Sáng kiến kinh nghiệm môn toán

- Qua thực tế giảng dạy đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tìm điểm và đường cố định” được học sinh tiếp thu khá tốt, các em đã vận dụng ngày càng linh hoạt, sáng tạo để gi[r]

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ: 1.Lí chọn đề tài:

Bài tốn tìm điểm cố định ,đường cố địnhlà tốn khó khơng trình bày sách giáo khoa toán thường có đề thi học sinh giỏi Vì vậy, gặp toán học sinh giỏi thường có cảm giác e ngại khơng giải chúng, em không để dự doán điểm cố định ,đường cố định Khi dạy học sinh dạng tốn tơi nhận khó khăn em, để giúp học sinh giỏi làm quen biết cách giải tốn tìm điểm cố định nghiên cứu viết đề tài

2 Đối tượng ,phạm vi nghiên cứu :chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm tập hợp điểm học sinh giỏi mơn tốn lớp

3 Mục tiêu , nhiệm vụ nghiên cứu :mục tiêu nhiệm vụ người dạy toán dạy cho học sinh tiếp cận kiến thức toán từ trực quan sinh động đến tư trìu tượng Vì mục tiêu tơi nghiên cứu đề tài giúp học sinh giỏi có thêm kinh nghiệm giải tốn tìm điểm đường cố định góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi mơn tốn đặc biệt giúp học sinh phát triển khả tư trìu tượng ,rèn luyện cho học sinh tính tự giác tích cực học tốn làm cho học sinh giỏi thực hứng thú với môn hình học bậc trung học sở

4 Giả thiết khoa học : Nếu đề tài ứng dụng rộng rãi giúp cho giáo viên học sinh nhìn nhận lớp tốn tìm điểm ,đường cố định cách nhìn mẻ đặc biệt học sinh giáo viên tiếp cận với dạng toán cách dễ dàng

5 Phương pháp nghiên cứu :

b Điều tra : thăm dò khảo sát đối tượng học sinh giỏi toán lớp đúc rút kinh nghiệm trình nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi ,

c Đàm thoại: trao đổi với đồng nghiệp buổi chuyên đề cấp trường cấp cụm cách giải tốn tìm điểm cố định ,trao đổi với học sinh giỏi lớp để rút cách giải tốt cho loại toán

6 Điểm kết nghiên cứu : học sinh thích tìm tịi khám phá dạng tốn em khơng có chương trình sách giáo khoa tài liệu hành

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.CƠ SỞ KHOA HỌC

1.1Cơ sở lí luận:

Một số tốn tìm điểm cố định có nhiều cách dự đoán điểm cố định khác , nhiên đứng trước tập học sinh thường lúng túng chọn cách dự đoán ,các em hay thiếu kinh nghiệm việc chọn phương pháp phù hợp để làm xuất điểm cố định cách dễ chứng minh hiệu nhất, học sinh vận dụng cách máy móc cách tìmđiểm cố định mà khơng biết phân tích giả thiết để biết yếu tố cố định cho yếu tố cố định phải tìm Nhiều giáo viên đưa vài tập đơn lẻ mà khơng có hệ thống nên học sinh khơng có kinh nghiệm giải loại tốn

1.2.Cơ sở thực tiễn :

1.2.1 Thực trạng việc dạy giáo viên

Ở trường THCS giáo viên thường bỏ qua dạng tốn họ nghĩ có dạy học sinh khơng thể tiếp cận họ ngại nghiên cứu dạng tốn làm cho họ nhiều thời gian Vì nên em học sinh chọn vào đội sơ tuyển lớp chưa biết điểm cố định ,đường cố định

Học sinh đọc dạng tốn tài liệu thấy khó hiểu nên khơng quan tâm đến nữa, gặp dạng tốn đề thi em có cảm giác sợ khơng làm em coi điều hiển nhiên không muốn tiếp cận với chúng Khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thấy em lúng túng gặp dạng toán kể đơn giản

Chất lượng thực tế qua khảo sát năm 2012-2013 đối tượng 15 em học sinh giỏi lớp 9A, 9B,9C kết thu sau:

1.2.3 Sự cần thiết đề tài:

Qua phân tích thực trạng việc dạy giáo viên việc học học sinh, nhận thấy đề tài cần thiết giáo viên trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Đề tài giới thiệu kinh nghiệm, phương pháp phù hợp nhằm nâng cao hiệu giảng dạy toán tìm điểm cố định đường cố định cho học sinh khối giúp em đạt kết cao kì thi học sinh giỏi ,tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên không chuyên

2 GIẢI PHÁP TIẾN HÀNH

2.1.Cung cấp kiến thức lí thuyết 2.1.1 Một số khái niệm liên quan

Giao điểm hai đường cố định điểm cố định

Đường tròn cố định đường trịn có tâm cố định bán kính khơng đổi (hoặc đường trịn qua ba điểm cố định khơng thẳng hàng,hoặc đường trịn có 1đường kính cố định)

Đoạn thẳng cố định: Có hai đầu mút hai điểm cố định

Tia cố định: Gốc điểm cố định tạo với đường thẳng cố định góc khơng đổi

2.1.2Một số cách tìm đường cố định, điểm cố định. Một số cáh tìm điểm cố định

 Cách 1: Tìm giao điểm đường đường thay đổi với

đường cố định chứng minh điểm cố định

 Cách 2: Xét hai vị trí đặc biệt đường thay đổi, tìm giao chúng chứng

minh điểm cố định

 Cách 3: Xét vị trí đặc biệt yếu tố chuyển động để dự đốn điểm cố định Một số cách tìm đường cố định:

. Tìm điểm cố định đường đường cố định phải tìm đường thẳng

Tìm đường trung trực đoạn thẳng cố định đường cố định phải tìm đường thẳng

Tìm tia cố định

Nếu đường cố định cần tìm đường trịn ta phải tìm đươc điểm cố định khơng thẳng hàng hoạc tìm tâm cố định chứng minh bán kính khơng đổi …

 Chú ý: Trong q trình giải loại tốn ta thường chuyển đường tròn ngoại tiếp

tam giác thành đường tròn ngoại tiếp tứ giác

2.2 Hướng dẫn hệ thống tập

Bài tập 1: Cho nửa đường trịn (O) có đường kính AB = 2R Gọi I trung điểm AO Vẽ tia IxAB I Tia Ix cắt (O) M Tiếp tuyến M cắt Ix N BM cắt Ix D

b Khi IC = CH tính CD theo R

c Chứng minh rằng: Khi C chuyển động đoạn thẳng IH tâm O`của đường trịn ngoại tiếp tam giác CAD ln chạy đường thẳng cố định.(Trích đề thi KSGV giáo viên tỉnh Hà Tĩnh)

Giải:

a. Ta có: NMC MBA (cùng ½ sđAM )

mà MBA ACI  (Cùng phụ với CAI )

và CAI MNC (hai góc đối đỉnh)

nên MNCNMC => ∆NCM cân N.

b. Ta có: CIB CMB  900=> tứ giác CIBM nội tiếp.

Xét vị trí điểm A tứ giác nội tiếp CIBM ta có:

AI.AB = CA.AM =

2

.2

R

R R

Tứ giác ADMI có AMD DIA 900

 Tứ giác ADMI nội tiếp => IC.CD = AC.CM

2

2 . 2 3

2 4

R R R R R

HI AI IB  R   HI   CI 

 

2 2

3 .4 4

16 4 7 4

3

:

4 4

R R R R R R R R

AC AM CM AM AC

R

AC CM R R R R

c. Nhận xét: đường thẳngcố định phải tìm đường trung trực dây cố định của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC, tam giác ADC có điểm A cố định nên ta cần tìm thêm điểm cố định cách tìm giao đường trịn ngoại tiếp tam giác ADC với đường cố địnhAB Từ ta có lời giải sau:

Giải: Gọi giao AB đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC K Do tứ giác ACDK nội tiếp, suy ra: DKA DCA  1800.

Mà DCA ACI 1800 nên DKA ACI  .

Mà MBA ACI  (Cùng phụ với góc CAI) nên DBA DKA

 ∆DKB cân D => KI = IB => K đối xứng với I qua B K thuộc AB cố đinh  K cố đinh => đường trung trực KA cố định

 O’ thuộc đường trung trực KA cố định Bài toán 2:

Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Gọi O tâm đường tròn qua hai điểm B C Kẻ tiếp tuyến AE, AF đến (O) Gọi I, N trung điểm BC EF

a Chứng minh điểm A, E, F, I, O thuộc đường tròn

b (O) thay đổi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ONI chạy đường cố đinh ( Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Hà tĩnh vòng 1)

Giải:

a AEOAF O900=> tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn

b đường kính AO (1)

Do I trung điểm dây BC nên OIBC

 Tứ giác AEOI nội tiếp đường trịn đường kính AO (2)

Từ (1) (2) suy điểm A, E, F, I, O thuộc

đường trịn đường kính AO K

N

I

A B C

O

c Gọi K giao điểm EF AC

Do ONK OIK  900 nên tứ giác ONKI nội tiếp.

Xét vị trí điểm K với đường trịn đường kính AO ta có: KF.KE = KI.KA (3) Xét vị trí điểm K với đường trịn (O) ta có: KB.KC = KF.KE (4) Từ (3) (4) suy ra:

KI.KA = KB.KC = (IB - IK)(IK + IC) = (IB - IK)(IK + IB) = IB2 – IK2.



KI.KA = IB

2 – IK2 => IK(KA + IK) = IB2 => KI.KA = IB2 =>

2 IB KI

IA



Do A, B, C cố định nên I cố định =>

2 IB

IA không đổi => K cố định

 Đường trung trực IK cố định Vậy tâm đường ngoại tiếp ∆NOI

nằm đường trung trực cuả IK cố định

Lời bình :vẫn với cách giải tốn điểm cố định tìm thêm đây là giao AC với EF ta chuyển từ đường tròn ngoại tiếp tam giác sang đường trịn ngoại tiếp tứ giác (sử dụng góc N góc I 90 độ) Bài tốn 3: Cho (O) có hai dây AB CD cố định không cắt Điểm P di động cung AB (cung AB không chứa điểm C D; P ≠A, B) Gọi giao điểm PC PD với AB M N Gọi (O1) đường qua ba điểm P, M, D

a Chứng minh (O1) qua điểm số định khác D

b Chứng minh đại lượng

AM NB

MN khơng đổi.

(Trích đề thi HSG Tỉnh Hà Tỉnh, năm 2004) Nhận xét: điểm cố định tìm cách tìm giao đường họ đường thay đổi với đường cố định chứng minh điểm tìm cách điểm cố định khác khoảng khơng đổi.Từ ta có lời giải sau

a Gọi K giao điểm AB (O1) Ta có tứ giác MPKD nội tiếp (O1)

 MPD MKD  (cùng chắn cung MD (O1)

Mà

   

2

MPD sdCD  MKD sdCD

Do C, D cố định nên 

2sdCD không đổi.

Kẻ DIAB => I cố định IK=ID.tanMKD =const nên K cố định

b Xét vị trí điểm N so với (O1) ta có: NP.ND = NM.NK (1)

Xét vị trí điểm N so với (O) ta có: NP.ND = NA.NB (2)

Từ (1) (2) suy NM.NK = NA.NB

 MN.NK = (MA + MN).NB = MA.NB + MN.NB

 AM.NB = MN.NK – MN.NB = MN(NK – NB) = MN.BK



AM NB BK

MN



Do B K cố định nên BK không đổi Vậy

AM NB

MN không đổi.

Bài toán 4: Cho (O, R) (O’; R’) cắt A B từ điểm C tia đối tia AB vẽ tiếp tuyến CD CE với (O), (E nằm (O’)) Hai đường thẳng AD, AE cắt (O’) M N; DE cắt MN I Chứng minh rằng:

a MI.BE = BI.AE

b Khi C thay đổi DE qua điểm cố định

(Trích đề thi HSG Tỉnh Hà Tỉnh, năm 2008)

P

I N

K

O1 M

O

D

C A

Nhận xét : toán đường cố định cho (O), (O`) suy đường thẳng OO` cố định nênđiểm cố định mà DE qua nằm OO` từ định hướng ta có lời giải sau

Giải:

a Tứ giác ABNM nội tiếp (O’) nên:

   

 

0

180 ; 180

BNM BAM DAB BAM

BNM DAB

   

 

Tứ giác DAEB nội tiếp (O) nên DEB DAB  (cùng chắn cung DB (O))

Do đó: BNM DEB BNM BEI  DEB BEI  1800

 Tứ giác BEIN nội tiếp BIN BEN BIM BEA

Xét ∆AEB ∆MIB có: BIM BEA (chứng minh trên)

BAE BMI (cùng chắn cung BN (O’))

Do đó: ∆AEB ∆MIB (g.g)

BE AE

MI BE BI AE

BI MI

   

b Gọi giao điểm OC DE Q; giao điểm DI OO’ K; giao điểm AB OO’ H, ta có:

OCDE; ODC 900  OD2 OQ OC R2 (1)

Xét ∆OQK ∆OHC có: OQK OHC  900; O chung

Do ∆OQK ∆OHC (g.g)

OQ OK

OQ OC OH OK

OH OC

   

(2)

Từ (1) (2) ta có:

2

R

OH OK R OK

OH

  

Do R không đổi, O H cố định nên

2 R

OH không đổi

 OK khơng đổi => K cố định O cố định

Vậy DE qua K cố định

Bài tốn 5: Cho đường trịn (O) đường thẳng d khơng có điểm chung với (O) Từ điểm M d vẽ tiếp tuyến MA, MB tới (O) Chứng minh rằng: đường thẳng AB qua điểm cố định

Nhận xét :trong tồn để dự đốn điểm cố định ta vẽ hình với vị trí khác nhau M tìm giao điểm hai đường thẳng họ đường AB thay đổi điểm cố định giao điểm này.Cịn để chứng minh điểm cố định cần tìm mối quan hệ với yếu tố cố định cho đề bài, từ ta có lời giải sau

Giải: Kẻ OHd Gọi giao điểm AB OH K; giao điểm AB OM N Do

O D cố định nên OH không đổi (*)

Xét ∆ONK S ∆ OHM có: ONK OHM  900



O chung

Do ∆ONK ∆OHM (g.g)

ON OK

ON OM OK OH

OH OM

   

(1)

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: ON.OM = OA2 = R2 không đổi (2)

Từ (1) (2) suy ra:

2

R

OK OH R OK

OH

  

(**) Từ (*) (**) suy ra: OK không đổi

 K cố định (vì O cố định) Vậy AB qua điểm K cố định

Bài tốn : cho góc xOy cố định A,B chuyển động Ox,Oy choOA+OB=k không đổi.CMR

a Đường trung trực AB qua điểm cố định

N K

d H

M O

A

b.Đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB qua điểm cố định

Nhận xét : toán để tìm điểm cố định ta xét vị trí đặc biệt điểm chuyển động để từ dự đoán điểm cố định : điểm B trùng với O điểm A trùng với điểm K Ox cho OK=k (không đổi ) nên K cố định ,tương tự khi A trùng O B trùng với H Oy cho OH= k nên H cố định điểm cố định phải tìm giao hai đường trung trực OK OH Từ ta có lời giải sau :

Giải :

Trên tia Ox lấy K cho OK= k nên K cố định Trên tia Oy lấy H cho OH= k nên H cố định Gọi M giao điểm đường trung trực OH OK M cố định kẻ MI vng góc xét tam giác MON Và

Bài toán 7 :Cho đoạn thẳng AB cố định M thay đổi M không thuộc đường thẳng AB thỏa mãn MA/MB =2/3 Chứng minh M ln thuộc đường trịn cố định

2.3 Một số tập vận dụng :

Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) I điểm cung BC khơng chứa A Vẽ đường tròn tâm O1 qua I tiếp xúc với AB B Vẽ đường tròn tâm O2 qua I tiếp xúc với AC C lấy D thuộc AB, lấy E thuộc tia đối tia CA cho BD= CE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định

Bài : Cho (O) và(O`) cắt A B Trên tia đối tia AB lấy M khác A Vẽ tiếp tuyến MD,MC với (O`) ( C nằm (O) ) đường thẳng AC cắt (O) P AD cắt (O) Q ,CD cắt BQ K CMR đường trịn ngoại tiếp tam giác PKC ln qua điểm cố định M thay đổi

OA- OB = a không đổi gọi d đường thẳng qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với AB CMR đường thẳng d qua điểm cố định

2.4 Kế khảo sát sau thực đề tài học sinh giỏi lớp sau :

Lớp Số lượng Có giải được Không giải được

Số lượng % Số lượng %

9A 15 12 80 20

9B 15 11 72,6 27,4

9C 15 11 72,6 27,4

Kết đội tuyển toán lớp huyện trực tiếp giảng dạy xếp từ thứ đến thứ toàn tỉnh

PHẦN III: KẾT LUẬN. 1 Hiệu đề tài

- Qua thực tế giảng dạy đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải số tốn tìm điểm đường cố định” học sinh tiếp thu tốt, em vận dụng ngày linh hoạt, sáng tạo để giải lớp tốn tìm điểm đường cố định đề thi học sinh giỏi , thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên không chuyên

2 Những học kinh nghiệm

Qua thời gian nghiên cứu vận dụng đề tài vào giảng dạy rút số ý kiến sau:

a Giáo viên:

- Thường xuyên học hỏi trau chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp

- Luôn tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập học sinh Qua đề tài thấy đừng ngại dạy cho học sinh kiến thức khó giáo viên có chiụ khó tìm tịi học sinh say mê khám phá kiến thức khó

b Học sinh:

Sau học sinh tiếp thu chun đề mới, có hiệu em tự tin giải toán dạng dạng tương tự

3 Ý nghĩa đề tài

Sau hướng dẫn cho học sinh tìm điểm ,đường cố định tơi thấy học sinh biết giải toán hứng thú với mơn hình học Khi gặp dạng tốn đề thi học sinh giỏi học sinh vượt qua cách dễ dàng Vì học sinh thi học sinh giỏi thi vào trung học phổ thơng chun mơn Tốn đạt cao Tôi mong chuyên đề đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu áp dụng vào công tác giảng dạy Đối với thân sau nghiên cứu đề tài tơi tích lũy thêm cho kiến thức cách tìm điểm cố định để ứng dụng vào giảng dạy ngày tốt Đối với đồng nghiệp thực đề tài bổ ích cho họ có thêm tư liệu để đọc ứng dụng vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

4.Đề xuất phạm vi ứng dụng nội dung cần bổ sung điều chỉnh a Phạm vi ứng dụng

Áp dụng cho học sinh khối luyện thi học sinh giỏi ôn thi tuyển sinh lớp 10 chuyên không chuyên

b Những kiến nghị đề xuất.

sung thêm phần thiếu đề tài tiếp tục triển khai đề tài cho tất giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi

Do kinh nghiệm thiếu, thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa nhiều nên đề tài không tránh khỏi hạn chế Rất mong giúp đỡ thầy, để tơi hồn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn

Hà tĩnh ngày 8.3.2014

2 Kết luận khuyến nghị :