûi: Ta thaáy (1 2x 3x2 )8 1 (2x 3x2 ) Áp dụng khai triển nhị thức (a + b)5 với a = 1, b = 2x + 3x2 Ta có số hạng tổng quát thứ (k + 1) khai triển là: Tk 1 C8k (2x 3x )k C8k Cik (2x)k i (3x )i k i (3)i C8k Cik x k i Để x9 xuất là k + i = 9, với i k Suy ra: Hêệ số x9 khai triển là: 27.3.C88 C18 25.9C87 C82 23.27C86 C38 2.81C85 C84 30288 Chú ý: Khi giải bài toán trên ta có thể áp dụng cho a = + 2x, b = -3x2 Bài tập tương tự: Tìm hệ số của: 1) x4 khai trieån 1 x x2 ÑS: a5 = 19 2) x5 khai trieån 1 x x2 ÑS: a6 = –51 3) x5 khai trieån 2 x x2 ÑS: a6 = –266 4) x7 khai trieån 1 x 2x2 10 5) x17 khai trieån 2 x x 15 ÑS: a8 = –19440 ÑS: i, k khoâng toàn taïi neân a = 6) x8 khai trieån 1 x2 (1 x) (Khoái A/2004) ÑS: a5 = 238 7) Cho n A * gọi an3 là hệ số x3n3 khai triển thành đa thức (x 1)n (x 2)n Tìm n để an 3 26n (Khối D/2003) HD: an3 23 C0n C3n 2C1n C1n n - 18 Lop10.com (19) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU III Hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ví dụ 1: Trong các hệ số Cnk khai triển (a + b)n ( n là số nguyên lớn cho trước , k là số nguyên dương nhỏ n ) Tìm hệ số khai triển Cnk lớn Giải Đặt ak = Cnk n! n! ak 1 k!(n k)! (k 1)!(n k 1)! Nếu ak ak + 1 n k 1 n k k 1 Nếu n là số nguyên dương lẻ n – là số tự nhiên chẳn k n 1 a1 a2 a3 ………… a n 1 a n 1 an 2 hệ số C có giá trị lớn trường hợp này là: C k n Nếu n là số nguyên dương chẳn n 1 n C n 1 n n a1 a2 a3 ………… a n a n an 2 1 hệ số C có giá trị lớn trường hợp này là: C k n n n n 1 n21 C C neáu n laø soá leû n Cnk nn Vậy Max (n N) 0 k n C nA neáu n laø soá chaún n Ví dụ 2:Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức 1 2x 12 Giaûi: k k (2x)k (0 k 12) hệ số xk khai triển là ak+1 k C12 Ta coù Tk 1 C12 k 1 k k k 1 k C12 k C12 k 1 C12 0 Neáu ak ak 1 k 1 C12 26 12! k 1 2 k8 2(13 k) k k (k 1)! (12 k) k 13 k a0 a1 a2 a3 … a9 a10 a11 a12 Max k = (nhaän) 28 126720 Vậy hệ số lớn là a9 C12 Bài tập tương tự: - 19 Lop10.com (20) SÁNG KIẾN DẠY HỌC GIÁO VIÊN: HUỲNH MINH HẬU 15 27 1) Tìm hệ số lớn khai triển x ĐS: a7 10 C10 3 2) Tìm số hạng lớn khai triển: 100 1 a) 2 b) 100 50 ÑS: a51 c100 2 20 2 ÑS: a9 314925.105 3) Tìm x > cho số hạng thứ 50 khai triển (5 3x)10 là lớn HD: T3 T4 T5 20 x 21 4) Tìm x cho số hạng thứ 50 khai triển (x y)100 có giá trị lớn nhất, biết raèng x + y = vaø x > 0, y > HD: x - 20 Lop10.com 51 0,504 x (nhaän) 101 (21)