BÀI TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
1 2 Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. CÔNG THỨC 1. Bảng giá trị lượng giác của một số cung (góc) đặt biệt 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 Tăng và dương Giảm và dương sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 Giảm và dương Giảm và âm cos 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 Tăng và dương Tăng và âm tan 0 1 3 1 3 Không có nghĩa - 3 -1 - 1 3 0 Giảm và dương Giảm và âm cot Không có nghĩa 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 Không có nghĩa 2. GTLG của các góc có liên quan đặc biệt a/ Hai góc đối nhau sin sin cos cos tan tan cot cot b/ Hai góc bù nhau sin sin cos cos tan tan cot cot c/ Hai góc phụ nhau sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 d/ Góc hơn 2 sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 e/ Góc hơn sin sin cos cos tan tan cot cot f/ Với mọi k , ta có sin 2 sin k ; cos 2 cos k ; tan tan k ; cot cot k . 3 3. Các công thức lượng giác Công thức lượng giác cơ bản 2 2 sin cos 1 ; sin tan cos ; cos cot sin ; tan .cot 1 ; 2 2 1 1 tan cos ; 2 2 1 1 cot sin . Công thức cộng sin sin cos cos sin ; sin sin cos cos sin ; cos cos cos sin sin ; cos cos cos sin sin ; tan tan tan 1 tan tan ; tan tan tan 1 tan tan . Công thức nhân đôi sin 2 2sin cos ; 2 2 cos2 cos sin ; 2 cos2 1 2sin ; 2 cos2 2cos 1 ; 2 2tan tan2 = . 1 tan Công thức hạ bậc 2 1 cos2 cos ; 2 2 1 cos 2 sin 2 ; 2 1 cos2 tan 1 cos2 . Công thức nhân ba 3 cos3 4cos 3cos ; 3 sin3 3sin 4sin . Công thức hạ bậc 3 4cos 3cos cos3 ; 3 4sin 3sin sin3 Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos cos cos cos 2 ; 1 sin sin cos cos 2 1 cos cos ; 2 1 sin cos sin sin 2 . Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 ; cos cos 2sin sin 2 2 ; sin sin 2sin cos 2 2 ; sin sin 2cos sin 2 2 4 B. BÀI TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. 1 Tính giá trị của các biểu thức sau : a/ sin cos sin cos A , biết 2 tan 5 ; b/ 3tan 2cot tan cot B , biết 2 sin 3 . 1. 2 Chứng minh các đẳng thức : a/ 4 4 2 2 sin cos 1 2sin cos ; b/ 4 4 2 cos sin 2cos 1 ;. 1. 3 Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào : a/ 4 2 4 4 sin 4cos cos 4sin ; b/ 2 2 cot tan cot tan . CUNG LIÊN KẾT 1. 4 Tính a/ tan1 tan2 tan3 tan89 o o o o A ; b/ cos10 cos20 cos30 cos180 o o o o B . CÔNG THỨC CỘNG 1. 5 Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng : a/ tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A ; b/ tan tan tan tan tan tan A B C A B C . 1. 6 a/ Biến đổi biểu thức 3sin cos x x về dạng sinA x . b/ Biến đổi biểu thức 3sin cos x x về dạng cosA x . c/ Biến đổi biểu thức sin 3cos x x về dạng sinA x ; d/ Biến đổi biểu thức sin cos x x về dạng sinA x . 1. 7 Cho 3 a b . Tính giá trị biểu thức 2 2 cos cos sin sin A a b a b CÔNG THỨC NHÂN 1. 8 Tính a/ o o sin6 sin42 sin66 sin 78 o o A ; b/ sin10 sin50 sin70 o o o B . 1. 9 Chứng minh rằng 5 a/ 2 cot tan sin 2 x x x ; b/ cot tan 2cot 2 x x x ; c/ sin 2 tan 1 cos2 x x x ; d/ 2 1 cos 2 tan 1 cos2 x x x . e/ sin3 cos3 4cos2 sin cos x x x x x ; f/ 4 2 cos4 8cos 8cos 1 x x x . CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. 10 a/ Tính 5 sin sin 24 24 . b/ Tính 5 7 cos sin 12 12 . 1. 11 Biến đổi tích thành tổng a/ 2cos5 cos A x x ; b/ 4sin sin 2 sin3 B x x x ; c/ 2sin cos C a b a b ; d/ 2cos cos D a b a b ; 1. 12 Biến đổi tổng thành tích : a/ sin sin3 sin5 sin7 A x x x x ; b/ cos2 cos2 cos2 1 B a b a b c/ 1 sin C x ; d/ 1 2cos D x . e/ sin sin sin E a b a b ; f/ 1 sin cos F a a . 1. 13 Rút gọn biểu thức a/ cos2 cos4 sin 4 sin 2 a a A a a ; b/ sin sin3 sin5 cos cos3 cos5 B . 1. 14 Chứng minh rằng a/ cos5 cos3 sin7 sin cos2 cos4 x x x x x x ; b/ sin5 2sin cos2 cos4 sin x x x x x ; c/ 2 2 3 sin sin sin sin 3 3 4 x x x x ; d/ 1 sin sin sin sin3 3 3 4 x x x x . 1. 15 Chứng minh rằng a/ 4 4 3 cos 4 cos sin 4 x x x ; b/ 4 4 cos sin cos2 x x x ; b/ 6 6 5 3cos4 cos sin 8 x x x ; c/ 6 6 15cos2 cos6 cos sin 16 x x x x ; c/ 8 8 7cos2 cos6 cos sin 8 x x x x . 6 § 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT 1 Hàm số sin : sin f x x Tập xác định D . Tập giá trị 1;1 . Nhận xét sin 1 2 2 x x k sin 1 2 2 x x k sin 0 x x k 2 Hàm số côsin : cos f x x Tập xác định D . Tập giá trị 1;1 . Nhận xét cos 1 2 x x k cos 1 2 x x k cos 0 2 x x k 3 Hàm số tang : tan f x x Điều kiện xác định : cos 0 2 x x k . Tập xác định : \ 2 D k . Tập giá trị : Nhận xét tan 0 sin 0 x x x k 4 Hàm số côtang : cot f x x Điều kiện xác định : sin 0 x x k . Tập xác định \ D k . Tập giá trị . Nhận xét cot 0 cos 0 2 x x x k B BÀI TẬP 1. 16 Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây : a/ sin 1 sin 1 x f x x ; b/ 2tan 2 cos 1 x f x x ; c/ cot sin 1 x f x x ; d/ tan 3 y x . 1. 17 Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây : a/ 1 cos y x ; b/ 3 sin y x ; c/ cos sin x y x ; d/ 1 cos 1 sin x y x . 1. 18 Tìm GTLN và GTNN của hàm số 7 a/ 3cos 2 y x ; b/ 5sin3 1 y x ; c/ 4cos 2 9 5 y x ; d/ sin cos f x x x ; e/ cos 3sin f x x x ; f/ 5 sin cos y x x ;. 1. 19 Xét tính chẵn – lẻ của hàm số a/ sin cos 2 x f x x ; b/ sin cos f x x x ; c/ 2 3cos 5sin y x x d/ cos y x x . 1. 20 Cho hàm số 3cos2 y x . a/ Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn. b/ Chứng minh rằng hàm số đã cho có chu kỳ T . c/ vẽ đồ thị hàm số đã cho. 1. 21 Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a/ 11 11 ( ) sin cos f x x x ; b/ 4 4 ( ) sin cos f x x x ; c/ 6 6 ( ) sin cos f x x x ; d/ 2 2 ( ) sin cos n n f x x x , với * n . 8 § 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A LÝ THUYẾT 1 Phương trình sinx = m Xét phương trình sin x m = * Với [ ] 1;1 m Ï - , phương trình sin x m = vô nghiệm. * Với [ ] 1;1 m Î - , tồn tại số a sao cho sin b a = . 2 sin sin sin 2 . x k x m x x k a p a p a p é = + ê = Û = Û ê = - + ë ( k Î ¢ ) Chú ý Với mỗi m cho trước mà 1 m , phương trình sinx = m có đúng một nghiệm trong đoạn ; 2 2 . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arcsin m . Khi đó arcsin 2 sin arcsin 2 . x m k x m x m k 2 Phương trình cosx = m * Với [ ] 1;1 m Ï - , phương trình cos x m = vô nghiệm. * Với [ ] 1;1 m Î - , tồn tại số a sao cho cos m a = . 2 cos cos cos 2 . x k x m x x k a p a a p é = + ê = Û = Û ê = - + ë ( k Î ¢ ) Chú ý Với mỗi m cho trước mà 1 m , phương trình cosx = m có đúng một nghiệm trong đoạn 0; . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccos m . Khi đó arccos 2 cos arccos 2 . x m k x m x m k 3 Phương trình tanx = m, cotx = m Các phương trình trên luôn có nghiệm. Với mọi số thực , ta có tan tan x x k a a p = Û = + . ( k Î ¢ ) cot cot x x k a a p = Û = + . ( k Î ¢ ) Chú ý 9 i) Với mọi số m cho trước, phương trình tan x m có duy nhất một nghiệm trong khoảng ; 2 2 . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arctan m . Khi đó tan arctan x m x m k . ii) Với mọi số m cho trước, phương trình cot x m có duy nhất một nghiệm trong khoảng 0; . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là cot arc m . Khi đó cot cot x m x arc m k . Công thức ngiệm của phương trình lượng giác 2 sin sin 2 u v k u v u v k 2 cos cos 2 u v k u v u v k tan tan u v u v k cot cot u v u v k với k (trong điều kiện biểu thức có nghĩa) Một số trường hợp đặc biệt sin 1 2 2 u u k sin 1 2 2 u u k sin 0 u u k cos 1 2 u u k cos 1 2 u u k cos 0 2 u u k tan 0 u u k cot 0 2 u u k B BÀI TẬP 1. 22 Giải phương trình : a/ sin sin 6 x ; b/ 2sin 2 0 x ; c/ 2 sin 2 3 x ; d/ sin 20 sin60 o o x ; e/ cos cos 4 x ; f/ 2cos2 1 0 x ; g/ 2 cos 2 15 2 o x ; h/ 1 tan3 3 x ; i/ tan 4 2 3 x ; j/ o tan 2 10 tan60 o x ; k/ cot4 3 x ; l/ cot 2 1 x . 1. 23 Giải phương trình : 10 a/ sin 2 sin 5 5 x x ; b/ cos 2 1 cos 2 1 x x ; c/ 2 1 1 tan tan 0 6 3 x ; d/ sin 3 cos2 x x . 1. 24 Giải các phương trình sau : a/ 2 1 cos 2 4 x ; b/ 2 4cos 2 3 0 x ; c/ 2 2 cos 2 sin 4 x x ; d/ 2 2 cos 3 sin 2 1 x x . 1. 25 Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho : a/ 2sin 2 1 0 x với 0 x ; b/ cot 5 3 x với x . 1. 26 Giải các phương trình sau : a/ sin cos 1 x x ; b/ 4 4 sin cos 1 x x ; c/ 4 4 sin cos 1 x x ; d/ 3 3 sin cos cos sin 2 /8 x x x x . 1. 27 Giải các phương trình sau : a/ 2 cos 3sin cos 0 x x x ; b/ 3cos sin2 0 x x ; c/ 8sin .cos .cos2 cos8 16 x x x x ; d/ 4 4 sin sin sin 4 2 x x x . 1. 28 Giải phương trình : a/ cos7 .cos cos5 .cos3 x x x x ; b/ cos4 sin3 .cos sin .cos3 x x x x x ; c/ 1 cos cos2 cos3 0 x x x ; d/ 2 2 2 2 sin sin 2 sin 3 sin 4 2 x x x x . 1. 29 Giải các phương trình sau : a/ sin 2 sin5 sin3 sin 4 x x x x ; b/ sin sin2 sin3 sin 4 0 x x x x ; c/ 2 2 2 sin sin 3 2sin 2 x x x ; d/ sin sin3 sin5 cos cos3 cos5 x x x x x x . 1. 30 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau : a/ tan y x ; b/ cot2 y x ; c/ 2cos 1 2cos 1 x y x ; d/ sin 2 cos2 cos x y x x ; e/ tan 1 tan x y x ; f/ 1 3cot 2 1 y x . 1. 31 Giải phương trình : [...]... TRONG THI TUYN SINH I HC, CAO NG Gii cỏc phng trỡnh lng giỏc sau õy : 1) cos 4 x 12sin 2 x 1 0 ; (C 2 011) 2) sin 2 x 2 cos x sin x 1 0 ; tan x 3 (Khi D 2 011) 3) sin 2 x cos x sin x cos x cos 2 x sin x cos x ; (Khi B 2 011) 4) 1 sin 2 x cos 2 x 2 sin x sin 2 x ; 1 cot 2 x (Khi A 2 011) 5) sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0 ; (Khi D - 2010) 6) sin 2 x cos 2 x cos x 2 cos 2 x sin... i d tri hố ton quc Nh trng quyt nh chn mt hc sinh tiờn tin lp 11A hoc lp 12B Hi nh trng cú bao nhiờu cỏch chn, nu bit rng lp 11A cú 31 hc sinh tiờn tin v lp 12B cú 22 hc sinh tiờn tin ? b/ Mt trng THPT c c hai hc sinh i d tri hố ton quc Nh trng quyt nh chn mt hc sinh tiờn tin lp 11A v lp 12B Hi nh trng cú bao nhiờu cỏch chn, nu bit rng lp 11A cú 31 hc sinh tiờn tin v lp 12B cú 22 hc sinh tiờn tin ?... nhiờu cỏch chn ? b/ Nu kt qu cuc thi l chn ra cỏc gii nht, nhỡ, ba thỡ cú bao nhiờu s la chn ? 2 26 Trong trn chung kt búng ỏ phi phõn nh thng thua bng ỏ luõn lu 11 một Hun luyn viờn cn trỡnh trng ti mt danh sỏch sp th t 5 cu th ỏ luõn lu 11 một Hi HLV cú bao nhiờu s la chn ? 2 27 a/ T cỏc ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn cú 4 ch s khỏc nhau ụi mt ? b/ T cỏc s 3, 4, 5,... tan 2 x cos 2 0 ; 2 2 4 (Khi D 2003) 25) cot x 1 26) cos2 3x cos2 4 x sin 2 5 x cos 2 6 x ; cos 2 x 1 sin 2 x sin 2 x ; 1 tan x 2 (Khi A 2003) (Khi B 2002) 21 KIM TRA GIA HC K 1 MễN TON LP 11 CHNG TRèNH NNG CAO ( Thi gian lm bi : 60 phỳt) Bi 1 ( 6 im ) Gii cỏc phng trỡnh sau õy : a/ 2 sin 2 x 3 2 sin 2 x ; b/ 1 sin x.sin 3 x 0 ; c/ 3 cos x sin x 1 ; d/ 1 tan x.tan 2 x 0 Bi 2 (2...a/ 2 cos 2 x 0 ; 1 sin 2 x b/ c/ sin 3x cot x 0 ; tan x 3 0 ; 2 cos x 1 d/ tan 3 x tan x 1 32 Tỡm nghim thuc khong (0; ) ca phng trỡnh 4 cos 3x cos 2 x 2 cos 3 x 1 0 11 Đ4 PHNG TRèNH BC HAI THEO MT HM S LNG GIC A DNG at 2 bt c 0 ( a 0 ), vi t l mt hm s lng giỏc (sinx, cosx, tanx, cotx, sin x cos x , sin x , B 1 , ) sin x BI TP 1 33 Gii phng trỡnh : a/ 2cos2... ngi ú khụng l v chng ? 2 9 Cú bao nhiờu s t nhiờn cú hai ch s m hai ch s ca nú u chn ? 2 10 T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, cú th to nờn bao nhiờu s t nhiờn a/ Cú hai ch s ? b/ Cú hai ch s khỏc nhau ? 2 11 T cỏc ch s 2, 3, 4, 6, 7, cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn bộ hn 100 ? 2 12 Cho tp hp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8} T cỏc phn t ca tp X cú th lp bao nhiờu s t nhiờn trong cỏc trng hp sau : a/.S ú cú 3 ch... 2sin x 1 sin x 9) sin x cos x.sin 2 x 3 cos 3 x 2 cos 4 x sin 3 x ; 10) (Khi A 2009) 3 ; (Khi B 2009) (Khi D 2009) 3 cos 5 x 2 sin 3x.cos 2 x sin x 0 ; 7 4 sin x ; 3 4 sin x 2 11) 1 sin x 1 12) 2sin x 1 cos 2 x sin2x 1 2 cos x ; (Khi B 2008) 13) sin 3 x 3 cos 3 x sin x cos 2 x 3 sin 2 x cos x ; (Khi D 2008) 14) 2sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x ; (Khi B 2007) 15) x x . 0 x x ; (CĐ – 2 011) 2) sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x ; (Khối D – 2 011) 3) sin 2 cos sin cos cos2 sin cos x x x x x x x ; (Khối B – 2 011) 4) 2 1 sin 2 cos2 2. c/ vẽ đồ thị hàm số đã cho. 1. 21 Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a/ 11 11 ( ) sin cos f x x x ; b/ 4 4 ( ) sin cos f x x x ; c/ 6 6 ( ) sin cos f x x x . cos x y x x ; e/ tan 1 tan x y x ; f/ 1 3cot 2 1 y x . 1. 31 Giải phương trình : 11 a/ 2cos2 0 1 sin 2 x x ; b/ tan 3 0 2cos 1 x x ; . c/ sin 3 cot 0 x x ;