Bài 29: Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau từng đôi một thì trong bốn mặt của tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn cả ba góc của nó đều nhọn[r]
(1)BÀI TẬP CHƯƠNG GIỚI HẠN A/ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I Dãy số có giới hạn Bài 1: Cho hai dãy số (un) và (vn) Chứng minh |un| vn và limvn=0 thì limun=0 Vận dụng: Chứng minh các dãy số sau đây có giới hạn 0: sin n 1) ; n 1 2) n n 5 ; 3) ; n! n 1 sin n cosn 5n 8) n ; 9) ; 1 23 n cosn cosn n sin 2n ; 6) ; 7) ; 2n+1 n n n n 1 n n n n cos sin 1 ; 12)u (0,99) n ; 13) u 10) n 1 n 1 ; 11) n n (0,01) n n n n 4) sin n ; n 5 5) 1 a) lim ; 3 n n n n Bài 2: Chứng minh : 2n b) lim 0 2n 2 II Dãy số có giới hạn hữu hạn Bài 1: Tìm các giới hạn sau: 1) lim 2n ; 2n n 1 ; 2n 2) lim 3) lim 2n ; n 1 4) lim 1 n2 ; 3n 5) lim n 2n 2(n 1) Bài 2: Tính các giới hạn sau 3n 5n ; n2 2n 5n 5) lim ; 2n 5n 3n n ; 3n n3 3n 6) lim ; n 3n 1) lim 9) lim 2) lim n n sin n ; 2n n 2n 13) lim ; 3n (2n 1)(n 2) 17)lim ; 2n 3n 1 21)lim n 3n 7n 6n 10) lim 4n 9n ; 2n n 3n 14) lim ; 2n n 5n 5n 18) lim ; (5n 2)(n 4) 22)lim 1 n3 n ; 2n 2n 4n 3n ; n 7n n2 n 7) lim ; n 3n 2n 6n ; 3n 2n n 8) lim ; 3n 3) lim 11) lim 2n n 2n n 4) lim ; 12) lim 4n ; n 1 (n n)(2n 1) 19)lim ; n 3n n n1 ; 3n 2n n 20)lim ; n n 3 15) lim 23)lim n 2n ; 2n 16) lim 3n n n ; n n 1 24)lim n2 4n 27n n Bài 3: Tính các giới hạn sau: 1) lim n ; n 1 4) lim 2n 2) lim n ; n2 2n 2 n 1 4n ; 5) lim 12 22 32 n ; n2 n n 2 3) lim n3 ; 12 22 32 n 6) lim 2n ; 2n 1 1 1 (n 3)! 7) lim ; ; 8) lim ; 9) lim 1.2 2.3 n n 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 2(n 1)! (n 2)! 3 n 1 1 1 1 10) lim ; 11) lim 12) lim ; ; n n 1 n 1 n 12 22 32 n 12 32 (2n 1)2 1 13) lim 2 ; 14) lim ; 15) lim 2 2 2 (2n) (2n) n 1 Bài 4: Tính các giới hạn sau: (2) n n 1) lim ; 3n n n 1 4 5) lim 2n ; 10.3n 7.5n 2.7n 9)lim n ; 5.7n ( 3) n 5n 13)lim ( 3)n 1 5n 2) lim n 2 ; 7n 3) lim 7.2n 4n ; 2.3n 4n 4) lim a n bn 2n 3n 6) lim n ; a, b ; 7)lim n a bn 2.3 5.2n 7.3n 2.6n ( 2) n 5n 10)lim n ; 11) lim ; 5.3 5.6n 3n 1 5n 1 2 3n n ( 3) n 1 5n 2 14)lim n n 1 n 1 ; 15)lim n 1 n 1 ; 3 4 5 5.2 n 3n ; 2n 1 3n 1 3.5n 2.3n 8)lim n ; 5.3n 4.3n n 1 12) lim ; 2.5n 7n 5n 1 n 2 16)lim n 1 n 1 3.2n Bài 5: Tính các giới hạn sau: 1) lim 5) lim n n2 n n ; n 1 n2 ; 7) lim n n 1 3n n 2) lim n 6) lim( n n ; 8) lim n2 ; n 1); n 2n n ; 2n 1 n ; n 1 3) lim 7) lim n 1( n 9) lim n ); n n3 n III Cấp số nhân lùi vô hạn Đối với cấp số nhân lùi vô hạn, chú ý các công thức sau: u S 1 q Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: un u1q n , n N * Công thức số hạng tổng quát: Vận dụng các công thức này và biến đổi chúng cách khéo léo, linh hoạt để giải số bài tập sau: 2 Bài 1: Tìm dạng khai triển cấp số nhân lùi vô hạn (un), biết tổng nó và u2 2 Bài 2: Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vô hạn có tổng và công bội Bài 3: Tìm số hạng đầu và công bội cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng cấp số nhân đó là 12, hiệu số hạng đầu và số hạng thứ hai là và số hạng đầu là số dương Bài4: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dạng phân số: a)2,131313…; b)34,121212…; c)0,222…; d)0,393939…; e)0,27323232… Bài 5: Tính các giới hạn sau q 1) lim 0,9 0,9 0,9 0,9 n ; 3) lim sin sin sin n , k ; n a a a 5) lim a 1, b 1 b b b n n 1 1 2) lim n ; 27 2n 1 4) lim n ; 2 2 (3) IV Dãy số có giới hạn vô cực Bài 1: Tính các giới hạn sau 1) lim 3n 101n 51 ; 2) lim 2n 3n ; 5) lim 2n n 2; 6) lim 2n n ; 7) lim 7n n ; 10) lim 2.3n 4n ; 11) lim n 9) lim 4.3n 1 ; 2n n 13) lim ; 3n 17) lim 3n 11 ; 7.2n 14) lim 2n 15n 11 3) lim n 50n 11 ; 4) lim 5n 3n 7; n 8) lim 1, 001 ; 3n n ; 2n 15 n n 3n ; 4n 6n 16) lim 2n 1 3n ; ; 3n n 2n 1 3.5n 18) lim ; 3.2n 7.4n n 7n 5n 15) lim ; n 12 12) lim 19) lim n 7n 101 20)lim n n ; 7.2 ; n n2 B/ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I Tính giới hạn hàm số định nghĩa Bài 1: Tính các giới hạn sau: x 3x ; x x 1 1) lim 5) lim x x 1 x 2 ; x 5x ; x x 3x 3) lim x 1 ; x x 7) lim 2) lim 6) lim x 3x ; x x 1 4) lim ; x 2x 8) lim x x 1 x 1 ; 5 x x II Các phương pháp tìm giới hạn hàm số 1-Tìm giới hạn dạng xác định Bài 2: Tính các giới hạn sau: 1) lim ( x x 1) x 2) lim( x x 1) x lim x x 1 lim x x 4) ; 3) x x x3 1 x 6) lim x ; 7) lim ; 8) lim ; x x x (2x 1)(x 3) x 1 x 2-Tìm giới hạn dạng hàm phân thức đại số 1 x2 x 1 lim ; 5) x x x 3x 10) lim x 2x 9) lim x ; x Bài 3: Tính các giới hạn sau x2 ; x1 x 1) lim x2 x ; x x1 5) lim 2x 3x ; x x3 x x 1 9) lim x ; x x 2x 15 2) lim 6) lim ; x 1 x x3 x x 2x 10) lim ; x x 3x 3) lim x 3x 2 ; x 2 x 2 ; 7) lim x x x x4 ; x x 2x 4) lim 8) lim x h 2x h h x 4x 4x 8x ; 12) lim ; x x 3x x 6x 5x 11) lim ; (4) 2x 5x 3x x ; x 3x 8x 6x x 3x 9x 16) lim ; x x3 x x x x n n 19) lim ; x x x 5x ; x x 8x 15 x 2x 3x ; 17) lim x x m x 1 20) lim n ; x x x 3x ; x x 4x x100 2x 18) lim 50 ; x x 2x n m 21) lim m x 1 x 1 xn xn an 22) lim ; x a x a x 23) lim 24) lim 13) lim 14) lim x a n n.a n x a x a x a 3 x ; x 25) lim n 15) lim ; (1 mx) n (1 nx) m ; x x2 ; sin 2x cos2x ; x sin 2x cos2x 28) lim c otx x sin 2x 26) lim 3-Tìm giới hạn dạng hàm phân thức đại số chứa thức bậc hai Bài 4: Tính các giới hạn sau 1) lim x 4 ; x 2) lim x 3 ; x 3) lim 5) lim x 2 ; x 6) lim x 4 ; x 25 7) lim 9) lim x 2x ; x2 x 10) lim x x x x1 x x2 14) lim 4x 3x 17) lim ; x1 x 3 x 3x 18) lim ; x 2x x x 7 ; x2 21) lim x 2 9 x x 2 ; x 5 22) lim x x2 5 ; x 8) lim x 1 ; x2 x x x ; 12) lim x 2 ; x 7 x x x 1 13) lim ; x 2x x1 4) lim x 2x x ; x x 2 x ; x x 49 ; x x 11) lim 15) lim x 2x ; x 1 3 x x 23) lim x 2x ; x x 12x 11 x 16) lim x2 x1 2x 3x ; x1 24) lim x x2 a2 x 1 20) lim ; x x x x 1 19) lim x a x a x a x 2x x 2x x 4x 4-Tìm giới hạn dạng hàm phân thức đại số chứa thức bậc ba và bậc cao Bài 5: Tính các giới hạn sau 3 4x 1 x 1) lim ; 2) lim ; x x x x 5) lim x 2x x ; x1 6) lim x x x 1 ; 2x x 5x ; x x n 1 x 13) lim ; x x 4x ; x1 x1 m x1 14) lim n ; x x1 9) lim 10) lim 3) lim x 2x ; x 7) lim x 4) lim x1 x x x 1 ; x 1 8) lim x x1 ; x 1 2x ; x 4x 2 x ; 12) lim ; x x x x (1 x )(1 x ) (1 n x ) 15) lim (1 x) n 11) lim 5-Tính giới hạn dạng hàm số sử dụng phương pháp gọi số vắng Bài 6: Tính các giới hạn sau 1 x x x 1) lim 8 x ; 2) lim x1 2x x ; x 3) lim x1 2x 7x ; x 4) lim x 2x 3x ; x2 ; (5) x 6) lim x3 x 5) lim ; x x2 x m x n x 9) lim ; x x x x x 2 x 2009 2x 2009 x x x 20 8) lim ; x x 9 11) lim ; x 2x x 3x 10) lim x x x x 1 3x x ; x2 x 12) lim x 2x 3x 4x ; x 7) lim 13) lim x x 3x 1 x 6-Tính giới hạn dạng hàm số Bài 7: Tính các giới hạn sau 3x2 x 1 x x 2) lim x x 4x2 x5 7x3 x 1) lim ; x x x x 1 x 4) lim 100 x 100 100 100 x ; x 100 10 x 10 100 x x 1 x x x x ; x x 1 7) lim 4x 10) lim 4x2 x ; 11) lim x 3x ; 2x 1 18) lim x 7x 12 ; x 17 x x x2 x 14) lim x 2x2 x 5) lim x 8) lim x ; x 3 x 3x 2x x 1 ; 4x2 1 x x ; x x2 x 9) lim x x 3x ; 2x 16) lim 17) lim 19) lim x4 ; x 4 x x 11 20) lim ; x 2x x 21) lim x2 x ; 2x 25) lim x x x2 x 22) lim ; x x 10 2x x ; 2x 23) lim x 24) lim x ; ; x2 4x 2x 1 3x x x x 15) lim x x2 1 3x 13) lim x x 11 ; x 2x ; x x 3x 6) lim 5x x 12) lim ; x 1 x ; 8x x x 10 x x x2 1 x x2 3) lim ; 2x x 10 ; x 3x x 3x 1 x 4x x ; x x 1 x x 7-Tính giới hạn dạng hàm số Bài 8: Tính các giới hạn sau 1) lim x 10) lim 13) lim n x 3x x x ; 6) lim x 2x x 2x ; 9) lim x x 1 x ; x x 2 x x 2x ; 11) lim x( x 2x x x x); x 3) lim (x a1 )(x a ) (x a n ) x ; 14) lim 19) lim x x x2 ; x 3x 4x 4x ; 16) lim 2x x x x2 x x x 2) lim 3x x x ; x x x ; 7) lim 4) lim x 5) lim 8) lim x 1 3x 3x ; x x x 20) lim x 17) lim x x x x ; 4x 2x ; x 1 x ; 2x 1 x ; x 12) lim x 18) lim x x x 2x x x x ; x 7x ; n x2 x x2 x a x b xn x 15) lim x 8x x ; x 1 x ; 21) lim x x 1 x 8-Tính giới hạn dạng 0. hàm số Bài 9: Tính các giới hạn sau 1) lim x x x ; x 4 2) lim x 1 x 1 x ; x 1 3) lim x x x1 ; x3 x 4) lim x 1 x 2x ; x x 2 n ; (6) 3x ; x 1 5) lim 2x x 6) lim x x 2x x ; x5 x 7) lim x x 2 x 4 4 x III Giới hạn bên Bài 1: Dựa vào định nghĩa giới hạn bên, tìm các giới hạn sau 1 a) lim x 1; b) lim x 2x ; c) lim ; d) lim x x x 23 x x x 2 x 2 x 4 x x 7x 12 x 3x 1) lim2: ; giới 2) lim ; 4) lim ; Bài Tính các hạn sau ; 3) xlim x 0 x x x 1 x 2 x 9 x x5 x 5) lim x 2 9) lim x 3x ; x 2 6) lim x 2 x2 x 1 x 3x x 3x ; 7) lim ; x 1 x 2 x 1 ; 10) lim x3 x2 x ; 11) lim x 1víi x d x 0 víi x 0 1 víi x Bài 3: Gọi d là hàm dấu: 8) lim x 1 1 x x x x3 Tìm x 3x ; x 1 x2 ; 12) lim x 2x 7x lim d x , lim d x vµ lim d x x 0 x x (nếu có) x víi x<-1 f x f x , lim f x vµ lim f x 2x víi x Tìm xlim x 1 x Bài 4: Cho hàm số (nếu có) 2 x víi x -2 f x lim f x , lim f x vµ lim f x 2x víi x x x x Bài 5: Cho hàm số Tìm (nếu có) x 2x víi x 2 f x lim f x , lim f x vµ lim f x 4x víi x Tìm x 2 x 2 x Bài 6: Cho hàm số (nếu có) x víi -3 x<3 f x 1 víi x 3 f x , lim f x vµ lim f x x víi x Tìm xlim x 3 x Bài 7: Cho hàm số (nếu có) 2x víi x 1 f x 6-5x víi 1<x<3 x-3 víi x 3 x Bài 8: Tìm giới hạn bên hàm số x vµ x IV Một vài qui tắc tìm giới hạn Bài1: 1) lim Tìm 3x các 5x 2giới hạn ; sau2) lim 2x 3x 12; x x ; x 2x x 3x 4) lim 5) lim 3x 5x; x Bài 2: Tìm các giới hạn sau 2x ; x x x2 5) lim ; x x x2 1) lim 2) lim x 6) lim x 2x ; x 2 x x 2 Bài 3: Tìm các giới hạn sau ; 3) lim 1000 x ; x 6) lim x 3x ; 1 3) lim ; x x x 2x 7) lim ; x x x 4) lim ; x x x 4 x2 8) lim x x (7) x3 x4 x ; 2) lim ; x x x 2x 1) lim 2x x ; x x x 3) lim x 5x x | x | 1 4) lim Bài 4: Tìm các giới hạn sau 2x 4x 1 1) lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4) lim x1 x x x 3x x1 x x 2x 3x 2x 3 x x V Hàm số liên tục điểm Bài 1: Xét tính liên tục các hàm số sau điểm cho trước x3 1)f x x x vµ g x x điểm x x 3x víi x 2 2)f x x t¹i ®iÓm x=2; 1 víi x=2 1 víi x 0 4)f x x t¹i ®iÓm x=0; 0 víi x=1 x3 víi x 1 3)f x x 2 víi x=1 t¹i ®iÓm x=1; 5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0; 1 x víi x 0 x 6)f x t¹i ®iÓm x=0; 1 víi x=0 x2 víi x -2 8)f x x t¹i ®iÓm x=-2 víi x=-2 x víi x 7)f x víi x=-1 2 t¹i ®iÓm x=-1; Bài 2: Xét tính liên tục các hàm số sau điểm x=1 x a víi x=1 1)f x x ; víi x 1 x x3 x 2x 2)f x x 3x a víi x 1 víi x=1 víi x=0 a x x f x víi x 3x 0 x 3x víi x=3 b Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x=1 và x=3 Bài 4: Xét tính liên tục các hàm số sau điểm cho trước x 1víi x 1 x víi x 1)f x t¹i ®iÓm x=1; 2)f x t¹i ®iÓm x=2; x víi x>1 2x víi x 2 x víi x<0 3x víi x -2 3)f x t¹i ®iÓm x=0; 4) f x t¹i ®iÓm x=-2 víi x>-2 x 1 x víi x 0 Bài 5: Xét tính liên tục các hàm số sau điểm x=0 x a x a)f x ; x 1 x 0 x x 2a b)f x x x x 0 x 3x x 1 f x x a x 1 Bài 6: Cho hàm số a)Tìm a để hàm số liên tục trái x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải x=1; c)Tìm a để hàm số liên tục trên R (8) Bài 7: Tổng hai hàm f(x)+g(x) có thiết phải gián đoạn điểm x0 đã cho hay không nếu: a)Hàm f(x) liên tục, còn hàm g(x) gián đoạn điểm x0 b)Cả hai hàm f(x) và g(x) gián đoạn điểm x0.Nêu ví dụ tương ứng VI Hàm số liên tục trên khoảng Bài 1: Chứng minh rằng: a)Hàm số f(x)= x x liên tục trên R b)Hàm số f x 1 x liên tục trên khoảng (-1; 1) [ ; ) c)Hàm số f(x)= 2x liên tục trên nửa khoảng Bài 2: Chứng minh hàm số sau đây liên tục trên tập xác định nó: a)f x x 3x ; 2x b)f x x x; c)f x x x x Bài 3: Giải thích vì sao: 2 a)Hàm số f(x)= x sinx-2cos x+3 liên tục trên R g x b)Hàm số h x x xcosx+sinx liªn tôc trªn R s inx+3 2x 1 s inx-cosx liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k, k R x s inx c)Hàm số Bài 4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó hàm số sau đây liên tục: a)f x x 1 ; b)f x 3x 2; x 7x 10 c)f x x x 3; d)f x x 1 sinx x3 víi x 2 f x 4x 3 víi x=2 có liên tục trên R không? Bài 5: Hàm số Bài 6: Xét tính liên tục các hàm số sau đây trên tập xác định nó x x x 1)f x ; ax+1 x x víi x<1 2)f x ; 2ax+3 víi x a x víi x 2 3)f x ; a x víi x>2 x 3x víi x<2 4)f x x 2x ; mx+m+1 víi x 2 x víi x 1 5)f x ; 2-x víi 1<x 2x a víi x<1 6)f x ax víi x 2x 2x x f(x) mx x Bài 7: Xét tính liên tục hàm số nÕu x > nÕu x trên VII Ứng dụng hàm số liên tục Bài 1: Cho hàm số f liên tục trên [0; 1] Chứng minh tồn ít số thực c thuộc [0; 1] cho f(c)=c Bài 2: Chứng minh rằng: 1)Phương trình x x 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1) 2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm 3)Phương trình x 1000x 0,1 0 có ít nghiệm âm 4)Phương trình 5)Phương trình 6)Phương trình 7)Phương trình 0 100 có ít nghiệm dương x 3x 5x 0 có ít nghiệm thuộc khoảng (1; 2) x3 x 0 có ít nghiệm âm lớn -1 4x 2x x 0 có ít hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1) x 1000x (9) 8)Phương trình 2x+ x =3 có ít ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9) 9)Phương trình 2x 6x 0 có ít ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2) 10)Phương trình x mx 0 luôn có nghiệm dương 11)Phương trình x ax bx c 0 luôn có ít nghiệm với a, b, c 12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình atan x+btanx+c=0 có ít nghiệm trên khoảng k; k , k R 1 víi x 0 f x x víi x=0 Bài 3: Cho hàm số a)Chứng tỏ f(-1).f(2)<0 b)Chứng tỏ f(x) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2) c)Điều khẳng định b) có mâu thuẫn với định lí giá trị trung gian hàm số liên tục không? Bài 4: Cho a, b là hai số dương khác Người ta lập hai dãy (un) và (vn) cách đặt u1 a, v1 b, u n 1 u n , v n 1 u n v n (n 1, 2,3, ) Chứng minh lim u n lim v n n n 2k s n n 1 , n * k 1 k Bài 5: Cho dãy (sn) với Tính lim s n a) lim Bài 6: Tính các giới hạn n! ; (2n 1)!! b) lim 1p 2p n p , p * n p1 CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG HỌC TẬP o0o - (10) BÀI TẬP CHƯƠNG III VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN MA 2MB, Bài 1: Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm thuộc AB và CDsao cho ND 2NC ; Các điểm I, J, K thuộc AD, MN, BC cho IA kID, JM kJN, KB kKC Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; Các điểm M, N thuộc các đường thẳng CA, DC’ cho MC mMA, ND mNC' Xác định m để các đường thẳng MN, BD’ song song với Khi ấy, tính MN biết ABC ABB ' CBB ' 60 vµ BA a, BB ' b, BC c Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I, J là trung điểm BB’, A’C’ Điểm K thuộc B’C’ cho KC ' 2KB '.Chøng minh bèn ®iÓm A, I, J, K cïng thuéc mét mÆt ph¼ng Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Một mặt phẳng (P) bất kì không qua S, cắt SA SC SB SD A , B , C , D SA SC SB SD 1 1 các cạnh SA, SB, SC, SD các điểm 1 1 CMR: Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh m, các góc A 60 (BAD A ' AB ' AD 60 ) A Gọi P và Q là các điểm xác định AP D 'A, C 'Q DC ' Chứng minh đường thẳng PQ qua trung điểm cạnh BB’ Tính độ dài đoạn thẳng PQ Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi D1, D2, D3 là điểm đối xứng với điểm D’ qua A, B’, C Chứng tỏ B là trọng tâm tứ diện D1D2D3D’ Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N là các điểm thuộc AD’ và DB cho 7: MA kMD ', ND kNB k 0, k 1 a) Chứng minh MN luôn song song với mp(A’BC) b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C’, chứng tỏ MN vuông góc với AD’ và DB Bài 8: Cho hình tứ diện ABCD có tất các cạnh m Các điểm M, N là trung điểm AB và CD a) Tính độ dài MN b) Tính góc đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD Bài9: Cho hình tứ diện ABCD; I và J là trung điểm AB và CD; M là điểm thuộc AC cho MA k1 MC; N là điểm thuộc BD cho NB k ND Chứng minh các điểm I, J, M, N cùng thuộc mặt phẳng và k1 k Bài 10: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng xOy , yOz , zOx Chøng minh r»ng cos+cos+cos a) Đặt b) Gäi Ox1 , Oy1 , Oz1 lÇn l ît lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c góc xOy, yOz, zOx Chứng minh Ox1 và Oy1 vuông góc với thì Oz1 vuông góc với Ox1 và Oy1 , , A, B, C và A1, Bài 11: Cho hai đường thẳng , 1 cắt ba mặt phẳng song song OI AA1 , OJ BB1 , OK CC1 B1, C1 Với điểm O bất kì không gian, đặt Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Bài12: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, K, E, F là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, AB2 CD2 AC2 BD2 BC2 AD2 4 IJ HK EF2 BD Chứng minh Bài 13: Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M, N, P, Q thuộc AB, BC, CD, DA cho 2 AM AB, BN BC, AQ AD, DP kDC 3 Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên mặt phẳng (11) Bài14: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Một đường thẳng d cắt các đương thẳng AA', BC, C'D' MA M, N, P cho NM 2NP Tính MA ' Bài15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA=SB và SA vuông góc với BC a) Tính góc hai đường thẳng SD và BC b) Gọi I, J là các điểm thuộc SB và SD cho IJ//BD Chứng minh góc góc AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí I, J Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh a, BAD 60 , BAA' DAA' 120 a) Tính góc các cặp đường thẳng AB với A'D và AC' với B'D b) Tính diện tích các hình A'B'CD và ACC'A' c) Tính góc đường thẳng AC' và các đương thẳng AB, AD, AA' Bài17: Cho tứ diện ABCD đó góc hai đường thẳng AB và CD Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM=x (0<x<AC) Xét mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với AB, CD a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện hình tứ diện ABCD cắt mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn b) Chứng minh chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x và AB=CD Bài18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông A Với điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (P) qua M và song song với SA và CD a) Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt (P) là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB=a, SB=b, M là trung điểm AD Bài 19: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M và N thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho MB kMC vµ NA kND với k là số thực khác cho trước Đặt là góc hai vectơ MA vµ BA; đặt là góc hai vectơ MN và CD Tìm mối liên hệ AD và CD để ==45 Bài 20: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, Klần lượt là trung điểm BC, CA, AD, DB Tính góc hai đường thẳng AB và CD các trường hợp sau: a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH 3IJ b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật CD AB Bài 21: Cho tứ diện ABCD có Gọi I, J, Klần lượt là trung điểm BC, CA, AD, DB Cho JK AB biết , tính góc đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB Bài 22: Cho tứ diện ABCD có BC=AD=a, AC=BD=b, AB=CD=c Đặt là góc BD và AD; đặt là góc hai đường thẳng AB và BD; đặt là góc hai đường thẳng AB và CD Chứng minh 2 số hạng a cos , b cos , c cos có số hạng tổng hai số hạng còn lại Bài 23: Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh Gọi M, N là trung điểm AB và CD Lấy các điểm I, J, K thuộc các đường thẳng BC, CA, AD cho IB kIC, JA kIC, KA kKD đó k là số khác cho trước Chứng minh rằng: a)MN IJ vµ MN JK b)AB CD Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA=SC, SB=SD Gọi O là giao điểm AC và BD a) Chứng minh SO mp(ABCD) b) Gọi d là giao tuyến mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến mp(SBC) và mp(SAD) Chứng minh SO mp(d, d1) Bài 25: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác cho hai đường chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK là hai đường cao hai tam giác BCE và ADF Chứng minh rằng: (12) a)ACH và BFK là các tam giác vuông b)BF AH và AC BK Bài26: a)Cho tứ diện DABC có cạnh Gọi H là hình chiếu D trên mp(ABC) và I là trung điểm DH Chứng minh tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi vuông góc b)Cho tứ diện IABC có IA=IB=IC và IA, IB, IC đôi vuông góc H là hình chiếu I trên mp(ABC) Gọi D là điểm đối xứng H qua I Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh Bài 27: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông A a) Chứng minh ASC là tam giác vuông b) Tính SA, SB, SC biết ACB , ACS vµ BC=a Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), 60 SA=a, và ABC a)Tính độ dài các cạnh SB, SC, SD b)Gọi I là trung điểm SC Chứng minh IB=ID Bài 29: Chứng minh các cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD vuông góc với đôi thì bốn mặt tứ diện có ít mặt là tam giác nhọn (cả ba góc nó nhọn) a Bài 30: Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và DA mp(ABC), AB=AC=a, BC= Gọi M là trung điểm BC Vẽ AH vuôngg góc với MD (H thuộc đường thẳng MD) a) Chứng minh AH mp(BCD) a b) Cho AD= Tính góc hai đường thẳng AC và DM c) Gọi G1, G2 là các trọng tâm các tam giác ABC và DBC CMR: G1G2 mp(ABC) Bài 31: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N là trung điểm DC và BB' Chứng minh MN A 'C Bài 32: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Trên DC và BB' ta lấy các điểm M và N cho DM=BN=x với x a Chứng minh hai đường thẳng AC' và MN vuông góc với Bài 33: Cho hình thang ABCD vuông A và D, AB=AD=a, DC=2a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) D lấy điểm S cho SD=a Các mặt bên tam giác là tam giác nào? Bài 34: Hình chóp S.ADCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, I và K là hình chiếu vuông góc điểm A trên các cạnh SB, SC và SD Chứng minh: a)BC (SAB), CD (SAD) vµ BD (SAC) b)SC (AHK) vµ I (AHK) c)HK (SAC), từ đó suy HK AI Bài 35: Cho tam giác ABC vuông C Trên nửa đường thẳng At vuông góc với (ABC) lấy điểm S Gọi H, K là hình chiếu vuông góc A lên SB và SC Chứng minh AK vuông góc với (SBC) và KH vuông góc với SB CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG HỌC TẬP o0o - (13)