BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Chuyên đề LTĐH 2011 Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phương pháp đánh giá... dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số n[r]
(1)www.MATHVN.com BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ (Chuyên đề LTĐH 2011) Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng số bất đẳng thức dùng phương pháp đánh giá I.Sử dụng số BĐT bản: Các BĐT đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì: a1 ; a2 ; an ( n ³ 2) ta luôn có: a1 + a2 + + an n ³ a1a2 an ( I ) ; dấu xảy và khi: n a1 = a2 = = an BĐT Bunhiacôpxki: Với hai số thực bất kì ( a1 ; a2 ; an ),(b1 ; b2 ; bn ) ta luôn có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) £ ( a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 )( II ) ; dấu xảy và a a1 a2 = = = n BĐT: a + b + c ³ ab + bc + ca ( III ) ; dấu xảy b1 b2 bn a = b = c 1 n2 BĐT: + + + ³ ( IV ) ; đó a1 , a2 , an là các số a1 a2 an a1 + a2 + + an Khi: dương; dấu xảy và các số này Bài 1: Cho a > b > Chứng minh: a/a + ³ 3; b / a + ³ 3; c / a + ³ 2 b( a - b) (a - b)(b + 1) b( a - b) Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: b + (a - b) + 1 ³ 3 b.(a - b) =3 b( a - b) b( a - b) (đpcm) Dấu xảy b = 1; a = Bài 2: Cho a > 1; b > Chứng minh: a b - + b a - £ ab www.mathvn.com Lop12.net (2) www.MATHVN.com Giải: Theo BĐT (I) ta có: a b - = a (b - 1).1 £ a có: b a -1 £ (b - 1) + ab ; tương tự ta = 2 ab Cộng các vế các BĐT này lại ta đpcm Dấu xảy a = b = Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng Chứng minh: ab + bc + ca - abc £ / 27 (1 - a ) + (1 - b) + (1 - c) = 3 Û - a - b - c + ab + bc + ca - abc = ab + bc + ca - abc £ / 27 (đpcm) Dấu Giải: Theo BĐT (I) ta có: (1 - a )(1 - b)(1 - c) £ xảy a = b = c =1/3 Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c Chứng minh: a + b3 + c ³ a bc + b ca + c ab ( ) Giải: Theo BĐT (I) ta có: 4a + b + c ³ 6 a 3 3 b3c = 6a bc ; tương tự ta có: 4b3 + c + a ³ 6b ca ;4c + a + b3 ³ 6c ab cộng các vế các BĐT này lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z Chứng minh: ( x + y + z )6 / xy z ³ 432 Bài 4: Tìm GTNN biểu thức P = ( x + y )9 / x y đó x,y là các số dương Giải: Theo BĐT (I) ta có: x y ( x + y )9 99 39 æxö æ yö x + y = + ³ ç ÷ ç ÷ Û P = ³ = 6 x y 36 è3ø è6ø Vậy GTNN P / y = 2x Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: a + b6 + c = Hãy tìm GTLN 2 biểu thức S = a + b + c Giải: Theo BĐT (I) ta có: a + + ³ 3a ; b + + ³ 3b ; c + + ³ 3c Þ ³ 3S Û ³ S Vậy GTLN S a = b = c = Bài 6: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: £ x £ 3;0 £ y £ Tìm GTLN biểu thức: www.mathvn.com Lop12.net (3) www.MATHVN.com A = (3 - x)(4 - y )(2 x + y ) Giải: Theo BĐT (I) ta có: 2(3 - x).3(4 - y ).(2 x + y ) £ (6 - x) + (12 - y ) + (2 x + y ) =6 Û A £ 63 Û A £ 36 Vậy GTLN A 36 x = và y = Bài 7: x,y,z là các số không âm có tổng Tìm GTLN biểu thức: P = xyz ( x + y )( y + z )( z + x) Bài 8: a,b,c là các số dương Chứng minh: a m + n b m+ n c m + n + m + m ³ a n + b n + c n ( m, n Î N * ) m b c a n æ a m+ n ö n m a m+ n n n m + n Giải: Theo BĐT (I) ta có: n m + mb ³ ( m + n) ç m ÷ (b ) = ( m + n)a b è b ø Tương tự b m+ n c m+n n n n n ta có: n m + mc ³ ( m + n)b ; n m + ma ³ (m + n)c Cộng các BĐT c a này lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c a b2 c2 Chú ý: Nếu m = n = thì ta BĐT: + + ³ a + b + c b c a Bài 9: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh: a3 b3 c3 a+b+c + + ³ b(c + a ) c(a + b) a (b + c) a3 b c+a a b c + a 3a Giải: Theo BĐT (I) ta có: + + ³ 33 = b(c + a ) b (c + a ) Tương tự ta có: b3 c a + b 3b c3 a b + c 3c + + ³ ; + + ³ Cộng các vế các BĐT c ( a + b) a (b + c) này lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x + y + z ³ Tìm GTNN biểu thức: x3 y3 z3 S= + + y+z x+z y+x www.mathvn.com Lop12.net (4) www.MATHVN.com Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: 1 )(1 + )(1 + ) a3 b3 c3 Bài 12: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức: x + y + z = Chứng minh: P = (1 + S = + 4x + + y + + 4z ³ Giải: Theo BĐT (I) ta có: ta có: + x = + + + x ³ 4 x = 2.2 x / Tương tự + y ³ 2.2 y / ; + z ³ 2.2 z / Þ S ³ 2(2 x / + y / + z / ) ³ 2.3 2( x+ y + z ) / = (đpcm) Dấu xảy x = y = z = Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng Tìm GTNN biểu thức: S= x 1- y + y 1- x Giải: Dễ thấy S dương Theo BĐT (I) ta có: x2 y2 S +x+ y³ + xy + + xy ³ y x x2 y2 3 xy + xy = 3( x + y ) Þ S ³ Û S ³ Vậy MinS = x = y x y = 1/2 Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b + c ³ Tìm GTNN biểu thức: a b c + + b c a Bài 15: Cho số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a + b + c = Chứng minh: ab bc ca S= + + ³ c a b Bài 16: Cho số dương x,y,z có tổng Chứng minh BĐT: xy yz zx + + £ xy + z yz + x zx + y S= www.mathvn.com Lop12.net (5) www.MATHVN.com Giải: Do xy + z = xy + z ( x + y + z ) = ( x + z )( y + z ) nên theo BĐT (I) ta có: x y 1æ x y ö £ ç + ÷ Tương tự ta có: x + z y + z 2è x + z y + z ø yz 1æ y z ö xz 1æ x z ö ; £ ç + £ + ÷ ç ÷ yz + x è x + y x + z ø xz + y è x + y y + z ø xy = xy + z Cộng các BĐT trên ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy x = y = z = 1/ Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: x + y ³ Tìm GTNN biểu thức: P = 3x + y + + x y Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3x y 3x y 3x y + + + + + ³ + + x y 2 x y = + + = 19 Vậy MinP = 19 x = và y = Bài 18: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: xy + xz = Tìm P= GTNN biểu thức: S= yz xz xy + + x y z Giải: Theo BĐT (I) ta có: æ yz xz ö æ yz xy ö æ xy xz ö S = ç + ÷ + ç + ÷ + 3ç + ÷ ³ z + y + x = yø z ø è z yø è x è x 2( x + z ) + 4( x + y ) ³ xz + xy = Vậy MinS = x = y = z = 1/3 Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện: x + y £ 4;3 x + y £ Tìm GTLN biểu thức: P = x + y Giải: Theo BĐT (I) ta có: P = 3.3 x.1.1 + www.mathvn.com 2 y.3 £ 3( x + 2) + ( y + 3) 3 Lop12.net (6) www.MATHVN.com = a ( x + y ) + b(3 x + y ) + + £ 4a + 6b + + = -3 9-2 + +6+2 = + ( Do a + 3b = & a + b = / Þ a = (2 - 3) / & b = (9 - 3) / ) Vậy MaxP = + x = 1& y = Bài 20: Cho số dương a,b,c Chứng minh BĐT: 1 1æ 1 1ö + + £ ç + + ÷ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c è a b c ø Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có: 1 1æ 1 ö = £ ç + ÷ 2a + b + c ( a + b) + ( a + c ) è a + b a + c ø é ỉ 1 ỉ 1 ứ ỉ 1 £ ê ç + ÷ + ç + ÷ ú = ç + + ÷ Tương tự ta có: ë è a b ø è a c ø û 16 è a b c ø 1 æ1 1ö 1 æ1 2ö £ ç + + ÷; £ ç + + ÷ Cộng các vế các a + 2b + c 16 è a b c ø a + b + 2c 16 è a b c ø BĐT này lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng Chứng minh các BĐT sau: 1 a/ + ³ 6; b / + ³ 14 ab a + b ab a + b Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 1 1 + = + + ³ ab a + b 2ab 2ab a + b 2 + = + = (đpcm) Dấu xảy a = b = 1/ (a + b) 2ab + a + b a = b = 1/ Bài 22: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c £ 3/ Chứng minh: a + b + c + 1/ a + 1/ b + 1/ c ³ 15 / Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích Chứng minh: x + y + z ³ x + y + z www.mathvn.com Lop12.net (7) www.MATHVN.com Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = ta có: ( x + y + z )2 x +y +z ³ = ( x + y + z ) x+ y+z ³ ( x + y + z ) xyz = x + y + z (đpcm) Dấu xảy x = y = z = a b2 c2 a b c Chú ý: Từ BĐT trên ta suy BĐT: + + ³ + + với a,b,c là các số b c a b c a 2 dương Bài 24: Cho a > c > 0; b > c > Chứng minh: c(b - c) + c( a - c) £ ab Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số ( c ; a - c ) & ( b - c ; c ) ta được: ( c(b - c) + c(a - c)) £ (c + a - c)(b - c + c) = ab từ đó suy BĐT ccm Dấu xảy ab = c(a + b) Bài 25: Cho số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện: a > x; a + b > x + y Chứng minh: x2 (a - x)2 a2 + ³ x+ y a+b- x- y a+b Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số æ x ö a-x ; çç ÷÷ & ( x + y ; a + b - x - y ) ta x + y a + b x y è ø æ x2 (a - x) ö được: ç + ÷ ( x + y + a + b - x - y ) ³ ( x + a - x) từ đó suy è x+ y a+b- x- y ø BĐT ccm Dấu xảy bx = ay Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: a + b + c + d = 1; x là số thực bất kì Chứng minh: ( x + ax + b)2 + ( x + cx + d )2 £ (2 x + 1) Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = ta có: ( x + ax + b) £ ( x + x + 12 )( x + a + b ); www.mathvn.com Lop12.net (8) www.MATHVN.com ( x + cx + d ) £ ( x + x + 12 )( x + c + d ) Þ ( x + ax + b)2 + ( x + cx + d )2 £ (2 x + 1)( x + a + b + x + c + d ) = (2 x + 1)2 (đpcm) Dấu xảy b=d=1&x=a=c Bài 27: Cho số dương x,y,z,p,q bất kì Chứng minh: x y z + + ³ py + qz pz + qx px + qy p + q Giải: Theo BĐT (III) ta có: x( py + qz ) + y ( pz + qx) + z ( px + qy ) = ( p + q)( xy + yz + zx) £ ( p + q )( x + y + z )2 / (*) Áp dụng BĐT (II) cho hai số æ ö x y z ; ; ç ÷ và py + qz pz + qx px + qy è ø ( x( py + qz ); y ( pz + qx); z ( px + qy )) ta được: æ x y z ö + + ç ÷ [ x( py + qz ) + y ( pz + qx) + z ( px + qy ) ] ³ ( x + y + z ) è py + qz pz + qx px + qy ø Kết hợp với BĐT (*) ta BĐT ccm Dấu xảy khi; py + qz = pz + qx = px + qy Bằng cách giải tương tự ta chứng minh các BĐT sau: a b c + + ³ với a,b,c là các số dương bất kì b+c a+c b+a a b c d 2/ + + + ³ với a,b,c,d là các số dương bất kì b+c d +c d +a a+b a2 b2 c2 a+b+c 3/ với a,b,c là các số dương bất kì + + ³ b+c a+c b+a a2 b2 c2 4/ + + ³ a + b + c với a,b,c là độ dài ba cạnh b+c-a a +c-b b+ a -c 1/ tam giác www.mathvn.com Lop12.net (9) www.MATHVN.com 5/ a b c + + ³ với a,b,c là độ dài ba cạnh tam b+c-a a +c-b b+ a -c giác Bài 28: Cho các số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: x + y = u + y = Chứng minh: u ( x - y ) + v( x + y ) £ Giải: Theo BĐT (II) : [u ( x - y ) + v( x + y ) ] £ (u + v ) éë( x - y )2 + ( x + y )2 ùû = 2( x + y ) = Từ đó suy BĐT cần chứng minh Dấu xảy u ( x + y ) = v ( x - y ) Bài 29: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c ³ Chứng minh: a3 b3 c3 + + ³ b+c a+c b+a 2 Theo Giải: BĐT (II) ta có: æ a b c ö + + ç ÷ [ a (b + c) + b(a + c) + c(b + a )] ³ b + c a + c b + a è ø (a + b + c ) ³ (a + b + c ) ³ ab + bc + ca Từ đó ta suy BĐT cần chứng 3 minh Dấu xảy a = b = c = / Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x( x - 1) + y ( y - 1) + z ( z - 1) £ / Chứng minh: -1 £ x + y + z £ Giải: Từ điều kiện ta suy ra: ( x - 1/ 2) + ( y - 1/ 2) + ( z - 1/ 2) £ 25/12 Áp dụng BĐT (II) ta được: 2 [1.( x - 1/ 2) + 1.( y - 1/ 2) + 1.( z - 1/ 2)] 2 £ éë( x - 1/ 2) + ( y - 1/ 2) + ( z - 1/ 2) ùû £ 25/ Þ x + y + z - 3/ £ 5/ Û -5 / £ x + y + z - 3/ £ 5/ Û -1 £ x + y + z £ (đpcm) Dấu xảy x = y = z = / Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: a + b + 16 = 8a + 6b Chứng minh: a /10 £ 4a + 3b £ 40; b / 7b £ 24a 2 Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: ( a - 4) + (b - 3) = Áp dụng BĐT (II) ta được: www.mathvn.com Lop12.net (10) www.MATHVN.com [ 4(a - 4) + 3(b - 3)] £ éë(a - 4)2 + (b - 3) ùû (42 + 32 ) = 9.25 Û 4a + 3b - 25 £ 15 Û -15 £ 4a + 3b - 25 £ 15 Û 10 £ 4a + 3b £ 40 (đpcm) Dấu xảy a = 24/5,b = 24/3 a = 16/5, b = 6/5 Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x + y + z - x + z £ Tìm GTNN và GTLN biểu thức: S = x + y - z Bài 33: Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức: a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: S = a + ab + b + c + cb + b + a + ac + c Giải: Theo BĐT (II) ta có: 2 2 éæ ùé ù æ æ ö b b b bö æ ö ö 2 2 (a + ab + b ) = êç a + ÷ + ç ú ³ ç a + + ÷ = (a + b) ÷ ú ê1 + ç ÷ êè ø è ø ú êë 2ø è ø úû è ë û Þ a + ab + b ³ 3(a + b) / Tương tự ta có: c + cb + b ³ 3(c + b) / ; c + ca + a ³ 3(c + a) / Þ S ³ 3(a + b + c) = Vậy MinS = a = b = c = / II.Sử dụng phương pháp đánh giá: Bài 34: Cho số dương a,b,c Chứng minh các BĐT sau: 1 1 a/ + + £ ; a + b3 + abc c + b3 + abc a + c3 + abc abc 1 a+b+c b/ + + £ a + bc b + ac c + ab 2abc Giải:a/Ta có: a + b3 + abc = (a + b)(a - ab + b ) + abc ³ (a + b)ab + abc = ab(a + b + c) > www.mathvn.com 10 Lop12.net (11) www.MATHVN.com Þ 1 c £ = Tương tự ta có các a + b3 + abc ab(a + b + c) abc(a + b + c) BĐT: c + b3 + abc £ a b Cộng các vế ; £ abc(a + b + c) c + a + abc abc(a + b + c) các BĐT này lại giản ước ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c b/ Theo BĐT (I) ta có: 1 bc b + c £ = £ a + bc 2a bc 2abc 4abc a+c b+a Tương tự ta có: Cộng các vế các BĐT £ ; £ b + ac 4abc c + ab 4abc này lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài 35: Cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x + y + z £ Tìm GTNN a + bc ³ 2a bc > Þ biểu thức: P= 1 + + + xy + zy + zx Bài 36: Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh: ab cb ac S= + + £ 2-c 2-a 2-b Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1/ a + 1/ b + 1/ c = Tìm GTLN biểu thức: S= ab cb ac + + a + b3 c + b3 a + c Bài 38: Cho ba số dương x,y,z có tích Tìm GTNN biểu thức: S = log 22 x + + log 22 y + + log 22 z + Giải: Ta có: (log x + 1)2 (log x + 1) (log x + 1)2 S³ + + = ( log x + + log y + + lo 2 2 ³ + log xyz = = Vậy MinS = x = y = z = 2 www.mathvn.com 11 Lop12.net (12) www.MATHVN.com Bài 39: Cho số thực x,y,z có tổng Tìm GTNN biểu thức: S = x + y + z - xyz Theo Giải: BĐT (II) ta có: 1 é1 ù x + y + z ³ ( x + y + z )2 ³ ê ( x + y + z )2 ú = Áp dụng 3 ë3 27 û BĐT (I) ta được: x +y +z 3æ 1ö 1/ 27 xyz + ç x4 + y + z + ÷ - xyz ³ + 4 4è ø 4.27 4 - xyz = xyz - xyz ³ Vậy MinS = x = y = z = 1/ 4.27 Bài 40: Cho số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN biểuthức: x2 y2 z2 S= + + x + yz y + yx z + yx Bài 41: Cho số dương x,y,z bất kì Chứng 2x 2y 2z 1 minh: S = + + £ + + y + z z + x6 x + y x4 y z S= 4 III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị phương pháp đổi biến: Bài 42: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: ab + bc + ca = abc Chứng minh BĐT: b + 2a c + 2b a + 2c S= + + ³ ab cb ac Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: x + y + z = và BĐT trở thành: S = x + y + y + z + z + x ³ Theo BĐT (II) ta có: S ³ ( x + y ) / + ( y + z ) / + ( z + x)2 / = 3( x + y + z ) / = (đpcm) Dấu xảy x = y = z = 1/ hay a = b = c = www.mathvn.com 12 Lop12.net (13) www.MATHVN.com Bài 43: Cho số thực dương x,y,z có tích Chứng minh BĐT: 1 S= + + ³ x ( y + z ) y ( x + z ) z ( y + x) Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: abc = và BĐT trở thành: a2 b2 c2 S= + + ³ Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có b+c a+c b+a ( a + b + c) a + b + c ngay: S ³ = ³ 2( a + b + c) 2 Dấu xảy a = b = c = hay x = y = z = Bài 44: Cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1/ x + 1/ y + 1/ z = Chứng minh BĐT: x + yz + y + xz + z + yx ³ xyz + x + y + z Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: a + b + c = và BĐT trở thành: a + bc + b + ac + c + ab ³ + ab + bc + ca Ta có: a + bc = a (a + b + c) + bc ³ a + 2a bc + bc = (a + bc )2 = a + bc Tương tự ta có: b + ac ³ b + ac ; c + ab ³ c + ab Cộng các BĐT này lại ta BĐT ccm Dấu xảy a = b = c = 1/ hay x = y = z = Bài 45: Cho hai số thực x,y khác và thỏa mãn điều kiện: x + y = x y + y x Tìm GTNN và GTLN biểu thức: S = / x + 1/ y Giải: Đặt u = 1/ x & v = 1/ y thì điều kiện trở thành: u + v = u + 2v Û (u - 1/ 2) + (v - 1) = 5/ Theo BĐT (II) ta có: ( S - 2) = [ 2(u - 1/ 2) + v - 1] £ (22 + 12 ) éë (u - 1/ 2) + (v - 1) ùû £ 25 / Þ -5 / £ S Þ -0,5 £ S £ 4,5 Vậy MinS = - 0,5 x = - 2; y = MaxS = 4,5 x = y = 2/3 Bài 46: Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: y £ & x + x = y + 12 Tìm GTNN và GTLN biểu thức: A = xy + x + y + 17 Giải: Từ điều kiện ta suy ra: y = x + x - 12 £ Þ -4 £ x £ ; www.mathvn.com 13 Lop12.net (14) www.MATHVN.com đồng thời A = f ( x) = x + x - x - Từ BBT hàm số ta suy ra: x f’(x) -4 + MaxA = Maxf ( x) = f (-3) = f (3) = 20 [ -4;3] -3 20 - + 20 f(x) 13 -12 MinA = Minf ( x) = f (1) = -12 [ -4;3] Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x + y = Tìm GTNN biểu thức: S = ( x + 1)(1 + 1/ y ) + ( y + 1)(1 + 1/ x) Bài 48: Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x + y = Tìm GTNN và GTLN x + xy - biểu thức: T = xy - y + 3 x + xy - y 2 Giải: Từ điều kiện ta suy ra: T = Nếu y = Þ x = Þ T = x + xy + y Nếu y ¹ đặt 3t + 2t - t = x/ y ÞT = Û (3T - 3)t + 2(T - 1)t + T + = 0(*) (*) không có 3t + 2t + nghiệm T=1 Với T ¹ 1,(*) có D ' = (T - 1)(-2T - 4) ³ -2 £ T < Kết hợp với trên ta có: MinT=-2 x = ± 10 /10; y = m3 10 /10 MaxT=1 x = ±1 và y = Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x + y = / Tìm GTNN biểu thức: S = / x + 1/ y Bài 50: Cho hai số không âm x,y có tổng Tìm GTNN và GTLN biểu thức: S = + x 2008 + + y 2008 www.mathvn.com 14 Lop12.net (15) www.MATHVN.com Giải: Ta có: S = f ( x) = + x 2008 + + (1 - x) 2008 f '( x) = 1004 x 2007 + x 2008 - 1004(1 - x) 2007 + (1 - x) 2008 f '( x) = Û x 2007 + (1 - x) 2008 = (1 - x) 2007 + x 2008 Û x 4014 éë1 + (1 - x) 2008 ùû = (1 - x) 4014 (1 + x 2008 ) Û éë x 4014 - (1 - x) 4014 ùû + x 2008 (1 - x) 2008 éë x 2006 - (1 - x) 2006 ùû = Û (2 x - 1) P1 ( x) + x 2008 (1 - x) 2008 (2 x - 1) P2 ( x) = Û x - = Û x = 1/ ( Vì x và - x không đồng thời nên P1 ( x) > 0; P2 ( x) > ) Do f (0) = f (1) = + 2; f (1/ 2) = + 1/ 22008 Þ MaxS = + 2; MinS = + 1/ 22008 www.mathvn.com 15 Lop12.net (16)