Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy... Định lý.[r]
(1)(2)CHƯƠNG III
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Tiết 40
Tính chất đường phân giác tam giác
Thầy giáo:
Cai Việt Long
Giáo viên Toán – Trường THCS Ngô Sĩ Liên
(3)?1 Vẽ ∆ABC, biết AB = 3cm; AC = 6cm; 𝑨 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
Dựng đường phân giác AD góc A (bằng thước thẳng, compa), đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC so sánh các tỉ số 𝑫𝑩
𝑫𝑪 𝑨𝑩 𝑨𝑪
0 1 2 D 3 4 5
2,4 4,8
B A C 3 6 1000
1 Định lý:
Ta có:
𝑫𝑩 𝑫𝑪=
𝟐,𝟒 𝟒,𝟖=
𝟏 𝟐𝑨𝑩 𝑨𝑪
=
𝟑 𝟔=
𝟏 𝟐(4)
1 Định lý
Trong tam giác, đường phân giác góc chia
cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề
hai đoạn
GT
𝚫𝑨𝑩𝑪
𝑨𝑫
tia phân giác
𝑩𝑨𝑪
𝑫 ∈ 𝑩𝑪
KL
𝑫𝑩
𝑫𝑪
=
𝑨𝑩
𝑨𝑪
C
D
B
(5)GT 𝚫𝑨𝑩𝑪
𝑨𝑫 tia phân giác 𝑩𝑨𝑪
𝑫 ∈ 𝑩𝑪
KL 𝑫𝑩
𝑫𝑪 =
𝑨𝑩 𝑨𝑪
C D
B
(6)GT 𝚫𝑨𝑩𝑪
𝑨𝑫 tia phân giác 𝑩𝑨𝑪
𝑫 ∈ 𝑩𝑪
KL 𝑫𝑩
𝑫𝑪 =
𝑨𝑩 𝑨𝑪
𝑫𝑩
𝑫𝑪
=
𝑨𝑩
𝑨𝑪
𝑩𝑬
𝑨𝑪
=
𝑨𝑩
𝑨𝑪
𝑩𝑬 = 𝑨𝑩
𝚫𝑩𝑨𝑬
cân tại B
E
D
C
B
(7)GT 𝚫𝑨𝑩𝑪
𝑨𝑫 tia phân giác 𝑩𝑨𝑪
𝑫 ∈ 𝑩𝑪
KL 𝑫𝑩
𝑫𝑪 =
𝑨𝑩 𝑨𝑪
𝑫𝑩
𝑫𝑪
=
𝑨𝑩
𝑨𝑪
𝑩𝑬
𝑨𝑪
=
𝑨𝑩
𝑨𝑪
𝑩𝑬 = 𝑨𝑩
𝚫𝑩𝑨𝑬
cân tại B
E
D
C
B
(8)GT 𝚫𝑨𝑩𝑪
𝑨𝑫 tia phân giác 𝑩𝑨𝑪
𝑫 ∈ 𝑩𝑪
KL 𝑫𝑩
𝑫𝑪 =
𝑨𝑩 𝑨𝑪
Qua đỉnh B vẽ đường thẳng
song song với AC, cắt đường
thẳng AD tại điểm E
⇒
𝑪𝑨𝑬
= 𝑨𝑬𝑩
(so le trong)Mà
𝑩𝑨𝑬
= 𝑪𝑨𝑬
( AD phân giác)⇒
𝑩𝑨𝑬
= 𝑨𝑬𝑩
⇒
𝚫𝑨𝑩𝑬
cân tại B
⇒
𝑩𝑬 = 𝑨𝑩
(1)
Xét
𝚫𝑫𝑨𝑪
có
𝑩𝑬
// AC
𝑫𝑩
𝑫𝑪
=
𝑩𝑬
𝑨𝑪 (hệ định lý Talet)
(2)
Từ (1) (2)
⇒
𝑫𝑩𝑫𝑪
=
𝑨𝑩 𝑨𝑪
E
D
C
B
(9)1 Định lý
Trong tam giác, đường phân giác góc chia
cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh
kề hai đoạn
GT
𝚫𝑨𝑩𝑪
𝑨𝑫
tia phân giác
𝑩𝑨𝑪
𝑫 ∈ 𝑩𝑪
KL
𝑫𝑩
𝑫𝑪
=
𝑨𝑩
𝑨𝑪
C
D
B
(10)Ví dụ:
Cho
𝚫𝑨𝑩𝑪
,
𝑨𝑫
phân giác góc A Hãy chọn câu đúng:
A
𝑫𝑪 𝑫𝑩=
𝑨𝑩 𝑨𝑪
B
𝑨𝑫𝑫𝑩
=
𝑨𝑪 𝑨𝑫C
𝑨𝑩𝑫𝑩
=
𝑫𝑪 𝑨𝑪D
𝑩𝑨 (11)2 Chú ý:
Định lí với tia phân giác góc ngồi tam giác Ta có: 𝑫′𝑩
𝑫′𝑪 = 𝑨𝑩 𝑨𝑪
x
D'
B
C
(12)2 Chú ý:
Định lí với tia phân giác góc ngồi tam giác Ta có: 𝑫′𝑩
𝑫′𝑪 = 𝑨𝑩 𝑨𝑪
x
D'
B
C
A
x
B
A
(13)2 Chú ý:
Định lí với tia phân giác góc ngồi tam giác Ta có: 𝑫′𝑩
𝑫′𝑪 = 𝑨𝑩
𝑨𝑪 (𝑨𝑩 ≠ 𝑨𝑪)
x
D'
B
C
A
x
B
A
(14)Ví dụ:
Cho 𝚫𝑨𝑩𝑪, 𝑨𝑫’ phân giác ngồi góc A 𝑩𝑫′ = 𝟐 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 = 𝟒 𝒄𝒎 Tỉ số 𝑨𝑩
𝑨𝑪 bằng
A
𝟐
B
𝟏 𝟑C
𝟏 𝟐D
𝟑
𝑫’𝑪 = 𝟔𝒄𝒎
𝑨𝑩 𝑨𝑪
=
𝑫′𝑩 𝑫′𝑪
=
𝟐 𝟔
=
𝟏 𝟑
x
D' B C
(15)D
x y
3,5 7,5
A
B C
3 Áp dụng
Bài Cho hình vẽ bên
a) Tính
𝒙𝒚
b) Tính
𝒙
𝒚
Lời giải:
a) Xét tam giác ABC có
𝑨𝑫
phân giác
𝑩𝑨𝑪
(gt)
⇒
𝑫𝑩𝑫𝑪
=
𝑨𝑩
𝑨𝑪
(định lý tính chất đường phân giác của tam giác)
Thay số
𝒙𝒚
=
𝟑,𝟓 𝟕,𝟓⇒
𝒙 𝒚
=
𝟕 𝟏𝟓b) Ta có:
𝒙𝒚
=
𝟕 𝟏𝟓⇒
𝒙 𝟕=
𝒚 𝟏𝟓Áp dụng tính chất dãy tỉ số
(16)H F
E
3
8,5
x
5
D
Bài 2: Cho hình vẽ bên
Tính
𝒙
Lời giải:
Xét tam giác DEF có
𝑫𝑯
phân giác
𝑬𝑫𝑭
⇒
𝑯𝑬𝑯𝑭
=
𝑫𝑬 𝑫𝑭
Thay số
𝟑𝒙−𝟑
=
𝟓
𝟖,𝟓
⇒
𝒙 − 𝟑 = 𝟑 ×
𝟖,𝟓
𝟓
=
𝟓𝟏 𝟏𝟎
⇒
𝒙 =
𝟓𝟏𝟏𝟎
+ 𝟑 =
𝟖𝟏 𝟏𝟎Vậy
𝒙 =
𝟖𝟏𝟏𝟎
𝒄𝒎
(17)Bài 3: Cho tam giác ABC có
AB = cm, AC = 12 cm, BC = 15 cm
Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D
a) Tính DB, DC
b) Phân giác đỉnh A cắt đường thẳng BC tại K
Chứng minh:
𝑲𝑩 𝑫𝑪 = 𝑲𝑪 𝑫𝑩
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E cho AB = AE, tia KA cắt đường
thẳng EC tại F Tính
𝑺𝑨𝑬𝑭𝑺𝑨𝑪𝑭
d) Chứng minh: FD//AB
(18)Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = 12 cm, BC = 15 cm
Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D
a) Tính DB, DC
Lời giải:a) Xét 𝚫𝑨𝑩𝑪 có 𝑨𝑫 phân giác 𝑩𝑨𝑪 ⇒ 𝑫𝑩
𝑫𝑪 = 𝑨𝑩
𝑨𝑪 (định lý)
Thay số
⇒ 𝑫𝑩
𝑫𝑪 = 𝟖 𝟏𝟐 =
𝟐 𝟑
Mà 𝑫𝑩 + 𝑫𝑪 = 𝑩𝑪 = 𝟏𝟓 ⇒ 𝑫𝑩 = 𝟔 cm
𝑫𝑪 = 𝟗 cm
D
A
C
B
8 12
15
(19)Bài 3: b) Phân giác đỉnh A cắt đường thẳng BC tại K
Chứng minh:
𝑲𝑩 𝑫𝑪 = 𝑲𝑪 𝑫𝑩
𝑲𝑩 𝑫𝑪 = 𝑲𝑪 𝑫𝑩
𝑲𝑩 𝑲𝑪 =
𝑫𝑩 𝑫𝑪
𝑲𝑩 𝑲𝑪 =
𝑨𝑩 𝑨𝑪 =
𝑫𝑩 𝑫𝑪
x
D K
A
B D C
A
(20)Bài 3: b) Phân giác đỉnh A cắt đường thẳng BC tại K
Chứng minh:
𝑲𝑩 𝑫𝑪 = 𝑲𝑪 𝑫𝑩
Lời giải:
b) Xét 𝚫𝑨𝑩𝑪 có 𝑨𝑫 phân giác ⇒ 𝑫𝑩
𝑫𝑪 = 𝑨𝑩
𝑨𝑪 (định lý) (1)
Xét 𝜟𝑨𝑩𝑪 có 𝑨𝑲 phân giác ⇒ 𝑲𝑩
𝑲𝑪 = 𝑨𝑩
𝑨𝑪 (định lý) (2)
Từ (1) (2)
⇒ 𝑫𝑩
𝑫𝑪 = 𝑲𝑩 𝑲𝑪
⇒ 𝑲𝑩 𝑫𝑪 = 𝑲𝑪 𝑫𝑩 (đpcm) x
D K
A
B C
Chú ý: 𝚫𝑨𝑩𝑪 có 𝑨𝑫 phân giác góc trong, 𝑨𝑲 phân giác góc ngồi đỉnh 𝑨 (𝑫, 𝑲 ∈ 𝑩𝑪):
𝑫𝑩
𝑫𝑪 =
𝑲𝑩
𝑲𝑪 =
(21)Bài 3:
c) Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AB = AE,
tia KA cắt đường thẳng EC tại F Tính
𝑺𝑨𝑬𝑭𝑺𝑨𝑪𝑭
x
K
F E
D A
(22)Bài 3: c) Tính
𝑺𝑨𝑬𝑭𝑺𝑨𝑪𝑭
Lời giải:
Kẻ 𝑨𝑯 ⊥ 𝑬𝑪 𝑯 ∈ 𝑬𝑪 𝑺𝑨𝑬𝑭 = 𝟏 𝟐 𝑨𝑯 𝑬𝑭 ; 𝑺𝑨𝑭𝑪 = 𝟏 𝟐 𝑨𝑯 𝑭𝑪 ⇒ 𝑺𝑨𝑬𝑭 𝑺𝑨𝑪𝑭 = 𝟏 𝟐.𝑨𝑯.𝑬𝑭 𝟏 𝟐.𝑨𝑯.𝑭𝑪 = 𝑭𝑬
𝑭𝑪 (1)
Tia 𝑲𝑨 cắt 𝑬𝑪 tại 𝑭
⇒ 𝚫𝑨𝑬𝑪 có 𝑨𝑭 phân giác 𝑪𝑨𝑬 ⇒ 𝑭𝑬
𝑭𝑪 = 𝑨𝑬
𝑨𝑪 (2)
x H K F E D A C B
Mà 𝑨𝑩 = 𝑨𝑬 (gt) (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ 𝑺𝑨𝑬𝑭
𝑺𝑨𝑪𝑭 = 𝑭𝑬 𝑭𝑪 = 𝑨𝑬 𝑨𝑪 = 𝑨𝑩 𝑨𝑪
Thay số: 𝑺𝑨𝑬𝑭
𝑺𝑨𝑪𝑭 = 𝟖 𝟏𝟐 =
(23)Bài 3:
d) Chứng minh: FD//AB
FD//AB𝑭𝑪 𝑭𝑬 =
𝑫𝑪 𝑫𝑩
𝑭𝑪 𝑭𝑬 =
𝑨𝑪 𝑨𝑩 =
𝑫𝑪 𝑫𝑩
x H
K
F E
D A
(24)Bài 3:
d) Chứng minh: FD//AB
Lời giải:
Xét 𝚫𝑨𝑪𝑬 có 𝑨𝑭 phân giác ⇒ 𝑭𝑪
𝑭𝑬 = 𝑨𝑪
𝑨𝑬 (định lý) (1)
Xét 𝚫𝐀𝐁𝐂 có 𝑨𝑫 phân giác ⇒ 𝑫𝑪
𝑫𝑩 = 𝑨𝑪
𝑨𝑩 (định lý) (2)
Mà 𝑨𝑬 = 𝑨𝑩 (gt) (3)
Từ (1), (2) (3) ⇒ 𝑭𝑪
𝑭𝑬 = 𝑫𝑪 𝑫𝑩
Xét 𝚫𝐂𝐁𝐄 có 𝑭𝑪
𝑭𝑬 = 𝑫𝑪
𝑫𝑩 ⇒ FD // BE hay FD//AB
Chú ý: 𝚫𝑬𝑩𝑪 có CA đường trung tuyến, tia phân giác 𝑪𝑨𝑬 cắt EC tại F, tia phân giác 𝑩𝑨𝑪
cắt BC tại D Chứng minh: DF // BE
x H
K
F E
D A
(25)1 Định lí D C B A
ABC cã AD phân giác BAC
B B
= (®l)
C
A D
AC D
B B
C
D' A
=
D' AC (AB ≠ AC)
AD’ phân giác ABC
⇒
2 Chú ý
B D' A C D B D' A C
AD phân giác AD' phân giác ABC
B B
=
D' D
(26)Bài 3: Cho tam giác ABC có
AB = cm, AC = 12 cm, BC = 15 cm
Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D
a) Tính DA, DC
b) Phân giác ngồi đỉnh A cắt đường thẳng BC tại K
Chứng minh:
𝑲𝑩 𝑫𝑪 = 𝑲𝑪 𝑫𝑩
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E cho AB = AE, tia KA cắt đường
thẳng EC tại F Tính
𝑺𝑨𝑬𝑭𝑺𝑨𝑪𝑭