Vấn đề 8 : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳng khác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác.. Hình học không gian trong các kì thi[r]
(1)Các chuyên đề ao tra ng tb .c om TRẦN ANH TUẤN TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI ht //: LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2010 Lop12.net (2) Lop12.net .c tb ng ot :// a ht om (3) Mục lục Chương om I Đại số - Lượng giác - Giải tích Phương trình, bất phương trình, hệ đại số 11 1.1 Phương trình, bất phương trình đa thức 11 1.1.1 Phương trình, bất phương trình bậc hai 11 .c 1.1.2 Phương trình trình bậc ba 13 1.1.3 Phương trình, bất phương trình bậc bốn 13 tb 1.2 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối 14 1.3 Phương trình, bất phương trình chứa 16 ng Vấn đề : Phương trình, bất phương trình 16 Vấn đề : Phương pháp đặt ẩn phụ 17 Vấn đề : Phương pháp nhân liên hợp 19 Vấn đề : Phương pháp đánh giá 19 Vấn đề : Phương trình, bất phương trình có tham số 20 ot 1.4 Hệ phương trình 23 1.4.1 Phương pháp 23 :// a 1.4.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử coi phương trình là phương trình bậc hai (ba) theo ẩn 24 1.4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 24 1.4.4 Phương pháp hàm số 27 1.4.5 Phương pháp đánh giá 27 1.5 Số nghiệm phương trình, hệ phương trình 28 ht Vấn đề : Chứng minh phương trình có nghiệm 28 Vấn đề : Chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt 28 Vấn đề : Chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt 29 1.6 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số các kì thi tuyển sinh ĐH 29 1.7 Bài tập tổng hợp 31 Chương Bất đẳng thức 37 2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 37 2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh tổng và tích 37 2.1.2 Một số hệ trực tiếp 37 2.1.3 Bài tập đề nghị 37 2.2 Bất đẳng thức hình học 42 2.3 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình hệ phương trình 44 Lop12.net (4) 2.4 Bất đẳng thức các kì thi tuyển sinh ĐH 44 2.5 Bài tập tổng hợp 46 Chương Lượng giác 51 3.1 Phương trình 51 3.2 Phương trình dạng a sin x + b cos x = c 52 3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 53 3.4 Đưa phương trình dạng tích 60 3.5 Phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số 62 om 3.6 Giá trị lớn và nhỏ biểu thức lượng giác 63 3.7 Lượng giác các kì thi tuyển sinh ĐH 63 3.8 Bài tập tổng hợp 64 Tổ hợp 69 .c Chương 4.1 Các quy tắc đếm Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị 69 tb 4.2 Giải phương trình, bất phương trình, hệ 74 4.3 Hệ số xk khai triển 76 ng 4.4 Hệ số xk khai triển nhị thức (a + b)n 76 4.5 Hệ số xk khai triển (a + b)n (c + d)m 77 4.6 Hệ số xk khai triển (a + b + c)n 77 n P k=0 ak Cnk 77 4.7 Tính tổng các hệ số tổ hợp : 4.8 Phương pháp với ak là hàm số mũ theo biến k 77 ot 4.9 Phương pháp đạo hàm với ak là tích hàm số mũ và đa thức theo k 78 4.10 Phương pháp tích phân với ak là tích hàm số mũ và phân thức theo k 79 Chương :// a 4.11 Bài tập tổng hợp 80 Hàm số 83 5.1 Tính đơn điệu 83 Vấn đề : Xét chiều biến thiên hàm số 83 Vấn đề : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên miền 84 ht Vấn đề : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm biến số 87 Vấn đề : Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức 89 Vấn đề : Ứng dụng biến thiên vào việc giải phương trình, bất phương trình, hệ 91 Vấn đề : Ứng dụng biến thiên vào bài toán số nghiệm phương trình có tham số 92 5.2 Cực trị hàm số 93 Vấn đề : Sử dụng dấu hiệu và dấu hiệu để xác định các điểm cực trị hàm số 94 Vấn đề : Điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị (cực đại cực tiểu) x = x0 đồ thị hàm số đạt cực trị điểm (x0 ; y0 ) 94 Vấn đề : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và thỏa mãn vài điều kiện 95 5.3 Tiệm cận 100 Vấn đề : Tìm tiệm cận đồ thị hàm số 100 Vấn đề : Các bài toán tiệm cận có tham số 101 5.4 Tâm đối xứng và trục đối xứng Điểm thuộc đồ thị 102 Lop12.net (5) Vấn đề : Tâm đối xứng, trục đối xứng 102 Vấn đề : Khoảng cách 102 5.5 Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình phương pháp đồ thị 103 5.6 Bài toán tương giao 108 5.7 Sự tiếp xúc hai đường cong và tiếp tuyến 109 Vấn đề : Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm 109 Vấn đề : Hai đường cong tiếp xúc 111 Vấn đề : Tiếp tuyến qua điểm 112 Vấn đề : Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước 113 om 5.8 Hàm số các kì thi tuyển sinh ĐH 114 5.9 Bài tập tổng hợp 121 Chương Mũ và lôgarít 127 .c 6.1 Hàm số mũ, hàm số lũy thừa 127 6.2 Hàm số logarit 127 tb 6.3 Phương trình mũ và logarit 129 Vấn đề : Phương trình 129 ng Vấn đề : Phương pháp logarit hai vế 130 Vấn đề : Phương pháp đặt ẩn phụ 130 Vấn đề : Phương pháp phân tích thành nhân tử 131 Vấn đề : Phương pháp đánh giá 131 6.4 Bất phương trình mũ và logarit 132 ot Vấn đề : Bất phương trình 132 Vấn đề : Phương pháp đặt ẩn phụ 133 :// a Vấn đề : Phương pháp phân tích thành nhân tử 134 6.5 Hệ phương trình 134 6.6 Phương trình mũ và lôgarit các kì thi tuyển sinh ĐH 135 6.7 Bài tập tổng hợp 136 Chương Tích phân 149 ht 7.1 Các dạng toán nguyên hàm 149 Vấn đề : Chứng minh hàm số F(x) là nguyên hàm hàm số f (x) 149 Vấn đề : Sử dụng bảng nguyên hàm 149 Vấn đề : Tìm số C 150 Vấn đề : Phương pháp nguyên hàm phần 150 Vấn đề : Phương pháp đổi biến số 151 7.2 Các dạng toán tích phân 152 Vấn đề : Sử dụng tích phân 152 Vấn đề : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối 152 Vấn đề : Phương pháp tích phân phần 153 Vấn đề : Phương pháp đổi biến số 154 Vấn đề : Tích phân các hàm hữu tỉ 157 Vấn đề : Tích phân số hàm đặc biệt 159 Lop12.net (6) 7.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 161 7.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay 162 7.5 Tích phân các kì thi ĐH 163 7.6 Bài tập tổng hợp 164 Chương Số phức 167 II Hình học Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng om Chương 173 175 9.1 Phương pháp tọa độ mặt phẳng 175 9.2 Phương trình đường thẳng 176 .c 9.2.1 Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng 176 9.2.2 Các bài toán liên quan đến việc sử dụng phương trình đường thẳng 176 tb 9.2.3 Bài tập tổng hợp 177 9.3 Đường tròn 180 ng 9.4 Đường elip 183 9.5 Đường hypebol 184 9.6 Đường parabol 186 9.7 Phương pháp tọa độ mặt phẳng qua các kì thi tuyển sinh ĐH 187 9.8 Bài tập tổng hợp 188 Mở đầu hình học không gian Quan hệ song song ot Chương 10 191 :// a 10.1 Đại cương đường thẳng và mặt phẳng 192 Vấn đề : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng 192 Vấn đề : Xác định giao điểm đường thẳng a và mặt phẳng (P) 192 Vấn đề : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy 193 Vấn đề : Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng 193 10.2 Hai đường thẳng song song 195 ht Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) 195 Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng song song 196 Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng chéo 196 10.3 Đường thẳng và mặt phẳng song song 197 Vấn đề : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 197 Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Dựng thiết diện song song với đường thẳng 197 Vấn đề : Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng khác Xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng 198 10.4 Hai mặt phẳng song song 199 Vấn đề : Chứng minh hai mặt phẳng song song 199 Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước 199 Lop12.net (7) Chương 11 Vectơ không gian Quan hệ vuông góc 201 11.1 Vectơ không gian Sự đồng phẳng các vectơ 202 Vấn đề : Biểu thị vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng 202 Vấn đề : Chứng minh các đẳng thức vectơ 203 Vấn đề : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song 203 Vấn đề : Chứng minh các vectơ đồng phẳng 204 11.2 Hai đường thẳng vuông góc 205 Vấn đề : Tính góc hai vectơ 205 om Vấn đề : Tính góc hai đường thẳng a và b 206 Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 207 11.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 207 Vấn đề : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) 207 .c Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với 208 Vấn đề : Xác định góc đường thẳng a và mặt phẳng (P) 210 tb Vấn đề : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước 211 11.4 Hai mặt phẳng vuông góc 213 ng Vấn đề : Xác định góc hai mặt phẳng 213 Vấn đề : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc 214 Vấn đề : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) 215 Vấn đề : Dựng mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P)) 216 11.5 Khoảng cách 217 ot Vấn đề : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước 217 Vấn đề : Dựng đường thẳng qua điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước :// a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) 217 Vấn đề : Đoạn vuông góc chung và khoảng cách hai đường thẳng chéo 219 11.6 Khối đa diện và thể tích khối đa diện 222 Vấn đề : Phương pháp trực tiếp tìm thể tích khối chóp 222 Vấn đề : Tính thể tích hình chóp cách gián tiếp 227 ht Vấn đề : Dùng công thức thể tích để giải số bài toán hình học 228 11.7 Phân loại số hình khối đa diện 230 11.7.1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 230 11.7.2 Hình chóp 231 11.7.3 Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy 232 11.7.4 Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy 233 11.7.5 Hình chóp có các cạnh bên các cạnh bên cùng tạo với đáy góc 233 11.7.6 Hình hộp - Hình lăng trụ 234 11.8 Bài tập tổng hợp 235 Chương 12 Mặt cầu và khối tròn xoay 239 12.1 Mặt cầu, khối cầu 239 12.2 Mặt tròn xoay Mặt trụ, hình trụ và khối trụ 243 Lop12.net (8) Chương 13 Phương pháp không gian toạ độ không gian 249 13.1 Hệ toạ độ không gian 249 Vấn đề : Tìm tọa độ vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn số điều kiện cho trước 249 Vấn đề : Ứng dụng tích vô hướng và tích có hướng 249 Vấn đề : Lập phương trình mặt cầu 252 Vấn đề : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian 253 13.2 Phương trình mặt phẳng 254 Vấn đề : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước 254 Vấn đề : Vị trí tương đối hai mặt phẳng 255 om Vấn đề : Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 256 Vấn đề : Góc hai mặt phẳng 258 Vấn đề : Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu 258 13.3 Phương trình đường thẳng 260 .c Vấn đề : Phương trình tham số và phương trình chính tắc đường thẳng 260 Vấn đề : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 260 tb Vấn đề : Vị trí tương đối hai đường thẳng ∆ và ∆′ không gian 261 Vấn đề : Vị trí tương đối đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) 262 ng Vấn đề : Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 263 Vấn đề : Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu 264 Vấn đề : Góc hai đường thẳng ; góc đường thẳng và mặt phẳng 266 Vấn đề : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, vuông góc với đường thẳng mặt phẳng khác, nằm trên mặt phẳng khác 267 ot Vấn đề : Phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ cắt ∆′ 268 Vấn đề 10 : Hình chiếu và tính đối xứng 270 :// a Vấn đề 11 : Bài toán cực trị 271 13.4 Hình học không gian các kì thi tuyển sinh ĐH 273 13.5 Bài tập tổng hợp 278 287 ht III Hướng dẫn và đáp số Lop12.net (9) om c tb Phần I ht :// a ot ng Đại số - Lượng giác - Giải tích Lop12.net (10) Lop12.net .c tb ng ot :// a ht om (11) Chương om Phương trình, bất phương trình, hệ đại số 1.1 Phương trình, bất phương trình đa thức Bài 1.1 : Giải và biện luận các phương trình sau : (m − 2)x2 − 2mx + m + = ; a + = x−1 x−a ng tb .c 1.1.1 Phương trình, bất phương trình bậc hai Bài 1.2 : Cho phương trình : (m2 − 4)x2 + 2(m + 2)x + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ot Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 1.3 : Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình sau vô nghiệm : :// a c2 x2 + (a2 − b2 − c2 )x + b2 = Bài 1.4 : Cho phương trình : x2 − (2m + 3)x + m2 + 2m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ht Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 , x1 x2 Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với tham số m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 = 2x2 Bài 1.5 : Cho phương trình : x2 − cos a.x + sin a − = Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với a Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ E = (x1 + x2 )2 + x21 x22 Bài 1.6 : Cho phương trình : mx2 − 2(m − 2)x + m − = Tìm m để phương trình có : 11 Lop12.net (12) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC hai nghiệm trái dấu ; hai nghiệm dương phân biệt ; đúng nghiệm âm Bài 1.7 : Giải các bất phương trình sau : x2 − 4x + <1−x; − 2x −4 + ≤ ; x + 2 x2 + 2x x2 + (x + 1)2 ≤ (−x2 + 3x − 2)(x2 − 5x + 6) ≥ ; 15 ; x2 + x + Bài 1.8 : Giải và biện luận các bất phương trình sau : x2 − mx + m + ≥ 0, ∀x ∈ R ; om : x − 8x + 15 ≥ .c Bài 1.10 : Tìm m để : < x2 − 7x + ≤ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R ; Bài 1.11 : Tìm m để các hàm số sau xác định với x ∈ R : È m(m + 2)x2 + 2mx + ; y = È y = tb Bài 1.9 : Giải hệ bất phương trình sau : (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + 3m − ≥ ; mx2 − mx − < 0, ∀x ∈ R ng x2 − mx + m + > ; (1 − m)x2 − 2mx + − 9m ; f (x) ≥ có nghiệm :// a f (x) < vô nghiệm ot Bài 1.12 : Cho f (x) = (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + 3m − Tìm m để bất phương trình : Bài 1.13 : Tìm m để các bất phương trình sau có tập nghiệm là R : 1 ≤ 3x2 − mx + <6; 2x2 − x + x2 + mx + <2; x2 + ht Bài 1.14 : Cho bất phương trình : x2 + 6x + + m ≤ Tìm m để bất phương trình : vô nghiệm có đúng nghiệm có miền nghiệm là đoạn trên trục số có độ dài Bài 1.15 : Tìm m để f (x) = mx2 − 4x + 3m + > với x > Bài 1.16 : Tìm m để f (x) = 2x2 + mx + ≥ với x ∈ [−1; 1] Bài 1.17 : Tìm m để f (x) = x2 − 2mx − m ≥ với x > Bài 1.18 : Tìm m để f (x) = mx2 − 2(m + 1)x − m + > với x < Bài 1.19 : Tìm m để f (x) = 2x2 − (3m + 1)x − (3m + 9) ≤ với x ∈ [−2; 1] TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 12 (13) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1.1.2 Phương trình trình bậc ba Bài 1.20 : Cho phương trình : x3 − (m2 − m + 7)x − (3m2 + m − 6) = Tìm m để phương trình có nghiệm là −1 Với m > tìm câu trên, hãy giải phương trình Bài 1.21 : Giải các phương trình sau : x3 − 5x2 + 7x − = ; om x3 − 6x2 + 11x − = ; √ √ x3 − 3x2 + 7x − = ; 2x3 + x + = ; .c Bài 1.22 : Tìm m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt : x3 − (2m + 1)x2 + 3(m + 4)x − m − 12 = ; mx3 − 2mx2 − (2m − 1)x + m + = ; tb Bài 1.23 : Tìm m để phương trình : có ba nghiệm dương phân biệt 1.1.3 Phương trình, bất phương trình bậc bốn ot Bài 1.24 : Giải các phương trình sau : x4 − 3x2 + = ; ng mx3 − (3m − 4)x2 + (3m − 7)x − m + = 6x4 − 35x3 + 62x2 − 35 + = ; x4 + x3 − 4x2 + x + = ; (x + 2)(x − 3)(x + 1)(x + 6) = −36 ; x4 − 5x3 + 10x2 − 10x + = ; x4 + (x − 1)4 = 97 ; x4 − x2 + 6x − = ; :// a (x − 1)(x + 5)(x − 3)(x + 7) = 297 ; ht (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 ; 10 2x4 − x3 − 15x2 − x + = Bài 1.25 : Tìm các giá trị m cho phương trình Vô nghiệm ; x4 + (1 − 2m)x2 + m2 − = Có hai nghiệm phân biệt ; Có bốn nghiệm phân biệt Bài 1.26 : Tìm các giá trị a cho phương trình (a − 1)x4 − ax2 + a2 − = có ba nghiệm phân biệt Bài 1.27 : Cho phương trình : (m − 1)x4 + 2(m − 3)x2 + m + = Tìm m để phương trình trên vô nghiệm Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 13 (14) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 1.28 : Cho phương trình : x4 − (2m + 1)x2 + m + = Tìm m để phương trình trên có bốn nghiệm phân biệt, đó nghiệm bé −2 và ba nghiệm còn lại lớn −1 Bài 1.29 : Tìm h để phương trình sau đây có không ít hai nghiệm âm khác : x4 + hx3 + x2 + hx + = Bài 1.30 : Cho phương trình : (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m om Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt c 1.2 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối Phương trình (bất phương trình) | f (x)| + g(x) < (hoặc = , > , ≥ , ≤ ) tương đương với f (x) + g(x) < : − f (x) + g(x) < ng : < f (x) < tb < f (x) ≥ Một số phương trình bất phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì việc phá dấu giá trị tuyệt đối phức tạp nhiều, phải chia thành nhiều trường hợp cách lập bảng xét dấu các biểu thức dấu giá trị tuyệt đối Phương trình (bất phương trình) | f (x)| < |g(x)| (hoặc = , > , ≥ , ≤ ) phương pháp đơn giản là bình ot phương hai vế, chuyển vế, phân tích thành nhân tử :// a Một số phương trình và bất phương trình thông dụng (giả sử a > 0) • |x| = a ⇔ x = a x = −a • |x| < a ⇔ −a < x < a • |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a • |x| > a ⇔ x < −a x > a ht • |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a x ≥ a Bài 1.31 : Giải phương trình |x2 − 8x + 15| = x − Bài 1.32 : Giải các phương trình và bất phương trình sau : |x2 − 5x + 4| = x2 + 6x + 5; | − x2 + x − 1| ≤ 2x + 5; |x − 1| = 2x − 1; |x2 − x| ≤ |x2 − 1| Bài 1.33 : Giải các phương trình và bất phương trình sau : x2 − = 2; x+1 3x + ≤ 3; x−2 2x − ≥ 1; x−3 |2x + 3| = |4 − 3x| Bài 1.34 : Giải các bất phương trình sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 14 (15) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC |x2 − 5x + 4| ≤ x2 + 6x + 5; 4x2 + 4x − |2x + 1| ≥ Bài 1.35 : Giải các bất phương trình sau : 1 − | x| ≥ ; + |x| 2 log5 log¹⁄₂ x − 4|x| |x| − ||x| − 1| < − x ; |x2 − 3x − 7| + 2x − < x2 − 8x − ; ≤0; x2 − |x2 − 3x − 5| − < x + ; |x2 − 2x − 8| > 2x ; |x − 1| + |x − 2| > + x ; |x2 − 4x| + ≥0; x2 + |x − 5| 10 log3 |x3 − x2 + 4| + x3 − x2 − 2x − ≤ ; 11 ||3x + 4x − 9| − 8| ≤ 3x − 4x − ; .c Bài 1.36 : Giải các bất phương trình sau : om |x3 − 7x − 3| < x3 + x2 + ; |x − 1| + |2 − x| > + x ; |x2 − 3x − 7| + |2x2 − x − 9| + |3x2 − 7x − 5| < x + 15 ; |x2 − 3x − 17| − |x2 − 5x − 7| > tb |3x + 2| + |2x − 3| < 11 ; ng Bài 1.37 : Tìm m để bất phương trình : x2 + |x + m| < có ít nghiệm âm Bài 1.38 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p : 2|x − p| + 5|x − 3p| + 4x + 6p + 12 ≤ ot Bài 1.39 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p : |2x + 21p| − 2|2x − 21p| < x − 21p :// a Bài 1.40 : Tìm tất các giá trị thực tham số a cho bất phương trình x2 − |x − a| − |x − 1| + ≥ đúng với x ∈ R Bài 1.41 : Tìm tất các giá trị a cho giá trị nhỏ hàm số ht y = x2 + 2x − + |x − a| lớn Bài 1.42 : Tìm tất các giá trị a cho giá trị nhỏ hàm số y = x2 + |x − a| + |x − 1| lớn Bài 1.43 : Tìm tất các giá trị a cho giá trị nhỏ hàm số y = ax + |x2 − 4x + 3| lớn Bài 1.44 : Tìm tất các giá trị a cho giá trị lớn hàm số y = 4x − x2 + |x − m| nhỏ Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 15 (16) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1.3 Phương trình, bất phương trình chứa Vấn đề : Phương trình, bất phương trình Phương pháp chung là tìm cách bình phương hai vế (để giảm số căn, căn) với điều kiện là hai vế phương trình phải không âm g(x) ⇔ f (x) = g(x) ⇔ Bất phương trình √ f (x) > √ : om √ f (x) = g(x) <g(x) ≥ : f (x) = (g(x))2 g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với <g(x) ≥ : .c √ f (x) = tb Phương trình √ f (x) > g(x) > f (x) ≥ < ng Phương trình < f (x) ≥ (hoặc có thể xét g(x) ≥ 0) √ f (x) < g(x) (hoặc ≤ ) tương đương với Bất phương trình √ f (x) > g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với : ot (I) < f (x) ≥ g(x) ≥ > : f (x) < (g(x))2 Bất phương trình (II) : :// a g(x) < <g(x) ≥ Bài 1.45 : Giải phương trình f (x) > (g(x))2 √ ht x2 + 56x + 80 = x + 20 √ Bài 1.46 : Giải bất phương trình x2 − 2x − 15 < x − √ Bài 1.47 : Giải bất phương trình x2 − > x + Bài 1.48 : Giải các phương trình sau : √ √ 2x2 + 4x − = x + 1; √ 4x2 + 101x + 64 = 2(x + 10); √ x2 + x − < x − 1; √ 2x − ≤ 2x − 3; √ x2 + 2x = −2x2 − 4x + 3; (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x − Bài 1.49 : Giải các bất phương trình: √ √ 2x2 − > − x; x2 − 5x − 14 ≥ 2x − Bài 1.50 : Tìm tập xác định hàm số sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 16 (17) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC y = È Ê y = r x2 + 3x − − x + 8; y = x2 + x + ; |2x − 1| − x − y = x2 È√ 1 − ; − 7x + x + 2x + x2 − 5x − 14 − x + Bài 1.51 : Giải các phương trình sau : √ 5x2 − 6x − = 2(x − 1); √ √ √ x2 + 3x + 12 = x2 + 3x Bài 1.52 : Giải các bất phương trình sau : x2 + 6x + ≤ 2x + 3; √ 2x − x2 − x − 12 ≥ x − 1; om √ x2 − 4x − 12 > 2x + 3; √ x+5 < 1−x > 1; .c x2 − 3x − 10 √ (x − 2)(x − 3) ≤ x2 − 34x + 48 ; ng tb Vấn đề : Phương pháp đặt ẩn phụ Chúng ta thường sử dụng số quy tắc đặt ẩn phụ sau : √n ax + b, rút x, vào phương trình phương trình ẩn u √ √ (b) Hoặc có thể đặt u = n u(x), v = m v(x), lũy thừa để rút ràng buộc u và v để phương trình ot (a) Đặt u = Nếu phương trình chứa hai loại căn, có thể theo u, v Kết hợp với phương trình ban đầu, ta hệ hai ẩn u, v √n u(x), lũy thừa hai vế phương trình chứa u, x Kết hợp với phương trình ban đầu, ta hệ hai ẩn :// a Đặt u = u, x.Giải phương trình bậc hai (có ∆ là bình phương số) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt u = Nếu phương trình chứa √ a± √ b và √ √ u(x), đưa phương trình bậc hai theo u với x coi là tham số ab ta thường đặt u = √ a± √ b ht phương trình đẳng cấp, chẳng hạn đẳng cấp bậc : A.x2 + B.xy + C.y2 = Có cách giải sau : (a) Xét y = 0, rút x; x (b) Xét y , 0, chia hai vế cho y2 , đặt u = , đưa phương trình bậc hai theo u y Bài 1.53 : Giải các phương trình sau : √ 3x2 + 21x + 18 + x2 + 7x + = ; x2 + √ x+1 =1; 2(x2 + 2) = 5(x3 + 1) ; Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 √ 2x2 − 3x + = x 3x − ; √ 6x2 − 10x + − (4x − 1) 6x2 − 6x + = ; √4 √ 97 − x + x = ; Trang 17 (18) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 1.54 : Giải các phương trình sau : √ x+3+ √ r = 3x + ; x √4 √4 √ 4 x + x + = 2x + ; √ √ √ x2 + 4x + + x2 + x = 3x2 + 4x + ; √ √ x + − x ≤ ; x2 + 2x x− √3 √3 √3 10 √ 11 √ √ 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + x−1+ x+ √3 √3 √3 x+1 = x 2; x − 16 = 2x3 − + √3 √3 x−8; − x3 = x ; x2 − x + + √ x2 + x + = ; om √ √ 3x + = x + 2x + ; √ √ 2x2 + x + + x2 + x + = x + ; x Bài 1.55 : Giải các phương trình sau : 1−x+ 2x + √ √ √ + x + − x2 = ; x+1+ √ √ x + x2 + x = ; x2 + 2x + √ √ x + + 2x x + = ; 2x2 + x + √ √ x2 + + 2x x2 + = ; ng Bài 1.56 : Giải các phương trình sau : √ x + + x 2x + √ √ = x+2; x + 2x + √ 2x2 + x + = 3x x + ; √ x+8= √ x2 + x + = 3x2 + 7x + ; 4x + 3x2 + 3x + ; 3x + ot √ √ √ ( x + − x + 1)(x2 + x2 + 4x + 3) = 2x Bài 1.57 : Giải các phương trình sau : √3 √3 x+1+ √3 x+2 =1+ √3 x+1+ √3 x2 = √4 x+1+ √ √ √ √ x + + 2x x + = 2x + x2 + 4x + ; √ x3 + x2 + 3x + + x2 + 3x + ; :// a √3 x+ x2 + x ; x3 + x2 ; √ ht x =1+ √4 √3 .c √ tb 2x = √ x2 + + √ 2x2 + 2x ; √ x+3+ √ √ 4x =4 x; x+3 √ x + = + 4x + ; x √ x + = 9x2 − x − ; √ √ 12 x + x − = 3x + ; Bài 1.58 : Giải các phương trình sau : √ x+3+ √4 x+ √4 √3 x=3; x−1= √4 x+1; √ √ − x2 = (2 − x)2 ; √ √ 2x + + x x2 + + (x + 1) x2 + 2x + = ; √ √ √ √ x2 x + (x − 5)2 − x = 11( x + − x) ; r 2x3 =1+ x+1 ; Bài 1.59 : Giải các phương trình sau : √8 1−x+ √8 x=1; √4 √ 2 x + − 2x = ; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 √ √ x+4+ x+ 1−x=3; √ √ √ 2+ x √ = x+ 1−x; 3+ 1−x √ Lop12.net Trang 18 (19) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Vấn đề : Phương pháp nhân liên hợp Dạng : Phương trình dạng √ u(x) ± √ v(x) = f (x), đó f (x) và u(x) − v(x) có cùng nghiệm x = x0 u(x) − v(x) √ = f (x) u(x) ∓ v(x) (b) Chuyển vế, đặt (x − x0 ) làm nhân tử chung (a) Phương trình trở thành √ om √ √ √ √ Dạng : Phương trình dạng ( n u1 (x) ± n v1 (x)) + ( m u2 (x) ± m v2 (x)) = f (x), đó f (x); u1 (x) − v1 (x); u2 (x) − v2 (x) có cùng nghiệm x = x0 (ở đây f (x) có thể đồng 0) c Phương pháp giải loại này là chúng ta nhân liên hợp theo cụm, đặt (x − x0 ) làm nhân tử chung √ x − 2) = 2x + √ √ x2 + x − = (x + 2) x2 − 2x + 2; x + 6; ng 3(2 + x2 2 > x − 4; √ 1+ 1+x √ √ x − + − x = x2 − 6x + 11; √ √ x − + − x = 2x2 − 5x − 1; √ :// a Bài 1.61 : Giải các phương trình sau : x+4− x + √ − x 2x + x2 = ; x + x2 ot r x + 24 + 10 √ 5x − + + x + √4 x+ ; x ht √ 1 √ + x + = + 2x + ; x x 12 − x = 6; √3 2x2 − 11x + 21 = 4x − 4; √ r √ √ √ x2 − 7x + 10 = x + x2 − 12x + 20; + √ √ √ (x − 1) x + + 2x + = x + ; √3 2x + = x − ; √ 2x = tb Bài 1.60 : Giải các phương trình, các bất phương trình sau : √ √4 √3 − x = 2x2 + 3x − x+6 = √ 2x + + x+3= x+ √ √ x+3; 2x ; x+2+ √ x+6 = √ 2x + + √ x+8+ √ x+4 = √ 2x + + √ 3x 2x + ; Vấn đề : Phương pháp đánh giá Cơ sở phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức phương pháp hàm số đế đánh giá Cách : Cơ sở nhận dạng : (a) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình f (x) = g(x) có nghiệm thì nghiệm đó là (b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là số) có nghiệm thì nghiệm đó là Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 19 (20) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Phương pháp giải là : (a) Nhận thấy x = x0 là nghiệm phương trình đã cho (b) Nếu x > x0 , ta suy vế trái lớn vế phải ngược lại (c) Nếu x < x0 , ta suy vế trái lớn vế phải ngược lại (d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm x = x0 Cách : Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (u) = f (v) tương đương với om u = v Cách : Nếu hàm số y = f (x) thỏa mãn f ′ (x) = có nhiều nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất các nghiệm phương trình c : g(x) = c ng tb Cách : Nếu f (x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với < f (x) = c Bài 1.62 : Giải các phương trình sau : √3 x=3; È √ √ x + + x + x + = ; √ √ √ x2 − x + + x2 + 7x + = x ; x+3+ √ √ x+3 √ + 2x − = ; 1+ 2−x √ √ ot x2 − x + + √ 2x − = ; :// a Vấn đề : Phương trình, bất phương trình có tham số Sử dụng phương trình, bất phương trình bản; ht Sử dụng đặt ẩn phụ, và đặt điều kiện "chặt" cho ẩn; Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai; Sử dụng phương pháp hàm số để điều kiện có nghiệm Bài 1.63 : Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thực ; √ x2 + 2x − m = 2x − : có đúng nghiệm thực ; Ê Bài 1.64 : Tìm điều kiện m để phương trình x + Bài 1.65 : Tìm điều kiện m để phương trình √ x+ + 16 − x2 − √ TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 r x+ = m có nghiệm thực m 16 − x2 Lop12.net có hai nghiệm thực phân biệt − = có nghiệm thực Trang 20 (21)