Chuyên đề Bất đẳng thức

Phần 2:một số phương pháp chứng minh bất đẳng thøc 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương 3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phương pháp sử d[r]

s­u tËp vµ biªn so¹n n¨m 2000 chØnh söa n¨m :2007 A- Më ®Çu: Bất đẳng thức là mảng kiến thức khó toán học phổ thông Nhưng thông qua các bài tập chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc giải và biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên hệ các yếu tè cña tam gi¸c vÒ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc Trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tËp , n¨ng lùc suy nghÜ , s¸ng t¹o cña häc sinh ®­îc phat triÓn ®a dang vµ phong phó vì các bài tập bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc khuôn mẫu nào c¶ Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ víi kiÕn thøc míi mét c¸ch l«gÝc cã hÖ thèng Cũng vì toán bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo phương pháp định nên học sinh rât lúng túng giải toán bất đẳng thức vì học sinh không biết đâu và theo hương nào Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải các lo¹i bµi tËp kh¸c Trong thực tế giảng dạy toán trường THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc quan trọngvà không thể thiếu người dạy toán ,thông qua đó rèn luyện Tư lôgic và khả sáng tạo cho học sinh Để làm điều đó người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh số kiến thức và số phương pháp suy nghĩ ban đầu bất đẳng thức Chính vì lí trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt Danh mục chuyên đề S.t.t Néi dung PhÇn më ®Çu trang Nội dung chuyên đề C¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý Các phương pháp chứng minh bát đẳng thức Lop10.com Phương pháp 1:dùng định nghiã Phương pháp 2:dùng biến đổi tương đương Phương pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc 8 Phương pháp 4:dùng tính chất bắc cầu 10 Phương pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số 12 10 Phương pháp 6: dùng phương pháp làm trội 14 11 Phương pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác 16 12 Phương pháp 8: dùng đổi biến 17 13 Phương pháp 9: Dùng tam thức bậc hai 14 Phương pháp 10: Dùng quy nạp toán học 18 19 15 Phương pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng 21 16 C¸c bµi tËp n©ng cao 23 17 28 18 øng dông cña bÊt d¼ng thøc Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 19 Dùng bất đẳng thức để: giải phương trình hệ phương trình 31 20 Dùng bất đẳng thức để : giải phương trình nghiệm nguyên 33 21 Tµi liÖu tham kh¶o 29 B- néi dung PhÇn : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý 1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số bất đẳng thức hay dùng Lop10.com Phần 2:một số phương pháp chứng minh bất đẳng thøc 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương 3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phương pháp làm trội 7- Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phương pháp đổi biến số 9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phương pháp quy nạp 11- Phương pháp phản chứng PhÇn :c¸c bµi tËp n©ng cao PHầN : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý 1-§inhnghÜa A  B  A  B   A  B  A  B  Lop10.com 2-tÝnh chÊt + A>B  B  A + A>B vµ B >C  A  C + A>B  A+C >B + C + A>B vµ C > D  A+C > B + D + A>B vµ C >  A.C > B.C + A>B vµ C <  A.C < B.C + < A < B vµ < C <D  < A.C < B.D + A > B >  A n > B n n + A > B  A n > B n víi n lÎ + A > B  A n > B n víi n ch½n + m > n > vµ A >  A m > A n + m > n > vµ <A <  A m < A n +A < B vµ A.B >  1  A B 3-một số bất đẳng thức + A  víi  A ( dÊu = x¶y A = ) + An  víi  A ( dÊu = x¶y A = ) + A  víi A (dÊu = x¶y A = ) + -A <A= A + A  B  A  B ( dÊu = x¶y A.B > 0) + A  B  A  B ( dÊu = x¶y A.B < 0) Phần II : số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp : dùng định nghĩa Lop10.com KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M  với M VÝ dô  x, y, z chøng minh r»ng : a) x + y + z  xy+ yz + zx b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3  (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x + y + z - xy – yz - zx = ( x  y )  ( x z )  ( y  z )  đúng với x;y;z  R = ( x + y + z - xy – yz – zx)   V× (x-y)2  víix ; y DÊu b»ng x¶y x=y (x-z)2  víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z (y-z)2  víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x + y + z  xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)  đúng với x;y;z  R Vậy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz đúng với x;y;z  R DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1)  DÊu(=)x¶y x=y=z=1 VÝ dô 2: chøng minh r»ng : a2  b2  a  b  a)   ;b)   a2  b2  c2  a  b  c    3   c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n gi¶i Lop10.com a2  b2  a  b  a) Ta xÐt hiÖu     a  b a  2ab  b  = 4 = 2a  2b  a  b  2ab = a  b 2     a2  b2  a  b  VËy      DÊu b»ng x¶y a=b b)Ta xÐt hiÖu a2  b2  c2  a  b  c    3   = a  b 2  b  c 2  c  a 2    a2  b2  c2  a  b  c   VËy  3   DÊu b»ng x¶y a = b =c c)Tæng qu¸t a12  a 22   a n2  a1  a   a n    n n   Tóm lại các bước để chứng minh A  B tho định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A  B VÝ dô:(chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Gi¶i:  m2  m2  m2  m2  2 2 2         mn  n     mp  p     mq  q     m  1          m  m    n    2  2 2  m  m  p     q     1  (luôn đúng)  2  2   m2 m m  n     2 n  n  p  q  m  m   p0 p  2 DÊu b»ng x¶y   m    q  Lop10.com m q  2 Bµi tËp bæ xung phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương L­u ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng Chú ý các đẳng thức sau: A  B 2  A  AB  B Lop10.com A  B  C 2  A  B  C  AB  AC  BC A  B 3  A3  A B  AB  B VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng b2 a) a   ab b) a  b   ab  a  b c) a  b  c  d  e  ab  c  d  e  Gi¶i: b2  ab  4a  b  4ab  4a  4a  b  (bất đẳng thức này luôn đúng)  2a  b   a) a  b2  ab (dÊu b»ng x¶y 2a=b) b) a  b   ab  a  b  2(a  b    2(ab  a  b)  a  2ab  b  a  2a   b  2b   Bất đẳng thức cuối đúng  (a  b)  (a  1)  (b  1)  2 VËy a  b   ab  a  b VËy a  DÊu b»ng x¶y a=b=1 c) a  b  c  d  e  ab  c  d  e   4 a  b  c  d  e   4ab  c  d  e   a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a  4ac  4c      a  2b   a  2c   a  2d   a  2c   2   Bất đẳng thức đúng ta có điều phải chứng minh VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: a 10  b10 a  b  a  b a  b  Gi¶i: a 10      a a  b  a b b  a   b10 a  b  a  b a  b  a 8b 2 2  a2b2(a2-b2)(a6-b6)  12  a 10 b  a b10  b12  a 12  a b  a b  b12  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  Bất đẳng thứccuối đúng ta có điều phải chứng minh VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y Chøng minh x2  y2  2 v× :x  y nªn x- y   x y Lop10.com x2  y2 2 x y Gi¶i: x2+y2  2 ( x-y)  x2+y2- 2 x+ 2 y   x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2   x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy  v× x.y=1 nªn 2.x.y=2  (x-y- )2  Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 4: 1)CM: P(x,y)= x y  y  xy  y   x, y  R a2  b2  c2  a  b  c 2)CM: (gợi ý :bình phương vế) 3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: x y.z   1 1     x yz  x y z Chứng minh :có đúng ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97) Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 x y z 1 x y z x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(   )=x+y+z - (   )  (v×   < x+y+z theo gt)  số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương Nếủ trường hợp sau xảy thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp trên tức là có đúng ba số x ,y ,z là số lớn Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: Lop10.com a) x  y  xy b) x  y  xy dÊu( = ) x = y = c) x  y 2  xy a b b a d)   2)Bất đẳng thức Cô sy: a1  a  a3   a n n  a1 a a3 a n n 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski a 2  Víi    a22   an2 x12  x22   2n  a1 x1  a2 x2   an xn  4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: abc A  B  C abc NÕu  A  B  C abc DÊu b»ng x¶y  A  B  C NÕu   aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3  aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3 b/ c¸c vÝ dô vÝ dô Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Gi¶i: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  xy Tacã a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac  a  b  b  c  c  a   64a b c  8abc   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc 2 2 DÊu “=” x¶y a = b = c 1   9 a b c CMR:x+2y+z  4(1  x)(1  y )(1  z ) vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: CMR: a b c    bc ca ab 4)Cho x  ,y  tháa m·n x  y  vÝ dô 3: ;CMR: Cho a>b>c>0 vµ a  b  c  chøng minh r»ng a3 b3 c3    bc ac ab Gi¶i: Lop10.com 10 x+y  (403-1001)  a2  b2  c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a  b  c   a  b  c  b  c a  c a  b ¸p dông B§T Trª- b­-sÐp ta cã a b c a2  b2  c2  a b c  2 a b c     = = bc ac ab bc ac ab 2 VËy a3 b3 c3    bc ac ab DÊu b»ng x¶y a=b=c= vÝ dô 4: Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng : a  b  c  d  ab  c  bc  d  d c  a   10 Gi¶i: Ta cã a  b  2ab 2 c  d  2cd 1 (dïng x   ) ab x Ta cã a  b  c  2(ab  cd )  2(ab  )  ab MÆt kh¸c: ab  c  bc  d  d c  a  Do abcd =1 nªn cd = (1) =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =  ab      1    ac     bc      ab   ac   bc   VËy a  b  c  d  ab  c  bc  d  d c  a   10 vÝ dô 5: Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (a  c)  (b  d )  a  b  c  d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacã ac+bd  a  b c  d mµ a  c 2  b  d 2  a  b  2ac  bd  c  d    a2  b2  a2  b2 c2  d  c2  d  (a  c)  (b  d )  a  b  c  d vÝ dô 6: Chøng minh r»ng a  b  c  ab  bc  ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã 1   (a  b  c )  1.a  1.b  1.c  a  b  c  a  b  c  2ab  bc  ac  2 2 2   a  b  c  ab  bc  ac Phương pháp 4: 2 2 2 §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y a=b=c Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu Lop10.com 11 L­u ý: A>B vµ b>c th× A>c 0< x <1 th× x <x vÝ dô 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i: a  c  d b  c  d Tacã  a  c  d    b  d  c  (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc    (®iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 2: 2 Cho a,b,c>0 tháa m·n a  b  c  Chøng minh 1 1    a b c abc Gi¶i: Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  2 ( a +b +c ) 1 1     ac+bc-ab   Chia hai vÕ cho abc > ta cã a b c abc  ac+bc-ab  vÝ dô Cho < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i: Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0 (1)  (1-a).(1-b) > 1-a-b Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 1- Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng 2a  2b  2c   a b  b c  c a Gi¶i : Do a <  a  vµ Ta cã 1  a .1  b    1-b- a + a b >  1+ a b > a + b Lop10.com 12 mµ 0< a,b <1  a > a , b > b Tõ (1) vµ (2)  1+ a b > a + b VËy a + b < 1+ a b Tương tự b + c   b c c + a3   c2a Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a  2b  2c   a b  b c  c a b)Chøng minh r»ng : NÕu a  b  c  d  1998 th× ac+bd =1998 (Chuyªn Anh –98 – 99) Gi¶i: Ta cã (ac + bd) + (ad – bc ) = a c + b d  2abcd  a d = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rá rµng (ac+bd)2  ac  bd 2  ad  bc 2  1998 2  b c - 2abcd =  ac  bd  1998 2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1  c høng minh r»ng : a 12 + a 22  a32   a 2003 2003- 2004Thanh hãa ) 2,Cho a;b;c  tháa m·n :a+b+c=1(?) a b c Chøng minh r»ng: (  1).(  1).(  1)  Lop10.com 13 ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003 Phương pháp 5: dïng tÝnh chÊtcña tû sè KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a ac  th×  b b bc a a ac b – NÕu  th×  b bc b a – NÕu 2)NÕu b,d >0 th× tõ a c a ac c     b d b bd d ` vÝ dô : Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng 1 a b c d    2 abc bcd cd a d ab Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã a a ad 1  abc abc abcd a a  MÆt kh¸c : abc abcd (1) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã a a ad < < abcd abc abcd (3) Tương tự ta có b b ba   abcd bcd abcd c c bc   abcd cd a abcd d d d c   abcd d ab abcd (4) (5) (6) céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã 1 a b c d     ®iÒu ph¶i chøng minh abc bcd cd a d ab vÝ dô : a c a ab  cd c  vµ b,d > Chøng minh r»ng < b d b b d2 d a c ab cd ab ab  cd cd c   Tõ <     b d b d b b d2 d2 d a ab  cd c  < ®iÒu ph¶i chøng minh b b2  d d Cho: < Gi¶i: VËy Lop10.com 14 ví dụ : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a c t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña  gi¶i : b d Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : a b a b a ab b     Tõ :  c d c d c cd d a  v× a+b = c+d c b a b  998    999 d c d a b 999 b, NÕu: b=998 th× a=1   =  §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt d= 1; c=999 c d c d a b VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña  =999+ a=d=1; c=b=999 c d 999 a, NÕu :b  998 th× Lop10.com 15 Phương pháp 6: Phương pháplàm trội L­u ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tæng h÷u h¹n hoÆc tÝch h÷u h¹n (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2   un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk  ak  ak 1 Khi đó : S = a1  a2  a2  a3   an  an 1   a1  an 1 (*) Phương pháp chung tính tích hữu hạn P = u1u2 un Biến đổi các số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: uk = ak ak 1 Khi đó P = a a1 a2 a n  a2 a3 an 1 an 1 VÝ dô : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1      n 1 n  nn Gi¶i: Ta cã Do đó: 1   n  k n  n 2n víi k = 1,2,3,…,n-1 1 1 n         n 1 n  2n 2n 2n 2n VÝ dô : Chøng minh r»ng: 1  Gi¶i : Ta cã  1     n 1 1 n Víi n lµ sè nguyªn  2    k 1  k k k k  k 1 Khi cho k chạy từ đến n ta có Lop10.com 16  >   1  2 3 2  ………………   n 1  n n  Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có   1     n 1 1 n 1 VÝ dô : Chøng minh r»ng n k k 1 2 n  Z Gi¶i: 1 1    k k k  1 k  k Ta cã Cho k chạy từ đến n ta có 1  1 2 1   32 1   n n 1 n 1      n VËy n k k 1 2 Lop10.com 17 Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức tam giác L­u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a VÝ dô1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i a)V× a,b,c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0  a  b  c  0  b  a  c 0  c  a  b  a  a (b  c)  b  b(a  c)  c  c ( a  b)   Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta cã a > b-c   a  a  (b  c) > b > a-c   b  b  (c  a) > c > a-b   c  c  (a  b)  Nhân vế các bất đẳng thức ta     a 2b c  a  b  c  b  c  a  c  a  b  2  a b c  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc  a  b  c  b  c  a  c  a  b 2 2  VÝ dô2: (404 – 1001) 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab  bc  ca  a  b  c  2(ab  bc  ca) 2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh r»ng a  b  c  2abc  Lop10.com 18 Phương pháp 8: đổi biến số VÝ dô1: Cho a,b,c > Chøng minh r»ng a b c    (1) bc ca ab Gi¶i : yzx zx y x yz ; b= ;c= 2 yzx zx y x yz    ta cã (1)  2x 2y 2z y z x z x y  1  1  1   x x y y z z y x z x z y (  )(  )(  )6 x y x z y z y x z y z x   nªn ta cã ®iÒu   2; Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2; x y y z x z §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= ph¶i chøng minh VÝ dô2: Cho a,b,c > vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 1   9 a  2bc b  2ac c  2ab (1) Gi¶i: §Æt x = a  2bc ; y = b  2ac ; z = c  2ab Ta cã x  y  z  a  b  c 2  1 x y z (1)     Víi x+y+z < vµ x ,y,z > Theo bất đẳng thức Côsi ta có x  y  z  3 xyz 1 1    x y z xyz  x  y  z .     x y z Mµ x+y+z < VËy 1    (®pcm) x y z VÝ dô3: Cho x  , y  tháa m·n x  y  CMR x  y  Gîi ý: §Æt x  u , y v  2u-v =1 vµ S = x+y = u  v  v = 2u-1 thay vµo tÝnh S Lop10.com 19 Bµi tËp 1) Cho a > , b > , c > CMR: 2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc    bc ca ab Lop10.com 20 25a 16b c   8 bc ca ab  m  n  p  m  n  p 