phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối để cùng đồng nghiệp tham khảo và trao đổi, nhằm mục đích khắc phục những tồn tại nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh khối 10 có được một các[r]
(1)Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 10 GIẢI TỐT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I LỜI NÓI ĐẦU Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng khoa học và sống, giúp người tiếp thu cách dễ dàng các môn khoa học khác Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững nội dung toán học và phương pháp giải toán, từ đó các em vận dụng vào các môn học khác là các môn khoa học tự nhiên Hơn toán học còn là sở ngành khoa học khác, chính vì toán học có vai trò quan trọng trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo để tạo phương pháp giảng dạy tốt giúp học sinh tiếp thu bài tốt áp dụng vào giải các bài tập cách linh hoạt Để giúp các em học tốt môn toán Người thầy giáo, cô giáo ngoài việc giúp các em nắm kiến thức lý thuyết toán, thì việc bồi dưỡng cho các em mặt phương pháp giải các loại toán là quan trọng Nó giúp các em nhận dạng, tìm tòi đường lối giải cách nhanh chóng, hình thành kỹ phát triển tư ngày càng sâu sắc và qua đó các em yêu toán hơn, tự tin sống tương lai Giá trị tuyệt đối là khái niệm trừu tượng và quan trọng vì nó sử dụng nhiều quá trình dạy Toán THPT Đại Học, Việc nắm vững khái niệm này bậc THPT là tảng cần thiết để các em có thể tiếp thu kiến thức cao các bậc học sau Trong toán học: “Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối” là vấn đề phức tạp Thế nó lại góp phần giải các bài toán phức tạp sau này Khi gặp các phương trình này không ít học sinh còn lúng túng, không biết phải đâu, hướng giải nào? Trong nhiều năm tham gia giảng dạy, với kinh nghiệm đúc kết từ thực tiễn, tôi mạnh dạn đưa số phương pháp hướng dẫn học sinh giải Trang Lop10.com (2) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối để cùng đồng nghiệp tham khảo và trao đổi, nhằm mục đích khắc phục tồn nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh khối 10 có cách nhìn nhận phương pháp giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối trên tảng các kiến thức đã trang bị các cấp học, qua đó giúp các em trau dồi phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo quá trình giải toán, góp phần bồi dưỡng các em trở thành học sinh khá, giỏi môn toán trường phổ thông Đó là tích lũy kinh nghiệm tôi qúa trình học và dạy toán, với niềm mong ước giúp các em học sinh dễ dàng tìm hướng giải các phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp chương trình sách giáo khoa (SGK) toán 10 II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 1) Thuận lợi : - Trường THPT Định An – Gò Quao luôn có quan tâm giúp đỡ các cấp lãnh đạo Đảng và Nhà nước Sở giáo dục và Ban giám hiệu nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất các hoạt động trường - Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có đội ngũ thầy cô trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc - Đa số các học sinh khá giỏi ham thích học môn toán 2) Khó khăn : + Về khách quan: Trường THPT Định An – Gò Quao là điểm trường thuộc vùng sâu, học sinh dân tộc Khơmer chiếm tỷ lệ cao, sống các em còn gặp nhiều khó khăn Ngoài lên lớp các em còn phải phụ tiếp gia đình để kiếm sống cho nên các em không thực tốt việc tự học nhà Trong thời đại thông tin bùng nổ, khoa học kỹ thuật phát triển, nhiều trò vui chơi giải trí điện tử, bi da, đã làm số em quên hết việc học tập mình dẫn tới các em sa sút học tập Trang Lop10.com (3) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An Bên cạnh gia đình quan tâm chu đáo cho việc học tập em mình còn nhiều gia đình bỏ bê việc học tập các em còn phải lo cho việc làm ăn kinh tế, lao động kiếm sống hàng ngày Từ quản lí không chặt chẽ gia đình dẫn tới các em quen thói chơi bời, tụ tập và tư tưởng ỷ nại, lười học xuất + Về chủ quan: - Trong chương trình đại số lớp 10 ban bản, việc tìm nghiệm phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt học sinh còn gặp khó khăn chưa trình bày lời giải phương trình cách đầy đủ và chính xác, học sinh thường mắc số sai lầm bản: chưa đặt điều kiện phương trình đã thực các phép biến đổi để khử dấu giá trị tuyệt đối tìm nghiệm đã kết luận không đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm kết luận Học sinh thường bỏ qua phép biến đổi tương đương phương trình gắn với hệ điều kiện và trình bày rời rạc không theo qui trình, không khoa học, thiếu thẩm mĩ - Mức độ kiến thức dạng toán giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối tương đối trừu tượng và phức tạp + Do khó khăn nêu trên và chưa sử dụng phương pháp mà học kì I năm học 2007 – 2008 kết giảng dạy môn toán lớp 10 tôi phụ trách sau: Bảng thống kê Lớp 10A1 10A4 10A7 Chất lượng học sinh chưa sử dụng phương pháp Giỏi 2.7%; Khá 5.4%; Trung bình 55.1%, Yếu – Kém 36.8% Giỏi 1%; Khá 7%; Trung bình 53%, Yếu – Kém 39% Giỏi 1.5%; Khá 5.7%; Trung bình 41.1%, Yếu – Kém 51.7% Trang Lop10.com (4) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An + Nguyên nhân chủ yếu khó khăn trên là: - Mức độ nắm kiến thức và kĩ vận dụng làm bài đa số học sinh còn yếu - Học sinh không nắm các kiến thức giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối - Học sinh không nhận dạng các dạng phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối - Học sinh còn lúng túng việc sử dụng định nghĩa và các tính chất giá trị tuyệt đối: A với A A A với A < - Học sinh không nắm khái niệm hai phương trình tương đương - Học sinh nhầm lẫn cách biến đổi để phương trình hệ với cách biến đổi để phương trình tương đương - Không đặt điều kiện đã phá dấu giá trị tuyệt đối - Khi tìm nghiệm, bỏ quên bước so sánh điều kiện mà kết luận nghiệm - Giáo viên chưa phân biệt cho học sinh thấy rõ các dạng phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối - Giáo viên xem nhẹ việc nhắc lại kiến thức cũ cho học sinh mà tập chung chủ yếu cho nội dung bài học III GIẢI PHÁP Do khả nhận thức và suy luận học sinh lớp chưa đồng nên việc áp dụng lí thuyết dạng phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối còn gặp nhiều khó khăn Nắm bắt tình hình trên tiết dạy tự chọn tôi đã đưa các dạng bài tập khác để phân loại cho phù hợp với khả nhận thức đối tượng Các bài tập dạng từ thấp đến cao để các em nhận Trang Lop10.com (5) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An thức chậm có thể làm tốt bài toán mức độ trung bình, đồng thời kích thích tìm tòi và sáng tạo học sinh khá Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến các em Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi nhóm cần thiết Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với thân và tập thể Để giải tốt phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối tôi yêu cầu học sinh cần phải nắm yêu cầu sau : + Nắm phép biến đổi tương đương các phương trình có chứa dấu giá trị x o tuyệt đối: A x A x A x + Bình phương hai vế phương trình ta phương trình hệ + Nắm các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương: - Nhân hai vế phương trình với cùng đa thức chứa ẩn ( có thể xuất nghiệm ngoại lai ) - Chia hai vế phương trình với cùng đa thức chứa ẩn số ( có thể làm nghiệm phương trình đầu) - Cộng vào hai vế phương trình đã cho với cùng phân thức - Nâng hai vế phương trình lên cùng luỹ thừa tự nhiên: n > Nếu n chẵn thì nâng hai vế phương trình f1(x) = f2(x) lên cùng luỹ thừa chẵn thì phương trình nhận thêm nghiệm phương trình f1(x)= - f2(x) + Nắm vững định nghĩa A(x) neáu A(x) A(x) và các tính chất giá trị A(x) neáu A(x) < tuyệt đối: Trang Lop10.com (6) Sáng kiến kinh nghiệm A B AB; Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An A A A B A B ; A B A.B ; B B A B A B A.B 0; + Phân biệt khác phép biến đổi tương đương và phép biến đổi để đưa phương trình hệ Bên cạnh yêu cầu trên, tôi đã cho học sinh nhận biết dạng phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối trình bày sách giáo khoa toán 10, đồng thời đưa phương pháp giải cụ thể cho dạng bài, giúp các em so sánh cách giải nào sáng tạo, ngắn và hay 1) Một số ví dụ Dạng 1: A( x ) a a (1) (Trong đó a R ) * Phương pháp giải: - Nếu a < phương trình (1) vô nghiệm A( x ) a - Nếu a ≥ phương trình (1) A( x ) a (2) Như nghiệm phương trình (2) chính là nghiệm phương trình (1) (Ta có thể giải theo cách bình phương hai vế: A2( x ) a cách này thường dẫn tới phương trình bậc cao hơn) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 3x b) x 5 Giải: x 3x 3x a) 3x x 3x 3 3x Kết luận phương trình 3x có nghiệm x Trang Lop10.com và x (7) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An b) x 5 Vì vế trái là biểu thức nằm dấu giá trị tuyệt đối không âm, vế phải (-5) nên phương trình x 5 vô nghiệm Dạng 2: A( x ) B( x) * Phương pháp giải: Cách 1: B( x) A( x ) B( x) 2 A ( x ) B ( x ) Cách 2: A( x ) B( x) A( x ) B( x) B ( x) B( x) A B ( x) ( x ) Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) x x 1(Ví dụ SGK đại số 10 ban bản, trang 59) b) x x x Giải: Cách 1: 2 x x x 2 x 3 (2 x 1) 2 x 1 2 x x x x 1 x x x 4 x 3x 10 x x (Nếu trình bày theo SGK toán 10 thì ta phải thêm bước thử nghiệm) Trang Lop10.com (8) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An Cách 2: 2x x 2x x x 2x x (2x 1) x 2x 1 x 4 x x x 2x 1 3x x Vậy phương trình x x có nghiệm: x + Hai cách giải có cùng kết nghiệm cách giải thứ ta giải hệ còn cách thứ hai ta phải giải hai hệ b) x x x x 4x x 4x 2 2x x 4x x 6x 2x x 4x x 4x x 4x 2 2x (x x 5) x 2x 10 (x 2)2 x R x x x x (x 2)2 x R x 2x 10 (voânghieäm) Vậy phương trình x x x có hai nghiệm x = và x = +Nếu ta sử dụng cách là bình phương hai vế ta phải giải phương trình bậc phức tạp Trang Lop10.com (9) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An Dạng 3: A (x) B (x) * Phương pháp giải: Cách 1: A B A2 B ( x) ( x) ( x) ( x) Cách 2: B A ( x) ( x) A B ( x) ( x) A B ( x) ( x) Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: a) x x b) x x x x Giải: a) x x ( x 1)2 (2 x 5)2 x 2x 4x 20x 25 3x 18x 24 x x Vậy phương trình x x có hai nghiệm: x = và x = x2 x x2 x 2 b) x x x x x x (4 x x 1) x 3x 10 x 2 x 5 x x 10 5 x x 10 (voânghieäm) Vậy phương trình x x x x có hai nghiệm: x 2 và x = + Nếu ta giải phương trình trên theo cách bình phương hai vế ta thu phương trình bậc phức tạp Trang Lop10.com (10) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An 0 Dạng : A B ( x) ( x) * Phương pháp giải: 0 A ( x) A B 0 ( x) ( x) B( x) Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a) x 3x x 2x b) 2x x Giải: a) x 3x x 2x x 3x x 2x x x 4 x 1 x x 3 Vậy phương trình x 3x x 2x có nghiệm: và x = 1 2x x b) 2x x (Vô nghiệm) x x Vậy phương trình 2x x vô nghiệm: Ta còn có thể nhận xét 2x x 2x – = x – = 0(*) nên không có giá trị nào x thỏa mãn (*) nên phương trình 2x x vô nghiệm Trang 10 Lop10.com (11) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An * Ngoài việc phân biệt cho học sinh các dạng toán tôi còn đưa cho học sinh dạng bài toán cần vận dụng linh hoạt và sáng tạo giải: C Dạng 5: A B ( x) ( x) ( x) * Phương pháp giải: + Xét dấu các biểu dấu giá trị tuyệt đối, phân khoảng bỏ giá trị tuyệt đối để giải + Ngoài số trường hợp ta có thể sử dụng tính chất A B A B A.B để giải Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a) x x 3x b) x x 11 Giải: a) x x 3x (1) + Nếu x < -3 thì x = – x và x x phương trình (1) trở thành: (5 – x) + (3 – x) = 3x – -5x = - x (không thuộc khoảng xét nên ta loại) + Nếu 3 x thì x = – x và x x phương trình (1) trở thành: (5 – x) + (x – 3) = 3x – -3x = - x ( thuộc khoảng xét nên ta nhận) + Nếu x thì x = x – và x x phương trình (1) trở thành: (x – 5) + (x – 3) = 3x – x = - 1(không thuộc khoảng xét nên ta loại) Vậy nghiệm phương trình (1) là x = Trang 11 Lop10.com (12) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An b) x x 11 + Ngoài cách xét khoảng trình bày ý a ta còn cách làm sau: - Ta thấy: x – + x – 11 = nên ta sử dụng tính chất A B A B A.B - Vậy x x 11 (x – 3)(11 – x) x 11 Nghiệm phương trình x x 11 là: x [3; 11] + Nhận xét: Cách giải trên nhanh sử dụng cho đối tượng khá, giỏi Ví dụ 6: Giải phương trình sau x ( Bài tập này mở rộng cho học sinh khá giỏi) Giải Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có: x 5(1) x 1 x 5(2) Giải 1: x x x 26 (1') x 6 (2') Giải 1': x x x x 8 Giải 2': x 6 x 4 Không tồn giá trị x để x 4 Giải 2: x 5 x 4 Không tồn giá trị x để x 4 Vậy phương trình có hai ngiệm: x = x = -8 + Nếu bình phương hai vế thì ta phải thực hiệm lần Trang 12 Lop10.com (13) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An Kết Học kì I năm học 2008 – 2009 tôi đã vận dụng phương pháp nêu trên vào lớp 10 mình phụ trách và thu kết tương đối khả quan sau: Bảng thống kê Lớp 10A1 10A2 10A3 10A4 Chất lượng học sinh sau sử dụng phương pháp Giỏi 7%; Khá 15%; Trung bình 55%, Yếu – Kém 23% Giỏi 8%; Khá 13%; Trung bình 49.1%, Yếu – Kém 29.9% Giỏi 5%; Khá 12%; Trung bình 46.5%, Yếu – Kém 36.5% Giỏi 4.3%; Khá 10.6%; Trung bình 48.3%, Yếu – Kém 36.8% IV KẾT LUẬN Trên đây là số phương pháp thường áp dụng để giải các phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Tuy nhiên việc sử dụng các phương pháp nói trên phải lựa chọn cách cho thích hợp Mỗi phương pháp nói trên không quan trọng hoá và đề cao quá trình giải phương trình vô tỉ Điều quan trọng là sử dụng phương pháp nào cho phù hợp và đạt kết cao, nhanh Vấn đề này đòi hỏi người thầy có kinh nghiệm tốt giảng dạy, phải biết phối hợp hay nhiều phương pháp cho thích hợp Một số phương pháp: “Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối” mà sau 10 năm tham gia giảng dạy tôi tự rút bài học kinh nghiệm quí báu sau: - Thường xuyên khắc phục sai lầm sau giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng và phương trình đại số nói chung có tác dụng Trang13 Lop10.com (14) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Quang Tú – Trường THPT – Định An giúp cho học sinh hiểu sâu, nắm vững các kiến thức bản, rèn các kĩ giải toán chính xác, lời giải phải ngắn gọn, rõ ràng - Hệ thống phương pháp giải cho dạng phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, giúp học sinh có công cụ hữu hiệu trình bày cách linh hoạt, hợp lý, tránh máy móc, rập khuôn thời gian Đặc biệt là giúp học sinh lựa chọn cách giải hay cho bài toán, hình thành đức tính tư linh hoạt, làm việc có khoa học tránh sai lầm nghiêm trọng - Rèn cho học sinh gặp bất kì phương trình nào định hướng các thao tác: quan sát, nhận dạng, đưa phương trình có dạng quen thuộc, lựa chọn phương pháp hợp lý và kiểm tra kết sau giải - Luôn luôn ghi nhớ các kiến thức bản, kĩ cần thiết cho loại phương trình, giúp học sinh có lời giải sáng tạo - Áp dụng phương pháp giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối cho các dạng phương trình khác có hiệu tích cực và mang lại kết tốt Sự nghiệp đổi giáo dục và đào tạo, đòi hỏi giáo viên phải động, sáng tạo, tìm tòi biện pháp tốt để đạt hiệu cao Chúng ta, thầy giáo, cô giáo hãy làm tròn trọng trách “Kĩ sư tâm hồn” với đầy đủ trách nhiệm và lương tâm giáo dục hệ trẻ Tuy tôi đã có nhiều cố gắng đề tài tôi không tránh khỏi thiếu sót Tôi trân trọng tất ý kiến phê bình, đóng góp cấp trên và đồng nghiệp để đề tài tôi ngày càng hoàn thiện và có thể áp dụng rộng rãi ngành Định An, ngày 12 tháng 04 năm 2010 Người thực Trần Quang Tú Trang 14 Lop10.com (15)