ánh xạ tuyến tính

Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng tương ứng với giá trị riêng đó.. Định lý.[r]

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 5

KHÁI NIỆM

Một ánh xạ

được gọi tuyến tính thỏa mãn:

:

n m

f R



R

(

)

( )

( ),

,

(

)

( ),

,

n n

f x

y

f x

f y

x y

R

f



x



f x

x

R



R













 

 

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1

Kiểm tra điều kiện

Đối với điều kiện thứ ta kiểm tra tương tự Kết luận: f ánh xạ tuyến tính

VÍ DỤ 2

Các ánh xạ sau có phải ánh xạ tuyến tính hay khơng?

2

2

) : , ( , ) ( ;6 ) ) : , ( , ) ( ;6 5)

a f R R f x y x y x y

b f R R f x y x y x y

    

     

MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Cho ánh xạ tuyến tính: Giả sử:

(𝛼)={𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛}là sở của𝑅𝑛

(𝛽)={𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑚}là sở của𝑅𝑚

Ma trận cấpmxnvới cột thứ i tọa độ vec tơ f(𝛼𝑖)

trong sở(𝛽)của không gian vec tơ𝑅𝑚được gọi ma

trận ánh xạ f cặp sở 𝛼 𝛽

:

n m

f R



R

 

 

 





, n

XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F

Bước Tìm ảnh vec tơ sở 𝛼 Bước Biểu diễn qua sở 𝛽 để tìm tọa độ

Bước Kết hợp lại, viết ma trận ánh xạ tuyến tính với cột tọa độ

Chú ý Với vec tơ x trong𝑅𝑛ta có:

 

,

 

f x





A

 

x











VÍ DỤ 3

Cho ánh xạ tuyến tính Và sở:

Tìm ma trận ánh xạ f cặp sở 𝐸 𝐹

3

1 3

: , ( , , ) ( , )

f R R f x x x  x  x  x x x









(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0) (1,1);(1, 2) E F  

GIẢI

Ma trận cần tìm:

VÍ DỤ 4

Cho ánh xạ tuyến tính Và sở:

Tìm ma trận ánh xạ f cặp sở 𝛼 𝛽

3

1 3 2

: , ( , , ) ( , , )

f R R f x x x  x x x x  x x









1

1

( ) (1,1,1); ( 1,1, 2); (1, 2,3) ( ) (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)

   

   

    

   

VÍ DỤ 5

Cho ánh xạ tuyến tính

Tìm ma trận ánh xạ f cặp sở𝑐ℎí𝑛ℎ 𝑡ắ𝑐

1 11 12 21 22 2

1 2

( , , , ) ( , ,

, , )

n nn nn

m m mn n

f x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x

      

  

: n m,

f R R

VÍ DỤ 6

Cho ánh xạ tuyến tính:

Biết ma trận f cặp sở: Là:

A) Tìm f(3,1,5)

B) Tìm f(x) với x=(x1,x2,x3)

3

:

f R R



 

 





1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0





   

1,1 , 2,1



E F

,

2 3

E F

A    

VÍ DỤ 6

VÍ DỤ 6

Câu b) Đầu tiên ta biểu diễn vectơ x qua sở (E)

VÍ DỤ 6

VÍ DỤ 7

Cho ánh xạ tuyến tính: A) Tìm f(2,1,5)

B) Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở: C) Tính f(2,1,5) theo cơng thức so sánh với a)

3

:

f R R

 



1, 2, 3

 

3, 21 3,31 3



f x f x x x  x x x x x x x x x



 

 





1,1,1 , 1, 2,1 , 1,1, 2



E

GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG

Cho A ma trận vuông cấp n

Số𝜆 ∈ 𝑅gọi giá trị riêng ma trận A tồn vec tơ x khác cho:

Khi vec tơ x gọi vec tơ riêng ma trận A ứng với trị riêng𝜆

11 12

21 22

1

n

n

n n nn

a a a

a a a

A

a a a

 

 

 



 

 

 

.

.

A x





x

VÍ DỤ 9

GIÁ TRỊ RIÊNG – VEC TƠ RIÊNG

ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG

Đa thức đặc trưng ma trận A đa thức bậc n

𝜆, xác định sau:

Phương trình đặc trưng ma trận A:

11 12

21 22

1

( )

n n A

n n nn

a a a

a a a

P

a a a

  

 

 



( )

0

A

P





TÌM TRỊ RIÊNG, VEC TƠ RIÊNG

KHÔNG GIAN CON RIÊNG

Định nghĩa Các nghiệm hệ phương trình:

𝐴 − 𝜆𝐼𝑛𝑋 =

tạo thành không gian vec tơ gọi không gian riêng ứng với giá trị riêng𝜆

Chú ý Cách tìm khơng gian riêng đưa tốn tìm khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Việc tìm sở số chiều không gian tương tự

BỘI ĐẠI SỐ - BỘI HÌNH HỌC CỦA TRỊ RIÊNG

Định nghĩa Bội đại số giá trị riêng𝜆là bội trị riêng phương trình đặc trưng

Định nghĩa Bội hình học trị riêng số chiều không gian riêng tương ứng với giá trị riêng

VÍ DỤ 10

Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng ma trận

3

1

1

2

4

2

1

1

3

A









 











VÍ DỤ 10

VÍ DỤ 11

Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng ma trận

2

1

0

0

1

1

0

2

4

A

























ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỦA CÁC VECTƠ RIÊNG

Định lý Các vec tơ riêng ứng với giá trị riêng khác độc lập tuyến tính

CHÉO HĨA MỘT MA TRẬN VUÔNG

Khái niệm.Cho A ma trận vng cấp n Ma trận A gọi chéo hóa tồn ma trận vuông không suy biến T cấp n cho𝑇−1𝐴𝑇 = 𝐷là ma trận chéo.

Chéo hóa ma trận A nghĩa tìm ma trận T D cho:

1

T AT





D

CHÉO HÓA MA TRẬN

- Tìm véc tơ riêng độc lập tuyến tính A - Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ nma trận A khơng chéo hóa

- Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính A chéo hóa Ma trận T cần tìm ma trận mà cột T véc tơ riêng độc lập tuyến tính

VÍ DỤ 12

Ma trận sau chéo hóa được?

5

4

6

3 1

1

4

5

6

7

5

1

4

4

5

6

6

2

A

B



























 

































VÍ DỤ 13

Hãy chéo hóa ma trận sau

1 3

3

3

A

 

 

    

 

 

VÍ DỤ 13

VÍ DỤ 13

VÍ DỤ 14

Hãy chéo hóa ma trận sau

2

4

3

A

 

 

    

 

 

VÍ DỤ 15

A) Hãy chéo hóa ma trận A được:

B) Tính A100 Giải.

5 0 0 0 3

A

 

 

 



  

   

VÍ DỤ 15

VÍ DỤ 15

B) Ta có:

Sinh viên tự tính kết sau

VÍ DỤ 16

DẠNG TỒN PHƯƠNG

Định nghĩa Dạng tồn phương khơng gian Rnlà hàm số thực:

Được xác định bởi:

Với A ma trận đối xứng (thực) gọi ma trận dạng toàn phương (trong sở tắc)

1

,

T n n

x

x

f x

x Ax

x

x

:

n

f

VÍ DỤ 17

Cho:

Ta có dạng tồn phương R2

Nhận xét phần tử A hệ số dạng toàn phương 2 3 x x A x 1

1 21 2

2

2 2

2 2

1 2 1 2

2

2 3 4

2 3 T

T

x x

x Ax x x x x x x

x x

x Ax x x x x x x x x x x

DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG R

3

Thường ghi dạng sau:

Ma tận dạng toàn phương:

Dễ thấy:

2 2

1,2,3 2 2 3

f x f x x x Ax Bx Cx Dx x Ex x Fx x

A D F

M D B E

F E C

1

1

3

T

x

A D F

f x x x x D B E x x Mx

VÍ DỤ 18

Cho dạng tồn phương R3

Tìm ma trận A q(x)

Đáp án

2 2

1 2 3

( )

2

3

4

6

.

q x



x



x



x



x x



x x



x x

1

2

2

3

3

A

  

 

 

 

  

  

 

 

 

DẠNG CHÍNH TẮC

DẠNG CHÍNH TẮC

Trong dạng tắc, số hạng có dạng bình phương

Ma trận A dạng toàn phương ban đầu ma trận xét sở tắc

Ma trận D ma trận dạng toàn phương xét sở khác (cơ sở trực giao)

ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Phép biến đổi Lagrange

-Sử dụng phép biến đổi không suy biến đưa dạng tồn phương dạng tắc

-Dễ thực dùng phép biến đổi sơ cấp, khơng cần tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận

-Cơ sở trực chuẩn nên khó khăn

Chú ý Phép biến đổi x=Py gọi không suy biến ma trận P không suy biến.

PP LAGRANGE

Bước Chọn số hạng bình phương có hệ số khác 0, chẳng hạn𝑥𝑘2

Bước Lập hai nhóm: nhóm gồm tất số hạng có chứa𝑥𝑘, nhóm cịn lại khơng chứa số hạng Bước Đưa nhóm dạng tổng bình phương theo𝑥𝑘 Khi ta có tổng bình phương số

hạng cịn lại khơng chứa𝑥𝑘

Bước Lặp lại bước 1,2,3 hết

Chú ý Nếu ban đầu khơng có𝑥𝑘2có hệ số khác ta

chọn số hạng tích𝑥𝑖𝑥𝑗có hệ số khác đổi biến:

𝑥𝑘2

i i j j i j

xyy x  y y

VÍ DỤ 19

Bước Chọn số hạng3𝑥12

VÍ DỤ 19

Bước Lập thành dạng tổng bình phương nhóm

Ta có:

Bước Lặp lại cho dạng tồn phương sau:

VÍ DỤ 19

Một cách tương tự: + Chọn số hạng: + Tạo nhóm:

+ Lập dạng tổng bình phương:

2

14 3x

VÍ DỤ 19

Ta có dạng:

Phép biến đổi cần tìm:

Dạng tắc cần tìm:

VÍ DỤ 20

Dạng tồn phương khơng có số hạng bình phương Ta đổi biến trước (chọn 4x1x2):

VÍ DỤ 20

Ta có:

PHƯƠNG PHÁP GAUSS

DẤU CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG

Định nghĩa Dạng tồn phương𝑓 𝑥 = 𝑥𝑇𝐴𝑥được gọi là:

i) Xác định dương nếu:

ii) Xác định âm nếu:

iii) Nửa xác định dương nếu:

iv) Nửa xác định âm nếu:

v) Không xác định dấu nếu:

 

0, f x   x

 

0, f x   x

 

0, 1:

 

1

f x  x x f x 

 

0, 1:

 

1

f x  x x f x 

 

 

1, 2: 0,

x x f x f x

  

DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

LUẬT QUÁN TÍNH

ĐỊNH THỨC CON CHÍNH

Ký hiệu định thức chính: