Một số ứng dụng của hàm số

Vì vậy để góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú trong học tập từ đó vận dụng để giải tốt bài tập về GTLN - GTNN, đạt được kết quả cao trong các kì thi chọn h[r]

(1)

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LÊ XOAY =====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

Một số ứng dụng hàm số

Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Mã sáng kiến: 21.52

(2)

2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LÊ XOAY =====***=====

Sử dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ nhất

Vĩnh Phúc, năm 2018

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LÊ XOAY

=====***=====

Một số ứng dụng hàm số

Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Mã sáng kiến: 21.52

(3)

3 MỤC LỤC

1 Lời giới thiệu

2 Tên sáng kiến

3 Tác giả sáng kiến

4 Chủ đầu tư tạo sáng kiến

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

6 Ngày sáng kiến áp dụng thử 4

7 Mô tả chất sáng kiến

Cơ sở lí luận thực tiễn

7.1 Nội dung sáng kiến A Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

B Phương pháp hàm số tìm GTLN – GTNN 1 GTLN – GTNN hàm số GTLN – GTNN biểu thức chứa nhiều biến 6 C Ứng dụng GTLN – GTNN Ứng dụng vào tốn giải phương trình, bất phương trình chứa tham số Ứng dụng vào toán thực tế 34 34 39 D Một số câu hỏi trắc nghiệm 45

7.2 Về khả áp dụng sáng kiến 47

8 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 47 9 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến

kinh nghiệm theo ý kiến tác giả

47 10 Danh sách tổ chức cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng

sáng kiến lần đầu

(4)

4 BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1 Lời giới thiệu

Bài tốn tìm giá trị nhỏ (GTNN), giá trị lớn (GTLN) biểu thức toán bất đẳng thức dạng tốn khó chương trình phổ thơng Trong đề thi học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, nội dung thường xuất dạng câu khó Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 trình bày cách tìm GTNN, GTLN hàm số (tức biểu thức biến số) Vì vậy, số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa biến trở nên đơn giản Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh khơng giải cho tốn từ hai biến trở lên, chí cịn có tâm lí khơng đọc đến Thực tế tập thi tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ yêu cầu cao đa dạng đòi hỏi học sinh có nhiều kĩ Hơn số lượng tập tham khảo khơng đầy đủ Vì để góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú học tập từ vận dụng để giải tốt tập GTLN - GTNN, đạt kết cao kì thi chọn học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia, định chọn đề tài “Một số ứng dụng hàm số”

2 Tên sáng kiến:

Một số ứng dụng hàm số 3.Tác giả sáng kiến:

- Họ tên: Nguyễn Thị Thanh - Chức vụ: Giáo viên

- Địa chỉ: Trường Trung Học Phổ Thông Lê Xoay, Khu 2, thị trấn Vĩnh Tường, huyện Vĩnh Tường, tỉnh Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0986365068 - E-mail: thanhtlx@gmail.com 4 Chủ đầu tư tạo sáng kiến:

Trường THPT Lê Xoay - huyện Vĩnh Tường - tỉnh Vĩnh Phúc 5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Giảng dạy bồi dưỡng kỹ giải tập giải tích cho học sinh THPT 6 Ngày sáng kiến áp dụng thử: Từ tháng 10 năm 2016

7 Mô tả chất sáng kiến Cơ sở lí luận thực tiễn

Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 trình bày cách tìm GTNN, GTLN hàm số (tức biểu thức biến số)

(5)

5 sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, toán thường dạng khó mức vận dụng cao phải sử dụng kết hợp phương pháp

Từ thực tế mục đích đề tài xây dựng phương pháp tìm tịi có để giải toán: dựa vào bất đẳng thức, hàm trung gian sau kết hợp với phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức

7.1 Nội dung sáng kiến

A Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 1. Định nghĩa:

Định nghĩa: Cho hàm số y f x( ) xác định tập D

 Số M gọi giá trị lớn hàm số y f x  tập D nếu:

0

( ) , , ( )

f x M x D

x D f x M

   

  



Kí hiệu: max ( ) D

M  f x

 Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y f x  tập D nếu:

0

( ) , , ( )

f x m x D

x D f x m

   

  



Kí hiệu: ( ) D m f x

Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]

a Định lí: Mọi hàm số liên tục đoạn có GTLN GTNN đoạn đó.

b Qui tắc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]

 Tìm điểm x x1, , ,2 xn trên khoảng  a b ; f x khơng xác '( ) định

 Tính f a f x( ), ( ), ( ), , ( ), ( )1 f x2 f xn f b

 Tìm số lớn M số nhỏ m số

 

[a b] [a b]

M max f x m f x

;

; ( ), min ( )

Nhận xét

 f x( ) đồng biến  a b;             

; ;

min

max

a b a b

f x f a

f x f b

 

 



 ;

 f x( ) nghịch biến  a b;             

; ;

min

max

a b a b

f x f b

f x f a

 

 





(6)

6

 Tìm tập xác định

 Tính f x'( ) Tìm điểm x x1, , ,2 x mà n f x không xác '( ) định

 Sắp xếp điểm x x1, , ,2 xn theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên  Từ bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNN hàm số  a b; B Phương pháp hàm số tìm GTLN – GTNN

1 GTLN – GTNN hàm số 1.1Phương pháp khảo sát trực tiếp Bài 1.Tìm GTLN, GTNN hàm số

2

2 3

1

x x

y

x   

 đoạn  0; .

Giải

Ta có     

   

2 2

2

4 3 2 4

'

1

x x x x x x

y

x x

     

  

   x  0;

Lại có y 0 3,  2 17

y  Suy  

0;2

miny3,   0;2

17 max

3 y

Nhận xét: Đây toán khơng khó, học sinh hồn tồn làm

Ngồi cách làm tự luận tìm đáp án toán, học sinh gặp toán dạng trắc nghiệm học sinh sử dụng máy tính casio để giải sau:

Sử dụng mod nhập hàm

2

2 3 ( )

1 x x f x

x   



Start end step 0.5

Từ bảng máy tính suy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số

 0;2

min

x y ,  0;2

17 max

3

x y

Bài Tìm GTNN hàm số 2

( ) 21 10

f x        x x x x Giải:

TXĐ: D  2;5 Ta có:  

2

4 21 10

x x

f x

x x x x

 

   

     

     

       

2

2 2

0 2 10 21

1

4 10 21

29 17

f x x x x x x x

x

x x x x x x

x

           

  

           

(7)

7 Thử lại, ta thấy có

3

x nghiệm f x 0 Ta có ( 2) 3; (5) 4;

3 f   f  f   

 

Vậy giá trị nhỏ hàm số

x

Nhận xét: Sử dụng đạo hàm không khó Tuy nhiên học sinh lại lúng túng việc giải phương trình f x 0 Thế chuyển thành tốn trắc nghiệm học sinh dễ dàng tìm đáp án Cách sử dụng máy tính casio để tìm GTLN, GTNN hàm số giống với

Bài Tìm giá trị lớn hàm số

2

1

8

x x

y

x   

 khoảng 0;

Giải Ta có:

2

1

8

x x

y

x x x

 

 

  

Hàm sốy đạt giá trị lớn khoảng 0; hàm số

 

9

f x  x  x đạt giá trị nhỏ khoảng 0;

Xét hàm số f x( ) 9x2  1 x 0;

   

 

2

0

9

1

0;

9

f x x

x x



 



     

 

 

Bảng biến thiên

x

  

f x  +

 

f x

1 

3

Từ bảng biến thiên ta có

0;    0; 

1

min ax

4

6

f x f m y

 

 

    

 

Bài tập đề nghị

1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

2

1 x y

x  

(8)

8 2. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 3 1

4 3 1

x x

y

x x

   



   

3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

2

ln x y

x

= đoạn

1;e

é ù ë û

1.2Sử dụng phương pháp đổi biến tìm GTLN – GTNN hàm số

Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

2cos cos

cos

x x

y

x

 





Giải

Tập xác định: D Đặt t cos , 0x  t

2

( ) ,

1 t t

y f t t

t  

    



2

( )

( 1)

t t

f t t

  

 ;  

0 ( )

2 0;1 t

f t

t  

      

  f(0)1, (1)f 2

Vậy miny1, maxy2

Nhận xét: Bài toán sau đặt ẩn phụ trở thành toán quen thuộc học sinh làm dễ dàng Với tốn trắc nghiệm việc tìm GTLN, GTNN hàm số dễ với cách sử dụng máy tính bỏ túi

Bài Tìm giá trị lớn hàm số y x 4 4 x (x4)(4 x) Giải

Điều kiện   4 x

Nhận xét: Hàm số f x  liên tục đoạn 4; 4 Đặt t x 4 4x

4 ( 4)(4 )

t x x x x

       

2

8 ( 4)(4 )

2 t

x x 

   

Ta có  

2

8

4 21

2 t

y t      t  t  f t

 

Tìm điều kiện t: Xét hàm số g x( ) x 4 4x với x [ 4; 4]

1

( )

2 4

g x

x x

  

  ; g x( )  0 x 0;

( 4) 2; (0) 4; (4) 2

g   g  g 

[ 4;4]min ( )g x 2

  ;

[ 4;4]

max ( )g x

   t [2 2;4]

( ) 0, [2 2;4]

(9)

9 Vậy  

4;4

maxy f(2 2) 2

   

Nhận xét: Sau đổi biến việc tìm tập giá trị biến ln phần khó quan trọng, khơng tìm tập giá trị biến dẫn đến đáp số sai Khi tìm tập giá trị biến tốn trở nên dễ dàng đưa dạng thường gặp

1. Tìm giá trị nhỏ hàm số

2 3

y x  x   x  

2. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 2sin sin sin

x y

x x

 

  3. Cho hàm số  

2

1

( )

1

x f x

x   

 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ

hàm số y f x f( ) (1x) đoạn  1;1

4. Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số

( )

4 2

2

2 1

1 1

x x x

f x

x x

- + + + - +

=

+ + - +

2 GTLN – GTNN biểu thức chứa nhiều biến

2.1 Đưa trực tiếp biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa biến Bài Cho x y, 0

4

x y Tìm GTNN biểu thức

4

P

x y

  .

Nhận xét: Bài toán cho học sinh lớp 10 làm cách sử dụng bất đẳng thức Cosi khó tốn tìm điều kiện ẩn x, y để P đạt GTNN Nhưng y theo x vào biểu thức biểu thức thành

5 P

x x

  

là hàm số ẩn x, ta dễ dàng tìm GTLN, GTNN biểu thức Giải

Từ giả thiết suy 4y 5 4x , x y

 

Do

5 P

x x

 

 với

5

4 x  

Xét hàm số:   , 0;5

5 4

f x x

x x

 

   

  

Ta có:  

 2

2

4

5 f x

x x

   

 ; f x   0 x

(10)

10 x 0 1 5

4

 

f x  +

 

f x

 

Từ bảng biến thiên ta có   5, 0;5 f x   x  

  hay P5

Dấu “=” xảy 1; x y Vậy giá trị nhỏ P

Bài Cho ba số thực x y z, ,  1;4 xy x, z Tìm giá trị nhỏ biểu

thức

2

x y z

P

x y y z z x

  

  

Giải Ta có :

2

x y z

P

x y y z z x

  

  

Xem hàm theo biến z ; x y, số

2

2 2

( )( )

'( )

( ) ( ) ( ) ( )

y z x y z xy

P z

y z z x y z z x

  

  

   

Theo giả thiết x   y x y P  0 z xy (do x y z, ,  1; )

z xy '( )

P z  + ( )

P z P 1 P 4

P xy

Từ bảng biến thiên: ( ) =

2 2 3

1

x y

P P xy

x

x y x y x

y y

   

   

Đặt t x y

(11)

11 Xét hàm

2

2 ( )

2

t f t

t t

 

  Ta có

 

3

2 2

2 ( 1) 3(2 3)

'( ) 0, 1;

(2 3) (1 )

t t t t

f t t

t t

 

      

   

 

Suy f t( ) nghịch biến  1;2 , ( ) ( ) (2) 34 33

PP xy  f t  f 

Đẳng thức xảy : 4, 1,

2

z xy

x y z

x t

y  

    



 

 

Vậy giá trị nhỏ P 34

33 x4,y1,z2

Bài Cho x0,y0 x y 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức S(4x23 )(4y y23 ) 25x  xy

Nhận xét:

Từ giả thiết x y đưa tốn ẩn không ?

Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất x y để sử dụng giả thiết

Chú ý đẳng thức: 2 3 2

( ) ; ( )( )

x y  xy  xy x y  xy x xyy

Sau khai triển vào x y 1, ta có S16x y2 22xy12

Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số đặt txy Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức :

2

( )

0

4 x y

xy 

 

Giải

Ta có : S (4x23 )(4y y23 ) 25x  xy16x y2 212(x3y3) 34 xy 16x y2 212(x y x )( 2 xy y2) 34 xy

16x y2 212[(x y )23 ] 34 , xy  xy x y 1 16x y2 22xy12

Đặt txy Do x0,y0 nên

2

( ) 1

0

4 4

x y

xy  t

     

Xét hàm số f t( ) 16 t2 2t 12 với t   Ta có f t'( )32t2 ; '( )

(12)

12 t 0

16 f’(t)  +

f(t)

12 25

2

191

16

Vậy giá trị nhỏ S 191

16

giá trị lớn S 25

2

1 x y

Bài Cho hai số thực x0, y0 thỏa mãn điều kiện (x y xy x )   2 y2 xy.Tìm giá trị lớn biểu thứcA 13 13

x y  

Giải

2

3 2

3 3 3

1 x y (x y x)( xy y ) x y 1

A

x y x y x y xy x y

        

        

   

Đặt x ty Từ giả thiết ta có: (x y xy x )     2 y2 xy (t 1)ty3  (t2 t 1)y2 Do

2

1

;

1

t t t t

y x ty

t t t

   

  

  Từ

2

2 2

2

1

1 t t A

x y t t

 

   

       

   

Xét hàm số

 

2

2 2

2 3

( ) ( )

1 1

t t t

f t f t

t t t t

    

  

   

( )

f t    t

Ta có bảng biến thiên

t  1 

( )

f t - 0 + 0 -

( )

f t 1

0

4

2 3

;

4

(13)

13 Từ bảng biến thiên ta có 1 f t( )   4 A 16

Vậy giá trị lớn A 16 x y

Bài Cho số thực a b, thỏa mãn điều kiện b1 a b a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức     

 

loga 2log b

b

a

P a

b

Giải

Từ điều kiện, suy  

 

1

a b

Ta có       

 

1

4 log

1 loga b loga loga

P a

b b b

Đặt t logab Do   log log log   1

a a a

a b a a b a t

Khi   



1 4

P

t t

Xét hàm số   



1

( )

1

f t

t t

    1;1

2

Ta có

   

  

  

 

2

2 2 2

1

'( )

1

t t

f t

t

t t t

    

  

2

'( )

2

t f t

t

2

3 f’(t) – +

f(t)

6 

Từ bảng biến thiên ta có f t( ) đạt giá trị nhỏ 2

3

(14)

14 Vậy giá trị nhỏ P

1. Cho x y, là hai số không âm thỏa mãn x y 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 3 2 2 1

3

P x x y x

2. Cho số thực x y, thay đổi thỏa mãn điều kiện x2  x y 12 y0 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A xy x 2y17

3. Cho x y, > thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1

x y

P

x y

= +

-

-4. Cho x y, > 0 thỏa mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn biểu thức

( )

P = y x + y

2.2 Sử dụng phương pháp gián tiếp phương pháp đánh giá, so sánh để đưa biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa biến

2.2.1 Đưa biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa biến trong biến ban đầu

Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

T 3(a2  b2 c2) 4 abc Nhận xét:

Bài toán cần làm có chứa ẩn a, b, c chúng thỏa mãn a b c  3 Ta suy nghĩ biến đổi 2

3( )

T  a  b c  abc cho ẩn hơn?

Từ giả thiết a b c      3 a b c, mà a    b c c

Khi : 2

3(3 ) (2 3) T  c  c  ab c

Từab a b,   3 cgợi cho nghĩ đến bất đẳng thức nào?

2

3

2

a b c

ab     

   

Khi 2 3 27

3(3 ) 2(2 3) ( )

2 2

c

T  c  c  c    c  c   f c

 

Khảo sát hàm biến f(c) ta đến kết T f c( ) f(1)13

Giải

(15)

15 Vì chu vi nên a      b c a b c mà

2

a b    c c

Ta có

 2 2 2  2 2 2 2

3 3 (3 ) (2 3)

T  a  b c  abc  a b  ab c  abc c  c  ab c Mặt khác

2 2

3

(2 3) (2 3)

2 2

a b c c

ab      ab c    c

     

( 3

c  c  )

Do : 2 3 27

3(3 ) 2(2 3) ( )

2 2

c

T  c  c  c    c  c   f c

 

Xét hàm số : ( ) 3 27

2

f c c  c  , 1;3

2

     

'( ) 3

'( )

f c c c

f c c

 

  

c

2 f’(c) +

f c( )

27

2

13

Khi từ bảng biến thiên suy ra: f c( ) f(1)13

Suy T f c( ) f(1)13 c=1; a=1; b=1

Vậy giá trị nhỏ của P bằng 13 a=b=c=1

Bài Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc1 Tìm giá trị nhỏ

nhất biểu thức ( )

4 ) ( ) (

2

b a ca a

c b bc

c b

a

P  

     

Nhận xét:

Do a + b+ c = 1nên ta biểu diễn a + b = 1- c Như ta biểu diễn P theo c không? Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có

2 2

2

4

( ) 9( )

( ) ( )

4

a a a

b c bc b c

b c b c

 

(16)

16 Tương tự, ta có

2

4

( ) 9( )

b b

c a  ca  c a Suy

2

2 2

4

9

( ) ( ) ( ) ( )

a b a b a b

b c c a

b c bc c a ca b c c a

                        2 2

2 2

2

( )

2 ( ) 2 2( ) ( )

9 ( ) ( ) ( ) ( )

( )

4

a b

c a b

a b c a b a b c a b

ab c a b c a b a b c a b c

c a b c

                                              

Vì a b c      1 a b c nên

2 2

2

2 2(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

9 (1 ) (1 ) 4

c c c

P c c

c

c c c c

      

          



     

  (1)

Xét hàm số

2

8

( ) (1 )

9

f c c

c

 

      

  với c(0; 1)

Ta có

16 2

'( ) ( 1);

9 ( 1)

f c c

c c

 

     

 

 

 3

'( ) ( 1) 64 (3 3)

3

f c   c  c   c

Bảng biến thiên:

c

3

1

'( )

f c - 0 +

( )

f c

36

1 

Dựa vào bảng biến thiên ta có ( )

f c   với c(0; 1) (2)

Từ (1) (2) suy 1,

P  dấu đẳng thức xảy

a  b c

Vậy giá trị nhỏ P 1,

(17)

17 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y z 0 x2  y2 z2 Tìm giá trị lớn biểu thức P x  5 y5 z 5

Giải

Ta có: x y z2   0 x2 y2  z2 2(xyyzzx) 1

( )

2 2

xy yz zx x y z yz yz x

            

Mặt khác

2 2

1

2

y z x

yz    , suy

2

2 1

2

x

x    , 6 (*)

3 x

  

Khi đó:

  

5 2 3 2

2

5 2 2

( )

1

(1 ) ( )( ) ( )

2

P x y z y z y z y z

x x y z y z yz y z x x

     

 

 

           



2

5 2 2

(1 ) (1 ) ( )

2

x x  x x x x   x  x x x

            

   

 

Xét hàm f x( )2x3x 6; 3

 



 

 , ta có

2

( )

f x  x  ;

( )

6 f x    x

Ta có 6 6, 6

3 9

f   f    f   f   

       

Do ( )

f x  Suy 36

P 

Vậy giá trị lớn P 36

Bài 4.Cho số thực a b c, , thỏa mãn a b c  3 a2b2c2 27 Tìm giá trị lớn biểu thức

     

4 4 2 2 2

Pa b  c ab a b ac a c bc b c

Giải Ta có

       

4 4 3 3 3

3 3 3

3

P a b c a b ab a c ac b c bc

a a b c b b a c c c a b a b c

        

(18)

18

  2 

3a b c b c bc

    

Mà b  c a

 2  2 2  2  2 2

1

3 27

2

bc  bc  b c   a  a a  a

Ta ln có  2

4 , ,

bc  bc b c Do 3a2 4a2 3a9  a  3;5

Ta có

3 27 81 324

P  a  a  a

Xét hàm số

( ) 27 81 324

f a   a  a  a xác định liên tục 3;5

 

2 3 3;5

'( ) 54 81; '( )

3 3;5

a

f a a a f a

a

     

     

     

; ( 3) 243; (5) 381; (3 2) 81 324

f    f  f   

Vậy GTLN f a( ) 381 a5

Do GTLN P 381 a5;b  c Bài tập đề nghị

1. Cho x y, > 0 thỏa mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

(1 ) 1 (1 ) 1

P x y

y x

ỉ ư÷ ổ ửữ

ỗ ỗ

= + ỗỗ + ữữữ+ + ỗỗ + ữữữ

ố ứ ố ứ

2. Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn điều kiện x2  y2 z2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P6y z x   27xyz

2.2.2 Đưa biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa biến biến mới

2.2.2.1 Đánh giá qua hàm trung gian

Bài 1: (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 – 2018)

Cho a b, số thực dương thoả mãn 2(a2b2)  ab (a b ab)( 2) Tìm GTNN của biểu thức

3 2

4 a b a b

T

b a b a

   

      

   

Giải

Ta có a b, 0

2 2 2

2( ) ( )( 2) 2( ) 2( )

1

2 ( )

a b ab a b ab a b ab a b ab a b

a b

a b

b a a b

           

   

         

(19)

19 Theo BĐT Cơsi ta có:

1 1

(a b) 2 (a b)2 2 b a

a b a b a b

     

             

     

Suy 2 2

2

a b b a a b

b a a b b a

         

   

    (do  0

a b

b a )

Ta có

3

3 2

4 a b a b a b a b a b 18

T

b a b a b a b a b a

 

         

                 

     

     

Đặt t a b

b a

  ,

t  Ta : P4(t3 3 ) 9(t t2 2) 4t39t212t18

Xét hàm số:

( ) 12 18, '( ) 12 18 12

2

f t  t  t  t t  f t  t  t

1

'( )

2 t f t

t      

  

Ta có bảng biến thiên :

   

5 23

minT ( ; ) { 1; , 2;1 }

2

 

     

 

f khi a b

Bài Cho số dương a b c, , Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3

1

P

a ab abc a b c

 

   

Giải

Vì a b c, , số dương 4 4 (1)

4

a b

a b a b a b ab ab 

       

Đẳng thức xảy  a 4b Vì a,b,c số dương

t

2



'( )

f t +

(t) f

23 

(20)

20

3

4 16 16 16 12

a b c a b c a b c abc

        16 (2)

12

a b c

abc  

 

Đẳng thức xảy  a 4b16c

Từ (1) (2) => 4 16

4 12

a b a b c

ab abc   

   

3 4 16

4 12

a b a b c

a ab abc a   

      4 

3

a ab abc a b c

     

 

3

1

4 a b c

a ab abc

 

 

   

3

(3)

P

a b c a b c

  

   

Đặt t a b c t  ( 0)

Từ (3) xét 32 33 62

( ) ( 0); '( ) ; '( )

4

f t t f t f t t

t t t t

        

t

4



'( )

f t - 0 +

( )

f t 

12



Nhìn vào bảng biến thiên   ( )1 12, , ,

P f a b c f a b c

        

đẳng thức xảy

1 21 16

1

84

4 1

336

a

a b c

b a b c

c   

  



 

  

  

 



  

Vậy giá trị nhỏ P 12

Bài Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

4

( ) ( )( )

T

a b a c b c

a b c

 

  

Giải

Theo BĐT Bunhiacopski ta có: 2

2 4( 4)

(21)

21

1 2 2

2 a b c a b c

       

Theo BĐT Cơsi ta có:

 

2

4 4( )

3( ) ( )( ) (3 )

2 2

a b c a b c

a b a c b c  a b          a b c 

   

Vậy 27 2

2 2( )

T

a b c a b c

 

    

Đặtt a b c t   ;( 0) 272 ( )

2

T f t

t t

   



Xét hàm số ( ) 272 , ( 0) 2

f t t

t t

  

 ;

8 27

'( )

( 2) f t

t t

  



3

2

8 27

'( ) 27( 2)

( 2)

f t t t t

t t

        



t + ¥ ( )

'

f t + -

( )

f t

8

- ¥ Từ BBT ta có ( ) (6)

8

T  f t  f  ; Vậy ax

m T  xảy a  b c Bài Cho số thực a b c, , 1 thỏa mãn a b c  6 Tìm giá trị lớn

biểu thức Pa2 2b2 2c2 2 Giải

Không tổng quát giả sử a b c  Mà a    b c c ,a b

Nhận xét ta có bất đẳng thức     

2

2 2 , *

2 a b

a  b      

 

 

 

thật  *

     

4

2

2 2 2

2 16 16

2

a b

a b a b    a b a b a b a b

           

(22)

22  2  2   2  2 2

2

16 a b a b 4ab a b a b  a b 4ab

           

(đúng)(  2

4 16

ab  ab )

Đặt

2 a b

x  mà 2x c    6 c 2x x

   Áp dụng  * ta có

      2   2  2

2 2 2

2 2 2 2

P a  b  c   x  c   x    x   Xét hàm số    22 6 2 , 2;5

2 f x  x    x      x  

 

Có      

24 2

f x  x  x x  x ,   , 2;5

2

f x   x x       Lập bảng biến thiên

 

5 2;

2

max ( )f x f 216

     

  , Dấu a  b c

Bài (Đề thi HSG 12 – Tỉnh Vĩnh Phúc – năm học 2015-2016)

Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn  1;9 xy x, z Tìm giá trị nhỏ

biểu thức

10

y y z

P

y x y z z x

 

    

    

Giải

Với a, b dương thỏa mãn ab1 ta có bất đẳng thức 1 1a1b 1 ab

Thật vậy: 1

1a 1b 1 ab    

2

1

a b ab

    ab1 Dấu

bằng xảy ab ab1

x

2 '( )

f x 0 -

( )

f x 216

(23)

23

Áp dụng bất đẳng thức trên: 1 1 1

2

10 1 10 1

P

x z x x x

y y z y y

 

 

    

 

      

 

Đặt x t  1;3

y   Xét hàm số  

1

10

f t

t t

 

  đoạn  1;3

 

 22  2  

2

' ; ' 24 100

1 10

t

f t f t t t t t

t t

        

 

  

2 24 50

t t  t   t t324t50  0 t  1;3 BBT

Suy

1

P 

4

x y

z x

x y

y z

z y

x y   

   

 

  

 

   

Bài Cho a,b,c số thực dương abc1, thỏa mãn: a b3 b a3 ab 2. ab

    Tìm giá trị lớn biểu thức 2 2

1 1

P

a b c

  

  

Giải

Theo BĐT Cơ–si ta có: 3 2 2

2 2

a b ab a b ab a b

ab

     

Đặt t=a.b>0

2 2 1

2

t t t t t t

t

           

Với a b, 0;ab1 ta chứng minh

2

1

1a 1b 1ab(*)

t

 

'

f t  +

 

f t

11 18

1

(24)

24 Thật vậy: (*) ( 2 ) ( 2 )

1 a ab b ab

    

   

(2 ) (2 ) ( ) (2 1) (1 )(1 ) (1 )(1 )

a b a b a b

a b ab

a ab b ab

 

      

    (đúng)

3

2

1

t P

ab t t

ab

    

   

Xét    

  2 2

1

;1 ; ; '

2 1 2

t

t f t f t

t t t t

 

       

 

   

Từ f t  nghịch biến 1;1 ax   11

2 M f t f 15

        

   

Dấu “=” xảy 1 ; ;

2 2

t  a b c

Bài Cho số x y z thỏa mãn , , 0  x y z Tìm giá trị lớn biểu

thức  

2

2 2

6

x y z

Pxy yz zx xyz  

Giải

Vì 0  x y z nên

2 2 2

( )( ) ( )( )

0

x x y y z x xy y z

x y x z xy xyz x y xyz x z xy

      

        

Khi

     

2 2 2 2 2

xy yz zx xyz x zxy yz xyz x yxyz yz xyz y x z Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

 2 2 2

3

2 2 2 2

1

2 ( )( )

2

1 ( ) ( )

2

3

2

y x z y x z x z

y x z x z x y z

   

         

     

   

Do

 2 2 22 3 2

2 2 2

2 2

2

6 3

x y z x y z x y z

Pxy yz zx xyz            

   

Đặt 2 ( 0)

3

x y z

t     t

  Ta có

3

( ) 2

(25)

25

2

'( ) 6 (1 )

f t  t  t  t    t t Lập bảng biến thiên hàm f t( )

t + ¥

( ) '

f t + -

( )

f t

2 - ¥

Từ bảng biến thiên ta có ( ) (1) 1

2 2

f t  f     P

Vậy giá trị lớn cần tìm

2 x  y z

Bài (Đề khảo sát giáo viên tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 – 2018)

Cho hai số thực a b, thỏa mãn 1

3  b a Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3

log 12 log

4

a b

a

b

P    a

 

Giải

Ta có: 3 ( 1)(2 1)2 0, 1;1 b  b  b b   b  

 

Suy ra: log log  3

a a

b

b  b     b

  ,

1 ;1 a 

 

 

2

12 12

3log 12 log og og

log

a b a a

a a

a

P b a l b l b

b b

a

         

  

   

Đặt tlogab Do b   a t

Khi

 2

12

3

1

P t t

   

 Xét

 2

12

( )

1

f t t t

  

 (1;) Ta có

 3

24 '( )

1

f t

t  

(26)

26 t + ¥

( ) '

f t - +

( )

f t + ¥ + ¥

Dựa vào bảng biến thiên ta có f t( )³ 6," > t Suy P³ 6, dấu “=” xảy

3

1

;

2

b= a= Vậy giá trị nhỏ P

1. Cho a b, 0 a b 1 Chứng minh rằng: a b 1 a b     2. Cho x y, số thực dương thỏa mãn  

lnxlnyln x  y Tìm giá trị nhỏ nhất P x y

3. Cho số thực dương a b c, , Tìm giá trị lớn biểu thức:

   

2 2

1

1 1

1

P

a b c

 

  

4. (Đề thi Đại học khối A năm 2011)

Cho x y z, , ba số thực thuộc đoạn  1;4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

x y z

P

x y y z z x

  

  

5 Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x y  1 z Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức

3 3

14 ( 1)

x y z

P

x yz y zx z xy z x y xy

   

      

2.2.2.2 Sử dụng hàm số đặc trưng để đánh giá Bài (THPT Quốc gia 2016- 2017)

Cho số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ Giải

Ta có Xét hàm số

3

1

log

2

xy

xy x y x y

    



P x y

        

3 3

1

log log 3 3 log 2 *

2

xy

xy x y xy xy x y x y

x y

            



  log3 ,

(27)

27

Ta có đồng biến

Khi Vậy

2

3

x x x

P x y x

x x

  

    

 

Xét hàm số

2 ( ) x x g x x     Ta có   2

9 12

'( ) x x g x x     ; 11 '( )

3 g x   x  

x 11 - +

+ ¥ ( )

'

g x - +

( )

g x

1 + ¥ 11

3

-Từ bảng biến thiên ta có 11 3

P 

Bài (Đề thi HSG – tỉnh Vĩnh Phúc – năm học 2016-2017)

Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3

2 2

1 1

a b c

P

a a b b c c

   

     

Giải

Xét hàm số  

3

2

( ) ln , 0;

1 3

x

f x x x

x x

    

 

Ta có  

     

2

2 2 ( 1) 12

'( )

3

1

x x x x x x x x

f x

x

x x x x x

      

  

   

Do x 0 f '( )x   0 x

   

1 0,

ln

f t t f t

t

       0;

     

* 3 3

3

x

f xy f x y xy x y y

x               2

3 12

3 3

x x x x x

S x S

x x x

     

    

  

(28)

28 x

( ) '

f x - +

( )

f x + ¥

68 26 ln 3 39 

Từ bảng biến thiên ta f x( ) f(1)  0; x

Thay x a,b,cta được: f a( ) f b( ) f c( )0

 

3 3

2 2

3 3

2 2

3 3

2 2

2

ln ln ln

1 1

2

ln( )

1 1

1

1 1

a b c

a a b b c c

a b c

abc

a a b b c c

a b c

P

a a b b c c

       

     

     

     

     

     

Vậy giá trị nhỏ P a  b c 1

Bài Cho x y z số thực không âm thỏa mãn , , 0<(x+ y)2+(y+ z)2+(z+ x)2£ 18

Tìm giá trị lớn biểu thức

( 2017 2017 2017) ( )4

3 3

3

1

4 4 log 2017

108

x y z

P= + + + x + y + z - x+ y+ z

-Giải

Từ giả thiết suy , ,2 2 2

0

x y z

x y z

ì £ £

ïï í

ï < + + £ ïỵ

Xét hàm số ( ) 43 1, [0;3]

t

g t = - -t tỴ Ta có '( ) 1.4 ln 13

3

t

g t =

-( )

3

' 3log

ln

g t = Û =t = t ; g t'( )> Û > t t0 g t'( )< Û <0 t t0

Vì

ln

(29)

29 t t0

( ) '

g t - + ( )

g t

0 g t( )0

Suy ( ) 0, [0;3] 43 1, [0;3]

t

g t £ " Ỵt Û £ + " Ît t (1) Lại có

2017 2017 2017 2

0 , , , , 1

3 3 3 3 3

x y z x y z x y z

x y z ổ ửỗ ữ ổ ửỗ ữ ổ ửỗ ữ ỗổ ửữ ổ ửỗ ữ ổ ửỗ ữ

Ê Ê Ê Ê ị ố ứỗỗ ữữ +ỗố ứỗ ữữ + ỗỗố ứữữ Ê ỗố ứỗ ữữ +ỗỗố ứữữ +ỗỗố ứữữ Ê 2017 2017 2017

3

log

3 3

x y z

éỉ ư ỉ ư ỉ ử ự ờỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỳ ị ờỗỗ ữữ + ỗỗ ữữ + ỗỗ ữữ ỳÊ

è ø è ø è ø

ê ú

ë û

(2)

Ta có ( )

2017 2017 2017

4

3 3

3

1

4 4 log

3 3 108

x y z

P x y z

éỉ ư ổ ử ổ ử ự ờỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỳ

= + + + ờỗỗ ữữ + ỗỗ ữữ + ỗỗ ữữ ỳ- + +

ố ø è ø è ø

ê ú

ë û

Từ (1) (2) ( ) ( )4

108

P x y z x y z

Þ £ + + + - + +

Đặt x+ y+ z= u, u³ 108

P£ + -u u Xét hàm số ( )

108

f u = + u- u , vi uẻ [0;+ Ơ ) Cú '( ) 1 3, '( )

27

f u = - u f u = Û u=

Dựa vào bảng biến thiên ta có ( ) 21,

f u £ " ³u

u + ¥ ( )

'

f u + -

( )

f u 21

(30)

30 Suy 21,

4

P£ dấu “=” xảy x= 3,y= z= hoán vị

Bài Cho hai số thực thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Giải Ta có

Xét hàm số 0;

'( ) 0;

f t t

t

    

Hàm số đồng biến nên Vậy

Đặt Ta có

Mặt khác  1 1

2 x y  xy      x y x y xy t  t

Xét hàm số

( ) 81

g t  t t  ttrên 4;9

    

,

x y x y, 1

     

3

log  x1 y1 y   9 x y1

 

3

57

Px y  xy

         

3 3

9

log 1 1 log log 1

1

y

x y x y x y x

y 

            

 

  

 

3

9

log 1 log

1

x x

y y

     

 

  log3

f t  t t

9

1

x x y xy

y

      

 3    

3 57

P xy  xy xy  xy  

3

3 57 81

t    x y P t t t t t t  t

2

8 32

4 t

x y xy t t t t

          

 

3 81

(31)

31 Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ P 83 112 7 Bài Xét số thực x, y x0 thỏa mãn

 

3 1

3

2018 2018 2018

2018

x y xy xy

x y

x y x

   



      

Tìm giá trị nhỏ biểu thức T x 2y

Giải

 

  

3 1

3

3 1

1

2018 2018 2018

2018

2018 2018 2018 2018 *

x y xy xy

x y

x y x y xy xy

x y x

x y xy

   



     

      

        

Xét hàm số f t( ) 2018 t2018tt

'( ) 2018 ln 2018 2018 ln 2018 0;t t

f t      t

Hàm số đồng biến nên  * 1( 0)

3 x

x y xy y do x

x  

       



Khi 2

3 x

T x

x   



Ta có   2

3 x g x x

x   

 xét 0;

Có  

 2

' 0,

3

6

x

g x x

x

x 



 



 

Vậy

0;   

2

min (0)

3 g x g

   

Bài Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn: a2b2c21 Tìm giá trị lớn của biểu thức

5 5

2 2 2

2 2

a a a b b b c c c

P

b c c a a b

     

  

  

Giải

t

4 1  

'

g t + -

 

g t

212 1708



(32)

32 Từ giả thiết a b c, ,  0;1

Ta có:  

2

5

3

2 2

1

a a

a a a

a a

b c a



     

 

Tương tự ta có:

5

3 2

2

b b b

b b c a

 

  



5

3 2

2

c c c

c c a b

 

   

Do      

P  a a      b b c c

Xét hàm số: f t   t3 t t,  0;1 Ta có:   32 1,   f t   t  f t   t

Do       3

f a  f b  f c  hay       3

a a b b c c

        

Dấu “=” xảy a b c   Vậy giá trị lớn P

3 Bài tập đề nghị

1. Cho số thực dương x y thỏa mãn 4 9.3 x22y  4 9x22y.72y x 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 2y 18

x  



2. Cho số thực a, b thỏa mãn điều kiện 0  b a 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 1

log 8log

9

a b

P   a

2.2.2.3 Sử dụng tính chất tiếp tuyến

Cho hàm số f ( x )liên tục có đạo hàm cấp hai đoạn  a;b

Nếu f "(x) 0, x   a,b ta ln có f(x) f '( x ) x0  x0 f(x ), x0  0  a,b

Nếu f "(x) 0, x   a,b ta ln có f(x) f '( x ) x0  x0 f(x ), x0  0  a,b

t

0

3  

f t + -

 

f t

9

(33)

33 Đẳng thức xảy hai bất đẳng thức x x0

Với tốn sử dụng tính chất tiếp tuyến việc chọn điểm rơi xx0

khó, để tìm điểm thường đánh giá dấu xảy biến có giá trị

Bài Cho a,b,c,d số thực không âm có tổng

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 2 2 2 2

1a b a b 1c d c d Giải

    

       

2 2

1 1

ln ln ln ln ln

P a b c d

    

        

Đặt  2

( ) ln

f t  t

Hàm số đạt giá trị nhỏ

4 a   b c d

Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  2

( ) ln

f t  t 1;ln17 16 M 

 :

' 1 ln17 ln17

4 16 17 17 16

y f   t   t    

Chứng minh bất đẳng thức:  2 17   

ln ln , 0;1 *

17 17 16

t t t

     

Thật (*) ( ) ln 1 2 ln17 0,  0;1

17 17 16

g t t t t

        

2

'( )

1 17 t g t

t

 



   

0;1 '( )

4 0;1 t

g t

t       

  

Ta có (0) ln17; (1) ln32 ;

17 16 17 17

g   g   g    

Vậy ( ) 0,  0;1

g t g    t  

Áp dụng (*) ta có:

 2  2  2  2  

4

8 17

ln ln ln ln ln

17 17 16

17 17

ln ln

16 16

a b c d a b c d

P P

            

 

     

(34)

34

Dấu xảy

4 a   b c d

Vậy giá trị nhỏ P

4

17 16

     

Bài Cho a,b,c số thực dương có tổng Tìm giá trị nhỏ

biểu thức  

       

2 2

b c a c a b a b c

P

a b c b c a c a b

     

  

     

Giải Ta có

 

        

2 2

2 2 2

2 2

1 2 1

6

2 2 2

1 1

a b c

P

a a b b c c

  

      

     

     

Tiếp tuyến hàm số 2

2

y

x x



  điểm

1 ; M 

 

54 27 25 x y 

Ta chứng minh 2 54 27(*)

2 25

x

x x

   

Thật    

 

2

(*)

25 2

x x

 

 

  với x>0

Thay x a,b,cta có 54 27 54 27 54 27

25 25 25

a b c

P       

Dấu xảy a  b c

Vậy giá trị nhỏ P

5 Bài tập đề nghị

1. Cho a b c, , 0 thỏa mãn: a b c  3 Tìm giá trị lớn biểu thức:

   

1 1

P a  a b  b c  c

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn: a2b2c2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P 2 a 2 2 b 2 2 c 2

b c c a a b

  

  

C Ứng dụng GTLN – GTNN

1 Ứng dụng vào tốn giải phương trình, bất phương trình chứa tham số

Bài Tập tất giá trị tham số m để phương trình

 1 1 3 2 1 5 0

(35)

35 Giải

 1 1 3 2 1 5 0(*)

m  x   x x   Đặt t 1 x 1x

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:

 2   

2 1 1 1 1 1 4

t   x x     x x    0 t

 2

2 1 1 2 1 1 2(1)

2

t

t   x x   x  x  

để phương trình có nghĩa t 

 1 1 4 4

4

t t t t

x   x  

     để (1) có hai nghiệm thực phân biệt

4 42

2

4

t t

  

   

   

Lúc pt (*)

2

( 3)

3

t

m t t m

t



      



Đặt

 

2

3

7

( ) ( )

3 3 3 2

t

t t t

f t f t

t t t

   

    

    

     

Ta có bảng biến thiên:

t 

 ( )

f t  ( )

f t 5 3  2

Suy 3 5 3  2

5 m

Bài (Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018)

Có giá trị nguyên tham số m để phương trình

3

3 3sin sin

(36)

36

Ta có 3 3

3 3sin sin 3sin sin

m m x  x m m x x

3

3sin 3sin sin 3sin (1)

m x m x x x

     

Xét hàm số f t( ) t3 t Ta có f t'( ) 3 t2   1 0; t

Do hàm số f t( )đồng biến

Khi 3    3

(1) f m3sinx  f sinx  m3sinx sinxmsin x3sinx

Đặt t sinx   1 t Ta phương trình

3 m t t

Xét hàm số g u( ) u3 3u đoạn  1;1 Ta có g u'( ) 3 u23; g u'( )   0 u

Ta có

u 1 g u'( ) –

g u( )

2

Vậy để phương trình có nghiệm   2 m

Bài Cho phương trình:

Tìm để phương trình có nghiệm ?

Giải

Phương trình tương đương với

( )

3 3

2 sin x+sinx= 2 cos x m+ +2 cos x m+ + +2 cos x m+ +2 Xét hàm f t( )= 2t3+t với

0

t Ta có f t'( )= 6t2+ > ắ ắđ1 0 f t ng biến

Mà ( ) ( )

sin cos ,

f x = f x+m+ suy

3

2

sin

sin cos

x

x x m

ì ³

ïï

= + + Û íï

= + +

ïỵ

    3

sinx cos 2 x 2 2cos x m 1 2cos x m  2 2cos x m 2

m 0;2

3

(37)

37

2

sin x cos x m

Û = + + (vì sin 0, 0;2 x³ " ẻx ộờ pửữữữ

ờ ứ

ở )

2 3

1 cos x 2cos x m 2 m 2cos x cos x 1.

         

Đặt u= cosx, 0;2 1;1

3

xẻ ộờờ pửứữữữị uẻ -ỗỗỗổố ỳựỳ

ở û

Khi phương trình trở thành

2

m= - u - u

-Xét g u( )= - 2u3- u2- 1, có ( ) ( )

1

0 ;1

2

' ; '

1

;1

3

u g u u u g u

u

é ổỗ ự

ờ = ẻ -ỗỗ ỳ

ờ è úû

ê

= - - = Û ờ

ổ ự

ờ = - ẻ -ỗỗ ỳ

ờ ỗố ỳỷ

ở

Bng bin thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm   4 m

Bài Tìm giá trị thực tham sốmđể phương trình

2

2   x x m x x  có hai nghiệm phân biệt Giải

+) 2   x x m x x  (1) Điều kiện:  1 x

+)  2

1  3       x x x x m

Đặt:

; x x t

      

;

f x   x x f x   x

    1

1 2, 2, 2;

2 4

f   f   f      t  

   

 1  3 t   2 t m t   2 t m 3 m t  2 t

(38)

38

  1

1

2

t f t

t t

 

   

  f t   0 t    2 t Bảng biến thiên

+) 2

0

x x t x x t

       

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1

4

t t

      

Do để phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình  có nghiệm

2; t  

  Từ bảng biến thiên m  5;6

Bài Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình:

3

x mx

x

     nghiệm  x 1 ? Giải

Bất phương trình 3  

1 1 2

3mx x 2, x 1 3m x f x , x 1

x

x x

            

Ta có f  x 2x 45 22 2x 45 22 22

x x x x x



        suy f  x tăng

Yêu cầu toán      

1

2

3 ,

3

x

f x m x f x f m m



         

Bài Tìm m để phương trình :

  2 2  

1

2

1

1 log log 4

2

m x m m

x

      

 có nghiệm

5 ,

     

Giải

Đặt 1 

2

log

t x Do 5;  1;1

x   t  

 

4 m1 t 4(m5)t4m 4  

1

m t t t t

     

2

5 1 t t m

t t    

 

23

6

+

4 -1

-2 -

f(t) f'(t)

(39)

39 Xét  

2

5 1 t t f t

t t   

  với t  1;1

 

2 2

4

0

t f t

t t 

  

    t  1;1  Hàm số đồng biến đoạn  1;1

Để phương trình có nghiệm hai đồ thị ym y;  f t  cắt   t  1;1

 

( 1)

3

f m f m

       

1. Tìm m để phương trình 3 tanx1 sin x2cosxmsinx3cosxcó nghiệm 0;

2 x  

 ?

2 Tìm m cho bất phương trình

2

3 x 6 x 18 3 xx m  m 1 nghiệm đúng  x  3,6? 2 Ứng dụng vào toán thực tế

2.1 Bài toán liên quan đến quãng đường

Bài (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2016 -2017)

Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ biển khoảng AB4(km). Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng BC7(km ) Người canh hải đăng phải chèo đị từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6(km h) xe đạp từ M đến C với vận tốc 10(km h) (hình vẽ bên) Xác định vị trí M để người đến C nhanh Giải

Đặt BM x km x( ), [0; 7].khi đóAM  x216;MC 7 x

Thời gian người canh hải đăng từ A đến C theo lộ trình tốn là:

2

16

( ) ( )

6 10 10

AM MC x x

h x       h

Xét hàm số

2

16

( ) ,

6 10

x x

h x      x

Hàm số liên tục [0; 7]

2

1

'( )

10

6 16

x h x

x

 



(40)

40

41 65 37

(0) , (7) , (3)

30 30

h  h  h 

Suy

 0;7

37 ( )

30

x h x  x



Vậy điểm M cách B khoảng 3(km)thì người canh hải đến kho

nhanh

Bài Một mảnh đất hình chữ nhật ABCDcó chiều dài AB25m, chiều rộng

20

AD mđược chia thành hai phần vạch chắn MN(M, Nlần

lượt trung điểm BCvàAD) Một đội xây dựng làm đường từ Ađến

C qua vạch chắn MN, biết làm đường miền ABMNmỗi làm

15mvà làm miền CDNMmỗi làm được30m Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm đường từ A đến C

Giải

Giả sử đường từ A đến C gặp vạch chắn MN E

đặt 2

( )( [0; 25]) 10 ;

NEx m x AE x 

2

(25 ) 10

CE x 

Thời gian làm đường từ A đến C

2

(25 ) 100 100

( ) ( )

15 30 15 30

x AE CE x

t x        h

2

(25 )

'( ) ;

15 100 30 (25 ) 100

x x

t x

x x



 

  

2

'( ) (25 ) 100 (25 ) 100

t x   x x   x x 

2 2

(25 )

4 [(25 ) 100] (25 ) ( 100)

x x

x x x x

  

      



2 2 2

0 25 25

4(25 ) ( 25) [400 (25 ) ]=0 ( 5)[4(25 ) ( 5) (45 )]=0

x x

x x x x x x x x x

   

 

 

         

 

5; x  

20 725 10 725

(0) , (25) , (5)

30 30

t   t   t  Thời gian ngắn làm đường từ A đến C

3 (giờ)

2.2 Bài tốn liên quan đến diện tích, thể tích hình học Bài (Đề THPT Quốc Gia 2018)

x 25m

20m N D

M

B C

A

(41)

41 Ông A dự định sử dụng hết 6,5m2 kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?

Giải

Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao bể cá x; ; ( );( ,x y m x y0)

Diện tích phần lắp kính

2

2 6,5 13

2 6,5 0

6

x

x  xy xy     x

Thể tích bể cá

2

2 6,5 13

2

6

x x x

V  x y x   

Xét hàm số

3

13 ( )

6 x x

f x   0; 13

 

 

 

Ta có

2

13 12 '( )

6 x f x   ;

39 '( )

39

x f x

x 

    

    

x 39

6 13 ( )

'

f x + -

( )

f x

13 39

54

Vậy thêt tích lớn 13 39

1,5

54 » m

Nhận xét: Khi làm trắc nghiệm tìm thể tích hàm số theo biến x ta sử dụng máy tính để tìm GTLN thể tích mà khơng cần giải theo tự luận rút ngắn thời gian làm mà đảm bảo đáp số

(42)

42 Giải

Gọi x là độ dài cạnh hình vng bị cắt a x    

 

 

Thể tích khối hộp là: V x( )x a( 2 )x a x    

 

 

2

( ) ( ) 2( ).( 2) ( )( )

V x  a x x a x   a x a x ; ( )

6 a

V x   x

2 a x    

 

 

Vậy khoảng 0; a    

  có điểm cực đại a

x

3

2 ( )

27 a V x 

Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B'C' D' có tổng diện tích tất mặt

2

cm

36 , độ dài đường chéo AC' 6cm Hỏi thể tích hình hộp đạt giá trị lớn bao nhiêu?

Giải

0

(43)

43 Giả sử kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c Giả sử a £ b£ c

Ta có 2

2 2 36 6

36 ( ) 18 18 (6 )

ab bc ca a b c a b c

a b c a b c bc bc a a

ì

ì ï

ï + + = ï + + = ï + + =

ïï Þ ï Û ï

í í í

ï + + = ï + + = ï = -

-ï ï ï

ïỵ ïỵ ïỵ

Do a£ £ Þb c 0< £a 2

Thể tích hình hộp chữ nhật ( 2)

18 6 18

V = abc = a - a +a = a - a + a

Xét hàm số

( ) 18

f a = a - a + atrên (0;2 2ùúû

Ta có

'( ) 12 18

f a = a - a +

'( )

3

a f a

a

é = ê

= Û ê

ê = ë

Từ bảng biến thiên ta tích lớn hình hộp chữ nhật 2.3 Bài toán kinh tế

Bài Một người thợ xây, muốn xây dựng bồn chứa thóc hình trụ trịn với thể tích (như hình vẽ bên) Đáy làm bê tông, thành làm tôn nắp bể làm nhơm Tính chi phí thấp để làm bồn chứa thóc (làm trịn đến hàng nghìn) Biết giá thành vật liệu sau: bê tông 100 nghìn đồng

2

,

m tơn 90 nghìn nhơm 120 nghìn đồng

Giải

3

150m

2

m

(44)

44 Gọi bán kính đường trịn đáy đường cao

hình trụ theo đề ta có

Khi chi phí làm nên bồn chứa thóc xác định theo hàm số:

(nghìn đồng) Bảng biến thiên:

r a + ¥ ( )

'

f r - + ( )

f r + ¥ + ¥ f a( )

Ta có chi phí thấp nghìn đồng

Bài Người ta xây bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 500

3 m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây bể 600.000đồng/m2 Xác định chi phí thuê nhân công thấp nhất.

Giải

Gọi x m  chiều rộng đáy bể, chiều dài đáy bể 2x m   

h m chiều cao bể

Bể tích

2

500 500 250

2

3 m  x h  h 3x

Diện tích cần xây là:   2

2

250 500

2 2 2

3

S xh xh x x x x

x x

      

Xét hàm      

2

500 500

2 , '

f x x x f x x x

x x



        

 2  

, 0,

r h m r h

2

150 150

r h h

r



  

  2

2

150 2700

220 90.2 220

f r r r r

r r

  



   

   

2

27000 675

440 r ,

11

f r f r r a

r



       

  675 15038,38797

11

f a f



 

  

(45)

45 Lập bảng biến thiên

x + ¥ ( )

'

f x - +

( )

f x

+ ¥ + ¥

150  

min 150

f  f 

Chi phí th nhân cơng thấp diện tích xây dựng nhỏ

min 150

f 

Vậy giá thuê nhân công thấp là: 150.60000090000000đồng Bài tập đề nghị:

1. Một hải đăng đặt vị trí cách bờ , bờ biển có kho hàng vị trí cách khoảng Người canh hải đăng chèo thuyền từ đến bờ biển với vận tốc từ đến với vận tốc Xác định độ dài đoạn để người từ đến C nhanh

2. Công ty A chuyên sản xuất loại sản phẩm ước tính với q sản phẩm sản xuất tổng chi phí C q 3q2 72q9789 (đơn vị tiền tệ) Giá sản phẩm công ty bán với giá p q 180 3 q Hãy xác định số sản phẩm công ty cần sản xuất cho công ty thu lợi nhuận cao ?

3. Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài 12cm chiều rộng 6cm Thực thao tác gấp góc bên phải cho đỉnh gấp nằm cạnh chiều dài lại Hỏi chiều dài L tối thiểu nếp gấp bao nhiêu?

D Một số câu hỏi trắc nghiệm

1. Giá trị lớn hàm số f x  x3 8x216x9 đoạn  1;3 là:

A 5km

C B 7km

A M 4km h/ M

(46)

46 A

1; 3

max f x( )0. B

1; 3

13 max ( )

27

f x  C

 1;

max f x( ) 6. D

 1;

max f x( )5

2. Giá trị nhỏ hàm số yx x( 2)(x4)(x6)5  4;  là:

A

min 4; y 8

B.

min 4; y 11.

C

min 4; y 17

D

min 4; y 9

3. Giá trị lớn hàm số 2 x x y x   

 là:

A maxy 1 B max

x y C.maxx y9 D maxy10 4. Giá trị nhỏ hàm số y cos 2x4sinx đoạn 0;

2



      là:

A 0;

2

miny 

     

  B 0;

2

miny 2         C. 0;

miny         D 0; miny

      



5. Giá trị nhỏ hàm số y e x x( 2 x 1) đoạn [0;2] A

 0;2

miny 2 e B

 

2 0;2

minye C  

0;2

miny 1 D.

 0;2

miny e

6. Giá trị lớn hàm số y x 4 4 x (x4)(4 x) A

4;4

maxy 10

  B max4;4 y 5 2 C

 4;4

maxy

   D.max4;4 y 5 2

7. Một cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300 km Vận tốc dòng nước km/h Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v (km/h) lượng tiêu hao cá t giờ cho cơng thức E v( )cv t3 , c là số E tính Jun Vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng tiêu hao

A km/h B km/h C km/h D km/h 8. Cho ABCđều cạnh a Người ta dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh

MN nằm BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm hai cạnh AC AB tam giác Xác định vị trí điểm M cho hình chữ nhật có diện tích lớn ?

A

3 a

BM  B

4 a

BM  C

3 a

BM  D

4 a BM 

9. Một hộp không nắp làm từ mảnh tông theo mẫu hình vẽ Hộp có đáy hình vng cạnh x cm, chiều cao h cm tích 500 cm3 Giá trị x để diện

tích mảnh tơng nhỏ

A 100 B 300

x x h

h h

(47)

47

C 10 D 1000

10.Cho hai số thực x, y thỏa mãn x0,y1;x y Giá trị lớn giá

trị nhỏ biểu thức P x3 2y23x24xy5x bằng: A 20 18 B 20 15 C 18 15 D 15 13 11.Cho số thực x, y thoả mãn x4 2 y422xy32 Giá trị nhỏ

m biểu thức A x  3 y3 3(xy1)(x y 2) : A 17 5

4

m  B m16 C m398 D m0

12.Cho hai số thực dương thỏa mãn1 x 2; 1 y2 Giá trị nhỏ m

biểu thức 2

2

3 5 4( 1)

x y y x

P

x y y x x y

 

  

     

A m0

B

85

m C m 10. D m

Đáp án

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Đáp án B B C C D D D D C A A D

7.2 Về khả áp dụng sáng kiến

Sáng kiến áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia học sinh ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh

8 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

- Hướng dẫn học sinh sử dụng tài liệu tham khảo sách hay có liên quan để học sinh tìm đọc

- Chọn lọc biên soạn theo hệ thống dạy

- Nghiên cứu đề thi trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

9 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm theo ý kiến tác giả

- Khi áp dụng đề tài vào thực tế dạy học thu kết quả:

+ Học sinh phát triển tư kỹ liên hệ vấn đề tốn học Học sinh hình thành lời giải cách nhanh nhẹn, sáng tạo

(48)

48 + Giáo viên nâng cao trình độ chun mơn, lực sư phạm q trình giảng dạy ơn thi THPT Quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi - Trước sau thực đề tài tiến hành khảo sát khả tìm GTLN – GTNN cho học sinh lớp 12A1, 12A5, 12A7 khóa 2016 – 2017 trường THPT Lê Xoay với số học sinh khảo sát 110 thu kết sau:

Giỏi Khá Trung bình Yếu

Tổng số

% Tổng số

% Trước áp dụng đề tài 12 10,9 33 30 40 36,4 22 20 Sau áp dụng đề tài 22 20 45 40,9 35 31,8 7,3

Ngồi học sinh giỏi tơi có thành tích cao trước áp dụng sáng kiến có học sinh giải nhì cấp tỉnh

10 Danh sách tổ chức cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu

STT Tên tổ chức, cá nhân

Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

1 Nguyễn Thị Thanh Trường THPT Lê Xoay

Giảng dạy bồi dưỡng kỹ giải tập giải tích cho học sinh THPT

Vĩnh Tường, ngày tháng … năm 2020 Hiệu trưởng

Vĩnh Tường, ngày 17 tháng 02 năm 2020 Người viết

(49)

49 TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giải tích 12 – Nhà xuất giáo dục

2 Sách tập Giải tích 12 – Nhà xuất giáo dục Sách Hình học 12 – Nhà xuất giáo dục

4 Sách tập Hình học 12 – Nhà xuất giáo dục

5 www.luyenthithukhoa.vn; www.dethi.volet.vn; www.toanmath.com Đề thi học sinh giỏi mơn tốn cấp tỉnh

7 Đề thi THPT Quốc Gia