Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: · Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.. · Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì [r]
(1)www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG IV GIỚI HẠN www.MATHVN.com I Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1 lim = ; lim = (k Î ¢ + ) k n®+¥ n n®+¥ n lim q n = ( q < 1) ; n®+¥ Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: lim qn = +¥ (q > 1) Định lí: lim C = C n®+¥ Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b thì · lim (un + vn) = a + b · lim (un – vn) = a – b · lim (un.vn) = a.b u a · lim n = (nếu b ¹ 0) b a) Nếu lim un = +¥ thì lim c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim = u ì+¥ neáu a.vn > thì lim n = í neáu a.vn < î-¥ un c) Nếu un £ ,"n và lim = thì lim un = d) Nếu lim un = a thì lim un = a * Khi tính giới hạn có các dạng vô ¥ định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử ¥ dạng vô định ( q < 1) Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số: · Chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao n 1 1+ - n +1 n + n - 3n n n =1 VD: a) lim = lim b) lim = lim =1 2n + - 2n 2+ -2 n n æ ö c) lim(n2 - 4n + 1) = lim n2 ç - + ÷ = +¥ è n n2 ø · Nhân lượng liên hợp: Dùng các đẳng thức 1+ ( VD: ( a - b ) ( a2 + ab + b2 ) = a - b a - b )( a + b ) = a - b; lim ( ) =0 d) Nếu lim un = +¥, lim = a ì+¥ neá u a > thì lim(un.vn) = í neá u a < î-¥ un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1- q =0 un b) Nếu lim un = a, lim = ±¥ thì lim b) Nếu un ³ 0, "n và lim un= a thì a ³ và lim lim nk = +¥ (k Î ¢ + ) lim n = +¥ n2 - 3n - n = lim ( n2 - 3n - n ( )( n2 - 3n + n n2 - 3n + n · Dùng định lí kẹp: Nếu un £ ,"n và lim = ) thì ) = lim -3n n2 - 3n + n =- lim un = Trang www.mathvn.com Lop10.com (2) www.MATHVN.com VD: Trần Sĩ Tùng sin n sin n 1 sin n Vì £ £ và lim = nên lim =0 n n n n n 3sin n - cos n b) Tính lim Vì 3sin n - cos n £ (32 + 42 )(sin2 n + cos2 n) = 2n + 3sin n - cos n nên £ £ 2 2n + 2n + 3sin n - cos n Mà lim = nên lim =0 2n + 2n2 + a) Tính lim Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý số trường hợp sau đây: · Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu thì kết giới hạn đó · Nếu bậc từ bậc mẫu thì kết giới hạn đó tỉ số các hệ số luỹ thừa cao tử và mẫu · Nếu bậc tử lớn bậc mẫu thì kết giới hạn đó là +¥ hệ số cao tử và mẫu cùng dấu và kết là –¥ hệ số cao tử và mẫu trái dấu Baøi 1: Tính các giới hạn sau: 2n2 - n + a) lim 3n2 + 2n + n4 d) lim (n + 1)(2 + n)(n2 + 1) Baøi 2: Tính các giới hạn sau: a) lim d) lim + 3n + 3n 2n + 5n+1 + 5n Baøi 3: Tính các giới hạn sau: n2 + + n - a) lim n2 + 4n + + n n2 + + n d) lim b) lim e) lim b) lim e) lim 2n + 4.3n + 7n+1 e) lim + + + n n2 + 3n n3 + n4 + n2 - 3n3 - 2n2 + c) lim 2.5n + 7n + 2.3n - 7n f) lim 5n + 2.7n n2 + - n - n2 + + n (2n n + 1)( n + 3) (n + 1)(n + 2) n2 + n + + n Baøi 4: Tính các giới hạn sau: æ ö 1 a) lim ç + + + ÷ (2n - 1)(2n + 1) ø è 1.3 3.5 æ æ öæ ö ö c) lim ç - ÷ ç - ÷ ç - ÷ è 22 ø è 32 ø è n2 ø f) lim 2n + n + b) lim e) lim c) lim n3 + 4n2 + n2 + 3n3 + 2n2 + n 5n + 8n - 2.3n + 6n 2n (3n+1 - 5) c) lim f) lim 4n+1 + n+2 n2 + - n n + + n2 n2 - n - n2 + 3n2 + + n æ 1 ö b) lim ç + + + ÷ n(n + 2) ø è 1.3 2.4 æ 1 ö d) lim ç + + + ÷ n(n + 1) ø è 1.2 2.3 f) lim + + 22 + + n + + 32 + + 3n Baøi 5: Tính các giới hạn sau: Trang www.mathvn.com Lop10.com (3) www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng ( n2 + 2n - n - 1) d) lim (1 + n2 - n4 + 3n + ) a) lim g) lim n2 + - n - n2 + 4n + - n Baøi 6: Tính các giới hạn sau: a) lim d) lim cos n2 n2 + 3sin n + cos2 (n + 1) n2 + ( e) lim ( b) lim h) lim b) lim e) lim n2 + n - n2 + n2 - n - n ) n2 + - n n + - n2 (-1)n sin(3n + n2 ) 3n - 3sin2 (n3 + 2) + n2 ) c) lim ( 2n - n3 + n - 1) f) lim n + - n2 + n2 - n - n2 + i) lim 3n2 + - n c) lim - n cos n 3n + f) lim 3n2 - 2n + n(3 cos n + 2) - 3n2 æ öæ ö æ ö Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = ç - ÷ç - ÷ ç - ÷ , với " n ³ è 22 øè 32 ø è n2 ø a) Rút gọn un b) Tìm lim un 1 Baøi 8: a) Chứng minh: = ("n Î N*) n n + + (n + 1) n n n +1 1 b) Rút gọn: un = + + + +2 +3 n n + + (n + 1) n c) Tìm lim un ìu1 = ï Baøi 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: í ïun+1 = un + n (n ³ 1) î a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n c) Tìm lim un ìu = 0; u2 = Baøi 10: Cho dãy số (un) xác định bởi: í î2un+2 = un+1 + un , (n ³ 1) a) Chứng minh rằng: un+1 = - un + , "n ³ 2 b) Đặt = un – Tính theo n Từ đó tìm lim un II Giới hạn hàm số Trang www.mathvn.com Lop10.com (4) www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim x = x0 ; lim c = c (c: số) x® x0 x® x0 Định lí: a) Nếu lim f ( x) = L và lim g( x) = M x® x0 x® x0 thì: lim [ f ( x) + g( x)] = L + M x® x0 lim [ f ( x) - g( x)] = L - M x® x0 lim [ f ( x).g( x)] = L.M x® x0 f ( x) L = (nếu M ¹ 0) x® x0 g( x) M b) Nếu f(x) ³ và lim f ( x) = L lim x® x0 x® x0 thì L ³ và lim x® x0 f ( x) = L c) Nếu lim f ( x) = L thì lim f ( x) = L x® x0 x® x0 Giới hạn bên: lim f ( x) = L Û x® x0 Û lim - f ( x) = lim + f ( x) = L x® x0 x® x0 Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: ì+¥ neá u k chaü n lim xk = +¥ ; lim xk = í x®+¥ x®-¥ î-¥ neá u k leû c lim c = c ; lim =0 x®±¥ x®±¥ xk 1 lim = -¥ ; lim = +¥ + x®0 x x®0 x 1 lim- = lim+ = +¥ x®0 x x®0 x Định lí: Nếu lim f ( x) = L ¹ và lim g( x) = ±¥ thì: x® x0 ì+¥ neáu L vaø lim g( x) cuø ng daáu ï x® x0 lim f ( x)g( x) = í g( x) traù i daáu x® x0 ï-¥ neáu L vaø xlim ® x0 î ì0 neá u lim g( x) = ±¥ x® x0 f ( x) ïï lim = +¥ neá u lim g( x) = vaø L.g( x) > x® x0 g( x) í x® x0 ï g( x) = vaø L.g( x) < ï-¥ neá u xlim ® x0 î * Khi tính giới hạn có các dạng vô định: ¥ , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô ¥ định Một số phương pháp khử dạng vô định: Dạng P ( x) a) L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = x® x0 Q( x) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn VD: lim x3 - ( x - 2)( x2 + x + 4) x2 + x + 12 = lim = =3 x®2 x®2 ( x - 2)( x + 2) x+2 = lim x2 - P ( x) b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa cùng bậc x® x0 Q( x) Sử dụng các đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử và mẫu x®2 ( - - x )( + - x ) 2- 4- x 1 = lim = lim = x®0 x®0 x®0 + - x x x(2 + - x ) P ( x) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = và P(x) là biêåu thức chứa không đồng bậc x® x0 Q( x) VD: lim Giả sử: P(x) = m u( x) - n Ta phân tích P(x) = v( x) vớ i m u( x ) = n v( x0 ) = a ( m u( x) - a ) + ( a - n v( x) ) Trang www.mathvn.com Lop10.com (5) www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng æ x +1 -1 1- 1- x ö x +1 - 1- x = lim ç + ÷ x®0 x®0 è x x x ø æ ö 1 1 = lim ç + ÷= + = x®0 ç 3 ÷ + x ( x + 1) + x + + è ø ¥ P ( x) Dạng : L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức các biểu thức chứa x®±¥ Q( x) ¥ – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P(x), Q(x) có chứa thì có thể chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp 2+ 2 x + 5x - x x2 VD: a) lim = lim =2 x®+¥ x2 + x + x®+¥ 1+ + x x2 VD: lim 2x - b) lim x®-¥ x +1 - x 2- = lim x®-¥ = -1 -1 x2 Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử và mẫu VD: lim x®+¥ ( ( + x - x ) = lim - 1+ x 1 + x - x )( + x + x ) 1+ x + x x®+¥ = lim 1+ x + x x®+¥ =0 Dạng 0.¥: Ta thường sử dụng các phương pháp các dạng trên VD: lim+ ( x - 2) x®2 x x -4 = lim+ x®2 x - x x+2 = =0 Baøi 1: Tìm các giới hạn sau: 1+ x + x + x x®0 1+ x a) lim d) lim x -1 x®-1 x4 + x - x+8 -3 x®1 x-2 Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: g) lim a) lim x®1 d) lim x®3 x3 - x2 - x + x2 - x + x3 - x2 + x + x - x2 - b) lim x®-1 e) lim x®2 h) lim x®2 b) lim x®1 e) lim x®1 3x + - x x -1 æ pö sin ç x - ÷ è 4ø c) lim p x x® x2 - x + x -1 f) lim 3x2 - - x - x +1 i) lim x2 sin x4 - x3 - x2 + x - x5 + x6 (1 - x)2 (1 + x)(1 + x)(1 + x) - x + x2 + + xn - n h) lim x®0 x®1 x x -1 g) lim x2 - x + x +1 x®1 x®0 c) lim x5 + x3 + xm - x®-1 f) lim x®1 i) lim x®-2 xn - x4 - 16 x3 + x2 Trang www.mathvn.com Lop10.com (6) www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Baøi 3: Tìm các giới hạn sau: a) lim x®2 d) lim x®2 g) lim 4x + - x2 - x+2 -2 x+ -3 1+ x -1 x®0 + x -1 Baøi 4: Tìm các giới hạn sau: a) lim x®0 d) lim 1+ x - 1+ x x + 4x - + 6x x2 + x + x - g) lim x®0 x Baøi 5: Tìm các giới hạn sau: x®0 a) lim x®+¥ d) lim x®±¥ g) lim x®-¥ x2 + x2 - x + x2 + x + + x + x2 + + - x (2 x - 1) x2 - x - x2 Baøi 6: Tìm các giới hạn sau: a) lim æç x2 + x - x ö÷ x®+¥ è ø c) lim æç x2 + - x3 - ö÷ x®+¥ è ø e) lim x®+¥ ( x - - x + 1) æ ö g) lim ç ÷ x®1 è - x - x3 ø Baøi 7: Tìm các giới hạn sau: x - 15 a) lim+ x®2 x - b) lim x®1 4x + - x + - 3x + x -1 e) lim x®1 x + - 2x h) lim x + 3x x®-3 b) lim x + 11 - x + x2 - x + x®2 e) lim x -1 x + 11 - x + x2 - x + + x + x - h) lim x®0 x x®2 b) lim x®±¥ x2 - x + + - x e) lim x®±¥ h) lim x2 - x + x-2 x2 - x + x x2 + x + x x®+¥ x2 + - x + + x2 - x c) lim x®0 x2 + - f) lim x®0 x2 + 16 - x + + x + 16 - x i) lim x®0 1+ x - - x x®0 x c) lim - x3 - x2 + f) lim x®1 i) lim x®0 c) lim x®+¥ f) lim x®+¥ x2 - x +1 - 1- x x x2 + x3 - x2 + x x +1 x2 + x + x2 - x + x®-¥ x + i) lim b) lim æç x - - x2 - x - ö÷ x®+¥ è ø æ ö d) lim ç x + x + x - x ÷ x®+¥ è ø f) lim x®-¥ ( 3x3 - + x2 + ) æ ö 1 h) lim ç + ÷ x®2 è x2 - x + x2 - x + ø x - 15 b) limx®2 x - + 3x - x2 c) lim+ x-3 x®3 x2 - 2-x 2- x e) lim+ f) lim2 x-2 x®2 x®2 x - x + x®2 x - x + Baøi 8: Tìm các giới hạn bên hàm số điểm ra: ì 1+ x -1 ì - x2 x > ïï ï a) f ( x) = í + x - taï i x = b) f ( x) = í x - x < taï i x = 3 ï ïî1 - x x ³ x £ ïî d) lim+ Trang www.mathvn.com Lop10.com (7) www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng ì x2 - x ì x2 - x + x > ï x > ïï ï c) f ( x) = í - x taï i x = d) f ( x) = í x - taïi x = x x 16 ï ïkhi x £ x < ïî x - ïî Baøi 9: Tìm giá trị m để các hàm số sau có giới hạn điểm ra:: ì ì x3 - x > ï ï x < a) f ( x) = í x - b) f ( x) = í x - x3 - taïi x = taïi x = 2 ïîmx + x ³ ïm x - 3mx + x £ î ìx + m x < ìx + 3m x < -1 ï taïi x = -1 c) f ( x) = í x2 + 100 x + taï i x = d) f (x) = í x + x + m + x ³ x ³ î ïî x+3 Trang www.mathvn.com Lop10.com (8) www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng III Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 Û lim f ( x) = f ( x0 ) x® x0 · Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực các bước: B1: Tính f(x0) B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim + f ( x) , lim - f ( x) ) x® x0 x® x0 x® x0 B3: So sánh lim f ( x) với f(x0) và rút kết luận x® x0 Hàm số liên tục trên khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng đó Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim+ f ( x) = f (a), lim- f ( x) = f (b) x®a x®b · Hàm số đa thức liên tục trên R · Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: · Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 f ( x) · Hàm số y = liên tục x0 g(x0) ¹ g( x) Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< thì tồn ít số c Î (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< thì phương trình f(x) = có ít nghiệm cÎ (a; b) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] Đặt m = f ( x) , M = max f ( x) Khi đó với T [ a; b ] [ a; b ] Î (m; M) luôn tồn ít số c Î (a; b): f(c) = T Baøi 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra: ì x+3 -2 ïï x ¹ taï i x = -1 b) f ( x) = í x - ï1 x = ïî ì x-5 ì2 - 7x + 5x2 - x3 ï ï x ¹ f (x) = í x2 - 3x + taïi x = d) f ( x) = í x - - ï1 ï( x - 5)2 + x = î î ì x -1 ì1 - cos x x £ ï f ( x) = í taï i x = f) f ( x) = í - x - x > î x +1 ï -2 x î Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra: ì x < f ( x) = í x taïi x = mx x ³ î ìx+3 ï a) f ( x) = í x - ïî-1 c) e) Baøi 2: a) ì x3 - x2 + 2x - ï b) f (x) = í x -1 ïî3x + m x ¹ x ¹ taï i x = x = x > taïi x = x £ x < taï i x = x ³ taïi x = x = Trang www.mathvn.com Lop10.com (9) www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng c) d) Baøi 3: a) c) ìm x = ïï x - x-6 f ( x) = í x ¹ 0, x ¹ taïi x = vaø x = ï x( x - 3) x = ïîn ì x2 - x - ï x ¹ f ( x) = í x - taï i x = ïîm x = Xét tính liên tục các hàm số sau trên tập xác định chúng: ì x3 + x + ì x2 - x + x ¹ -1 ïï ï f ( x) = í x + b) f ( x) = í5 ïî2 x + ï4 x = -1 ïî ì x2 - ì x2 - ï ï x ¹ -2 d) f ( x) = í x - f ( x) = í x + ïî-4 ï x = -2 î2 x < x = x > x ¹ x = Baøi 4: Tìm các giá trị m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định chúng: ì x2 + x ì x2 - x - x < ï ï x ¹ a) f ( x) = í x - b) f ( x) = í2 x = ï ïîm x > x = îmx + ì x3 - x2 + x - ì x2 ï x ¹ c) f ( x) = í d) f ( x ) = í x -1 î2mx - ïî3 x + m x = Baøi 5: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x3 - x + = b) x3 + x2 + x + = Baøi 6: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: a) x5 - x + = b) x5 + x - = x < x ³ c) x + - x = c) x4 + x3 - x2 + x + = Baøi 7: Chứng minh phương trình: x5 - x3 + x - = có nghiệm trên (–2; 2) Baøi 8: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với giá trị tham số: b) x4 + mx2 - 2mx - = a) m( x - 1)3 ( x - 2) + x - = c) a( x - b)( x - c) + b( x - c)( x - a) + c( x - a )( x - b) = d) (1 - m2 )( x + 1)3 + x2 - x - = f) m(2 cos x - 2) = 2sin x + e) cos x + m cos x = Baøi 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: a) ax2 + bx + c = với 2a + 3b + 6c = b) ax2 + bx + c = với a + 2b + 5c = c) x3 + ax2 + bx + c = é 1ù Baøi 10: Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = luôn có nghiệm x Î ê 0; ú với a ¹ ë 3û và 2a + 6b + 19c = Trang www.mathvn.com Lop10.com (10) www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Tìm các giới hạn sau: + + + + n a) lim 3n3 Bài n2 + n d) lim ( Bài n2 - 3n - n2 + ) cos n2 n +1 Tìm các giới hạn sau: x2 - x + a) lim x®3 x2 d) lim - x + 15 - x3 + x2 - x3 - x - x®1 x5 - 2x -1 Tìm các giới hạn sau: x®2 - x+7 1+ 2x - d) lim x ®1 k) lim x -1 x -1 Tìm các giới hạn sau: x®0 Bài x2 - x + a) lim + x+2 x®-2 d) lim- x2 - 5x + x®2 g) lim + ( x - 2) + 2x - x+2 Tìm các giới hạn sau: x®-2 Bài a) lim x®-¥ d) lim x®+¥ x3 - x2 + x - x4 - x3 + x2 - x + x4 - x3 + x 3n + - n - x2 - x®1 x4 h) lim 3x + x - x®0 l) lim + x2 - x e) lim ( x - 3) x®-¥ x®2 x2 + + x 4x - x-2 x+2 + x+7 -5 x-2 x+ x x- x i) lim+ ( x - ) c) lim ) x x -4 (2 x - 3)2 (4 x + 7)3 x®+¥ (3 x3 + x +1 Trang 10 x®2 x2 + x - ( - x2 + 16 x®0 x®+¥ x2 x2 + - f) lim+ x + 5x - b) lim i) lim + 2x - 3 x3 - x + c) lim + x +1 x®-1 x2 + x - 3x + e) lim+ x®3 - x x®-3 x2 - x+8 -3 x®2 x®1 h) lim - x4 - x2 + 16 ( x + 2)2 - m) lim x -1 b) lim- x3 - x2 - x + x®1 x2 x®0 + 1)(10 x2 + 9) f) lim ( x + x2 - x + 1) x®- ¥ www.mathvn.com Lop10.com ) x2 - x c) lim 1+ x - 1- x x x®0 n - - n3 + n x®-1 f) lim ) x3 - x2 + x - i) lim + 5x + x+3 -2 ( l) lim ( x®2 2x + - h) lim (-1)n+1 - 2.3n h) lim + n2 - n4 + n f) lim - 4x + x+2 x®-2 x2 (-1)n + 4.3n x®3 x3 - x + e) lim n + 2n 3n + n + c) lim x2 - x + 1 x®1 x + - - x2 x -1 g) lim e) lim x -2 x®4 n + x2 - b) lim x®0 x x-2 a) lim ( n3 + 3n2 - n ) k) lim x® x®1 x4 Bài g) lim c) lim f) lim 35n+2 + b) lim x4 - x3 + x2 + g) lim 25n+1 + e) lim 2n2 + 3n - g) lim i) lim æ n + sin n ö b) lim ç + ÷ è n + 2n ø (11) www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng g) lim x® - ¥ k) lim x®-¥ Bài x2 + - x + 2x x2 + x + x h) lim x®-¥ l) lim 4x + - x + Xét tính liên tục hàm số: ì1 - x ï a) f ( x) = í x2 - x - ïî x - x®-¥ ( ( x2 - x + + x 5x + - x x®-¥ 1- x i) lim ) x2 + x - x2 - m) lim x £ x > ) trên R ì 12 - x x ¹ ï c) f ( x) = í x2 - x + 10 trên R ïî2 x = Bài Tìm a để hàm số liên tục trên R: ìï 2a + x £ ïï a) f ( x) = í x - x + x - ïï x > ïïî x- ì x2 + x - ï x ¹ -2 c) f ( x) = í x + ïîa x = -2 Bài Chứng minh phương trình: x®-¥ ( x2 + x + x ) ì1 - cos x x ¹ ïï b) f ( x) = í sin x x = ï x = ïî ìï x2 x < d) f ( x) = í x = ïî1 - x x ³ ì x2 - ï b) f ( x) = í x - ïî x + a ì x2 - x + ï d) f ( x) = í x - ïîax + x ¹ x = x < x ³ a) x3 + x2 + x + = có nghiệm phân biệt b) m( x - 1)3 ( x2 - 4) + x4 - = luôn có ít nghiệm với giá trị m c) (m2 + 1) x4 – x3 –1 = luôn có ít nghiệm nằm khoảng ( -1; ) với m d) x3 + mx2 - = luôn có nghiệm dương e) x4 - x2 + x – = có nghiệm khoảng (1; 2) a b c Bài Cho m > và a, b, c là số thực thoả mãn: + + = Chứng minh m+ m+1 m phương trình: f ( x) = ax2 + bx + c = có ít nghiệm thuộc khoảng (0; 1) æ m +1 ö c2 HD: Xét trường hợp c = 0; c ¹ Với c ¹ thì f (0) f ç <0 ÷=m(m + 2) è m+ ø www.MATHVN.com Trang 11 www.mathvn.com Lop10.com (12)