BÀI TẬP GIỚI HẠN-LỚP 11

BÀI TẬP GIỚI HẠN LỚP 11

I. Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1 lim 0 n n →+∞ = ; 1 lim 0 ( ) k n k n + →+∞ = ∈¢ lim 0 ( 1) n n q q →+∞ = < ; lim n C C →+∞ = 2. Định lí : a) Nếu lim u n = a, lim v n = b thì • lim (u n + v n ) = a + b • lim (u n – v n ) = a – b • lim (u n .v n ) = a.b • lim n n u a v b = (nếu b ≠ 0) b) Nếu u n ≥ 0, ∀ n và lim u n = a thì a ≥ 0 và lim n u a= c) Nếu n n u v≤ , ∀ n và lim v n = 0 thì lim u n = 0 d) Nếu lim u n = a thì lim n u a= 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1 1 u q− ( ) 1q < 1. Giới hạn đặc biệt: lim n = +∞ lim ( ) k n k + = +∞ ∈¢ lim ( 1) n q q= +∞ > 2. Định lí: a) Nếu lim n u = +∞ thì 1 lim 0 n u = b) Nếu lim u n = a, lim v n = ±∞ thì lim n n u v = 0 c) Nếu lim u n = a ≠ 0, lim v n = 0 thì lim n n u v = . 0 . 0 n n neáu a v neáu a v  +∞ >  −∞ <  d) Nếu lim u n = + ∞ , lim v n = a thì lim(u n .v n ) = 0 0 neáu a neáu a  +∞ >  −∞ <  • Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 0 , ∞ ∞ , ∞ – ∞ , 0. ∞ thì phải tìm cách khử dạng vô định. 1 GIỚI HẠN GIỚI HẠN Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: • Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. VD: a) 1 1 1 1 lim lim 3 2 3 2 2 n n n n + + = = + + b) 2 1 1 3 3 lim lim 1 1 1 2 2 n n n n n n + − + − = = − − c) 2 2 2 4 1 lim( 4 1) lim 1n n n n n   − + = − + = +∞  ÷   • Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 ;a b a b a b a b a ab b a b− + = − − + + = − VD: ( ) 2 lim 3n n n− − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 lim 3 n n n n n n n n n − − − + − + = 2 3 lim 3 n n n n − − + = 3 2 − • Dùng định lí kẹp: Nếu n n u v≤ , ∀ n và lim v n = 0 thì lim u n = 0 VD: a) Tính sin lim n n . Vì 0 ≤ sin 1n n n ≤ và 1 lim 0 n = nên sin lim 0 n n = b) Tính 2 3sin 4cos lim 2 1 n n n − + . Vì 2 2 2 2 3sin 4cos (3 4 )(sin cos ) 5n n n n− ≤ + + = nên 0 ≤ 2 2 3sin 4cos 5 2 1 2 1 n n n n − ≤ + + . Mà 2 5 lim 0 2 1n = + nên 2 3sin 4cos lim 0 2 1 n n n − = + Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: • Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. 2 • Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. • Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + ∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – ∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. 1. Tính các giới hạn sau: a) 2 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n − + + + b) 3 2 2 1 lim 4 3 n n n + + + c) 3 2 3 3 2 lim 4 n n n n + + + d) 4 2 lim ( 1)(2 )( 1) n n n n+ + + e) 2 4 1 lim 2 1 n n n + + + f) 4 2 3 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n + − − + 2. Tính các giới hạn sau: a) 1 3 lim 4 3 n n + + b) 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n + + + c) 1 2 4 6 lim 5 8 n n n n + + + + d) 1 2 5 lim 1 5 n n n + + + e) 1 2.3 7 lim 5 2.7 n n n n + − + f) 1 1 2.3 6 lim 2 (3 5) n n n n+ − + − 3. Tính các giới hạn sau: a) 2 2 4 1 2 1 lim 4 1 n n n n n + + − + + + b) 2 2 3 4 lim 2 n n n n + − − + + c) 3 2 6 4 2 1 lim 1 n n n n + − + + d) 2 2 4 1 2 lim 4 1 n n n n n + + + + + e) (2 1)( 3) lim ( 1)( 2) n n n n n + + + + f) 2 2 2 4 4 1 lim 3 1 n n n n n − − + + + g) 1 1 1 lim 1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n   + + +  ÷ − +   h) 1 1 1 lim 1.3 2.4 ( 2)n n   + + +  ÷ +   i) 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 1 2 3 n      − − −  ÷ ÷  ÷      k) 1 1 1 lim 1.2 2.3 ( 1)n n   + + +  ÷ +   l) 2 1 2 lim 3 n n n + + + + m) 2 2 1 2 2 2 lim 1 3 3 3 n n + + + + + + + + 4. Tính các giới hạn sau: a) 2 lim 2 1n n n   + − −  ÷   b) 2 2 lim 2n n n   + − +  ÷   c) 3 3 lim 2 1n n n   − + −  ÷   3 d) 2 4 lim 1 3 1n n n   + − + +  ÷   e) ( ) 2 lim n n n− − f) 2 2 1 lim 2 4n n+ − + g) 2 2 4 1 2 1 lim 4 1 n n n n n + − − + + − h) 3 2 6 4 2 1 lim 1 n n n n + − + − i) 2 2 2 4 4 1 lim 3 1 n n n n n − − + + − 5. Tính các giới hạn sau: a) 2 2 2cos lim 1 n n + b) 2 ( 1) sin(3 ) lim 3 1 n n n n − + − c) 2 2 cos lim 3 1 n n n − + d) 6 2 2 3sin 5cos ( 1) lim 1 n n n + + + e) 2 3 2 2 3sin ( 2) lim 2 3 n n n + + − f) 2 3 2 2 lim (3cos 2) n n n n − + + 6. Cho dãy số (u n ) với u n = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 n      − − −  ÷ ÷  ÷      , với ∀ n ≥ 2. a) Rút gọn u n . b) Tìm lim u n . 7. a) Chứng minh: 1 1 1 1 ( 1) 1n n n n n n = − + + + + (∀n ∈ N * ). b) Rút gọn: u n = 1 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1)n n n n + + + + + + + + . c) Tìm lim u n . 8. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 1 1 1 1 ( 1) 2 n n n u u u n +  =   = + ≥   . a) Đặt v n = u n+1 – u n . Tính v 1 + v 2 + … + v n theo n. b) Tính u n theo n. c) Tìm lim u n . 9. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 1 2 2 1 0; 1 2 , ( 1) n n n u u u u u n + +  = =  = + ≥  a) Chứng minh rằng: u n+1 = 1 1 2 n u− + , ∀n ≥ 1. b) Đặt v n = u n – 2 3 . Tính v n theo n. Từ đó tìm lim u n . 10. Tính các giới hạn 4 2 12 lim/1 + + n n 4 13 lim/2 2 2 + + n n 23 15 lim/3 + − n n nnn nn −+ ++ 2 2 2 32 lim/4 1 32 lim/5 2 ++ + nn nn )3)(23( )12)(1( lim/6 ++ −+ nn nn 13 2 lim/7 2 2 ++ + nn nn 13 2 lim/8 24 3 ++ nn n )2)(1( )3)(2( lim/9 ++ + nn nnn 11. Tính các giới hạn 1 12 lim/1 2 2 + − n n 2 52 lim/2 2 +− + nn n 23 2 lim/3 2 3 −+ − nn nn ( ) nnn +− 3 32 lim/4 23 12 lim/5 3 2 − ++ n nn ( ) nnn −− 3 23 2lim/6 12. Tính các giới hạn nn n 32 1 lim/1 2 2 − + 4 32 )1( )2()1( lim/2 − ++ nn nn ( ) 1lim/3 22 +−+ nnn 3 32 3lim(/4 nnn −+ ) 2 1112 lim/5 2 3 − +− n nn 42 1 lim/6 22 +−+ nn 5 II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 0 0 lim x x x x → = ; 0 lim x x c c → = (c: hằng số) 2. Định lí: a) Nếu 0 lim ( ) x x f x L → = và 0 lim ( ) x x g x M → = thì: [ ] 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M → + = + [ ] 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M → − = − [ ] 0 lim ( ). ( ) . x x f x g x L M → = 0 ( ) lim ( ) x x f x L g x M → = (nếu M ≠ 0) b) Nếu f(x) ≥ 0 và 0 lim ( ) x x f x L → = thì L ≥ 0 và 0 lim ( ) x x f x L → = c) Nếu 0 lim ( ) x x f x L → = thì 0 lim ( ) x x f x L → = 3. Giới hạn một bên: 0 lim ( ) x x f x L → = ⇔ ⇔ 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L − + → → = = 1. Giới hạn đặc biệt: lim k x x →+∞ = +∞ ; lim k x nếu k chẵn x nếu k lẻ →−∞  +∞ =  −∞  lim x c c →±∞ = ; lim 0 k x c x →±∞ = 0 1 lim x x − → = −∞ ; 0 1 lim x x + → = +∞ 0 0 1 1 lim lim x x x x − + → → = = +∞ 2. Định lí: Nếu 0 lim ( ) x x f x L → = ≠ 0 và 0 lim ( ) x x g x → = ±∞ thì: 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) x x x x x x nếu L và g x cùng dấu f x g x nếu L và g x trái dấu → → →  +∞  =  −∞   0 0 0 0 0 lim ( ) ( ) lim lim ( ) 0 . ( ) 0 ( ) lim ( ) 0 . ( ) 0 x x x x x x x x nếu g x f x nếu g x và L g x g x nếu g x và L g x → → → →  = ±∞   = +∞ = >   −∞ = <   * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định: 0 0 , ∞ ∞ , ∞ – ∞ , 0. ∞ thì phải tìm cách khử dạng vơ định. Một số phương pháp khử dạng vơ định: 6 1. Dạng 0 0 a) L = 0 ( ) lim ( ) x x P x Q x → với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. VD: 3 2 2 2 2 2 2 8 ( 2)( 2 4) 2 4 12 lim lim lim 3 ( 2)( 2) 2 4 4 x x x x x x x x x x x x x → → → − − + + + + = = = = − + + − b) L = 0 ( ) lim ( ) x x P x Q x → với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. VD: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 4 2 4 2 4 1 1 lim lim lim 4 2 4 2 4 x x x x x x x x x x → → → − − − − + − = = = + − + − c) L = 0 ( ) lim ( ) x x P x Q x → với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc Giả sử: P(x) = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) m n m n u x v x vôùi u x v x a− = = . Ta phân tích P(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) m n u x a a v x− + − . VD: 3 3 0 0 1 1 1 1 1 1 lim lim x x x x x x x x x → →   + − − + − − − = +  ÷   = 0 2 3 3 1 1 1 1 5 lim 3 2 6 1 1 ( 1) 1 1 x x x x →   + = + =  ÷  ÷ + − + + + +   2. Dạng ∞ ∞ : L = ( ) lim ( ) x P x Q x →±∞ với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. 7 VD: a) 2 2 2 2 5 3 2 2 5 3 lim lim 2 6 3 6 3 1 x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ + − + − = = + + + + b) 2 2 3 2 2 3 lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x →−∞ →−∞ − − = = − + − − + − 3. Dạng ∞ – ∞ : Giới hạn này thường có chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. VD: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 lim 1 lim lim 0 1 1 x x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ + − + + + − = = = + + + + 4. Dạng 0. ∞ : Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. VD: 2 2 2 2. 0. 2 lim ( 2) lim 0 2 2 4 x x x x x x x x + + → → − − = = = + − 1. Tìm các giới hạn sau: a) 2 3 0 1 lim 1 x x x x x → + + + + b) 2 1 3 1 lim 1 x x x x →− + − − c) 2 sin 4 lim x x x →   −  ÷   π π d) 4 1 1 lim 3 x x x x →− − + − e) 2 2 1 lim 1 x x x x → − + − f) 2 1 2 3 lim 1 x x x x → − + + g) 1 8 3 lim 2 x x x → + − − h) 3 2 2 3 4 3 2 lim 1 x x x x → − − − + i) 2 0 1 lim sin 2 x x → 2. Tìm các giới hạn sau: a) 3 2 2 1 1 lim 3 2 x x x x x x → − − + − + b) 4 3 2 1 1 lim 2 x x x x x + → − − + c) 5 3 1 1 lim 1 x x x →− + + d) 3 2 4 2 3 5 3 9 lim 8 9 x x x x x x → − + + − − e) 5 6 2 1 5 4 lim (1 ) x x x x x → − + − f) 1 1 lim 1 m n x x x → − − g) 0 (1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim x x x x x → + + + − h) 2 1 lim 1 n x x x x n x → + + + − − i) 4 3 2 2 16 lim 2 x x x x →− − + 8 3. Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 4 1 3 lim 4 x x x → + − − b) 3 3 1 1 lim . 4 4 2 x x x → − + − c) 2 0 1 1 lim x x x → + − d) 2 2 2 lim 7 3 x x x → + − + − e) 1 2 2 3 1 lim 1 x x x x → + − + − f) 2 0 2 1 1 lim 16 4 x x x → + − + − g) 3 0 1 1 lim 1 1 x x x → + − + − h) 2 3 3 2 lim 3 x x x x x →− + − + i) 0 9 16 7 lim x x x x → + + + − 4. Tìm các giới hạn sau: a) 3 0 1 1 lim x x x x → + − + b) 3 2 2 8 11 7 lim 3 2 x x x x x → + − + − + c) 3 0 2 1 8 lim x x x x → + − − d) 3 2 0 1 4 1 6 lim x x x x → + − + e) 3 2 2 8 11 7 lim 2 5 2 x x x x x → + − + − + f) 3 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x x → − − + − g) 0 1 4 . 1 6 1 lim x x x x → + + − h) 3 0 1 2 . 1 4 1 lim x x x x → + + − i) 3 0 1 1 lim x x x x → + − − 5. Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 1 lim 2 1 x x x x →+∞ + − + b) 2 2 1 lim 2 x x x x →±∞ − + − c) 2 3 2 2 1 lim 3 2 x x x x →+∞ + − + d) 2 2 2 3 4 1 lim 4 1 2 x x x x x x →±∞ + + + + + + − e) 2 2 4 2 1 2 lim 9 3 2 x x x x x x x →±∞ − + + − − + f) 2 1 lim 1 x x x x x →+∞ + + + g) 2 2 (2 1) 3 lim 5 x x x x x →−∞ − − − h) 2 2 2 3 lim 4 1 2 x x x x x x →+∞ + + + − + i) 2 5 2 lim 2 1 x x x x →−∞ − + + 6. Tìm các giới hạn sau: a) 2 lim x x x x →+∞   + −  ÷   b) 2 lim 2 1 4 4 3 x x x x →+∞   − − − −  ÷   c) 3 2 3 lim 1 1 x x x →+∞   + − −  ÷   d) lim x x x x x →+∞   + + −  ÷   e) ( ) 3 3 lim 2 1 2 1 x x x →+∞ − − + f) ( ) 3 3 2 lim 3 1 2 x x x →−∞ − + + g) 3 1 1 3 lim 1 1 x x x →   −  ÷ − −   h) 2 2 2 1 1 lim 3 2 5 6 x x x x x →   +  ÷ − + − +   9 7. Tìm các giới hạn sau: a) 2 15 lim 2 x x x + → − − b) 2 15 lim 2 x x x − → − − c) 2 3 1 3 2 lim 3 x x x x + → + − − d) 2 2 4 lim 2 x x x + → − − e) 2 2 2 lim 2 5 2 x x x x + → − − + f) 2 2 2 lim 2 5 2 x x x x − → − − + 8. Tính các giới hạn: )32(lim/1 2 + → x x )432(lim/2 3 2 +− −→ xx x 1 14 lim/3 2 2 1 +− ++ → xx xx x 1 21 lim/4 3 + +− −→ x xx x )2(lim/5 3 1 xx x ++ −→ 2 25 lim/6 2 5 + − → x x x 9. Tính các giới hạn: 1 23 lim/4 4 6 lim/1 23 3 1 2 2 2 +−− +− − −+ → → xxx xx x xx x x 8 4 lim/5 20 16 lim/2 3 2 2 2 2 4 + − −+ − −→ → x x xx x x x 9 3 lim/6 3 34 lim/3 2 3 2 3 − + − +− −→ → x x x xx x x 10. Tính các giới hạn: x x x xx x x x x x 2 121 lim/7 4 23 lim/4 2 121 lim/1 0 2 2 0 −+ − −− −+ → → → 2 24 lim/8 33 223 lim/5 39 4 lim/2 3 2 1 0 − − + +−+ −+ → −→ → x x x xx x x x x x 25 32 lim/9 34 472 lim/6 32 372 lim/3 2 3 5 3 1 1 − +− +− −++ +− −+ → → → x x xx xx x x x x x 11.Tính các giới hạn: 33 276 lim/7 22 2 lim/4 1 1 lim/1 23 24 3 2 2 2 3 1 +++ −− −+− − − − −→ → → xxx xx xx x x x x x x 33 3 2 0 1 2 23 1 232 11 lim/8 45 32 lim/5 43 42 lim/2 +−+ −− +− −+ −− ++− → → −→ xx x xx xx xx xxx x x x 314 2 lim/9 23 2423 lim/6 11 lim/3 2 2 2 1 2 0 −+ +− +− −−−− ++−+ → → → x xx xx xxx x xxx x x x 10 [...]... c = 0 với a + 2b + 5c = 0 c) x 3 + ax 2 + bx + c = 0  1 11. Chứng minh rằng phương trình: ax 2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm x ∈  0;   3 với a ≠ 0 và 2a + 6b + 19c = 0 15 16 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1 Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0: a ) un = ( −1) n sin 2n n +1 b) un = 2n 2 + 1 c ) un = ( −1) d ) un = n +1 n cos n n n +1 3 2 Tìm các giới hạn sau a ) lim 2n − 3n3 + 1 n3 + n 2 b) lim n3 + 3n... (-1; -2) với 3 mọi m 20 ĐỀ KIỂM TRA ÔN TẬP CHƯƠNG Đề 01 Bài 1 Tính lim ( 2 x + 5 ) x →2 Bài 2 Tìm các gới hạn sau: a) lim 3n − 4n + 2 2 n + 3 + 5n b) lim 2n + 3 n−5 c) lim x →−∞ ( x− x+2 d) lim 2 x →2 x − 3 x + 2 e) xlim 2 x − 1 − 4 x + 4 x + 2 →±∞ 2 ) 2 x − x2 + x + 1 3x + 2 π  sin  x − ÷ f) lim  6  π x→ 3 − 2cosx 6 Bài 3 Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó  x 2 + 2 x, x >... 3x + 2 2− x lim− x →2 9 Tìm các giới hạn sau (Dạng 0 ∞):   − 1÷ a) xlim  →0 x  x + 1  1 1 ( lim− x 3 − 8 x →2 ) 2x + 3 x2 − 1 b) lim ( x − 1) − + x →1 c) xlim x 2 − 9 →3 + 2x +1 x −3 d/ x 2 − x2 10 Tìm giới hạn sau: (Dạng ∞ - ∞): a) xlim →+∞ lim x →−∞ ( ( x2 + 1 − x ) b) xlim →+∞ ( ) x 2 + 2 x − x 2 + 1 c) lim x →−∞ 4x2 − x + 2x ) d) ) x2 − x − x2 −1 11 Tìm giới hạn sau: (áp dụng lim x →0 a)... + 2 x − 4 x2 + 1 2 − 5x 6 Tìm các giới hạn sau (Dạng: a.∞): 3 2 a) xlim (−2 x + x − 3 x + 1) →−∞ 4 3 b) xlim (− x + x + 5 x − 3) →+∞ 17 2 c) xlim 4 x + x + 2 →+∞ 2 d) xlim x − 3x + 2 →−∞ e) xlim →+∞ ( 3x 2 + x − 2 x ) f) xlim →−∞ ( 2x2 + x + x 7 Tìm các giới hạn sau (Giới hạn một bn): 1− x x +1 x−3 a) xlim →3 − b) lim x − 4 2 x →4 ( ) c) xlim →3 + x →−1 8 Tìm các giới hạn sau (Dạng a/ lim x →3 x →1...12 Tính các giới hạn: 3 1− 3 1− x 1 / lim x →0 x 2 x − 4x + 3 2 / lim x →3 x−3 ( x + 1)( x 2 − 1) 3 / lim 3 x →3 x + x 2 + x x 2 + 3x + 2 4 / lim 2 x → −2 2 x + x + 6 3− 5+ x 5 / lim x →4 1− 5 − x 6 / lim x →1 x2 + 3 − 2 3 7 / lim x →1 8 / lim x −1 x − 2 + 1− x + x2 x2 −1 1 + 2x − 3 x −2 x→4 1− 1− x x →0 3x 3 x +1 10 / lim x → −1 x2 + 3 − 2 3 9 / lim 13 Tính các giới hạn: 8 x + 11 − x + 7 x →2... →∞ (3x + 4) 3 6 / lim 8 / lim x →∞ 3 x →∞ x3 − x + 1 4x 2 + 1 x →∞ 3x − 1 2x 2 + 3 10 / lim 3 x →∞ x − 2 x + 1 9 / lim 15.Tính các giới hạn: 1 / lim x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 3 + 1 + 4x 9x 2 + x + 1 − 4x 2 + 2x + 1 2 / lim x →∞ x −1 4x 2 + 1 + 2 − x 16 Tính các giới hạn: 11 1 / lim (3 x 3 + x 2 − x) 5 / lim ( x + 3 3 x 2 − x 3 ) 2 / lim (2 x − 1 − 4 x − 4 x − 3 ) 6 / lim ( x − x 2 + 1) 3 / lim ( x 2... hàm số sau trên tập xác định của nó  x 2 + 2 x, x > 1 y = f(x) =   x − a, x ≤ 1 , với a là tham số Bài 4 Chứng minh rằng phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trong khoảng (-2 ; 2) Đề 02 Câu 1 Tính các giới hạn sau: a) lim 3n − 5 4n + 7 b) lim 2n 2 − 3n + 7 n3 + 9n − 2 Câu 1 Tính các giới hạn sau: 3 2 a) lim( x + 5 x − 10 x + 8) x →5 x3 − x 2 − 2 x − 8 b) xlim2 2 →− x + 3x + 2 c) xlim... ←∞ x → +∞ x → −∞ 17 Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau: tgx − sin x 5 / lim x →0 x3 x sin 2 3 6 / lim 2 x →0 x tg 3 x 7 / lim x →0 2 x 1 − cos 6 x 8 / lim x →0 x2 sin 5 x x →0 2x sin 2 x 2 / lim x →0 x +1 −1 1 − cos 2 x 3 / lim x →0 x sin x 1 − cos 4 x 4 / lim x →0 2x 2 1 / lim 1 − cos 3x x →0 1 − cos 5 x 2 − 1 + cos x 10 / lim x →0 tg 2 x 9 / lim 1 + sin 2 x − cos x 11 / lim x →0 sin 2 x π ... 3.4 n ( n + 1) 3 Tìm các giới hạn sau a ) lim(3n 2 + n − 1) ( d ) lim 2.3n − 5.4n e) lim ( ( 3 ( c ) lim 3n 2 + n − 1 ) 3n 2 + 1 − 2n i ) lim n k ) lim b) lim(−2n 4 + n 2 − n + 3) ) n −1 − n f ) lim ( n2 − n + n ) g ) lim ( 3n 2 − 6n + 1 − 7n ) ) ) n3 + n 2 − n 4 Tính tổng n−1 1 1 1  1 a) 1, − , , − , ,  − ÷ , 2 4 8  2 n−1 1 1 1 1 b) 1, , , , ,  ÷ , 3 9 27 3 5 Tìm giới hạn của các hàm số... tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 14  x3 + x + 2  3  f (x) =  x + 1 a) 4 3   x2 − 4  c) f ( x ) =  x + 2  −4   x 2 − 3x + 4  b) f ( x ) = 5 2 x + 1  khi x ≠ −1 khi x = −1  x2 − 2  d) f ( x ) =  x − 2 2 2  khi x ≠ −2 khi x = −2 khi x < 2 khi x = 2 khi x > 2 khi x ≠ 2 khi x = 2 5 Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:  x2 . nnn 3 32 3lim(/4 nnn −+ ) 2 111 2 lim/5 2 3 − +− n nn 42 1 lim/6 22 +−+ nn 5 II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 0 0 lim x. + = 11. Chứng minh rằng phương trình: 2 0ax bx c+ + = luôn có nghiệm x ∈ 1 0; 3       với a ≠ 0 và 2a + 6b + 19c = 0. 15 16 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1. Chứng minh các dãy số sau có giới. I. Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1 lim 0 n n →+∞ = ; 1 lim 0 ( ) k n k n + →+∞ = ∈¢ lim