ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGHIỆM CỦA HPT TỔNG QUÁT Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình và n ẩn... Trong trường hợp ii) hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n- r(A) tham số..[r]
(1)HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng tổng quát
aij gọi hệ số bj: hệ số tự
11 12 1
21 22 2
1 2
n n n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận
11 12 1
21 22 2
1
n n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
A X B
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận
Ma trận A gọi ma trận hệ số X: ma trận cột ẩn số
B: ma trận hệ số tự hay cột tự Nghiệm phương trình số:
Sao cho thay vào phương trình thỏa mãn
A X B
x x1, , ,2 xn c c1, , ,2 cn
MỘT SỐ KHÁI NIỆM
Nếu số phương trình số ẩn detA≠0 Hệ Crammer
Nếu hệ số tự triệt tiêu Hệ
Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương chúng có tập nghiệm
Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng
11 12 1
21 22 2
1
n n
m m mn m
a a a b
a a a b
A A B
a a a b
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM
Ví dụ Các hệ phương trình sau có nghiệm hay khơng?
2 3
1 3
1 3
1 3
2
) )
2 2 11
2
2
)
x x x x x x
a x x b x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x
c x x x
(2)VÍ DỤ 2 PP GIẢI HỆ CRAMER
Phương pháp ma trận nghịch đảo
Phương pháp định thức
1
. .
AX B X A B
Định lý Hệ Cramer với ma trận hệ số A có nghiệm nghiệm xác định bởi: xi=Di/D Trong D=detA Di định thức ma trận thu từ A cách thay cột thứ i cột hệ số tự
det det i i
i
A D
x
A D
PP ĐỊNH THỨC
11 12 1 12
21 22 2 22
1
1
2
2
1
;
n n
n n
n n nn n n n nn
b b b
a a a b a a
a a a b a a
A B A
a a a b a a
1
12
22
1
2
det
n n
n n nn
b b b
a a
a a
D A
a a
PP ĐỊNH THỨC
Vì detA khác nên tồn ma trận nghịch đảo A-1 Do đó: Ta có:
1
. .
AX B X A B
VÍ DỤ 3
Giải hệ phương trình sau: Giải
Cách 1.Ta có:
Vậy hệ có nghiệm
Nghiệm hệ (1,1,-2)
VÍ DỤ 3
Cách Ta có: Ta tính được:
Vậy nghiệm hệ là:
3 18
1
12 18 12 18
18 18
12 6 36
X A B
(3)VÍ DỤ 4
Tìm điều kiện để hệ sau hệ Cramer Tìm nghiệm hệ trường hợp
VÍ DỤ 4
ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGHIỆM CỦA HPT TỔNG QUÁT Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình n ẩn
Trong trường hợp ii) hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n-r(A) tham số
i) Hệ pt có nghiệm ii) Hệ pt có vô số nghiệm iii) Hệ pt vô nghiệm iv) Hệ pt có nghiệm
r A r A n
r A r A n
r A r A
r A r A
PP KHỬ GAUSS - JORDAN
- Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang
- Ở dạng ta dễ dàng nhận biết hệ có nghiệm hay khơng việc giải tìm nghiệm đơn giản Các phép biến đổi sơ cấp hàng?
-PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN
bdsc hang
r r
A A B A A B
(4)VÍ DỤ 6
Giải biện luận hệ phương trình: Giải
Ma trận hệ số bổ sung:
VÍ DỤ 6
Biện luận
BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER
Đặt:
Nếu hệ có nghiệm nhất: Nếu tồn hệ vơ nghiệm Nếu hệ vơ nghiệm vơ số nghiệm
Ta giải tiếp
1
1
det ; det ; ; det
)
) 0
)
n n
i i
i n
D A D A D A
i D
D x
D
ii D D
ii D D D
phương pháp Gauss
Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A ma trận vng
VÍ DỤ 6
Ta có:
Sinh viên tự làm tiếp
1
2 3
1 1 1
det 1 detA 1
1 1
1 1
detA 1 det 1
1 1 1
m
D A m D m
m m
m m
D D A m
m
VÍ DỤ 7
Giải biện luận hệ phương trình sau
1 3
2
1 4
) ) 8
2 4
mx x x ax y z
a x mx x m b x by z
x by z
x x mx m
HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT
Hệ có dạng:
Hoặc dạng ma trận: Ma trận mở rộng:
Để thuận tiện ta xét biến đổi ma trận A
11 12
21 22 2
1 2
0
0
n n n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
A X
| 0
(5)TÍNH CHẤT
1 Hệ phương trình ln ln có nghiệm (0,0,…,0) nghiệm hệ, gọi nghiệm tầm
thường
3 Mọi tổ hợp tuyến tính nghiệm hệ nghiệm Do đó, hệ có nghiệm tầm thường có vơ số nghiệm
Hỏi Khi hệ có nghiệm tầm thường? Vơ số nghiệm?
VÍ DỤ 8
Giải hệ phương trình
Giải
Xét ma trận hệ số phương trình
VÍ DỤ 8
Hệ cho tương đương với hệ:
Tập nghiệm hệ là:
BÀI 1
Cho hai ma trận:
Tìm ma trận nghịch đảo A Tìm X biết: X.A=3B
1 3 2 1
A B
BÀI 2
Giải phương trình sau
1
1 3
1
0
2 3 2 5
) ) 5 4
7 7 3 10
x x x x x x x x x x x a x x x b x x x
x x x m x x x x
BÀI 3
Giải hệ phương trình sau
1 4 4
2
) ) 21
4 7
2
4 ) 12
3 11
x y z x y z a x y z b x y z
x y z x y z x x x x
x x x x c x x x x
x x x x
(6)BÀI 4
Tìm m để ma trận sau khả nghịch
1 1
1 1
1 1 1
m
A m
m m
BÀI 5
Cho hệ phương trình tuyến tính
A) Tìm a, b để hệ có nghiệm B) Tìm a, b để hệ có nghiệm với m
1 ( 1) ( 1) x y mz
x my z a
x m y m z b
BÀI 6
Giải biện luận theo m
1
1
2
1
) 2 3
) ( 1) ( 1) 1
x x mx m
a mx x m x
x x x m m
mx y z m
b x m y m z m
x y mz