Bài tập giới hạn (Lí thuyết+BT mẫu)

2 D·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n

a §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè un cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu lim un  , nÕu L lim u n L 0

lim | u | | L |

 

c Tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n

u1 q

  nÕu mäi d·y xn trong tËp a; b \ x  0 mµ lim xn x0 th× lim f x n

2 Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc

Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a;  Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến

f xlim

Phơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.

Ví dụ 1: Tìm: 3 22

Ví dụ 2: Tìm:

22

2 22

 1 cos nn

Dạng 3: Chứng minh lim u tồn tạin

Phơng pháp giải: Sử dụng định lí

Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;Dãy (vn) giảm và bị chặn dới thì có giới hạn.

Ví dụ: Chứng minh dãy số un cho bởi

n n 1

 nêu dãy un bị chặn dới Vậy dãy un có giới hạn.

Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực

Phơng pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực

Ví dụ: Tìm:

32

xlim f xx 0

Phơng pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp

Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp 0 J \ x 0 Khi đó:

VÝ dô 2: Cho hµm sè  

x 1x 1

f x

x 1khi khi 

 

 a.T×m lim f xx 2  

P xlim

• Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x x 0

• NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho lîng liªn hiÖp.

VÝ dô 1: T×m:

x 1

 

x 2 2

  

x 2 1lim

x 2 1

 

  

1 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?a 1

2n 1n

d cos nn2 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

a

53 

13 

Khi đó L bằnga 1

d  1n

Dãy số có giới giạn hữu hạn

7 Cho n 1 4nu

 Khi đó un bằng

a 3

458 Cho

311 Tổng của cấp số nhân vô hạn n 1

a 23

44

a 34

3422

2n 3nlim

3 2n 4nlim

29 NÕu lim un  th× L 3

2n 5

b»nga 5

10 nlim

6n 2

b»nga 1

n 5

 b»ng sè nµo sau ®©y?a 2

1 2n5n 3n

1 2n5n 3n

37 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ +∞?

1 2n5n 5n

1 nu

5n 5

38 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n +∞?

2007 2008nu

n 1

u 2008n 2007n d un n2139 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng – 1?

a

2n 3nlim

3 2nlim

41 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ ?

a

2n 3nlim

3 2nlim

42 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 1

5?a

1 2nu

5n 5

1 2nu

5n 5

1 2nu

5n 5n

43 NÕu L lim n   n22 n2 4

2n nu

limx 1

356

4x1

57

x xlim

 

  b»nga 10

x 1lim

 

 

b»ng

14 2

2362

3x 6

 b»nga 1

1 xlim

b»ng

x 1

 bằnga 1

limx 1

 là

73

 

 là

77 Cho hàm số  

f x

với với

f x

với với 

L lim1 x

  Khi đóa L 4

L283

2x2

2x 5

1287 xlim x 1 x 3

limt 1

 b»ng

4393

x 1lim

 

 

b»ng

2397

2x5

a 52

3104

107

2x 1

lim1 x

b»nga 1

1

2x 5

2x5