Bước2 : tìm điều kiện đủ : Với m Dm ta kiểm tra lại xem khi đó phương trình fx,m=0 đã thoả mãn tính chất P chưa.ở bước này nói chung ta thường thay các giá trị cụ thể của m vào để xét,[r]
(1)PhÇn I Mét sè kiÕn thøc liªn quan 1/ Hai phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm Khi giải các phương trình ta thường phải dùng các phép biến đổi tương đương 2/ Một phương trình gọi là phương trình hệ phương trình cho trước tập nghiệm nó chứa tập nghiệm phương trình đã cho Khi giải phương trình, ta dùng phép biến đổi đưa phương trình đã cho phương tr×nh hÖ qu¶ th× ta ph¶i thö l¹i 3/Môt số bài toán liên quan đến định lý đảo dâu tam thức bậc hai: Cho tam thøc bËc hai: f(x) = ax2+bx+c (a kh¸c 0), f(x) cã hai nghiÖm x1;x2 tho¶ m·n: x1< <x2 vµ chØ af( )<0 x1 x af ( ) s 2 x1 x af ( ) s 2 af ( ) f(x) cã hai nghiÖm kho¶ng ; vµ chØ : af ( ) S f(x) cã mét nghiÖm n»m ; , nghiÖm cßn l¹i n»m ngoµi ; vµ chØ f ( ) f ( ) 4/ Mét sè kiÕn thøc lý thuyÕt hµm sè : Lop10.com (2) Hàm số y=f(x) xác định trên D Khi đó phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trªn D vµ chØ g(m) thuéc vµo tËp gi¸ trÞ cña f(x) trªn D Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D, x0 thuộc D cho f(x0)=m ( đó m là số ) thì phương trình f(x) =m có nghiệm trên D Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D , x0 thuộc D cho f(x0)= g(x0) thì phương trình f(x) =g(x) có nghiệm trên D 5/ Nội dung phương pháp cần và đủ : Bài toán đặt là : tìm điều kiện tham số m để phương trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) nào đó.Khi giải bài toán này phương pháp điều kiện cần và đủ ta tiến hành theo các bước sau : Bước : (tìm điều kiện cần) Giả sử phương trình đã cho đã thoả mãn tính chất (P).Ta tìm điều kiện rµng buéc cña m Gi¶ sö ®iÒu kiªn rµng buéc cña m lµ m Dm Bước2 : (tìm điều kiện đủ) : Với m Dm ta kiểm tra lại xem đó phương trình f(x,m)=0 đã thoả mãn tính chất (P) chưa.ở bước này nói chung ta thường thay các giá trị cụ thể m vào để xét, giá trị m Dm mà làm cho phương trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) là đáp số bài toán PhÇn II Lop10.com (3) Một số dạng phương tr×nh vô tỉ thường gặp I Dạng : dùng phép biến đổi tương đương 2n 2n f ( x) f ( x) n g ( x) (*) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) (**) 2n f ( x) g ( x) Thực tế ta hay gặp trường hợp n=1.ở dạng (**) học sinh yếu thường hay mắc sai lầm sau: đặt điều kiện f(x) sau đó luỹ thừa 2n hai vế phương trình để khử giải phương trình này , sau đó kiểm tra điều kiện f(x) thấy thoả mãn, kết luận đó là nghiệm phương trinh (*) , mặc dù đơn giản học sinh hay quên điều kiện f(x) g(x) kh«ng ©m Bài tập áp dụng: giải phương trình: x 2x x 3x x x x 4x 2x x2 3x 3x x II D¹ng : f ( x ) g ( x ) h( x ) Lop10.com (4) Phương pháp giải dạng này là : tìm tập xác định phương trình đã cho bình phương hai vế ,thu gọn để quy dạng I Khi gặp phương trình dang: f ( x ) g ( x ) h( x ) học sinh thường mắc sai lầm là: sau tìm tập xác định phương trình đã cho đem bình phương hai vế , thu gọn để quy dạng I Trường hợp này nhiều ta thu phương trình hệ quả( Do chưa đã có: f ( x) g ( x) víi mäi x thuộc tập xác định phương trình) Giáo viên cần lưu ý học sinh điều này Ta nên hướng dẫn học sinh chuyển g (x) sang vế phải để quy vÒ d¹ng Ví dụ: giải phương trình: x x 2x HD: Pt có tập xác định là: D= 4; Ta cã: 2 x x 2x x x 2x x x (1 x)(1 x) x (1 x)(1 x) 1 x x0 2 x 1 (1 x)(1 x) Vậy nghiệm phương trình là x=0 Bài tập áp dụng: giải phương trình: 3x x 3x x x Lop10.com (5) x 2x x III/ D¹ng 3: Dïng tÝnh chÊt cña hµm sè: C¬ së lý thuyÕt: Cho f xác định trên D = (a ;b) f tăng (đồng biến) x1 , x2 D : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f gi¶m (nghÞch biÕn) x1 , x2 D : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Định lý: Nếu f có đạo hàm trên D = (a , b) và f không phải là số thì: f , ( x) 0, x D f t¨ng trªn D f , ( x) 0, x D f gi¶m trªn D Tính chất: Nếu f đơn điệu thì phương trình f(x0 = có tối đa nghiệm và nghiệm thì đó chính là nghiệm Từ đó ta có ứng dụng để giải phương trình chứng minh tồn nghiÖm C¸ch gi¶i: Các vế phương trình thường chứa các hàm số biến Tính chất hàm số không thể không ảnh hưởng tới cách giải các bài toán đặt Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng các tính chất hàm số giúp ta tìm c¸ch gi¶i hîp lý vµ hiÖu qu¶ *Chó ý: -Trong nhiều trường hợp HS sau nhẩm nghiệm thì vội vàng kÕt luËn tÝnh nhÊt cña nghiÖm, mµ quªn ®i c¬ së kÕt luËn nghiÖm phải dựa vào tính chất hàm số có mặt bài toán đó -Ta có thể lập bảng biến thiên để giải bài toán dễ dàng Mét sè vÝ dô: Ví dụ 1: Giải phương trình: Gi¶i: x 15 x x Ta viết lại phương trình: Vµ x 15 x nªn 3x x Phương trình: XÐt x 15 x x f ( x) x 15 x x 2, x f ( x) , x x 15 x x2 x (*) x 15 x x 15 x Lop10.com 3 (6) nªn f nghÞch biÕn H¬n n÷a f(1) = Do đó (*) f ( x) f (1) x VËy PT cã nghiÖm nhÊt x = Ví dụ 2: Tìm a để phương trình có nghiệm: x2 x x2 x a Gi¶i: XÐt y = f(x) = x x x x , D = R th× f lµ hµm lÎ Ta cã : y, 2x 1 x x x ( x )2 §Æt g (t ) t t ,t g (t ) , 3 (t ) 0 nên g đồng biến 1 1 Mµ x x g ( x ) g ( x ) y , 2 2 B¶ng biÕn thiªn: x y + , y -1 Vậy điều kiện để PT có nghiệm là a Ví dụ 3: Giải phương trình: 11x x x x HD: Với phương trình vô tỷ này ta có thể chuyển vế, bình phương khử dấu cách thông thường Tuy nhiên, ta chú ý đến miền xác định các hàm số y x và y x ta thấy phương trình đã cho xác định với x = Hơn nữa, x = thoả mãn PT Lop10.com (7) VËy nghiÖm cña PT lµ x = Ví dụ 4: Giải phương trình: x3 x3 HD: Đây là ví dụ phương trình vô tỉ mà có thể dùng cách giải thông thường là bình phương vế để khử Tuy nhiên ta không vội làm điều đó mà để ý rằng: để PT có nghĩa thì x3 x3 x3 x3 x3 x3 VËy PT v« nghiÖm Ví dụ 5: giải phương trình x x 12 x 36 Giải Nếu ta bình phương để khử thức thì phương trình bậc đầy đủ, việc giải nó phức tạp, nên ta tìm cách giải khác Trước hết ta để ý x = nghiệm đúng phương trình Nhưng khác với các ví dụ trước, hàm số vế trái x x 12 x không phải là hàm đơn điệu miền xác định nó: 1; Tuy nhiên ta xét khoảng 0; Thì vế trái là hàm số đơn điệu tăng đó x= là nghiệm phương trình đã cho khoảng 0; Bây ta xét đoạn 1;0 Ta có víi x 1;0 th× x x , 12 x 12 vÕ tr¸i x x 12 x 12 36 nªn phương trình không có nghiệm đoạn 1;0 §¸p sè: x=3 Ví dụ 6: giải phương trình: a) b) 3x x x x 2x HD: a) Pt đã cho có tập xác định là: D= 1; Ta dễ kiểm tra hàm f ( x) x x đồng biến trên D Mà f(2)=3 Do pt đã cho cã nghiÖm nhÊt x=2 b) Pt đã cho có tập xác định là: D= 4; Ta dễ kiểm tra hàm 2 f ( x) x x đồng biến trên D, hàm g(x)= x nghịch Lop10.com (8) biến trên D Mà f(0)=g(0) Do pt đã cho có nghiệm x=0 Bài tập áp dụng: giải phương trình: x x 4 x 3x x x x IV.Dạng 4: đặt ẩn phụ quy phương trình bậc hai Ví dụ: giải phương trình: a x 32 3x 22 x 3x b 3x x x 3x x c x 3x ( x 3) x HD: a §Æt y= x 3x ( y 0) Ta ®îc pt: y2-y-20 = NghiÖm y = -4 bÞ lo¹i.Víi y = ta t×m ®îc c¸c nghiÖm x = ; x = -3 b §Æt y= 3x x (y > 0) Ta thÊy y2=4x-3+2 3x x y Ta phương trình : y2-y-6=0 y 2 NghiÖm y=-2 bÞ lo¹i Với y=3 ta 3x x Trong phần dùng tính đơn điệu hàm số ta đã tìm nghiệm pt này là x = Vậy pt ban ®Çu cã nghiÖm nhÊt x = c Phần này phép đặt ẩn phụ phần này gọi là không hoàn toµn.Cô thÓ nh sau : Đặt y= x ( y 1) Ta phương trình : y2-(x+3)y+3x=0 y y x Lop10.com (9) Víi y=3 ta ®îc : x 2 x2 1 x 2 Víi y=x ta ®îc : x PT v« nghiÖm x2 1 x 2 x x x 2 Vậy nghiệm pt đã cho là : x 2 Bài tập áp dụng: giải phương trình: (x+5)(2-x)=3 x 3x x x 3x 11 3x x x2 1 x x2 1 ( x 1)(2 x) x x x x x 12 x 16 x x2 x 1 x x x x 16 2 x x x+ x 3x x (4x-1) x x x 10 2(1-x) x x x x V Dạng 5: các pt vô tỉ quy pt chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: giải phương trình: x 2x x 2x HD: Nhân hai vế phương trình với ta được: Lop10.com (10) x 2 x x 2 x ( x 1) ( x 1) 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x x 1 Bài tập áp dụng: giải phương trình: x 2x x 2x 2 5 x2 1 x2 x2 x2 x 1 4 x x 1 x x 1 2x 2x 2x 2x 2x 2x x5 VI Dạng 6: giải pt vô tỉ phương pháp nhân liên hợp Ví dụ: giải phương trình: x 3x x3 Nếu ta dùng phép bình phương để khử thì ta thu pt còn phức tạp, không quy các dạng quen thuộc Khi đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi xem các số liệu bài toán có gì đặc biệt Trong bài tập này ta thấy (4x+1)-(3x-2)=x+3 Do đó ta nghĩ đến việc nhân hai vế pt với liên hîp cña vÕ tr¸i Lu ý nh©n c¶ hai vÕ cña pt víi u(x) ta cÇn quan t©m xem liÖu u(x) có luôn khác trên tập xác định pt hay không Nếu có ta phải xét riêng trường hợp này HD: Pt có tập xác định D = ; Ta thấy x 3x 0x D 3 Do pt đã cho tương đương với: 5(x+3)=(x+3) ( x 3x ) x x (Vì x+3 x D) Bằng phương pháp dùng tính đơn ®iÖu cña hµm sè ta t×m ®îc nghiÖm nhÊt cña pt lµ x=2 Bài tập áp dụng: giải phương trình: 10 Lop10.com (11) 3(2 x ) x x 3x 3x x 10 x x2 2 2(1 x ) 4(x+1)2=(2x+10)(1- x ) VII Dạng 7: phương pháp lượng giác hoá Ví dụ: giải phương trình: x 3x x HD: Pt đã cho có tập xác định là: D=[-1;1] Đặt x=cost , ( t [0; ] ) Ta ®îc pt: 4cos3t-3cost= cos t cos 3t sin t cos 3t cos( t ) Pt nµy cã nghiÖm thuéc [0; ] lµ: x1 cos 2 5 ; ; Do pt đã cho có nghiệm là : 8 ; x cos 5 x3 cos sin 8 cos cos 2 2 2 2 Bài tập áp dụng: giải phương trình: 1 x x(1 x ) (1 x ) x x (1 x ) x 2(1 x ) VIII D¹ng 8: 1 35 x x 12 A B C Trong đó A = A(x) ; B = B(x) ; C = C(x) Phương pháp giải dạng này là : lập phương hai vế pt ta được: A+B+3 AB (3 A B ) C Sau đó 11 Lop10.com A B C vµo pt míi ta thu ®îc: (12) A B 33 ABC C Ta thu gọn hai vế lập phương lần quy vÒ pt bËc cao Ta cần lưu ý cho học sinh các phép biến đổi trên là phép biến đổi hệ qu¶ V× thÕ A B C ta thu ®îc A B 33 ABC C (*) Mµ (*) ( A B C ) A C 3 A B C A B B C B C A B 3 3 A B 3 Như nghiệm phương trình cuối cùng ta phải thay vào pt ban đầu để thử lại Ví dụ: giải phương trình: x 3x x HD: Lập phương hai vế pt đã cho ta được: x 33 ( x 1)(3 x 1) ThÕ x 1 3 3x x x 3 x x vµo pt trªn ta ®îc: x ( x 1)(3 x 1)( x 1) x 1 ( x 1)(3 x 1)( x 1) x x 1 (3 x 1)( x 1) x 1 x Thay c¸c gi¸ trÞ x = ; x =-1 vµo pt ban ®Çu ta thÊy chØ cã x =-1 lµ tho¶ m·n VËy nghiÖm pt ban ®Çu lµ x =-1 Bài tập áp dụng: giải phương trình: IX D¹ng 9: x 1 x x 1 x 1 x đặt ẩn phụ đưa hệ Ví dụ: giải phương trình: a x x ( D¹ng tæng qu¸t lµ: x x a a (a 0) ) b x 33 3x ( D¹ng tæng qu¸t lµ: x b a ax b ) 12 Lop10.com (13) c x 1 x 1 d 47 x 35 x HD: x y (1) a §Æt y x ( y 0) Ta ®îc hÖ: y x (2) y x y x 1 Lấy (1) trừ (2) theo các vế tương ứng ta được: ( x y )( x y 1) Víi y=-x ta ®îc : Víi y=x+1 ta ®îc: x 21 x x x x x x 1 17 x x 1 x x x VËy pt d· cho cã hai nghiÖm: x1 21 17 ; x2 2 x y b Đặt y 3x Ta hệ đối xứng loại : 3 y x Sau gi¶i hÖ nµy ta thu ®îc c¸c nghiÖm cña hÖ :(1 ; 1) ; (-2 ;-2) Vậy pt đã cho có hai nghiệm : x1=1 ; x2=-2 v c §Æt u x ; v x Ta ®îc hÖ : u v u v ThÕ u=1-v vµo pt u3+v2=1 ta ®îc: (1-v)3+v2=1 Gi¶i pt nµy ta thu ®îc nghiệm : v1=0 ; v2=1; v3=3.Từ đó suy pt đã cho có nghiệm: x1=1 ; x2=2 ; x3=10 d Đặt u 35 x (u 0) ; v 47 x (v 0) Ta hệ đối xứng loại I: u v Gi¶i hÖ nµy ta thu ®îc hai nghiÖm: (1;3) ; (3;1) 4 u v 82 Từ đó tìm các nghiệm pt dã cho là: x1=-17 ; x2=23 Bài tập áp dụng: giải phương trình: 13 Lop10.com (14) x x x 23 x 3 x x 1 x x 1 x x 1 18 x x x 17 x X Dạng 10: số phương trình vô tỉ không mẫu mực Dạng này đòi hỏi học sinh phải có sáng tao làm toán Trong các bài toán dạng này ta thường dùng các phương pháp : nhận xét, đánh giá, dùng các bất đẳng thức cổ điển Ví dụ: giải phương trình: a x 2x x HD: Pt có tập xác định D = [1;+ ) Với x thuộc D ta thấy: x 2x x 12 DÊu b»ng x¶y x x DÊu b»ng x¶y x Từ đó dễ suy pt có nghiệm x=1 Ta có thể giải bài toán này phương pháp dùng tính đơn điệu hàm sè b x x x x 11 HD: Pt có tập xác định D=[2 ;4] Với x thuộc D, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cã : x2 4 x x 1 x 1 2 2 x x3 4 x DÊu b»ng x¶y 14 Lop10.com (15) x x 11 x 3 DÊu b»ng x¶y x Vậy pt đã cho có nghiệm x=3 Ta có thể dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá vế trái c x x x x x 3(4 x x 3) HD : Dễ thấy pt có tập xác định là R áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có : x x x 2x x DÊu b»ng x¶y x2 1 1 x2 x 1 2x x x VËy pt cã nghiÖm nhÊt x = d x x HD : Pt có tập xác định D= 0; , áp dụng bđt Côsi ta có: 11 1 1 1 x x 44 x x 42 2 2 DÊu b»ng x¶y x 1 x 16 VËy pt cã nghiÖm nhÊt x=1/16 ® sin x cos x y y HD : Ta thÊy : y2 2y y 12 DÊu b»ng x¶y vµ chØ y = sin x cos x sin x DÊu b»ng x¶y 4 sin x x k 2 4 12 12 x x x x x x x ; k Z 15 Lop10.com (16) x k 2 VËy nghiÖm pt lµ y e n x n n 1 x n ; n N * HD: +) Thay x = n; x= n+1 vµo pt thÊy tho¶ m·n +) NÕu x < n th× x n n 1 x n Do vËy mäi x < n kh«ng lµ nghiÖm cña pt +) NÕu x > n+1 th× x n n x n Do vËy mäi x > n+1 kh«ng lµ nghiÖm cña pt n x n x n 0 x n x n +) NÕu n < x < n+1th× : 0 x n n x n 1 x n n x n x n n 1 x n Suy mäi x tho¶ n < x < n+1 còng kh«ng lµ nghiÖm pt Vậy pt đã cho có hai nghiệm: x1=n ; x2=n+1 g x( x 1) xx 2 x (*) Trong bµi nµy häc sinh rÊt dÔ m¾c sai lÇm lµ ®em chia c¶ hai vÕ cña phương trình cho x pt: x x x Giáo viên nên tạo lời giải theo hướng này và yêu cầu học sinh tìm chỗ sai lời giải HD: Pt có tập xác định D (;2] 0 [1;) +) NÕu x th× (*) x x x Ta thÊy x x ; x ; x Do vËy mäi x kh«ng lµ nghiÖm pt +)Thay x=0 vµo pt thÊy tho¶ m·n 16 Lop10.com (17) +) NÕu x 2 th× (*) x x x Ta thÊy x x ; x ; x 2 Do vËy mäi x 2 còng kh«ng lµ nghiÖm pt VËy pt cã nghiÖm nhÊt x=0 h x x 816 x 10 x 267 2003 HD +) Trước tiên ta chứng minh bđt : a b c d a c 2 b d 2 ac bd ad bc DÊu b»ng ë b®t nµy x¶y +) ¸p dông b®t trªn ta cã : x x 816 x 10 x 267 31 4 x 2 20 x 52 11 2003 (4 x)( x 5) 20 11 DÊu b»ng x¶y (4 x).11 ( x 5).20 x 56 31 Bài tập áp dụng: giải phương trình: 4x 4x x x x 10 x 27 x 2 x x x 16 x x 20 x 15 x x x2 x 10 x x x 11 XI D¹ng 11: c¸c pt v« tØ cã chøa tham sè Đối với các pt vô tỉ có chứa tham số ta thường gặp các loại câu hỏi sau: +) Tìm m để pt có nghiệm trên D +) Tìm m để pt có n nghiệm (n>1) trên D +)Tìm m để pt có nghiệm +) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña pt 17 Lop10.com (18) Ví dụ1: tìm m để phương trình: a x x m cã nghiÖm HD: Cách 1: pt trên có tập xác định là R Xét hàm : f(x)= x x Ta cã f’(x)= 2x 2x x f ' ( x) x 2 x x 2 x x DÔ tÝnh ®îc : lim f ( x) x Ta cã b¶ng: x f’(x) - + f(x) 2 Nh×n vµo bbt ta thÊy pt cã nghiÖm vµ chØ m Cách : pt đã cho x m x m 2x m x 2 x 2mx m (*) 2 x m x Pt ban đầu có nghiệm và pt (*) có nghiệm thuộc ; m.Ta dùng định lý đảo dấu tam thức bậc hai đáp số trên b x x x x m cã nghiÖm trªn (0 ;1) HD : 18 Lop10.com (19) §Æt y = x x B»ng c¸ch lËp bbt cña hµm u(x)= 2x-x2 trªn kho¶ng (0 ;1) ta ®îc tËp gi¸ trÞ cña y trªn (0 ;1) còng lµ (0 ;1) Ta ®îc pt : y2+y = 1-m (*) Pt ban ®Çu cã nghiÖm vµ chØ (*) cã nghiÖm trªn (0 ;1) Xét hàm f(y) = y2+y trên (0 ; 1) Ta thấy f(y) đồng biến trên (0 ;1) , f (0) f ( y ) f (1) , y (0;1) hay tËp gi¸ trÞ cña f(y) trªn (0 ;1) lµ (0 ;2) VËy pt ban ®Çu cã nghiÖm vµ chØ : 0< 1-m <2 hay -1 < m < Bài này học sinh thường mắc sai lầm là đặt ẩn phụ : y = v(x) học sinh thường không tìm tìm không chính xác tập giá trị y trên D Sau đó lËp luËn pt ban ®Çu cã nghiÖm vµ chØ pt Èn y cã nghiªm GV chó ý ph©n tÝch kü gióp häc sinh tr¸nh sai lÇm nµy c x x m x x m cã nghiÖm ph©n biÖt HD : Pt có tập xác định là [-3 ;1] Đặt y = x x Ta có bảng : x -3 -1 y 0 Ta ®îc pt Èn y : 3-y2 + my = m2 y2- my + m2 -3 = §Æt f(y)= y2- my + m2 - Tõ bbt ta thÊy pt ban ®Çu cã nghiÖm vµ chØ f(y) có hai nghiệm phân biệt thuộc [0 ;2) Điều kiện cần và đủ là : 1 f (0) 1 f (2) 0 s Gi¶i hÖ nµy ta ®îc : m 19 Lop10.com (20) d x x 2m x(1 x) 24 x(1 x) m HD : +) Điều kiên cần : giả sử x0 là nghiệm phương trình đã cho thì ta thấy 1-x0 là nghiệm pt đã cho Do điều kiện cần để pt có nghiệm là m m m m m 1 x0=1-x0 hay x0=1/2 Thay x0=1/2 vµo pt ta ®îc : +) Điều kiện đủ : Víi m =0 kh¸ dÔ dµng thÊy pt cã nghiÖm nhÊt x=1/2 Víi m=-1 pt trë thµnh : x x x(1 x) 24 x(1 x) x V¬i m=1 pt trë thµnh: 1 x x 4 1 x x 1/ x x x(1 x) 24 x(1 x) Ta thÊy x=0; x=1 thay vào pt thoả mãn Vậy đáp số bài toán là: m = 0; m =-1 VÝ dô2: biÖn luËn theo m sè nghiÖm pt: x m m x2 1 HD: Ta thấy pt luôn nhận x=0 là nghiệm với m.Trên tập R \ 0, pt đã cho tương đương với : m x x2 1 1 (*) Sè nghiÖm cña pt ban ®Çu b»ng sè nghiÖm cña pt (*) céng víi x XÐt hµm f ( x) Ta cã : f ' ( x) x 1 1 1 x2 1 x 1 1 trªn R \ 0 f ( x) ; lim 1 Ta tÝnh ®îc : xlim X lim f ( x) ; lim f ( x) x 0 x 0 Ta cã BBT : 20 Lop10.com (21)